I Differentialrechnung I.1. Funktionen und ihre Graphen · I Differentialrechnung I.1. Funktionen und ihre Graphen Funktionen sind Zuordnungen, die wie Input-Output-Maschinen funktionieren.

I Differentialrechnung

I.1. Funktionen und ihre Graphen

Funktionen sind Zuordnungen,die wie Input-Output-Maschinenfunktionieren. Diese Idee machtsie zu einem der universellstenund am häufigsten benutztenKonzepte der Mathematik. EinGraph erlaubt es, eine Funktionmit einem Bild darzustellen.

1.1

Funktionen

x y=f(x)Variable Funktionswert

x

y=f(x)

1.2

y

Man sagt, dass ,,y eine Funktionvon x ist" und schreibt ,,y=f(x)",wenn der Wert derveränderlichen Grösse, y, vomWert der anderen variablenGrösse, x, abhängt.

Schreibweise mit Zuordnungspfeil:

Graph:

Def Eine Funktion f ist eine Vorschrift, die jedem Element x aus einer Menge D genau ein Element y aus einer Menge W zuordnet.

DefinitionsbereichWertebereich

Für eine reelle Funktion einerreellen Variable sind D und WTeilmengen von R.

1.3

Oft ist eine Funktion durch eineFormel gegeben und derDefinitionsbereich ist die maximaleTeilmenge von R, für die dieFormel reelle y-Werte liefert.

Menge aller reellen Zahlen

Def Ist f(x), x D, eine reelle Funktion einer reellen Variablen mit dem Definitionsbereich D, so besteht ihr Graph aus den ebenen Punkten mit Koordinaten (x,y), wobei x D und y=f(x).

Der Graph einer Funktion zeigtvisuell ihr Verhalten an.

kennzeichnet "in":"Element x ist in Menge D enthalten"

x

y=f(x)

1.4

1.5

Graphen Diskussion

Definitionsbereich

Wertebereich

Für welche Elemente x ist die Funktion f(x) überhaupt definiert?

Welche Werte y werden von f(x) angenommen?

Eigenschaften und Verlauf einer Funktion

Ist die Funktion (streng) monotonwachsend oder fallend?

Monotonie

Ist die Funktion gerade f(x)=f(-x) d.h. ist der Funktionsgraphachsensymmetrisch zur y-Achse?Oder ist sie ungerade f(x)=-f(-x) d.h. ist der Funktionsgraphpunktsymmetrisch zum Ursprung?

Symmetrieverhalten

Ist die Funktion periodisch?D.h. gibt es eine Zahl T, so dassf(x)=f(x+T) für alle x?Die Zahl T heisst dann eine Periode.

Periodizität

1.6

1.7NullstellenFür welche x ist f(x )=0?

Polstellen (Unendlichkeitsstellen)Für welche x ist lim f(x) unendlich?

0 0

0

FixpunkteFür welche x ist f(x )=x ? 0 0 0

ExtremwerteWo besitzt f (relative/absolute)Maxima und Minima?

StetigkeitDifferenzierbarkeit

siehenächstes Mal

Etc

Asymptote im UnendlichenWas ist das Verhalten von f(x), wenn x nach +/- Unendlich strebt?

Wendepunkte und Sattelpunkte

siehe nächstes Mal

UmkehrfunktionDef Eine Funktion f heisst injektiv (oder linkseindeutig), wenn f(x) = f(x ) => x = x

für alle x und x in ihrem Definitionsbereich.

Falls f injektiv ist, dann gibt eseine Umkehrfunktion oderinverse Funktion f definiert durch:

f(x) = y <=> x = f (y)

f ordnet jedem Wert von f, y=f(x),das zugehörige Argument x zu.

-1

-1

-1

0 0

0

1.8

bedeutet "impliziert"

bedeutet "äquivalent"

1.9

Die Spiegelung des Graphen derFunktion f an der Geraden y=xergibt den Graphen derUmkehrfunktion f .

y=x

y=f (x)

y=f(x)

-1

-1


I.2. Elementare Funktionen

Die elementaren Funktionensind die immer wiederauftauchenden, grundlegendenFunktionen, aus denen sich vieleandere Funktionen bilden lassenund die sich oft als Lösungenreeller Probleme ergeben.

1.10

1.11

Potenzfunktionenax

Basis ist variabel

Exponent ist fest

Der Definitionsbereich hängt vom Exponenten ab.

Polynomfunktionena x +a x +...+a x²+a x+an n-1 2 1 0

n-1n

(n=1,2,3,...)

Wurzelfunktionx D=W= R

Rationale Funktionena x +a x +...+a x²+a x+an n-1 2 1 0

n-1n

b x +b x +...+b x²+b x+bm m-1 2 1 0m-1m

Quotient zweierPolynome

Elementare Funktionen

Exponentialfunktionen

ex e x a =ex x ln a

1.12

Logarithmusfunktionen

ln x log x =a

Hyperbelfunktionen

sinh x = ex e-x

2

ln xln a

cosh x = e e2

x -x

Sinus hyperbolicus

Cosinus hyperbolicus

Basis ist fest

Exponent ist variabel

tanh x = =

coth x = =

Tangens hyperbolicus

Cotangens hyperbolicus

1.13

ex e-x

e ex -xsinh xcosh x

ex

e-xe e

x -x

sinh xcosh x

Trigonometrische Funktionen

sin x cos x

tan x =

cot x = sin xcos xcos xsin x

1.14

Arkusfunktionen(sind die Umkehrfunktionentrigonometrischer Funktionen)

arcsin x D=[-1,1]W=[- , ]2 2

arccos x D=[-1,1]W=[0, ]

arctan x D= RW=(- , )2 2

arccot x D= RW=(0, )

Bogenmass

Das Bogenmass beschreibt dieLänge des entsprechendenKreisbogens vom Radius 1.

Einheitskreis Kreis vom Radius R

Länge =

Länge = R

imBogenmass

imBogenmass

1.15

In der Mathematik I / IIsind die Argumente (Winkel)der trigonometrischen Funktionenstets im Bogenmass gegeben.

Bogenmass Gradmass

360

180

90

60

45

Vollkreis

Halbkreis

rechter Winkel

Winkel in einemgleichseitigen Dreieck

Diagonale in einemQuadrat

1.16


I.3. Grenzwerte

Um momentane Änderungsraten,wie die Geschwindigkeit einesKörpers, zu definieren ist dasKonzept des Grenzwertsgrundlegend.

2.1

Grob gesagt bezeichnetder Grenzwert oder Limeseiner Funktion f(x) an einerbestimmten Stelle x ,

lim f(x) ,

denjenigen Wert L, dem sichdie Funktion in der Umgebungder betrachteten Stelleannähert.

0

Ein solcher Grenzwert existiertjedoch nicht in allen Fällen, auchwenn wir plus und minus Unendlichals Grenzwert L erlauben.

x x0

2.2

Bsp lim x² = 4

Graph:

Bsp lim = 0

Graph:

Bsp lim = +

Graph:

x 01x²

|x|x²

x 0

x 2

2

2.3

4

0

0

Bsp lim existiert nicht

Graph:

Bsp lim existiert nicht

Graph:

Existiert der Grenzwert,so konvergiert die Funktion,andernfalls divergiert sie.

1xx 0

x 0 |x|x

1

-1

2.4

0

Der Grenzwert einer rationalenFunktion, wobei der Grenzwertdes Nenners null ist, z.B.

lim ,

lässt sich manchmal durch dasAusklammern von gemeinsamenFaktoren im Zähler und Nennerberechnen:

2-xx²-5x+6

2-xx²-5x+6

-(x-2)(x-2)(x-3)= -1

x-3=

(für x=2 und x=3)

=> lim = lim = 1.

x 2

2-xx²-5x+6x 2

-1x-3x 2

2.5

Die formale Grenzwertdefinitionmuss man für die verschiedenenFälle unterschiedlich schreiben,wobei die Stelle x und derGrenzwert L eine Zahl oder +/-Unendlich sind. Wir schreibenalle diese Definitionen hier nichtauf, ausser den folgenden Fall.

Wenn beide x und L Zahlensind, hat der Ausdrucklim f(x) = L die folgende formale Definition:

0

0

Für jedes >0 existiert >0, sodass 0<|x-x |< => |f(x)-L|< .

x x0

0

2.6

Ein rechtsseitiger Grenzwert istein Grenzwert, bei dem x nurvon rechts (d.h. x>x ) gegen xgeht:

lim f(x) = lim f(x)x x0 x x0x>x0

0

+

Ähnlich für einen linksseitigenGrenzwert:

lim f(x) = lim f(x)x x0 x x0x<x0

-

x0

2.7

0

Bsp Die Funktion ist für alle x = 0 definiert und lim existiert nicht.

Aber beide einseitigen Grenzwerte existieren:

lim = 1 und

lim = -1.

Graph:

x 0 |x|x

1

-1

|x|x

x 0+

x 0-

2.8


I.4. Stetigkeit und der Zwischenwertsatz

Eine Funktion heisst stetig, wennhinreichend kleine Änderungen inder Variablen nur zu beliebigkleinen Änderungen desFunktionswertes führen.Das heisst insbesondere, dass imFunktionsgraphen keine Sprüngeauftreten.

2.9

Stetigkeitf(x)

Def Eine Funktion f heisst an der Stelle x stetig, falls

lim f(x) = f(x ).

x

Diese Funktion ist bei x und x nicht stetig.0

0

0 x x

0

f heisst stetig, wenn sie anallen Stellen in ihremDefinitonsbereich stetig ist.

2.10

f heisst an einer Randstelle x ihres Definitions-bereiches stetig, wenn der geeignete einseitigeGrenzwert gleich dem Funktionswert f(x ) ist.

0

0

x1

1

ZwischenwertsatzIst eine Funktion f(x) auf einemabgeschlossenen, endlichenIntervall [a,b] stetig, dann gibtes für alle k zwischen f(a) undf(b) ein c [a,b] mit f(c)=k.

eine stetige Funktion f(x) in[a,b] nimmt jeden Wert zwischenf(a) und f(b) mindestens einmal an.

Also:

c

k

a b

f(a)

f(b)

2.11

Nullstellensatz

Ist eine Funktion f(x) auf einemabgeschlossenen, endlichenIntervall [a,b] stetig und habenihre Funktionswerte an denRändern a und b verschiedeneVorzeichen, dann hat f(x)innerhalb von [a,b] mindestenseine Nullstelle.

(Sonderfall k=0 des Zwischenwertsatzes)

ca

bf(a)<0

f(b)>0

2.12


I.5. Ableitungen und ihre Rechenregeln

Ein zentrales Thema derDifferentialrechnung ist dieBerechnung lokaler Veränderungenvon Funktionen. Hierzu dienlich undwichtig ist die Ableitung einerFunktion, deren geometrischeEntsprechung die Tangentensteigungist.

3.1

DifferenzierbarkeitDef f heisst an der Stelle x differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert und endlich ist:

lim .f(x +h)-f(x )

h0

h 0Dann heisst dieser Grenzwertdie (erste) Ableitung von f(x)an der Stelle x , f'(x ).

f'(x ) = limf(x +h)-f(x )

h0

h 0

df0x=xdx=

0

Notationen

0

0

3.2

0

0 0

f(x +h)-f(x )h

0 0 ist die Steigungeiner Sekante

f'(x ) = limf(x +h)-f(x )

h0

h 00

0

ist die Steigung der Tangente anden Funktionsgraphen von f in x .

x0 x +h0

3.3

0

Geometrische Deutung:

f(x )0f(x +h)0

Def Eine Funktion heisst differenzierbar, wenn sie an allen Stellen in ihrem Definitonsbereich differenzierbar ist.

Dann definiert die Kollektion aller

x f'(x )0 0

eine neue Funktion:(erste) Ableitungsfunktion, f'(x).

Wenn f'(x) differenzierbar ist,erhält man die zweite Ableitungs-funktion f"(x), etc.

3.4

Bsp Die Ableitung von f(x)=x² ist nach der Definition:

f'(x ) = lim f(x +h)-f(x )

h0

h 00

0

= lim (x +h)²-(x )²h

0h 0

0

= lim 2x h + h²h

0h 0

= lim 2x + h1

0h 0

= 2x .0

Deshalb gilt ddx x² = 2x.

Konsultiere die Ableitungen andererelementarer Funktionen in der Tabelle.

3.5

Rechenregeln für Ableitungen

Linearitätddx (a f(x) + g(x)) = a f'(x) + g'(x)

Produkt- oder Leibnizregelddx (f(x) g(x)) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Quotientenregelddx

f'(x)g(x)-f(x)g'(x)f(x)g(x) =

(g(x))²

Kettenregel

ddx (f(g(x))) = f'(g(x)) g'(x)

3.6

(Ableitung einer Verkettung)


I.6. Die Kettenregel und erste Folgen

Die Kettenregel ist eine Grundregelder Differentialrechnung und trifftAussagen über die Ableitung einerFunktion, die sich als Verkettungvon zwei differenzierbarenFunktionen darstellen lässt.Wichtig bei ihrer Anwendung ist dieUnterscheidung von ,,innerer" und,,äusserer" Funktion.

3.7

ddx (f(g(x))) = f'(g(x)) g'(x)

Merkregel: ,,die äussere Ableitung (an der richtigen Stelle) mal die innere Ableitung"

Die Kettenregel besagt, dass eineVerkettung zweier differenzierb.Funktionen selbst wiederdifferenzierbar ist und man ihreAbleitung erhält, indem man diebeiden miteinander verkettetenFunktionen separat ableitet und– ausgewertet an den richtigenStellen – miteinander multipliziert.

3.8

3.9

Woher kommt die Kettenregel:

ddx (f(g(x))) = lim

= lim

= lim

f'(y) g'(x)

Sei y=g(x) und y+w=g(x+h).

h 0

f(g(x+h))-f(g(x))h

h 0f(g(x+h))-f(g(x)) g(x+h)-g(x)

hg(x+h)-g(x)

h 0f(y+w)-f(y) g(x+h)-g(x)

hw

Logarithmische DifferentiationSei f(x) eine nicht verschwindene Fkt.Dann gilt

f(x)f'(x)d

dxln |f(x)| =

Das folgt aus der Kettenregel:

Falls f(x) positiv ist, dann gilt

f(x)f'(x)d

dxln f(x) =d

dx ln |f(x)| =

Falls f(x) negativ ist, dann gilt

-f(x)-f'(x)d

dxln -f(x) =d

dx ln |f(x)| =

3.10

Kettenregel

Kettenregel

Anwendung der Kettenregel:

Implizite Differentiation

3.11Anwendung der Kettenregel:

Eine implizite Funktion ist eine Fkt,die nicht explizit durch eine Formel,sondern nur implizit durch eineGleichung gegeben ist.

Bsp Die Gleichung 2x³-y³+5xy = 0 definiert eine implizite Funktion y=y(x) in der Nähe von (x ,y )=(1,-2), d.h., es gibt eine Fkt y(x) definiert in einem Intervall I um x =1, die Folgendes für alle x in I erfüllt: 2x³-(y(x))³+5x y(x) = 0 und y(1)=-2.

0 0

0

Visualisierungder impliziten Funktion:

Die ganze Kurve 2x³-y³+5xy=0ist kein Graph einer Funktion,

aber z.B. der rote Teil ist der Graph einer Funktion y=y(x).

3.12

y

x

Die Ableitung einer impliziten Fktlässt sich mit Hilfe der Kettenregelbestimmen, indem man beide Seitender Gleichung nach x ableitet unddabei y als Fkt von x behandelt.Dann sammelt man alle Terme mit auf einer Seite der Gleichungund löst nach auf.

dydx

ddx

dydx

Bsp (2x³-y³+5xy) = 0

<=> 6x²-3y² +5(y+x ) = 0

<=> (-3y²+5x) = -6x²-5y

<=> = .

ddx

Kettenregel

dydx

dydx

dydx

dydx

6x²+5y3y²-5x

3.13

In (x ,y )=(1,-2): (1)=-0 047

dydx

Sei f(x) eine differenzierbare undumkehrbare Funktion mit f'(x) = 0.Sei g(x)=f (x) ihre Umkehrfunktion.Dann ist g(x) differenzierbar und

g'(y) = f'(g(y))1

Das folgt aus der Kettenregel: f(g(y)) = y für alle Werte y=> f'(g(y)) g'(y) = 1 für alle y=>

Eselsbrücke: dydx 1

dxdy=

g'(y) =f'(g(y))

1

3.14

-1

x=g(y)

Ableitung einer UmkehrfunktionAnwendung der Kettenregel:

Bsp Die Wurzelfunktion g(y)= y ist die Inverse der Funktion f(x)=x² für x>0, d.h.

y = x <=> y = x²für x positiv

Aus f'(x)=2x folgt, dass

g'(y) = f'(g(y))1

2g(y)1

2 y1

=

=

Deshalb ddx x = .2 x

1

3.15

Bsp Die Einschränkung von f(x)=sin x auf dem Intervall [- , ] ist umkehrbar.

2 2

2

2

1

1 -1

-12

2

Die Ableitung der Inversen,g(y)= arcsin y, ist

arcsin y =ddy

1ddx sin x

x=arcsin y

= 1cos x

x=arcsin y

= 11-y²

cos²x+sin²x=1 & x in [ , ] => cos x = 1-(sin x)²

3.16

y22

(y = 1)


I.7. Tangente an einen Funktionsgraphen, Linearisierung und Differentiale

Der Graph einer differenzierbarenFunktion lässt sich linear durch eineTangente annähern.Die entsprechende Annäherung derFunktion heisst Linearisierung undwird angewandt, da lineare Fkt'eng(x)=ax+b umfangreich verstandenund einfach zu berechnen sind.

4.1

Sei f(x) bei x differenzierbar.

Die Tangente an denFunktionsgraphen von f in xist die Gerade durch den Punkt(x ,f(x )) und mit der Steigung

f'(x ) = lim .f(x +h)-f(x )

h0

h 00

0

Tangente

x

y =f(x )0 0

0

0 0

0

Steigung = f'(x )0

4.2

0

Zur Erinnerung: die Tangente lässt sich als Grenzwert von Sekanten betrachten.

=> Tangentengleichung

y = f(x ) + f'(x )(x-x )0 0 0

d.h. y-yx-x = f'(x ) ist die Steigung0

0 0

x0

4.3

Die Normale des Funktionsgraphenbei x ist die Gerade durch (x ,f(x )),die senkrecht zur Tangente verläuft.

Steigung = - 1f'(x )

x

y =f(x )0 0

0

0

0 0 0

=> Gleichung der Normalen y = y - (x-x )

0 0

d.h. y-yx-x =0

0 f'(x )01

1f'(x )0

falls f'(x ) = 0 0

4.4Normale

LinearisierungSei f(x) bei x differenzierbar.Def Die Linearisierung von f bei x ist die lineare Fkt

L(x)=f(x )+f'(x ) (x-x )

xL(x)

Der Graph der Linearisierung in xist die Tangente für f(x) in x .

f(x)

0 0 0

0

0

0

0

Variable Variable

0

4.5

(x ist eine feste Stelle) 0

Die Linearisierung L(x) ist diebeste lineare Näherung fürf(x) in einer Umgebung von x .Wieso?

lim =lim -f'(x ) =0f(x)-L(x)x-x

f(x)-f(x )x-x

0

00 00

AW Sei R (x) = f(x)-L(x) das Restglied (oder der Fehler) dieser Näherung.Wenn x x , strebt das Restgliedschneller nach Null als x-x :

0

0

Die Taylorpolynome liefern noch bessere Näherungen!

1

4.6

*

*AW=Allgemeinwissen & nicht Gegenstand der Prüfung.

4.7

DifferentialeSei y=f(x) eine diff Fkt.Die Leibniz-Schreibweise fürdie Ableitung ist: f'(x)= .

In Anwendungen betrachtetman oft den Nenner ,,dx" alsunabhängige Variable.Dann schreibt man dy=f'(x)dxund nennt dy ein Differential.dy wird auch df geschrieben.

dydx

4.8

Bsp Sei y=x⁷-5x². Dann ist dy = (7x⁶-10x) dx.

Ist x=1 und dx=0.02, dann erhalten wir dy = -0.06.

Wir betrachten dasDifferential dy als eineAbschätzung der Änderungdes Funktionswertes durcheine (infinitesimal kleine)Änderung dx der Variable x.

4.9

Die Änderung der LinearisierungL(x) von f(x) bei x=a durch eineÄnderung x der Variable xverursacht entspricht genau demWert des Differentials df beix=a und dx= x: L = L(a+ x)-L(a) = f'(a) x = f'(a) dx = df.

df steht also für die Grösse, umdie die Tangente steigt oder fällt,wenn x sich um dx verändert.

aL(x)

f(x)

a+dxdx

df


I.8. Taylor-Polynome und Taylor-Reihen

Taylor-Polynome liefern Näherungenfür Funktionen in einer Umgebungeines Punktes, die, aufgrund ihrerrelativ einfachen Anwendbarkeit undNützlichkeit, ein Hilfsmittel in vielenNatur- und Ingenieurwissenschaftengeworden sind.

4.10

Taylorpolynome

Sei f bei x n-mal differenzierbar.

n=1 Das erste Taylorpolynom ist die Linearisierung L(x).

P (x)=f(x )+f'(x ) (x-x )0 0 01

n=2 Das zweite Taylorpolynom ist das folgende quadratische Polynom

P (x)=f(x )+f'(x ) (x-x ) + f"(x ) (x-x )²

0 0 02

0 012

4.11

0

Def Das n-te Taylorpolynom von f in x ist das folgende Polynom n-ten Grades:

P (x)=f(x )+f'(x ) (x-x ) +

+ f"(x ) (x-x )² + ...

... + f (x ) (x-x )

0 0 0n

0 012

1n!

(n)00

Linearisierung

n-te Ableitung

Sonderfall: wenn x = 0 heisst esMacLaurinsches Polynom.

n

P (x)=f(0)+f'(0)x+ f"(0)x²+... ...+ f (0)x

12

1n!

(n) nn

0

4.12

0

Bsp Taylorpolynome von an x =1

P (x) = 2-xP (x) = 3-3x+x²

P (x) = 1

P (x) = 4-6x+4x²-x³

0

1

2

3

04.13

f(x)=1/x

Bsp Maclaurinsche Polynome von sin x

P (x) = P (x) = x-x³/6P (x) = P (x) = x-x³/6 +x⁵/120

P (x) = x

P (x) = P (x) = x- + -

1

3

5

7

4.14

2

4

6x³6

x⁵120

x⁷5040

P (x)=x heisst dieKleinwinkelnäherung von sin x:sin x x für x 0

1

4.15

Das n-te Taylorpolynom von f in x ,P (x), ist das einzige Polynom n-tenGrades mit P (x ) = f(x ) P'(x ) = f'(x ) P"(x ) = f"(x )

P (x ) = f (x ),

d.h. P (x) und f(x) und alle ihreAbleitungen bis und mit Ordnung nstimmen im Punkt x überein.

0

n

0

0

0

0

0

0

0 0

n

(n)n

nn

n

(n)

0

Das n-te Taylorpolynom P (x) ist diebeste polynomiale Näherung n-tenGrades für f(x) nahe bei x . Wieso?

lim = 0.

0

Sei R (x) = f(x)-P (x) dasRestglied. Wenn x x , strebt R (x)schneller nach Null als (x-x ), d.h.:

0

n

n

n

R (x)x-x0

nn

0n

Lagrange Restgliedformel R (x) = f (c)(x-c)

Liefert eine Abschätzung des Fehlers:

(n+1)n (n+1)!

1

4.16

n+1

0

|R (x)| < M |x-x |n (n+1)!1 n+1

0

wobei M der maximale Wert der n+1.Ableitung f zwischen x und x ist.

für ein c zwischen x und x.

0(n+1)

*

AW=Allgemeinwissen & nicht Gegenstand der Prüfung.*

n

AW

TaylorreiheSei f bei x beliebig oft diff.

4.17

0

Die Taylorpolynome von f(x)bei x liefern hoffentlich nachund nach bessere Näherungen fürf(x) in einer Umgebung von x .

f(x) = +

f(x )+f'(x ) (x-x ) ++ f"(x ) (x-x )² + ...... + f (x ) (x-x )

0 0 0

n

0 012

1n!

(n)00

n

R (x)P (x)n

P (x)n

P (x) =n

nR (x) = Restglied oder Fehler (kann abgeschätzt werden)

0

0

*

* Z.B. ist jede elementare Funktion im Innerenihres Definitionsbereiches beliebig oft diff.

Sonderfall: wenn x =0 heisstsie die MacLaurinsche Reihe.

0

Im Grenzübergang bekommen wirdie Taylorreihe oder Taylor--Entwicklung der Funktion f(x)mit Entwicklungspunkt x .

= f(x )+f'(x ) (x-x ) ++ f"(x ) (x-x )² +......+ f (x ) (x-x ) +...

0 0 0

0 012

1n!

(n)00

n

T(x) = (x-x )f (x )n!

0(n)

0n

n=0

0

T(x) = xf (0)n!

(n) n

n=0

4.18

Zahlen Variable

unendlich

4.19

Die Taylorreihe ist eine formaleunendliche Potenzsumme.

Wann konvergiert T(x)?Die Reihe kann konvergent sein... ... nur für x=x ... oder in einem Intervall mit Mittelpunkt x : |x-x |<r

... oder für alle x.

0

0

Falls konvergent, ist T(x)=f(x)?

x x +r0 0x -r0

Ja für die elementaren und meistenpraktischen Funktionen (aber oft nicht).

r heisst der Konvergenzradius der Taylorreihe und ist nicht Gegenstand der Prüfung.

0

sei r=0

r=

Bsp MacLaurinsche Reihen

e = n!n

n=0x

ln(1+x) = (-1)n

n+1 n

n=1x

1x r=

r=1

d.h. diese Reihe konvergiert falls |x|<1

d.h. diese Reihe konvergiert immer

sin x = (-1)(2k+1)!

k 2k+1

k=0x r=

cos x = (-1)(2k)!

k 2k

k=0x r=

11-x = n

n=0x r=1

Diese Taylorreihe ist eine geometrische Reihe.

4.20


I.9. Regel von Bernoulli-l'Hôpital

Mit der Regel von Bernoulli-l'Hôpitallassen sich Grenzwerte von Fkt'en,die sich als Quotient zweier gegen 0konvergiender ( ) oder bestimmter,divergiender Fkt'en ( ) schreibenlassen, mithilfe der 1. Ableitungendieser Fkt'en berechnen.

4.21

L'Hôpital hat diese Regel in einem Buchveröffentlicht, aber hatte sie von(Johann) Bernoulli übernommen.

*

*

00

Grenzwertregel vonBernoulli-L'Hôpital

Seien f & g stetig differenz.

Wenn lim f(x) = 0 = lim g(x)oder lim f(x) = = lim g(x),dann

lim = limf(x)g(x)

f'(x)g'(x)

*falls* der Grenzwert rechts existiert.

lim = lim = limf(x) f(x)-f(x )

x-x

0

0

0

g(x)0

g(x)-g(x )0

f(x)-f(x )0

g(x)-g(x )0x-x0

da f(x )=g(x )=00 0

Beweis im Fall " ":

x-x0

f(x)-f(x )0

g(x)-g(x )0x-x0 = f'(x )

g'(x )

lim

lim= 0

0= lim f'(x)

g'(x)

4.22

Die Bernoulli-L'Hôpital Regel beruhtdarauf, dass sich Funktionen (untendurchgezogen) in der Nähe einerStelle x durch ihre Tangenten(unten gestrichelt) annähern lassen.

x

0

0

4.23

Bsp lim = lim = 1.sin xx

cos x1x 0 x 0

f(x)

g(x) g'(x)

f'(x)

Bsp lim = lim

= lim = lim =0.

cot xln x

x 0 x 0

x 0

B-H

Bsp (doppelte Anwendung von B-H)

lim = lim

= lim = - .

-sin xx²

cos x - 12xx 0 x 0

x 0 2-cos x

21

B-H

B-H

x1

sin²x-1

x-sin² x

B-Hx 0 1

-2 sin x cos x

4.24


I.10. Extremwerte und der Extremwertsatz

Die ,,Optimierung" beschäftigt sichdamit, optimale Parameter einesSystems zu finden, das heisst, eineFunktion f zu minimieren oder zumaximieren. Im einfachsten Fallkann man ein Optimierungsproblemdurch Auffinden der Nullstellen derersten Ableitung von f lösen.

5.1

ExtremwerteDef f besitzt ein relatives oderlokales Maximum bei x , wenn ineiner gewissen Umgebung von x f(x) < f(x ).0

0

0

Def f besitzt ein absolutes oderglobales Maximum bei x in [a,b],wenn f(x) < f(x ) für alle a<x<b.0

0

a bx x2 5

f(x ) ist der grössteWert vonf in [a,b]

f besitzt relative/lokale Maxima bei a und x und besitzt ein absolutes/globales Maximum bei x 2

5

2

5.2

höchster Punkt

Def f besitzt ein relatives oderlokales Minimum bei x , wenn ineiner gewissen Umgebung von x f(x) > f(x ).

0

0

0

Def f besitzt ein absolutes oderglobales Minimum bei x in [a,b],wenn f(x) > f(x ) für alle a<x<b.0

0

a bxx1 4

f(x )

DerkleinsteWert vonf in [a,b] ist

4

f besitzt relative/lokale Minima bei x und b und besitzt ein absolutes/globales Minimum bei x 4

1

5.3

tiefster Punkt

Extremwertsatz

Ist eine Funktion f(x) auf einemabgeschlossenen, endlichenIntervall [a,b] stetig, dann gibtes Stellen m und M in [a,b] mit f(m) < f(x) < f(M).

eine stetige Funktion nimmt in [a,b] einen grössten und einenkleinsten Funktionswert an.

M ma b

Also:

5.4


I.11. Monotonie und KrümmungMonoton (steigend oder fallend) sindFunktionen f, die bei wachsendemFunktionsargument x immer nurgrösser oder nur kleiner werden.Die Krümmung bezeichnet die lokaleAbweichung einer Kurve von einerGeraden.Monotonie und Krümmung sind oftentscheidend für die Bestimmungvon Extremwerten.

5.5

Extremwerte vs. Ableitung

Ist x eine lokales Extremstellevon f, so muss f'(x )=0 sein.

Sei f(x) in einem offenen Intervall(a,b) differenzierbar und a<x <b.

("innere Extrema müssen kritisch sein")

Ist f'(x )>0, so wächst f strengmonoton in der Nähe von x .

Ist f'(x )<0, so fällt f strengmonoton in der Nähe von x .

0

0

0

0

0

0

0

x heisst dann eine kritische Stelle

5.6

0

x0 x0x0

Notwendige Bedingung für Extrema

einer differenzierbaren Funktion fauf einem offenen Intervall (a,b):

Hat f an einer inneren Stelle x ein lokales Extremum, dann ist f'(x )=0 .

0

0

Vorsicht:Auf einem abgeschlossenen Intervall[a,b] können die Randstellen a und bauch Extremstellen sein.

a bc

abs.Max

abs.Min

5.7

Kritische Stellen

Def Eine kritische Stelle einer Fkt ist eine Stelle x an der f' null oder undefiniert ist.

0

5.8

x1 x2

x3x4

sind vier kritische Stellen

f'(x )=0 <=> Die Tangente des Funktionsgraphen bei x ist waagrecht.

0

0

5.9 Auf der Suche nach Extrema einer stetigen Funktion f auf einem abgeschlossenen, endlichen Intervall [a,b]

1. Bestimme alle kritischen Stellen von f in (a,b), d.h. die Stellen x wo f'(x )=0 oder wo f nicht differenzierbar ist.2. Vergleiche die Werte von f an jeder kritischen Stelle x *und* an den Randstellen a und b.

Also sind die folgenden StellenKandidaten für Extremstellen:- innere Stellen wo f'(x )=0,- innere Stellen wo f nicht diff ist - und Randstellen.

0

0

0

0

MittelwertsatzIst eine Funktion f(x) auf einemabgeschlossenen, endlichenIntervall [a,b] stetig und aufdem offenen Intervall (a,b) diff,dann gibt es mindestens eineStelle c in (a,b), an der gilt

5.10

a c b

gleicheSteigung

f'(c) = f(b)-f(a)b-a

Steigung derTangente bei c

Steigung einer Sekante

Unter gleichen Voraussetzungen,falls ausserdem f(a)=f(b) erfüllt ist,dann ist mindestens an einer Stellec aus (a,b) die Ableitung Null: f'(c)=0.

Sonderfall des Mittelwertsatzes: Satz von Rolle

a c b

5.11

Geometrisch gedeutet bedeutendiese Sätze,

- dass eine Sekantensteigung anmindestens einer Zwischenstelleals Steigung der Tangente anden Funktionsgraphen auftritt;

- dass insbesondere zwischenzwei Punkten des Graphs mitübereinstimmenden y-Koordinatenmindestens ein Punkt des Graphsmit waagrechter Tangente liegt.

5.12

KrümmungDie zweite Ableitung f"(x) beschreibtdas Krümmungsverhalten, d.h. dasMonotonie-Verhalten von f'(x).

f"(x )>0

Linkskrümmung:Die Steigung derTangente nimmt zu.

Die Tangente dreht sichim positiven Drehsinn.

Der Graph ist konvex.

f"(x )<0

Rechtskrümmung:Die Steigung derTangente nimmt ab.

Die Tangente dreht sichim negativen Drehsinn.

Der Graph ist konkav.

0

0

5.13

einer zweimal differenzierbaren Fkt f

Ist f'(x )=0 und f"(x )<0, dannhat f ein lokales Maximum bei x .

Ist f'(x )=0 und f"(x )>0, dannhat f ein lokales Minimum bei x .

Hinreichende Bedingungen für lokale Extrema

x

x

0

0

0

00

0

0

0

5.14

Ist f'(c)=0 und f"(c)=0, so versagt der Test.

Sattelpunkte

Def Ein Sattelpunkt (oder Horizontalwendepunkt) ist ein Graphenpunkt (x ,f(x )), wo f'(x )=0, aber der kein lokales Extremum ist.

x0

a bx3

(x ,f(x )) ist ein Sattelpunkt 3

5.15

0

0 0

3

Wendepunkte und Wendetangenten

Def Ein Wendepunkt ist ein Graphenpkt, wo der Drehsinn der Tangente sich ändert. Eine Wendetangente ist die Tangente an einem Wendepunkt.

Hinreichende Bedingung für einenWendepunkt: f"(x )=0 & f³(x )=0

Bmk Sattelpunkte sind Wendepunkte mit waagrechter Tangente.

0 0

0x

Wendetangente

5.16

dritte Ableitung

Wendepunkt


I.12. Das Newton-VerfahrenDas Newton-Verfahren erlaubt dienumerische Bestimmung einer Lösungx einer nichtlinearen Gleichung vonder Form f(x)=0.Die grundlegende Idee ist, dieFunktion in einem Ausgangspunkt xzu linearisieren, d.h. ihre Tangentezu bestimmen, und die Nullstelle derTangente als verbesserte Näherungx der Nullstelle x zu verwenden.

6.1

*

0

1 *

Anwendung der Linearisierung:

das Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren ist eineffizientes Iterationsverfahrenzur Approximation einer Lösungx einer Gleichung f(x)=0:

Wir wählen einen Anfangswertx "nahe" x und konstruiereneine Folge von schrittweiseverbesserten Näherungswertenfür x .x x x x ... x

0

0 1 2 3

6.2

n n+1x x

Iterationsvorschrift (Newton):

Wenn eine Näherung x derNullstelle x vorhanden ist,finden wir eine verbesserteNäherung x wie folgt.

Wir bestimmen die Tangentean den f-Funktionsgraphenbei x , d.h. die Gerade mitder Gleichung

y = f(x ) + f'(x )(x-x ).

n+1

n

6.3

n

n n n

xxn+1

n

f(x)

x

Tangente bei x n

Sei x der Schnittpunkt mitder x-Achse dieser Tangente,d.h. 0=f(x )+f'(x )(x -x ).

Also gilt:

n+1

n+1

x = x - f(x )f'(x )

nnn+1

n

n n n

6.4

x =1.380

2x1x3x

x

Vorsicht: das Verfahren kann divergent sein!

6.5

d.h. sukzessive x liegen nicht näher bei xn

Bsp

Konvergenz der Newton-Folge

Wir können zwei benachbarteNäherungen x und x mittelsder Linearisierung vergleichen:

6.6

x -x =- (x -x )²

=> Die Folge konvergiert quadratisch gegen x falls: f'(x ) = 0 f zweimal stetig diff ist x "genügend" nah ist

n

nn+1

n+1

f"(c)f'(x )n

0

wobei c zwischen x und x ist.n

AW

*AW=Allgemeinwissen & nicht Gegenstand der Prüfung.

*


I.13. Stammfunktionen und unbestimmte Integrale

Eine Stammfunktion einer Funktionf ist eine Funktion F, derenAbleitung F' mit f übereinstimmt.

Unter dem unbestimmten Integralvon f verstehen wir die allgemeineStammfunktion von f, d.h. dieMenge aller Stammfunktionen von f.

6.7

Def Eine Stammfunktion von f auf einem Intervall I ist eine differenzierbare Funktion F mit F'(x)=f(x) für alle x aus I.

6.8Stammfunktionen

Bsp Sei f(x)=4x³-x²+6x-5. Dann ist z.B.

F(x)=x⁴- x³+3x²-5x+33

eine Stammfunktion von f.

13 die Konstante

wurde frei gewählt

Zwei beliebige Stammfunktionenvon f auf einem Intervall Iunterscheiden sich durch eineadditive Konstante:

G'(x)=F'(x)=f(x) G(x)=F(x)+Cfür alle x aus I Konstante

Folgerung:

Ist F eine Stammfkt von f auf I,so ist die allegemeine Stammfktvon f auf I

G(x) = F(x) + Konst.beliebige reelle Konstante

6.9

6.10Bsp Was ist die Stammfunktion F(x) von cos x, die F(0)=33 erfüllt?

Antwort: F(x) = sin x + 33.

Bsp Was ist die Lösung des folgenden Systems?

= cos x

F(0) = 33

Antwort: F(x) = sin x + 33.

dFdx

heisst ein Anfangswertproblems

die Bedingung F(0)=33 bestimmt die Konstante

Def Die allgemeine Stammfkt von f (also die Menge aller Stammfunktionen von f), heisst unbestimmtes Integral von f bzgl. x und wird bezeichnet f(x) dx. Integralzeichen

Bsp x³ dx = x⁴ + Konst.14

6.11

Bsp cos x dx = sin x + Konst.

Bsp sin x dx = -cos x + Konst.

Unbestimmtes Integral

Folgerung der Kettenregel

Sei F(u) eine Stammfunktion vonf(u) und u(x) eine stetig diff Fkt.

Dann ist F(u(x)) eine Stammfktvon f(u(x)) u'(x).

Check: F(u(x)) = F'(u(x)) u'(x) = f(u(x)) u'(x)Kettenregel

dxd

6.12

Bsp (u(x))² ist eine Stammfkt von u(x)u'(x) (hier f(u)=u).

Bsp |u(x)| ist eine Stammfkt von (hier f(u)= ).

12

u'(x)u(x) u

1ln

I Differentialrechnung I.1. Funktionen und ihre Graphen · I Differentialrechnung I.1. Funktionen und ihre Graphen Funktionen sind Zuordnungen, die wie Input-Output-Maschinen funktionieren.

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