-
Glava 6
FURIJEOVA TRANSFORMACIJA
Po teoriji Furijeovih redova, svaki periodian signal moemo
predstaviti zbirom beskonano mnogo ortogonalnih funkcija. Budui da
predstava signala preko Furijeovog reda omoguava potpuno drugaiji
uvid u karakteristike signala u odnosu na vremenski domen, prirodno
se postavlja pitanje da li je mogue ideju razlaganja signala na
njegove prostoperiodine komponente proiriti i na neperiodine
signale. Posmatrajui neperiodian signal kao periodian signal sa
beskonano velikim periodom, Furijeova transformacija proiruje
ovakav koncept razlaganja signala i na neperiodine signale.
Prilikom sinteze periodinog signala na osnovu koeficijenata
Furijeovog reda u zbiru uestvuje beskonano mnogo prostoperiodinih
funkcija, ali je neophodno naglasiti da se njihove uestanosti
meusobno razlikuju za konaan iznos i da je razlika susjednih
uestanosti jednaka osnovnoj uestanosti signala. Prema tome, spektar
periodinih signala se rauna za diskretne vrijednosti uestanosti.
Proirujui ovaj koncept na neperiodine signale uvoenjem beskonano
velikog perioda, osnovna uestanost signala postaje infinitezimala,
a samim tim se i razlike izmeu susjednih uestanosti beskonano
smanjuju, te spektar postaje kontinualna funkcija uestanosti.
-
GLAVA 6
140
6.1 Prelaz sa Furijeovog reda na Furijeovu transformaciju
Posmatrajmo neperiodian signal dat na Slici 6.1(a). Formirajmo
periodino proirenje dijela ovog signala sa intervala 1 2t t t<
< , sa periodom 0 2 1T t t= , kao na Slici 6.1(b), tako da
vrijedi:
( ) ( ) 1 2,x t x t t t t < , 0 2 1T t t = , dobijamo
Furijeov red u obliku:
( ) 0 00
2,jk tkk
x t C eT
=
= =
(6.6) sa koeficijentima:
( ) 000
1 ,jk tkT
C x t e dt kT
= . (6.7)
-
SSlikaa 6.1 (a)pe
) Kerio
Kontodi
tinuna
ualaa pr
an nroi
nepren
perinja.
iodiiann siignaal; (b)
Fu
i (c
rije
c) n
ova
njeg
a tra
gov
ans
a
form
1
mac
141
(a)
(b)
(c)
cija
-
GLLAVA
14
pepo
U koje osm
A 6
42
Uerioosta
ovonti
ilusno
modu
grodiaje
vominuustrvnoula
Sl
raninokon
m ualnrovaog ko
lika
ino prntin
0
liT
grane vanope
oefic
a 6.2
omronua
im C
anivarijo teriocije
2
m sliren
alna
kC =
nojablta
oda enat
Prope
luanje a va
0
liT
=
om le se sig
ta F
omjrio
aju sig
arija
im
slu idegnaFuri
jenda
kagnaabla
0
2
uai njiavala. ijeo
na kper
ada ala a
0T
xaju iho
va sA
ovo
koefriod
1tpo
, t
( )x t
koove sa kmp
og r
ficijdin
staje je
) je
oefivrikoe
plitueda
jenanog
je e:
0jk t
cijeijedeficudna se
atag pr
, nep
tdt =
entidnoijen
ni se sm
Furoi
2t peri
2d
=
i Fsti ntimspe
man
urijeiren
iod
2d
Furipos
ma kta
njuju
eovnja
idia
x
ijeostajFu
ar pu.
vog sign
i Tn s
( )x t
ovogu in
urijepos
rednala
0T sign
je
g rnfineovstaje
da pa.
nal,
j td
rednitevog e g
pri
o
dt .
da pezim
regu
pov
ovak0
posmalda i,
ve
ko d
staje. Npria
anj
fod
u Na i pvri
ju
rmi i
funSlic
promijed
irank
(6.
nkcci 6mjedno
no 0
.8)
ija 6.2 eni sti
-
Furijeova transformacija
143
Stoga umjesto koeficijenata Furijeovog reda kC ima smisla
posmatrati proizvod 0kC T . Taj proizvod je u graninom sluaju
jednak:
( )0
0limj t
kTC T x t e dt
= , (6.9) to vodi definiciji Furijeove transformacije (Fourier
Transform FT) kontinualnih signala, koju primjenjujemo u analizi
neperiodinih signala: ( ) ( ) j tX x t e dt
= . (6.10) Na osnovu (6.9) i (6.10) veza izmeu Furijeove
transformacije i koeficijenata Furijeovog reda je data sa:
( )0
0lim kTX C T = , (6.11)
ili, na osnovu (6.8) i (6.10), sa:
( )0
lim2kTdC X
= . (6.12)
Periodian signal sa beskonano velikim periodom ( 0T ) se moe
shvatiti kao neperiodian signal, pa vrijedi:
( ) ( ) ( ) ( )00 0
1lim lim2 2
jk t j t j tkT T k
dx t x t C e X e X e d
=
= = = = . (6.13)
Dobijeni izraz:
( ) ( )12
j tx t X e d
= (6.14) omoguava sintezu signala na osnovu poznate Furijeove
transformacije i naziva se inverzna Furijeova transformacija.
Neophodno je naglasiti da, za razliku od izraza za sintezu
periodinih signala, gdje se sumiraju elementarne kompleksne
eksponencijalne funkcije ije su frekvencije umnoak osnovne
frekvencije periodinog signala, u izrazu za sintezu neperiodinih
signala uestanosti elementarnih kompleksnih eksponencijalnih
funkcija koje grade signal pripadaju kontinuumu realnih brojeva, te
kaemo da je spektar neperiodinih signala kontinualan.
-
GLAVA 6
144
Dakle, Furijeov transformacioni par je dat sa:
( ) ( ) j tX x t e dt
= , (6.15)
( ) ( )12
j tx t X e d
= . (6.16) esto koristimo sljedei nain oznaavanja za direktnu: (
) ( ){ }X x t =F (6.17) i inverznu Furijeovu transformaciju:
( ) ( ){ }1x t X= F , (6.18) dok Furijeov transformacioni par
oznaavamo sa: ( ) ( )x t X . (6.19) Vrlo esto domen definisanosti
signala (vremenski domen) nazivamo originalni, a domen
definisanosti Furijeove transformacije frekvencijski ili
transformacioni domen.
Za egzistenciju Furijeove transformacije dovoljno je da
signal:
1. bude apsolutno integrabilan:
( ) ( ) ( )j t j tx t e dt x t e dt x t dt
= < ; 2. ima konaan broj ekstremnih vrijednosti (minimuma i
maksimuma) u
proizvoljno odabranom konanom intervalu; 3. ima konaan broj
diskontinuiteta (prekida prvog reda) u proizvoljno
odbranom konanom intervalu. Ovi uslovi su ekvivalentni
Dirihleovim uslovima kod Furijeovog reda.
Uslov apsolutne integrabilnosti je dovoljan za egzistenciju
Furijeove transformacije veine fizikih signala. Meutim, uslov
apsolutne integrabilnosti
nije i potreban uslov, jer postoje signali koji nisu apsolutno
integrabilni, npr.
-
S
o
fr
2el
Mfufailu
Fra
Slik
Ddre
Frekv1
2X
lem
Modunkazniustr
FFuriazli
ka 6
Diraedit
Fiziven
(Xmen
dul kcijai sperov
Furijeokuj
6.3
akoti Fu
ki ncij
)ntarn
Fua pektavan
ijeove u s
P
va urij
gsku
d
nih
urijpa sar sje
ova tra
se s
rim
funjeov
gledu pr
sa
h fu
eovse nsignana
transfam
mjer
nkcva t
danred
adr
unk
ve naziala in ansform
mo u
r (a)
cija, tran
no, stav
ri i
kcija
traiva jer gra
sformau ko
) am
sinnsfo
ovu
info
a ob
ansfamuti
afirma
acijeona
mpl
nusorm
ovakon
orm
blik
formmplitie kog
acije dan
litu
ni imac
ako ntin
mac
ka
matudnna g pr
a va om
udno
i drcija,
dnua
ciju je
cijeni spfazrika
signsig
m br
og i
rugi, ka
defalno
o t n
e Xspekzneaza
nalagnalroju
i (b
i peao
finisog n
am
na k
(Xktar
posp
a nla ku iz
b) fa
erioto
sannep
mplit
koj
( )r sigomaekt
nijekojizolo
azn
odiem
na peri
tud
e s
) ognalaketra n
e jei z
ovan
nog
ni mo
Fuiodi
dam
se r
odrla, aelenep
edaadonih
spe
sigto
urijin
ma i
razl
reua aremeperi
an-jovoh sin
ekt
gnalkas
eovog
faz
lae
ujerguentaiodi
edaoljavngu
tra n
li, asnij
vasig
zam
e ko
amumearniinan vajuular
nep
ali ze v
trgnal
ma
ont
mpentih fih s
pru Dritet
Fu
peri
za kvidje
ranla. O
bes
tinu
litu(
funsign
esliDirita (
rije
iodi
kojeeti.
nsfoOn
sko
ualn
ude ( )nkcinala
ikavihle(pre
ova
in
e se
ormna u
onani s
ela=
ija. a.
vaneovekid
a tra
og
e ip
maciu lnosign
lemarg XNa
nje. ve udnih
ans
sig
pak
ija lano
o m
nal
ment(X
a Sli
Nusloh ta
form
1
gnal
mo
dovim
mno
(xtarn
)ici 6
Naimoveaak
mac
145
(a)
(b)
la.
oe
dajema
ogo
)t . nih je 6.3
me, , a ka)
cija
-
GLLAVA
14
su
vrinv
jer
jedsin
Pr
da
sig
T
A 6
46
u je
rijedver
r zb
Udinngu
rim
Oatu
gna
2=
edn
dnorzno
bog
x
prnstvular
mjer
Odrena
ala
120
.
Sli
ake
osti om
g ko
( 0t
rakvenoritet
6.1
edita Sl
crta
.
ika
e, j
u m Fu
onti
)
+
ktino te.
1:
ti klici
aju
6.4
er
izourije
inu
(x+
nimod
koe6.4
i k
4 P
na
oloveov
ualn
)0t +
m apdre
fici4. P
koe
Peri
vr
vanvom
nost
) =
=
pliken
ijenPos
efici
iod
rijed
nimm tr
ti ko
12
122
kacin,
nte sma
ijen
dian
dno
m tarans
2
om
1
X
ijamjer
Fuatra
nte
n si
ost
akasfo
12x
mple
(X
X
ma
f
urijeati
Fu
ign
int
amrm
( 0x teksn
)
(X
smfizi
eovta
urije
nal u
tegr
a. Macij
)0ne e
)
je
e
matrki
vog se
eov
u ob
rala
Mejom
x+
eks
0
0
t
j t
d
ramo
rede
vog
blik
a
eum u
( 0x t +pon
0
d
d
mo ostv
eda eav
red
ku p
(x
timta)+
nen
2 +
=
da varl
zava p
da
pov
( )t em, pkam,
ncij
12
2x
je ljivi
a popril
za
vor
je
prilima
aln
( 0
X
t
Fui
ovoliko
0T
ke
tdt
ikodis
ne fu
(
).
X
urijsign
orkuom
12
=
pra
t n
m sko
unk
)e
eovnali
u ppro
12
,
avou
ne u
rekontin
kcij
je
v tri
pravom
0T =
uga
utikonnui
e e
0t d+
rannem
voumjen
1=
aon
e nstriteta
j te
d
nsfomaj
ugane p
i
nih i
kon
ukca 0t
vr
=
ormju
aoniperi
0T =
imp
nacije0 se
rijed
maciiz
ih iod
2=
pul
an sig
e do
(
di d
(
ioniolo
impda d
, ak
sa.
br
gnaobij
(6.2
da je
(6.2
ni povan
puldato
ko
roj
ala ja:
20)
e:
21)
par ne
lsa og
je
-
Furijeova transformacija
147
Rjeenje: U Primjeru 5.3 smo odredili koeficijente Furijeovog
reda datog signala:
0 0
2 sinc 2 , 0kAT TC k kT T
= (6.22)
00
2 TC AT
= . (6.23)
Poloaj nula u spektru signalaa 0 ,nk n ZT = se ne mijenja
poveavanjem perioda signala 0T . Razmak koeficijenata Furijeovog
reda je 0
0
2T = . Sa porastom perioda 0T
taj razmak se smanjuje, to je ilustrovano na Slici 6.5. U
graninom sluaju, kada 0T , razmak frekvencijskih komponenti postaje
beskonano mali, to znai da frekvencijske komponente postaju
kontinualna funkcija uestanosti.
Pri tome se vrijednosti koeficijenata Furijeovog reda smanjuju,
i u navedenom graninom sluaju postaju infinitezimale. Meutim,
proizvod
0kC T i Furijeova transformacija neperiodinog signala koji se
dobije poveavanjem perioda do beskonanosti ( )
00lim kTX C T = imaju konane
vrijednosti. Najlake je to uoiti posmatrajui nulti koeficijent
Furijeovog reda 0
0
2 TC AT
=
koji tei nuli pri beskonanom poveanju perioda, dok je
vrijednost
Furijeove transformacije za nultu uestanost:
( )0 0
0 0 00
20 lim lim 2T T
ATX C T T ATT
= = = , (6.24)
konstantna pri poveanju perioda 0T .
-
GLLAVA
14
(a) (b (c)
Sl
A 6
48
)
b)
)
lika 6.55 UUti
(a)
icaj
) T
pro
2=
om1 ,20
mjen
0T
ne p
2=
peri12
;
ioda
(b)
a si
T
igna
2=
ala 1 ,20
na
0T
izg
1=
gled
i (
d am
(c)
mpl
T =
litud120
=
dno
,0T
og s
0T =
spe
2=
ektr
.
ra:
-
P
am
Rj
Dnk
Prim
Omp
Rjee
Datijegont
mjer
Odrplitu
enje:
i sigov tinu
r 6.2
rediudn
:
gnasp
ualn
2:
iti ni sp
Slik
al jeektna v
Slik
Fupek
ka
e gtar vari
ka
urijektar
6.6
granje ijab
6.7
eovsig
N
ningra
bla
F
vu gnal
Nep
ni sani .
Furi
tranla.
peri
sluni Sp
ijeo
nsf
iodi
aj slu
pekt
ova
form
ian
signuajtar
tra
mac
n si
nalaj spsig
ansf
ciju
igna
a spekgnal
form
u si
al u
a Sktra la p
mac
ign
u ob
Slikesa
prik
cija
ala
blik
e 6a Slkaza
a pr
da
ku p
6.4, likean j
ravo
ato
prav
ka 6.e n
oug
g n
vou
ada 5, p
na S
gaon
na
uga
0Tpri
Slici
nog
Fu
Sl
ono
ei 6.7
g im
rije
lici
og
.emu7.
mpu
ova
6.
imp
. Pru k
ulsa
a tra
6.
pul
rem0k
a.
ans
Na
sa.
ma 0 p
form
1
acrt
tomost
mac
149
tati
me, taje
cija
-
GLAVA 6
150
Raunajui na osnovu definicionog izraza za Furijeovu
transformaciju dobijamo:
( ) ( ){ } ( )2
2sin2 2 sinc .
Tj t j t
TT j T j T
j t
T
X x t x t e dt Ae dt
A A e eej j
TAT AT TT
= = = =
= = =
= =
F (6.25)
Nule spektra signala se nalaze na uestanostima:
,k k ZT = . (6.26)
6.2 Furijeova transformacija kompleksnih signala
U praksi se najee radi sa realnim signalima, iako se ponekad
ukazuje potreba za formiranjem kompleksnih signala u vremenu,
njihovom analizom i obradom. Prilikom definisanja Furijeove
transformacije nismo postavljali uslove da signal u vremenu bude
realan. Stoga isti definicioni izraz za Furijeovu transformaciju
moemo primijeniti i na kompleksne signale. Dakle, Furijeova
transformacija kompleksnog signala:
( ) ( ) ( )r ix t x t jx t= + (6.27) je data sa:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sinr i r iX X jX x t jx t t j t
dt
= + = + . (6.28) Relani i imaginarni dijelovi Furijeove
transformacije su:
-
Furijeova transformacija
151
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos sinr r iX x t t x t t dt
= + , (6.29) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin cosi r iX x t t x t t dt
= + . (6.30) Ako je realni dio signala u vremenu parna, a
imaginarni neparna funkcija, imaginarni dio Furijeove
transformacije e biti jednak nuli, jer je proizvod parne i neparne
funkcije neparna funkcija, a integral neparne funkcije od do je
jednak nuli. Slino, ako je realni dio signala u vremenu neparna, a
imaginarni parna funkcija, realni dio Furijeove transformacije e
biti jednak nuli.
Iz relacija (6.28-30) lako se izvode specijalni oblici
Furijeovog integrala koji uspostavljaju vezu izmeu realnih i
imaginarnih dijelova Furijeove transformacije sa parnim i neparnim
dijelovima signala u vremenu i obrnuto. Mi emo se zadrati na tim
vezama razmatrajui samo realne vremenske signale neto kasnije.
Kada radimo analizu kompleksnih signala u vremenskom domenu,
onda je potrebno razmotriti i spektar konjugovano kompleksnih
signala. Konjugovana Furijeova transformacija je data sa:
( ) ( )* * j tX x t e dt
= . (6.31) Ako potraimo reflektovanu konjugovanu Furijeovu
transformaciju:
( ) ( )* * j tX x t e dt
= , (6.32) vidimo da ona zapravo predstavlja Furijeovu
transformaciju konjugovano kompleksnog signala:
( ){ } ( )* * j tx t x t e dt
= F , (6.33) pa zakljuujemo da je: ( ) ( )* *x t X . (6.34)
-
GLAVA 6
152
6.3 Furijeova transformacija realnih signala
U ovom poglavlju emo razmotriti osnovne osobine spektara realnih
signala. Napiimo definicioni izraz za Furijeovu transformaciju pod
pretpostavkom da je signal u vremenu realan:
( ) ( ) j tX x t e dt
= . (6.35) Tada vrijedi:
( ) ( )* j tX x t e dt
= , (6.36)
( ) ( ) j tX x t e dt
= . (6.37) Iz jednakosti (6.36) i (6.37) jasno slijedi da
je:
( ) ( )*X X = . (6.38) Budui da je: ( ) ( )*X X = , (6.39) ( ) (
)*arg argX X = , (6.40) zakljuujemo da je amplitudni spektar
realnog signala parna, a fazni spektar neparna funkcija uestanosti:
( ) ( )X X = , (6.41) ( ) ( )arg argX X = . (6.42)
Sada emo lako izvesti zakljuke za realni i imaginarni dio
Furijeove transformacije realnih signala. Oznaimo fazni spektar
signala sa
( ) ( )arg X = . Zbog parnosti amplitudnog i neparnosti faznog
spektra, realni dio Furijeove transformacije realnih signala:
-
Furijeova transformacija
153
( ){ } ( ) ( )Re cosX X = (6.43) je parna funkcija, dok je
imaginarni dio Furijeove transformacije realnih signala:
( ){ } ( ) ( )Im sinX X = (6.44) neparna funkcija
uestanosti.
Pokazaemo sada da je Furijeova transformacija parnih realnih
signala realna, dok je Furijeova transformacija neparnih realnih
signala isto imaginarna.
Svaki signal moe da se razloi na njegov parni ( ){ }x t i
neparni ( ){ }x t dio (vidjeti 2.3):
( ) ( ){ } ( ){ }x t x t x t= + . (6.45) Posmatrajmo sada
Furijeove transformacije parnog i neparnog dijela signala:
( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )cos sin r iX x t x t t j t dt X
jX
= + = + .(6.46) Furijeova transformacija parnog dijela
signala:
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
( ){ } ( )cos sin
cos ,
x t t dt j x t t dt
x t t dt
=
=
(6.47)
je realna:
( ) ( ){ } ( )0
2 cosrX x t t dt
= , (6.48) jer je integral neparne funkcije ( ){ } ( )sinx t t
jednak nuli. Za Furijeovu transformacija neparnog dijela signala na
slian nain se dobije da je isto imaginarna:
-
GLAVA 6
154
( ){ } ( ) ( ){ } ( )
( ){ } ( )cos sin
sin ,
x t t dt j x t t dt
j x t t dt
=
=
(6.49)
( ) ( ){ } ( )0
2 siniX x t t dt
= . (6.50)
6.4 Osobine Furijeove transformacije
Analiza signala u frekvencijskom domenu se pojednostavljuje
ukoliko poznajemo osobine Furijeove transformacije. U odjeljcima
koji slijede dokazaemo i dati primjere korienja osnovnih osobina
Furijeove transformacije. Zbog iroke primjenljivosti u rjeavanju
konkretnih problema, ove osobine se esto nazivaju pravila Furijeove
transformacije.
6.4.1 Simetrija
Ukoliko signal u vremenu funkcionalnog oblika ( )x t (npr.
pravougaoni impuls) ima spektar funkcionalnog oblika ( )X (u
posmatranom primjeru to je sinc funkcija), onda spektar signala
koji u vremenu ima funkcionalni oblik
( )X t (sinc funkcija u posmatranom primjeru) poprima oblik
reflektovanog originalnog signala (pravougaonog impulsa u
posmatranom primjeru) pomnoenog sa 2 . Dakle, ako postoji
transformacioni par ( ) ( )x t X , tada je:
( ) ( )2X t x . (6.51)
-
Furijeova transformacija
155
Dokaz:
Kako je Furijeova transformacija data sa ( ) ( ) j tX x t e
dt
= , onda jednostavnom zamjenom varijabli t i dobijamo:
( ) ( ) jtX t x e d
= . (6.52) Potraimo inverznu Furijeovu transformaciju od ( )2 x
:
( ){ } ( ) ( )-1 12 22
j t j tx x e d x e d
= = F , (6.53) Poredei (6.52) i (6.53) dobijamo: ( ){ } ( )-1 2
x X t =F . (6.54)
Primjer 6.3:
Odrediti i nacrtati Furijeove transformacije Dirakovog impulsa (
) ( )x t t= i konstante ( ) 1x t = .
Rjeenje: Polazei od definicionog izraza za Furijeovu
transformaciju i koristei
svojstvo odabiranja Dirakove funkcije dobijamo Furijeovu
transformaciju Dirakovog impulsa:
( ){ } ( ) ( ) ( )0 1j t jt t e dt t e dt t dt
= = = = F . (6.55) Dirakova funkcija je realna i parna, pa je
njen spektar paran i realan.
Furijeovu transformaciju konstante ( ) 1x t = pronai emo
koristei osobinu simetrije Furijeove transformacije:
-
GLLAVA
15
(a) (b (c) (d
A 6
56
)
b)
)
d)
Sliika 6.88 (((a) D(c) k
Dirkon
rakonsta
ovaanta
a fua i
unkc(d)
cijanje
a i (ena
(b) na Fu
njenurije
na eov
Furva t
rijeran
eovansfo
a trorm
ransmaci
sforija.
rmaacijja;
-
Furijeova transformacija
157
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2t x t = = . (6.56) Na Slici 6.8 prikazani
su spektri Dirakovog impulsa i konstante.
Primjeujemo da se u spektru konstante pojavljuje beskonano
velika vrijednost u vidu Dirakove funkcije. Bez uvoenja Dirakove
funkcije ne bismo bili u mogunosti da odredimo spektar konstante,
jer konstanta nije apsolutno integrabilan signal i direktno
raunanje njene Furijeove transformacije preko definicionog izraza
nije mogue. Takoe zakljuujemo da je spektar konstante paran i
realan.
6.4.2 Linearnost
Ako postoje transformacioni parovi ( ) ( )1 1x t X i ( ) ( )2 2x
t X , tada je Furijeova transformacija linearne kombinacije signala
jednaka na isti nain formiranoj linearnoj kombinaciji njihovih
Furijeovih transformacija:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 , ,ax t bx t aX bX a b+ + . (6.57)
Dokaz: Budui da je integral linearni operator, direktno
slijedi:
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1 2 1 2 .
j t
j t j t
ax t bx t ax t bx t e
a x t e b x t e aX bX
+ = + =
= + = +
F
(6.58 )
-
GLAVA 6
158
6.4.3 Pomak u vremenskom domenu
Ako je ( ) ( )x t X , tada pomjeranje signala u vremenu za 0t
vremenskih jedinica ima za posljedicu mnoenje spektra kompleksnom
eksponencijalnom funkcijom 0j te :
( ) ( )00 j tx t t e X . (6.59)
Dokaz: Na osnovu definicionog izraza, Furijeovu transformaciju
signala
pomjerenog u vremenu dobijamo u obliku:
( ){ } ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0 0
0 0
.
j tj t j
t t
j t j tj t
x t t x t t e dt x e e d
e x t e dt e X
=
= = =
= =
F
(6.60 )
Budui da je 0 1j te = , zakljuujemo da se amplitudni spektar
signala ne mijenja prilikom pomjeranja signala u vremenu:
( ) ( ) ( )0 0j t j te X e X X = = . (6.61)
Primjer 6.4:
Odrediti i nacrtati spektar pomjerenog Dirakovog impulsa ( )0t t
.
Rjeenje: Znajui da je ( ) 1t , koristei pravilo pomaka u
vremenskom domenu
direktno dobijamo:
( ) 00 1 j tt t e . (6.62) Amplitudni i fazni spektar pomjerenog
Dirakovog impulsa dati su na Slici 6.9.
-
Pfa
P
n
Primazn
Prim
Oacr
mjenog
mjer
Odrrtati
Sl
ujespe
r 6.5
redii nj
lika
emoektr
5:
iti ego
a 6.9
o dra,
Furov a
9
da jedok
rijeamp
(a) (c
e zk je
eovuplit
Poc) fa
boge am
u ttudn
mjeazn
g pmpl
tranni s
ereni sp
pomlitu
nsfospek
ni Dpek
makdni
ormkta
Dirktar.
a ui sp
maciar.
rako.
u vrpekt
iju
ov i
remtar
sig
imp
menost
gna
puls
skotao
ala
s, (b
om isti
(x
b) n
doi.
)t =
njeg
ome
=
gov
enu
(t
Fu
v am
do
5T
rije
mpl
olo
)T +
ova
litud
o do
(+
a tra
dni
o p
(t
ans
i i
prom
7T
form
1
mje
)T ,
mac
159
(a)
(b)
(c)
ene
te
cija
-
GLLAVA
16
Rj
do
F
Za (a) (b
A 6
60
jeenK
ome
{F
Buada
)
b)
nje: Kori
enu
(t
uduani
steu, d
5T
ui sign
i dobi
)T +
danal
osoijam
(+
a sei n
S
obinmo:
(t
e ranjeg
Slika
nu :
7T
adi gov
a 6
lin
)}T
o am
.10
near
2
=
=
F
reampli
(a(b
rno
{2 je
F
alnoitud
a) Db) n
osti,
(6T
t
om dni
Dvanjih
, a
5jT
t
e
sigspe
a pohov
za
)5
2
T
T +
gnalekta
omv am
atim
)}2e+
+
lu ar p
mjerempli
m o
jT
+F
njeprik
enaitud
oso
{2
=
F
egovkaza
a Ddni
obin
(2 j
t
e
v aani
Diraksp
nu
6
7
j T
ampsu
kovekt
po
)}co
T
plituna
va itar.
ma
}os
e
T
=
udnSli
mp
aka
5
.
je
T
ni sci 6
puls
u
5T
spek6.10
sa i
vr
e+
ktar0.
em
7j Te
r je
mens
T
(6
e p
sko
6.6
para
om
3)
an.
-
Furijeova transformacija
161
6.4.4 Pomak u frekvencijskom domenu
Ako je ( ) ( )x t X , mnoenje signala u vremenu sa kompleksnom
eksponencijalnom funkcijom 0j te ima za posljedicu pomjeranje
spektra po frekvencijskoj osi za 0 :
( ) ( )0 0j tx t e X . (6.64)
Dokaz: Potraimo Furijeovu transformaciju od ( ) 0j tx t e :
( ){ } ( ) ( ) ( )00 0 j tj t j t j tx t e x t e e dt x e d
= = F . (6.65) Isti rezultat emo dobiti ako u definicionom
izrazu za Furijeovu transformaciju zamijenimo sa 0 , to znai da
je:
( ){ } ( )0 0j tx t e X = F . (6.66)
Primjer 6.6:
Odrediti i nacrtati Furijeovu transformaciju signala ( ) 0cosx t
t= .
Rjeenje: Od ranije znamo da je ( )1 2 . Koristei osobinu
linearnosti i osobinu
pomaka u frekvencijskom domenu dobijamo:
{ } { } { } ( ) ( )0 00 0 01 1cos 2 2j t j tt e e = + = + + F F
F . (6.67) Kosinusoida i njena Furijeova transformacija prikazane
su na Slici 6.11.
-
GLLAVA
16
6.
Prdo
(x
A 6
62
.4.5
roiovo( )t
5
irivodi
Slik
S
vanjdo
(X
ka 6
Ska
je ilsu
( )
6.1
alir
li suuav) , o
1
an
uavanond
(a)
nje
avannja oa vr
Ko
nje odnrije
x
osin
(jenosedi:
(at
nus
ednno
)
oid
ompr
1a
da i
m rijroi
1 Xa
(b)
jejriva
Xa
) nj
ju sanja
,a
ena
skala si
, a
a Fu
liraign
urij
anjeala
.
eov
e) siu
va t
igndru
tran
ala ugo
nsfo
u jm
orm
jeddom
mac
nommen
cija.
m dnu.
dom. A
(
(
(
menAko
(6.6
(a)
(b)
nu je
68)
-
Furijeova transformacija
163
Dokaz: Na osnovu definicionog izraza za Furijeovu transformaciju
imamo:
( ){ } ( ) ( )1 a pjj t aaat p
x at x at e dt x p e dpa
= = F . (6.69) Za 0a < :
( ){ } ( ) ( )
( )
1 1
1 1
j t j ta a
j ta
x at x t e dt x t e dta a
x t e dt Xa a a
= = =
= =
F
, (6.70)
dok je za 0a > :
( ){ } ( )1 1j tax at x t e dt Xa a a
= = F . (6.71)
Ilustracija osobine skaliranja data je na Slici 6.12.
-
GLLAVA
16
Sl
A 6
64
likaa 6.12 (a(na) Snast
kaltav
liranvak
nje na
sa slje
fakede
ktoroj
romstrm mrani
manici)
njim; m odd jeedann, vvremmennskki doommen
-
Sllika
a 6.12 (nfrnastrekv
tavaven
ak)ncij
: (bski
b) skdo
kaliome
iranen (
nje (nas
sa stav
fakvak
ktork na
roma slj
m medemanjeo
jimj st
odtran
Fu
d jednici)
rije
dan);
ova
n,
a traansform
1
mac
165
cija
-
GLLAVA
16
Sli
A 6
66
ika 6.112 (ndo
astaome
avaen (
ak): (na
(c)astav
) skvak
kalirk na
ranja slj
je sjed
sa faeo
faktoj st
torotran
omnici
vei);
imm odd jeedann, vvremmennskki
-
Sllika
a 6.12 (ndonastom
tavamen.
ak).
: (dd) skkaliirannje sa ffakktorromm veeimm ood j
Fu
eda
rije
an,
ova
fre
a tra
kve
ans
enc
form
1
cijsk
mac
167
ki
cija
-
GLAVA 6
168
6.4.6 Konvolucija u vremenskom domenu
Podsjetimo se da je u obradi signala konvolucija:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x t x t x x t d
= (6.72 ) jedna od osnovnih operacija jer omoguava pronalaenje
odziva na proizvoljnu pobudu sistema sa poznatim impulsnim
odzivom.
Konvoluciji signala u vremenskom domenu odgovara mnoenje u
frekvencijskom domenu. Ako je ( ) ( )1 1x t X i ( ) ( )2 2x t X ,
tada vrijedi da je:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2x t x t X X . (6.73)
Dokaz: Potraimo Furijeovu transformaciju konvolucije dva
signala:
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2j t j tx t x t x t x t e dt
x x t d e dt
= = F . (6.74) Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:
( ) ( ){ } ( ) ( )1 2 1 2 j tx t x t x x t e dt d
= F (6.75 )
i smjene varijabli t = :
( ) ( ){ } ( ) ( )1 2 1 2 j jx t x t x x e d e d
= F , (6.76)
uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne zavisi od ,
dobijamo:
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1j jx t x t x e d x e d X
X
= = F . (6.77)
-
P
imtr
Rj
pp2re2vrimtrdlin
o
Prim
Pmpurou
RjeeP
rikarav
2ATezu2T , remmpuransobinea
blik
mjer
Polaulsagao
enje:Postaza
vougsinT
ultujij
menulsasfoije arno
ku
r 6.7
azea i ono
: tupan gaoncje ta je
nskoa krmsignosti
AT
7:
i oko
og im
pak je
onoT
troue Fom
koji acijnal i i
sinT
od orismp
odn
og iT . Kuga
Furim do
je ju t
4xsk
2nc
postepuls
drena impKonaoniijeoom
natra( )4 t
kalir
2T
ozni osa s
ivSli
pulsnvoim
ova menu
astaim) , aranT .
natoosoa Sl
vanjici sa aolucimtra
u, jao ko, na za
nja
og obinlike
S
ja 6.
ampcija
mpulansfjednkonneoatimko
izranu e 6.
Slik
Fu.14.plit
a ovlsomformnaknvoophm sna
azako13,
ka 6
urije. Ptudvakm maka oluchodnskalno
a zaonvo, am
.13
eovPrve A
kva
(3xcija4Acijono lirato d
a Folu
mpli
3 T
e tvo A i
dv
( )ta, d
2 2Tom
ga ti s
dobi
Furiucijeitud
Tro
transe
i trva
amdobi2 sindoje ua faije
ijeoe, ode
uga
nsfoe orajanpra
mpliijen
2ncobiliumfakt
tra
ovuodrA
aon
formodrnja avoitud
na kT
i tranj
toroaen
u trredii tr
ni im
macredi
odougadekorT . Krougiti p
om na
ransiti raja
mpu
cije i Fd aon2A
risteKakgaopo 2, Fu
sforFunja
uls.
trFurT
na i2A T
ei ko oni amte
urije
rmaurijea od
.
rougrijeodoimp i osobisim
mplitse eov
Fu
acijeovd T
gaoova Tpultrajobismo
mputudpri
va
rije
ju vu T d
onoa T k
sa janinu o o
uls di 2imjtra
ova
pratrando
og tran
koja(1x
ja oko
od iju
2ATenonsf
a tra
avonsfoT .
imnsfoa je ( )t od onvtrou FT puom form
ans
ugaform
pulform
jedi 2
oluuga
Furiutaos
mac
form
1
aonmac
lsa macdna
(2x2Tucijeaonijeoa daobicija
mac
169
nog ciju
je ciju aka ( )tdo e u nog ovu a se ina
a u
cija
-
GLLAVA
17
A 6
70
Sllikaa 6.114 O(vOdre
vremeivme
vannsk
nje Fki d
Furdom
rijeomen
oven).
e traanssforrmaacije trrouugaoonoog immppulssa
-
Sllika
a 6.14 O(fOdrefrek
eivkve
vanenci
nje ijsk
Furki do
rijeom
eovemen)
e tr).
ranssforrmaacijje trrouugaoono
Fu
og i
rije
imp
ova
puls
a tra
sa
ansform
1
mac
171
cija
-
GLAVA 6
172
6.4.7 Konvolucija u frekvencijskom domenu
Osobina konvolucije u vremenskom domenu, koja se ponekad naziva
i modulacioni teorem, kae da konvoluciji Furijeovih transformacija
signala u frekvencijskom domenu odgovara mnoenje signala u
vremenskom domenu. Ako je ( ) ( )1 1x t X i ( ) ( )2 2x t X , tada
je: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 212x t x t X X . (6.78)
Dokaz: Potraimo inverznu Furijeovu transformaciju konvolucije
Furijeovih
transformacija dva signala, koja je podijeljena sa 2 :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
11 2 1 2
2
1 2
1 1 12 2 2
1 .2
j t
j t
X X X X e d
X X d e d
= =
=
F
(6.79 )
Nakon zamjene redoslijeda integraljenja:
( ) ( ) ( ) ( )2
11 2 1 2
1 12 2
j tX X X X e d d
= F , (6.80 ) i smjene varijabli = :
( ) ( ) ( ) ( )2
11 2 1 2
1 12 2
j t j tX X X X e d e d
= F , (6.81) uz napomenu da integral u uglastim zagradama ne
zavisi od , dobijamo sljedee:
-
Furijeova transformacija
173
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 11 1 12 2 2j t j tX X X e d X e d
= F , (6.82)
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 212 X X x t x t
= F . (6.83)
Primjer 6.8:
Odrediti Furijeovu transformaciju kosinusoide uestanosti 00
2T = ,
amplitudno modulisane sa trougaonim impulsom jedinine amplitude
i trajanja od T do T . Vrijedi da je 0 4
TT = .
Rjeenje:
Oznaimo sa ( )1x t trougaoni impuls prikazan na Slici 6.15(a).
Amplitudnom modulacijom kosinusoide sa trougaonim impulsom
dobijamo:
( ) ( )1 0cosx t x t t= . (6.84) Na osnovu pravila konvolucije u
frekvencijskom domenu dobijamo:
( ) ( ) { }( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 0
1 0 0
1 0 1 0
1 cos21
21 1 ,2 2
X X t
X
X X
= =
= + + = = + +
F
(6.85)
gdje je ( ) ( )x t X , a ( ) ( ) 21 1 sinc 2Tx t X T = .
Postupak je ilustrovan na
Slici 6.15, a konaan analitiki izraz dat sa:
( ) ( ) ( )0 02 2sinc sinc2 2 2 2
T TT TX +
= + . (6.86)
-
GLLAVA
17
(a) (b (c)
A 6
74
)
b)
)
Sllikaa 6.15 (ama) Tmod
Trouduli
ugaisan
aonna k
ni imkos
mpusinu
uls;usoi
(b)ida
) ko.
osinnusoidda i (c) ammpliituddnoo
-
Sliika 6.15 (d)(e)tra
) Fu Fu
ansf
urijurijeform
eoveovma
va tva tcija
trantrana am
nsfonsfompl
ormormlitud
macimacidno
ija tija ko m
trokos
mod
ugasinuduli
aonusosan
nogide
ne k
ime i (fkosi
Fu
mpulf) Finu
rije
lsa;Furiusoi
ova
; ijeode.
a tra
ova
ans
form
1
mac
175
(d)
(e)
(f)
cija
-
GLAVA 6
176
6.4.8 Deriviranje u vremenskom domenu
Ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X , tada je: ( ) (
)dx t j X
dt . (6.87)
Ako u vremenskom domenu deriviramo signal, to e u frekvencijskom
domenu, zbog mnoenja sa j , dovesti do naglaavanja
visokofrekvencijskih komponenti signala.
Dokaz:
Izrazimo signal ( )x t preko inverzne Furijeove transformacije,
pa potraimo njegov izvod:
( ) ( )1 12 2
j t j tdx d X e d j X e ddt dt
= = . (6.88)
Dobijeni izraz je inverzna Furijeova transformacija od ( )j X ,
te je:
( ) ( )dx t j Xdt
. (6.89)
Ponavljajui postupak n puta, dobijamo da je:
( ) ( ) ( )n
nn
d x tj X
dt . (6.90)
Primjer 6.9:
Odrediti Furijeovu transformaciju jedinine odskone funkcije.
Rjeenje: Izmeu funkcije znaka:
-
Furijeova transformacija
177
( )1, 0
sgn 0, 01, 0
tt t
t
(6.91)
i Hevisajdove funkcije:
( )0, 01 , 021, 0
h
t
u t t
t
(6.92)
postoji sljedea veza:
( ) ( )1 1sgn2 2h
t u t= . (6.93)
Prvi izvod funkcije ( )1 sgn2
t jednak je prvom izvodu funkcije ( )hu t :
( ) ( ) ( ) ( )1 1sgn2 2
hh
du td dt u t tdt dt dt
= = = . (6.94)
Znajui da Dirakova funkcija kao transformacioni par ima
konstantu vrijednosti jedan, dobijamo Furijeovu transformaciju
izvoda funkcije znaka i Furijeovu transformaciju izvoda funkcije (
)hu t :
( )1 sgn 12
hdud tdt dt
= = F F . (6.95)
Koristei osobinu deriviranja u vremenskom domenu dobijamo:
( ) ( ){ }1 sgn 12 h
j t j u t = = F F . (6.96)
Da bismo dobili Furijeove transformacije funkcije znaka i
funkcije ( )hu t , trebamo prethodnu jednakost podijeliti sa j .
Kako poprima vrijednosti od do , spektar signala koji se dobije
dijeljenjem sa j vaei je za sve uestanosti osim za 0 = .
-
GLAVA 6
178
Vrijednost spektra za 0 = nosi informaciju o jednosmjernoj
komponenti sadranoj u signalu. Za funkciju znaka vrijednost
Furijeove transformacije za
0 = je jednaka nuli:
( ){ } ( ) 000
0
sgn sgn 1 1 0j tt t e dt dt dt
=
= = + = F , (6.97) to znai da u funkciji znaka nije sadrana
jednosmjerna komponenta, dok funkcija ( )hu t ima jednosmjernu
komponentu jer njena Furijeova transformacija u nuli ima beskonanu
vrijednost:
( ){ } ( )0
0
00 0 0
1 1 12
j th hu t u t e dt dt dt dt
+
+ +
=
= = + = F . (6.98) Koristei vezu:
( ) ( )1 1sgn2 2h
u t t= + , (6.99)
dobijamo Furijeovu transformaciju funkcije ( )hu t :
( ){ } ( ) ( )1 1 1sgn2 2h
u t tj
= + = + F F . (6.100)
Vrijednost jedininog odskonog signala:
( ) 0, 01, 0
tu t
t , (6.101)
u nuli nije definisana. Ovaj signal moe da se od funkcije ( )hu
t razlikuje samo u 0t = . Ta razlika ne utie na vrijednost
Furijeovog integrala, te je Furijeova transformacija jedininog
odskonog signala ( )u t jednaka Furijeovoj transformaciji
Hevisajdove funkcije ( )hu t :
( ) ( )1u tj
+
. (6.102)
-
Furijeova transformacija
179
Napomenimo da se prilikom odreivanja inverzne Furijeove
transformacije iz ( )1
j+
na osnovu (6.20) uvijek rekonstruie Hevisajdova funkcija
( )hu t .
6.4.9 Deriviranje u frekvencijskom domenu
Deriviranju u frekvencijskom domenu odgovara mnoenje sa
nezavisnom varijablom t u vremenskom domenu. Ako postoji
transformacioni par
( ) ( )x t X , tada je: ( ) ( )dXtx t j
d
. (6.103)
Dokaz: Deriviranjem izraza za Furijeovu transformaciju po :
( ) ( )j t dx t e dt Xd
= (6.104)
dobijamo:
( ) ( )j t dXj tx t e dtd
=
, (6.105) te je:
( ) ( )dXtx t jd
. (6.106)
Deriviranjem n puta dobijamo transformacioni par:
( ) ( )n
n nn
d Xt x t j
d
. (6.107)
-
GLAVA 6
180
6.4.10 Integraljenje u vremenskom domenu
Integraljenju u vremenskom domenu odgovara dijeljenje u
frekvencijskom domenu sa nezavisnom varijablom , zbog ega dolazi do
naglaavanja niskofrekvencijskih komponenti signala. Ukoliko
originalni signal ima jednosmjernu komponentu, u spektru
integraljenog signala pojavljuje se Dirakov impuls jaine udara (
)0X . Ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X , tada vrijedi
da je: ( ) ( ) ( ) ( )1 0
t
x d X Xj
+ . (6.108)
Dokaz:
Znamo da je Furijeova transformacija Hevisajdove funkcije (
)1j
+
.
Konvolucija proizvoljnog signala ( )x t i Hevisajdove funkcije (
)u t je data sa:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t
x t u t x u t d x d
= = . (6.109) Furijeova transformacija prethodnog izraza, uz
korienje osobine
konvolucije u vremenskom domenu, daje:
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
0 .
t
x d x t u t Xj
XX
j
= = + =
= +
F F (6.110)
-
Furijeova transformacija
181
6.4.11 Integraljenje u frekvencijskom domenu
Ako postoji transformacioni par ( ) ( )x t X , onda vrijedi da
je: ( ) ( ) ( ) ( )1 0x t x t X d
jt
+ . (6.111)
Dokaz: Na osnovu pravila simetrije i poznatog transformacionog
para:
( ) ( )1u tj
+
(6.112 )
dobijamo:
( ) ( )1 2t ujt
+ . (6.113)
Inverzna Furijeova transformacija konvolucije proizvoljnog
signala ( )X i reflektovane Hevisajdove funkcije ( )u u
frekvencijskom domenu, jednaka je umnoku njihovih pojedinanih
inverznih Furijeovih transformacija i faktora 2 :
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 02
x tX u x t t x t
jt jt
= + = + F . (6.114)
S druge strane, konvolucioni integral proizvoljnog signala ( )X
i reflektovane Hevisajdove funkcije ( )u u frekvencijskom domenu,
zbog antikauzalnosti reflektovane Hevisajdove funkcije, razliit je
od nule samo u granicama od do :
( ) ( ) ( )X u X d
= . (6.115)
-
GLAVA 6
182
Na osnovu dvije posljednje relacije zakljuujemo da je:
( ) ( ) ( ) ( )1 0x tX d x tjt
= + F . (6.116)
U Tabeli 6.1 je dat zbirni prikaz osobina Furijeove
transformacije.
6.5 Furijeova transformacija periodinih signala Do sada smo za
predstavu periodinih signala preko elementarnih kompleksnih
eksponencijalnih (prostoperiodinih) komponenti koristili razvoj
signala u Furijeov red. Osnovna karakteristika spektra periodinih
signala koja ga razlikuje od spektra neperiodinih signala je
njegova diskretnost, odnosno konane razlike frekvencija spektralnih
komponenti. Analizirajui osobine Furijeove transformacije
primijetili smo da se u spektru konstante, sinusne i kosinusne
funkcije pojavljuju Dirakovi impulsi. Sada emo razmatranje uoptiti
i pokazati da se Furijeova transformacija moe koristiti i za
spektralnu analizu periodinih signala. U tu svrhu prvo emo
prikazati periodian signal preko Furijeovog reda, a zatim pronai
Furijeovu transformaciju tog signala. Kompleksni oblik Furijeovog
reda je oblika:
( ) 0jk tkk
x t C e
=
= (6.117 ) sa koeficijentima:
( ) 000
1 jk tk
T
C x t e dtT
= . (6.118)
-
Furijeova transformacija
183
Tabela 6.1. Osobine Furijeove transformacije.
Osobina ( )x t ( )X Simetrija ( )X t ( )2 x Linearnost ( ) ( )1
2 , , .ax t bx t a b+ ( ) ( )1 2aX bX + Pomak u vremenskom domenu (
)0x t t ( )0
j te X
Pomak u frekvencijskom domenu ( ) 0
j tx t e ( )0X
Skaliranje ( ) ,x at a 1 Xa a
Konvolucija u vremenskom domenu ( ) ( )1 2x t x t ( ) ( )1 2X
X
Konvolucija u frekvencijskom domenu ( ) ( )1 2x t x t ( ) ( )1
2
12X X
Deriviranje u vremenskom domenu
( )dx tdt
( )j X
Deriviranje u frekvencijskom domenu ( )tx t
( )dXjd
Integraljenje u vremenskom domenu ( )
t
x d
( ) ( ) ( )1 0X Xj + Integraljenje u frekvencijskom domenu ( ) (
) ( )
1 0x t x tjt
+ ( )X d
-
GLAVA 6
184
Furijeovom transformacijom signala ( )x t dobijamo:
( ){ } { } ( )0 0 02jk t jk tk k kk k k
x t C e C e C k
= = =
= = = F F F .(6.119)
Furijeova transformacija periodinog signala je niz Dirakovih
impulsa na uestanostima 0k za koje se inae rauna Furijeov red tog
signala. Za ostale uestanosti taj spektar je jednak nuli, te kaemo
da ima diskretnu prirodu. Svaki Dirakov impuls ( )02 k u poslednjem
izrazu zapravo je Furijeova transformacija jedne kompleksne
prostoperiodine komponente 0jk te , dobijen na osnovu osobine
pomaka u frekvencijskom domenu.
Dakle, pri traenju Furijeove transformacije periodinog signala,
neophodno je pronai koeficijente Furijeovog reda tog signala. Tada
je: ( ){ } ( )02k
kx t C k
=
= F . (6.120) Odreivanje koeficijenata Furijeovog reda pri
traenju Furijeove
transformacije periodinih signala se moe izbjei. Naime, svaki
periodian signal ( )x t perioda 0T moemo posmatrati kao rezultat
konvolucije neperiodinog signala ( )x t koji je na osnovnom periodu
jednak periodinom signalu:
( ) ( )0 0, ,
2 20,
T Tx t tx t
inae
=
, (6.121)
sa povorkom Dirakovih impulsa:
( ) ( )0k
t t kT
=
= . (6.122) Dakle,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0* *k k
x t x t t x t t kT x t kT
= =
= = = . (6.123)
-
Furijeova transformacija
185
Koristei osobinu konvolucije u vremenskom domenu, Furijeova
transformacija periodinog signala jednaka je proizvodu Furijeove
transformacije signala ( )x t i Furijeove transformacije povorke
Dirakovih impulsa ( )t : ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }*x t x t t X t
= = F F F . (6.124) Prvo emo odrediti koeficijente Furijeovog reda
i pronai Furijeovu transformaciju povorke Dirakovih impulsa:
( ) ( )0 0
0 0
0 0
2 2
0 0 02 2
1 1 1T T
jk t jk tk
T T
C t e dt t e dtT T T
= = = , (6.125)
( ){ } ( ) ( )
( ) ( )0 0
0
0 0
22
.
kk k
k
t C k kT
k
= =
=
= = =
= =
F
(6.126)
Furijeova transformacija povorke Dirakovih impulsa prikazana je
na Slici 6.16.
Primjenjujui osobinu odabiranja Dirakove funkcije u
frekvencijskom domenu: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0X k X k k = (6.127) iz
(6.133) i (6.135) dobijamo Furijeovu transformaciju periodinog
signala: ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0
k kx t X k X k k
= =
= = F . (6.128)
-
GLLAVA
18
(a) (b
Pr
6.
A 6
86
)
b)
Sl
rim
O17,
lika
mjer
Odrepri
6.1
6.1
editi e
16
10:
ti Femu
(a)F
Furiu je
) SiFuri
jeoe 0T
ignaijeo
vu 4=
Slik
al uova
tra4T
ka 6
u obtra
ansf.
6.17
bliknsf
form
7
ku pform
mac
Pov
povmac
ciju
vor
vorkcija
u po
rka
ke Da.
ovo
tro
Dir
orke
oug
rako
e tr
gaon
ovih
oug
nih
h im
gao
im
mpu
onih
mpul
ulsa
h im
lsa.
a i
mpu
(b)
ulsa
nje
a da
ego
atih
va
h naa Sli
ici
-
Furijeova transformacija
187
Rjeenje: Postupak odreivanja Furijeove transformacije povorke
trougaonih
impulsa prikazan je na Slici 6.18. Prvo izdvajamo jedan period
periodinog signala ( )x t i formiramo signal ( )x t . Furijeova
transformacija neperiodinog signala ( )x t je ( ) 2sinc
2TX AT = . Periodian signal ( )x t u vremenskom
domenu moemo dobiti konvolucijom signala ( )x t i povorke
Dirakovih impulsa ( )t , emu u domenu Furijeove transformacije
odgovara mnoenje, tako da je:
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( )
( )
20
0
20
2sinc2
sinc .2 4
s
k
k
X x t x t t
TAT kT
A k k
=
=
= = =
= =
=
F F
(6.129)
-
GLLAVA
18
(a) (b (c)
Sli
A 6
88
)
b)
)
ika 6.118 O(vD
drevrem
Dirak
eivmenkov
vannskvih
je Fki do
im
Furompul
rijeomen)
lsa
ove): (ai (c
e traa) jec) p
ansedaovo
foran trork
rmarou
ka tr
acijeugaorou
e pooni
ugao
ovoi imonih
orkempu
h im
e truls; mp
rou(b) uls
gaopoa.
onihovor
h imrka
mpua
ulsa
a
-
Sllika
a 6.18 O(ftrDtr
Odrefrekrou
Dirarou
eivkveugaoakougao
vanenciono
ovihonih
nje ijskog ih imh im
Furki doimp
mpumpu
rijeompulsulsaulsa
eovemen)
sa; a i (fa.
e tr): (d(e) f) F
ransd) FFur
Furi
sforFuririjeijeo
rmaijeo
eovaova
acijova a trtra
je ptra
ransansf
povansfsforform
vorkformrmama
Fur
ke tmaacijcija
rijeo
troucijaja pa po
ova
ugaa jepovovo
a tra
onidno
vorkorke
ansf
ih imog ke e
form
mp
mac
1
puls
cija
189
(d)
(e)
(f)
sa
-
GLAVA 6
190
6.6 Parsevalova teorema za kontinualne neperiodine signale
Posmatrajmo neperiodine signale koji imaju konanu energiju datu
sa: ( ) 2xW x t dt
= . (6.130) Koristei izraz za sintezu signala:
( ) ( )12
j tx t X e d
= (6.131) i njegov konjugovano kompleksni oblik:
( ) ( )* *12
j tx t X e d
= , (6.132) pokazaemo da energiju signala moemo raunati i u
transformacionom domenu:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
* *
*
2*
12
12
1 1 .2 2
j tx
j t
W x t x t dt x t X e d dt
X x t e dt d
X X d X d
= = =
= = = =
(6.133)
Parsevalova teorema za neperiodine kontinualne signale: ( ) ( )2
21
2xW x t dt X d
= = (6.134) nam kae da energiju signala moemo raunati i u
frekvencijskom domenu. Funkcija ( ) 2X se u literaturi naziva
spektralna gustina energije, gustina energetskog spektra ili kratko
energetski spektar signala. Primjer grafike predstave energetskog
spektra dat je na Slici 6.19.
-
sp
k
P
t
en
Di i
Zpek
Eore
Pri t
to j
X
Zner
Dakiz n
Za ktar
Eneelac
F
tom
e la
*X
Zaklrget
kle, njih
rear pa
rgecijom
{F
me s
ako
(
ljutsko
auth ni
S
alnearna
etskm s
(x t
smo
o po
) ==
ujeog s
tokoje m
Slik
e sia fu
ki ssign
)t
o ko
okaz
x
F
emospe
oremog
ka 6
ignaunk
speknala
(x
oris
zati
({*x t
xF
o dektr
elacgu
6.19
ale kcija
ktara. P
( )}t
stili
i:
)(*t e
da jra si
ija e r
9 E
vra.
r siPotr
X
=
=
F
i da
)}j t d
t
e Fign
i enreko
Ene
rijed
ignrai
{(*X
F
a je:
}.t
dt
Furiala:
F
nergons
erg
di
nala mo
{( )
*x
:
*x
ijeo:
{RFgetstru
gets
X
jeo Fu
()t
X
( t
=
ova
xxR
skiuisat
ki s
(
prurij
)(t
)t
x
tra
( )tspeti o
spek
) 2
rekoeov
().x t
X
(*x
ans
} =ekt
origi
kta
2=
o Fvu t
)}t =
(*X
for
X
ar sgina
r pr
(X
Furtran
=F
)
)e
rma
(signalni
rav
( )
rijeonsfo
{F
,
j d
acija
) 2 .nalasig
voug
) 2 ,
oveorm
(*x
d
a au
.
a nognal
gao
t
e trmac
( )t
=
uto
osel.
ono
to z
ransciju
)}
*x
oko
ist
Fur
og im
zna
sfoaut
F
( t
rela
tu in
rijeo
mp
ai
rmtok
({xF
)t e
acij
nfo
ova
puls
da
macijkore
( )}t
j te
e je
orm
a tra
a.
je
je pelac
} =
t dt
edn
maci
ansf
e en
povcije:
=
nak
iju o
form
nerg
vez:
(6
(6
(6
a g
(6
o si
mac
1
get
an
6.13
6.13
6.13
gust
6.13
igna
cija
191
tski
sa
35)
36)
37)
tini
38)
alu
-
GLAVA 6
192
6.7 Odmjeravanje signala
Ako se radi digitalna obrada kontinualnih signala, signalu je
potrebno pridruiti niz brojeva koji odgovaraju njegovim
vrijednostima u odabranim trenucima vremena. Taj postupak, koji
nazivamo analogno/digitalna konverzija ili kratko digitalizacija,
se sastoji od dva koraka. Prvo se vri odmjeravanje signala tako to
se uzimaju uzorci signala u odabranim vremenskim trenucima. Zatim
se vrijednosti tako dobijenih odmjeraka signala kvantuju i
dodjeljuje im se brojna vrijednost iz konanog skupa brojeva. U ovom
poglavlju emo se baviti uticajem odmjeravanja na spektralne
karakteristike signala.
Odmjeravanje signala emo matematiki modelirati mnoenjem signala
sa povorkom Dirakovih impulsa:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sk k
x t x t t x t t k t x k t t k t
= =
= = = . (6.139) Signal koji nastaje procesom odmjeravanja,
nazvaemo odmjereni signal.
Potrebno je naglasiti da je odmjereni signal kontinualna
funkcija, jer su njegove vrijednosti poznate u svakom trenutku
vremena. Odmjereni signal je zapravo povorka Dirakovih impulsa u
trenucima odabiranja t k t= , ije su jaine udara jednake
vrijednostima signala u tim vremenskim trenucima. Za ostale
vrijednosti vremenske nezavisne varijable odmjereni signal jednak
je nuli.
Furijeova transformacija odmjerenog signala je:
( ){ } ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }12sx t x t t x t t = = F F F F ,
(6.140) ( ){ } ( ) ( )1
2s s skx t X k
=
= F , (6.141)
( ){ } ( ) ( )1 2,s s s sk
x t X X kt t
=
= = = F . (6.142)
Primjeujemo da se spektar odmjerenog signala periodino ponavlja
sa periodom koji je jednak uestanosti odmjeravanja:
2s t =
. (6.143)
-
Furijeova transformacija
193
Osnovni cilj prilikom odmjeravanja signala je da se sauva to vie
informacija sadranih u signalu, kako bi se na osnovu odmjeraka
mogao to bolje rekonstruisati originalni kontinualni signal. Na
osnovu teorije razvoja signala preko ortogonalnih funkcija znamo da
je za idealnu rekonstrukciju signala raunanjem inverzne
transformacije neophodno poznavanje svih spektralnih komponenti
signala, dok je za aproksimaciju signala mogue koristiti ui
frekvencijski opseg, pri emu se dodavanjem visokofrekvencijskih
komponenti smanjuje srednjekvadratna greka pri rekonstrukciji
signala.
Kao posljedica odmjeravanja signala, u frekvencijskom domenu
dolazi do periodinog ponavljanja spektra kontinualnog signala. Pri
tome se moe desiti da se frekvencijske komponente iz jednog perioda
signala preklope sa frekvencijskim komponentama iz drugih perioda.
Tu pojavu nazivamo preklapanje spektra (aliasing). Preklapanje
spektra se moe izbjei ako je spektar kontinualnog signala ogranien.
U praktinim primjenama esto radimo sa signalima za koje moemo
smatrati da imaju ogranien spektar. Vidjeemo da je pod tim uslovom
mogue iz spektra odmjerenog signala izdvojiti spektar kontinualnog
signala, te inverznom Furijeovom transformacijom rekonstruisati
originalni kontinualni signal.
Pretpostavimo da je spektar signala ogranien, tj. da se u
spektru signala ne pojavljuju frekvencijske komponente uestanosti
veih od g . Na Slici 6.20 su prikazana tri karakteristina sluaja
koja ilustruju ta se deava sa spektrom odmjerenog realnog signala
(iji je spektar paran) prilikom promjene uestanosti odmjeravanja. U
prvom sluaju uestanost odmjeravanja je bar dva puta vea od gornje
granine uestanosti g kontinualnog signala, dok je u drugom sluaju
jednaka 2 g . U ova dva sluaja ne dolazi do preklapanja u spektru
odmjerenog signala. Do preklapanja u spektru odmjerenog signala
dolazi kada je uestanost odmjeravanja manja od 2 g . Sa Slike 6.20
je jasno vidljivo da je idealna rekonstrukcija spektra kontinualnog
signala, a samim tim i rekonstrukcija originalnog kontinualnog
signala bez gubitaka, mogua ako je uestanost odmjeravanja dovoljno
velika, tj. u sluajevima kada je 2s g . Ovaj uslov naziva se
Nikvistov kriterij, a uestanost
2s se naziva Nikvistova
uestanost.
-
GLLAVA
19
(a) (b (c)
Sli
A 6
94
)
b)
)
ika 6.220 O
im
str
dm
mpu
ran
mjer
ulsa
nici)
ava
a i (c
);
anje
c) o
e sig
odm
gna
mjer
ala:
ren
(a)
ni si
ko
igna
onti
al,
inua
1t
alni2
=
i sig
1
2
s
gna
(n
al; (
nast
(b) p
tava
pov
ak n
vor
na s
rka
slje
Dir
ederak
oj kovi
ih
-
Sllika
a 6.20 (ntro
nastransdm
tavasfo
mjer
ak)rm
reno
: (dacijog s
d) amja psign
mppovnala
plituvorka,
udnke D
1s
ni spDir
2>
pekrako2 g
ktarovihg (n
r sigh imnast
gnamputava
ala xulsaak n
(x ta i (na
Fur
)t ; ((f) aslje
rijeo
(e) ampede
ova
Furplitoj
a tra
rijetudnstr
ansf
eovani srani
form
a speici);
mac
1
kta;
cija
195
(d)
(e)
(f)
ar
-
GLLAVA
19
(g) (h
Sli
A 6
96
g)
h)
ika 6.220 (n
t
asta
3t =
ava
2=
ak):
3s
(g)
(na
) od
asta
dmj
avak
jere
k n
eni
na sl
sig
ljed
gnal
deo
l,
oj s
2t =
stra
2=
anic2
2
s
ci);
i (hh) oodmmjeerenni siignnal,
-
(i (j
Sl
i)
)
lika
a 6.20 (n
(
nast
(j) a
tava
amp
ak)
plitu
: (i)
udn
) am
ni sp
mpl
pek
litu
ktar
dni
r od
i sp
dmj
pekt
jere
tar
eno
odm
og s
mje
sign
eren
nala
nog
a,
Fur
g sig
3s
rijeo
gna2