Mathematik I-II
Kapitel 3: Differentialrechnung
Prof. Dr. Erich Walter Farkas
http://www.math.ethz.ch/∼farkas
HS 2020 - FS 2021
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Inhaltsangabe
1. Einfuhrung
2. Ableitung elementarer Funktionen
3. Ableitungsregeln
4. Ableitung der Umkehrfunktion
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Literatur
Lothar Papula
Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1
Ein Lehr- und Arbeitsbuch fur das Grundstudium
14. Auflage, Springer Verlag
Seiten 323-347
Seiten 414-418 (Ubungsaufgaben mit Losungen im Anhang)
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Einfuhrung
Einfuhrung
Problemstellung: Das Tangentenproblem.
x
y
x0 x
s(x)
·α
f (x)− f (x0) = ∆y
f (x)
Tangente t
x − x0 = ∆x
Was ist die Steigung der Sekante s? Die Steigung ist gegeben durch
tan(α) =∆y
∆x=
f (x)− f (x0)
x − x0.
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Einfuhrung
Doch was ist die Steigung in einem Punkt x0?
B Wir lassen x → x0 streben, dadurch strebt die Abszissendifferenz
gegen Null, das heisst x − x0 = ∆x → 0.
B Tangentensteigung m im Punkt (x0, f (x0)) ist also gegeben durch
m = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0.
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Einfuhrung
Definition. Sei X ⊂ R, f : X → R eine Funktion und x0 ∈ X . Dann heisst
f differenzierbar oder ableitbar in x0, falls der Grenzwert
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0
existiert und endlich ist.
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Einfuhrung
Bemerkung.
B Diesen Grenzwert schreibt man als f ′(x0) und bezeichnet ihn als
1. Ableitung (oder einfach Ableitung) von f in x0.
B Den Vorgang die Ableitung zu berechnen, nennt man differenzieren
oder ableiten.
B Wenn wir die Grenzwerte in allen Punkten x ∈ X berechnen konnen,
erhalten wir wiederum eine Funktion auf X , die erste Ableitung
f ′ : X → R.
B Analog zur Stetigkeit gibt es Begriffe wie links-differenzierbar
beziehungsweise rechts-differenzierbar in x0.
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Einfuhrung
B Es gibt verschiedene Notation fur Ableitungen,
f ′(x0) =( d
dxf)
(x0) =df
dx(x0) .
Die erste Notation f ′ ist gebrauchlich, wenn die Funktion f nur ein
Argument annimmt. Die andern beiden Notationen deuten an, dass
wir nach x ableiten.
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Einfuhrung
Beispiel. Wir berechnen die Ableitung von f (x) = x2 an der Stelle x0 = 2
als
L = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
x→2
f (x)− f (2)
x − 2= lim
x→2
x2 − 4
x − 2
= limx→2
(x − 2)(x + 2)
x − 2= lim
x→2(x + 2) = 4 .
Somit ist f differenzierbar in x0 = 2 und es gilt f ′(2) = L = 4.
Daraus folgt auch die Tangentengleichung im Punkt (2, 4) als
y = −4 + 4x .
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Einfuhrung
Bemerkung.
B Falls f in x0 nicht stetig ist, folgt, dass f in x0 nicht differenzierbar ist.
B Es gibt aber Punkte x0, in denen f stetig ist und trotzdem nicht
differenzierbar.
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Einfuhrung
Beispiel. Wir betrachten den Absolutbetrag als Beispiel einer stetigen,
aber nicht differenzierbaren Funktion,
f (x) = |x | =
x x ≥ 0 ,
−x x < 0 .
Abbildung 1: Der Graph des Absolutbetrags x 7→ |x |.
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Einfuhrung
Ist f stetig in x0 = 0? Die Antwort ist ja, denn
limx→0x<0
f (x) = limx→0x<0
(−x) = 0 ,
limx→0x>0
f (x) = limx→0x>0
x = 0 .
Der Grenzwert limx→0
f (x) existiert, da die Grenzwerte von links und von
rechts ubereinstimmen und es gilt auch limx→0
f (x) = 0 = f (0), also ist f
stetig in x0 = 0.
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Einfuhrung
Doch ist f auch ableitbar? Die Antwort ist nein, denn die Ableitung von
links ist
limx→0x<0
f (x)− f (0)
x − 0= lim
x→0x<0
−x − 0
x − 0= − lim
x→0x<0
x
x= −1.
Die Ableitung von rechts ist
limx→0x>0
f (x)− f (0)
x − 0= lim
x→0x>0
x − 0
x − 0= lim
x→0x>0
x
x= 1.
Der Grenzwert limx→0
f (x)−f (0)x−0 existiert nicht, da die Grenzwerte von links
und von rechts nicht ubereinstimmen.
Somit ist f nicht differenzierbar in x0 = 0.
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Ableitung elementarer Funktionen
Ableitung elementarer Funktionen
Eine kurze Ubersicht 1. Ableitungen elementarer Funktionen.
Funktion f (x) Ableitung f ′(x)
Konstante Funktion c ∈ R 0
Potenzfunktion xn (n ∈ R fest) n · xn−1
Wurzelfunktion√x 1
2√x
Ubung. Beweisen Sie die Ableitung der Wurzelfunktion aus der Ableitung
der Potenzfunktion.
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Ableitung elementarer Funktionen
Trigonom. Funktion f (x) Ableitung f ′(x)
Sinus sin x cos x
Kosinus cos x − sin x
Tangens tan x 1cos2 x
Kotangens cot x − 1sin2 x
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Ableitung elementarer Funktionen
Funktion f (x) Ableitung f ′(x)
Exponentialfunktion ex ex
ax (ln a) · ax
Logarithmusfunktion ln x = log x 1x
loga x1
(ln a)·x
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Herleitung der Potenzregel
Behauptung. Die Ableitung von f : R→ R mit x 7→ xn, n ∈ N ist
gegeben durch
d
dx(xn) = n · xn−1 .
Beweis. Sei h > 0, wir berechnen
∆f
h=
f (x + h)− f (x)
h=
(x + h)n − xn
h
=xn +
(n1
)xn−1 · h +
(n2
)xn−2 · h2 + . . .+ hn − xn
h
=
(n1
)xn−1 · h +
(n2
)xn−2 · h2 + . . .+ hn
h
=
(n
1
)xn−1 +
(n
2
)xn−2 · h + . . .+ hn−1 .
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Herleitung der Potenzregel
Nun bilden wir den Grenzwert,
d
dx(xn) = lim
h→0
[(n
1
)xn−1 +
(n
2
)xn−2 · h + . . .+ hn−1
]=
(n
1
)xn−1 = n · xn−1 .
Damit ist die Potenzregel fur positiv-ganzzahlige Exponenten
bewiesen.
Die Potenzregel gilt aber auch fur beliebige reelle Exponenten, dazu geben
wir hier keinen Beweis.
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Ableitung elementarer Funktionen
Beispiel.
B (x2)′ = 2x ,
B (x3)′ = 3x2,
B (x4)′ = 4x3,
B (x23 )′ = 2
3 · x− 1
3 ,
B 1√x
= x−12 =⇒ (x−
12 )′ = −1
2 · x− 3
2 .
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Ableitung elementarer Funktionen
Ubung. Berechnen Sie die Ableitungen von
B a(x) =∑N
n=0 anxn,
B b(x) = sin(x) + cos(x),
B c(x) =√x2 + 1,
B d(x) = x · eax .
Fur die vorletzte Ubung benutzen Sie die Kettenregel, fur die letzte
benutzen Sie die Ketten- und Produktregel, die auf den nachsten Slides
erklart werden.
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Ableitungsregeln
Ableitungsregeln
Faktorregel.
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten,
f (x) = c · g(x) =⇒ f ′(x) = c · g ′(x) fur alle c ∈ R .
Beweis. Wir berechnen
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)
h= lim
h→0
c · g(x + h)− c · g(x)
h
= limh→0
c · g(x + h)− g(x)
h= c · lim
h→0
g(x + h)− g(x)
h
= c · g ′(x) .
Damit ware die Faktorregel bewiesen.
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Ableitungsregeln
Summenregel.
Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert
werden,
f (x) = g(x) + h(x) =⇒ f ′(x) = g ′(x) + h′(x) .
Beispiel.
B (sin x + ex)′ = (sin x)′ + (ex)′ = cos x + ex .
B (x32 − log x)′ = (x
32 )′ − (log x)′ = 3
2
√x − 1
x .
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Ableitungsregeln
Produktregel.
Die Ableitung der in der Produktform f (x) = g(x) · h(x) darstellbaren
Funktion erhalt man nach der Produktregel,
f ′(x) = (g(x) · h(x))′ = g ′(x) · h(x) + g(x) · h′(x) .
Beispiel.
B (ex · sin x)′ = (ex)′ sin x + ex(sin x)′ = ex sin x + ex cos x .
B (x2 · ln x)′ = (x2)′ ln x + x2(ln x)′ = 2x ln x + x2 · 1x = 2x ln x + x .
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Ableitungsregeln
Quotientenregel.
Die Ableitung einer Funktion, die als Quotient zweier Funktionen g(x) und
h(x) in der Form f (x) = g(x)h(x) darstellbar ist, erhalt man nach der
Quotientenregel,
f ′(x) =
(g(x)
h(x)
)′=
g ′(x) · h(x)− g(x) · h′(x)
(h(x))2.
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Ableitungsregeln
Beispiel. Betrachten wir die Funktion f : R→ R gegeben durch
f (x) = x3+2x−1ex+2x4
. Die Ableitung konnen wir mit der Quotientenregel
berechnen,
f ′(x) =(x3 + 2x − 1)′ · (ex + 2x4)− (x3 + 2x − 1) · (ex + 2x4)′
(ex + 2x4)2
=(3x2 + 2)(ex + 2x4)− (x3 + 2x − 1)(ex + 8x3)
(ex + 2x4)2.
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Ableitungsregeln
Beispiel. Betrachten wir die Tangensfunktion. Die Ableitung berechnen
wir als
(tan x)′ =
(sin x
cos x
)′=
(sin x)′ cos x − sin x(cos x)′
(cos x)2
=cos x cos x − sin x(− sin x)
(cos x)2
=(cos x)2 + (sin x)2
(cos x)2=
1
(cos x)2,
wobei wir (cos x)2 + (sin x)2 = 1 benutzt haben.
Ubung. Beweisen Sie die Identitat (cos x)2 + (sin x)2 = 1. Malen Sie sich
dazu ein rechtwinkliges Dreieck und schreiben Sie den Sinus und Kosinus
von einem der beiden nicht rechten Winkeln in Form Gegenkathete /
Hypotenuse beziehungsweise Ankathete / Hypotenuse. Dann benutzen Sie
den Satz des Pythagoras.
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Ableitungsregeln
Spezialfall. Wir betrachten den Spezialfall, wenn der Zahler konstant
gleich 1 ist,
(1
g(x)
)′= − g ′(x)
g(x)2.
Mit f (x) = 1 folgt f ′(x) = 0 und daher(1
g(x)
)′=
(f (x)
g(x)
)′=
f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)
(g(x))2=−1 · g ′(x)
(g(x))2.
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Ableitungsregeln
Beispiel. Betrachten wir g(x) = x32 + ex . Die Ableitung berechnen wir als(
1
g(x)
)′= − g ′(x)
(g(x))2= − (x
32 + ex)′
(x32 + ex)2
= −32x
12 + ex
(x32 + ex)2
.
Betrachten wir nun g(x) = x , dann ist die Ableitung gegeben durch(1
x
)′=
(1
g(x)
)′= − g ′(x)
(g(x))2= −(x)′
x2= − 1
x2.
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Ableitungsregeln: Kettenregel
Kettenregel.
Die Ableitung einer verknupften (zusammengesetzten, verketteten)
Funktion f = (g ◦ h) mit x 7→ f (x) = (g ◦ h)(x) = g(h(x)) erhalt man als
Produkt aus der ausseren und der inneren Ableitung,
f ′(x) = (g(h(x)))′ = g ′(h(x)) · h′(x) ,
oder kurz, ohne Argumente,
f ′ = (g ′ ◦ h) · h′ .
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Ableitungsregeln: Kettenregel
In der Physik schreibt man auch gerne
df
dx(x) =
dg
dy(h(x)) · dh
dx(x) ,
wobei hier y 7→ g(y).
Oft wird auch die unabhangige Variable der Funktion g mit dem
Funktionssymbol der inneren Funktion h identifiziert und alle Argumente
werden ausgelassen,
df
dx=
dg
dh· dhdx
.
Vorsicht!! Das sind keine Bruche und man kurzt auch nicht! Wir raten
von dieser “abgekurzten” Notation vorerst ab, um Verwirrungen zu
vermeiden!
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Ableitungsregeln: Kettenregel
Beispiel. Sei h(x) = (ln x)32 . Wir schreiben h(x) = g(f (x)) mit
f (x) = ln x und g(y) = y32 . Die Ableitungen von f und g sind gegeben
durch
g ′(y) =(y
32
)′=
3
2· √y ,
f ′(x) = (ln x)′ =1
x.
Und somit
h′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x) =3√
ln x
2x.
Hinweis (fur praktische Berechnungen). Naturlich mussen wir es nicht
immer separat aufschreiben, sondern konnen es im Kopf rechnen,
h′(x) =(
(ln x)32
)′=
3
2(ln x)
12 · (ln x)′ =
3
2(ln x)
12 · 1
x.
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Ableitungsregeln: Kettenregel
Beispiel. Wir betrachten die Funktion h : R→ R mit h(x) = e(x4+sin x).
Wir substituieren y = x4 + sin x und berechnen
h′(x) = (ey )′ = y ′ · ey = (x4 + sin x)′ · e(x4+sin x)
= (4x3 + cos x)e(x4+sin x) .
Beispiel. Betrachten Sie nun h(x) = sin(2x3 + ex) und substituieren Sie
y = 2x3 + ex . Dann erhalten wir
h′(x) = y ′ · (sin y)′ = y ′ · cos y = (6x2 + ex) cos(2x3 + ex) .
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Ableitungsregeln: Kettenregel
Logarithmische Ableitung.
Was ist die Ableitung von
h(x) = xx oder allgemeiner von f (x)g(x) ?
Achtung! Das ist weder von der Form xn, da n fest sein musste, noch von
der Form ax , da a fest sein musste.
In vielen Fallen, beispielsweise bei Funktionen vom Typ h(x) = f (x)g(x)
mit f (x) > 0, gelingt die Ableitung der Funktion nach dem folgenden
Schema:
1. Logarithmieren der Funktionsgleichung.
2. Differenzieren der logarithmierten Gleichung unter Verwendung der
Kettenregel.
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Ableitungsregeln: Kettenregel
Wir haben h(x) = f (x)g(x). Wir logarithmieren und erhalten somit
ln(h(x)) = ln(f (x)g(x)
)= g(x) ln(f (x)) ,
wobei die letzte Gleichung aus dem Logarithmengesetz fur Potenzen folgt.
Und nun konnen wir schon beiden Seiten der Gleichung mit Hilfe der
Kettenregel und Produktregel ableiten,
(ln h(x))′ = (g(x) · ln f (x))′
1
h(x)· h′(x) = g ′(x) · ln f (x) + g(x) · (ln f (x))′
Nun losen wir nach h′ auf und erhalten
h′(x) = h(x)
(g ′(x) ln f (x) +
g(x)f ′(x)
f (x)
)
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Ableitungsregeln: Kettenregel
Beispiel. Betrachten wir nun wieder h(x) = xx auf R>0.
Wir logarithmieren ln(h(x)) = ln(xx) = x ln(x) und leiten nun beiden
Seiten ab,
h′(x)
h(x)= x ′ · ln(x) + x (ln(x))′
= 1 · ln(x) + x · 1
x= ln(x) + 1 .
Durch Ausmultiplizieren erhalten wir schliesslich
h′(x) = h(x) · (ln(x) + 1) = xx(ln(x) + 1) .
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Ableitungsregeln: Kettenregel
Beispiel (alternativ).
Wir konnten auch folgendermassen umformen,
h(x) = xx = e ln(xx ) = ex ln(x), fur x > 0 .
Dann gilt mit der Kettenregel
h′(x) =(ex ln(x)
)′= ex ln(x)(x ln(x))′
= ex ln(x)(
(x ′ ln(x) + x(ln(x))′)
= ex ln(x)(ln(x) + 1) = xx(ln(x) + 1) .
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Ableitungsregeln: Kettenregel
Ubung. Leiten Sie die Funktion h : R→ R mit h(x) = (cos x)(ex+x2) ab.
Losung.
ln h(x) = (ex + x2) · ln(cos x)
1
h(x)· h′(x) = (ex + x2)′ · ln(cos x) + (ex + x2) · (ln(cos x))′
= (ex + 2x) · ln(cos x) + (ex + x2) · 1
cos x(− sin x) .
Und somit
h′(x) = (cos x)(ex+x2)
[(ex + 2x) ln(cos x)− (ex + x2)
sin x
cos x
].
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Ableitungsregeln: Kettenregel
Ubung. Leiten Sie die Funktion h : R→ R mit h(x) = (cos x)(ex+x2) ab.
Losung.
ln h(x) = (ex + x2) · ln(cos x)
1
h(x)· h′(x) = (ex + x2)′ · ln(cos x) + (ex + x2) · (ln(cos x))′
= (ex + 2x) · ln(cos x) + (ex + x2) · 1
cos x(− sin x) .
Und somit
h′(x) = (cos x)(ex+x2)
[(ex + 2x) ln(cos x)− (ex + x2)
sin x
cos x
].
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Ableitung der Umkehrfunktion
Ableitung der Umkehrfunktion
Sei die Funktion f invertierbar mit Umkehrfunktion f −1.
Dann besteht zwischen den Ableitungen dieser beiden Funktionen der
folgende Zusammenhang. Wenn f ′(x) 6= 0 gilt, dann haben wir an der
Stelle y = f (x),
(f −1)′(y) =1
f ′(f −1(y))=
1
f ′(x).
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Ableitung der Umkehrfunktion
Beispiel.
Betrachten wir f : x 7→ x2 auf R>0.
Zuerst setzen wir f ′(x) in die Formel ein und ersetzen x durch f −1(y),
(f −1)′(y) =1
f ′(x); y = f (x) = x2 (y > 0) ,
(f −1)′(y) =1
2x; y = f (x) = x2 =⇒ x =
√y = f −1(y) (weil x > 0) ,
(f −1)′(y) =1
2√y⇐⇒ (
√y)′ =
1
2√y
(mit y > 0) .
Schliesslich vertauschen wir x und y und sind fertig,
(√x)′ =
1
2√x.
Ubung. Wieso konnen wir x 7→ x2 nicht auf R betrachten? Wo genau
tritt ein Problem auf?39/41
Ableitung der Umkehrfunktion
Beispiel. Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von f : x 7→ ax
auf R mit a > 1.
Wir setzen f ′(x) in die Formel ein und ersetzen x durch f −1(y),
(f −1)′(y) =1
f ′(x); y = f (x) = ax =⇒ x = loga y = f −1(y) ,
(f −1)′(y) =1
ax ln a=
1
y ln a.
Dann vertauschen wir x und y ,
(loga x)′ =1
x ln a.
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Danke fur Ihre Aufmerksamkeit!
Ein spezieller Dank geht an Alexander Smirnow, der eine fruhere Version
dieser Slides aufgebessert und erganzt hat.
Bei Fragen und Verbesserungsvorschlagen schreiben Sie bitte an
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