MATEMATIKA
HIMPUNANdisusun untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Matematika
tahun ajaran 2013
Kelompok 1
Nama NPM
Anggita Kharisma 150610130110
Hana Rianti Nurfaridah 150610130048
Indriani Nugrahwati 150610130049
Hanifah Putri K. 150610130124
Zulhamid Kautsar 150610130043
Dea Kusdiani 150610130007
M. Thareq Khemal 150610130050
Irmaria S. Panggabean 150610130113
Kelas B
PROGRAM STUDI AGRIBISNIS
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS PADAJADAJARAN
Jl. Raya Bandung-Sumedang Km 21 Jatinangor 45363
12 September 2013
HIMPUNAN
1. Pengertian
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan
dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui mana objek yang
termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918),
seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan
adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa
benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda
dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan
sifat/karakter. Yang terpenting, benda-benda dalam suatu
himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat
dibedakan apakah suatu benda termasuk ataupun tidak dalam
himpunan tersebut.Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang
membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari
mana semua matematika diturunkan.
Contoh :
Himpunan
Kumpulan semua bilangan genap
Kumpulan bilangan prima yang kurang dari 20
Kumpulan mahasiswa Agribisnis yang tingginya lebih dari 180 cm
Kumpulan tersebut merupakan himpunan karena dapat didefinisikan
dengan jelas.
Bukan Himpunan
Kumpulan makanan enak
Kumpulan lukisan indah
Kumpulan bunga harum
Kumpulan tersebut tidak dapat didefinisikan dengan jelas.
Akibatnya tidak dapat ditentukan secara pasti mana-mana saja
anggota yang masuk dalam himpunan tersebut atau tidak.
Penentuan kumpulan tersebut bersifat subjektif, contohnya
bunga yang dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu
dianggap harum bagi orang lain.
2. Lambang/Notasi Himpunan
Suatu himpunan dapat ditulis dengan lambang kurung kurawal pembuka ({ )
dan diakhiri dengan kurung kurawal penutup( } ). Biasanya, nama himpunan
ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara elemen
himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z). Unsur-unsur yang
termasuk dalam objek himpunan ditulis diantara tanda kurung kurawal.
Contohnya : himpunan P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40,
ditulis P = {10 < x < 40, x bilangan prima. x bilangan prima berarti bahwa∈ ∈
objek x merupakan anggota (atau unsur, atau elemen) dari himpunan P.
Notasi Contoh
Himpunan Huruf besar
Elemen himpunan Huruf kecil (jika merupakan huruf)
Kelas Huruf tulisan tangan
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil,
bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Bilangan Asli Bulat Rasional Riil Kompleks
Notasi
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Simbol Arti
atau Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
Operasi irisan dua himpunan
, , , Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan,
Superhimpunan sejati
Komplemen
Himpunan kuasa
3. Penyajian Himpunan
Himpunan dapat dituliskan dengan tiga cara, yaitu:
Dengan menggunakan kata-kata, yaitu dengan cara merangkai kata-kata
yang mengambarkan suatu bilangan. Contohnya A adalah himpunan yang
anggotanya adalah hewan berkaki empat. Ditulis A = {hewan kaki empat}
Pembangun himpunan, tidak dengan mendaftar, tetapi dengan
mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap elemen
himpuan tersebut.
L = {10 < x < 40, x ∈bilangan prima}
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks,
contohnya adalah himpunan berikut:
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus
mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika
bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota
tersebut.
Enumerasi, yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Mendaftar
adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya
satu persatu. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat
digunakan elipsis (...).
4. Jenis-jenis Himpunan
Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}. Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.
Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}. Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}
Himpunan equal/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya samacontohnya A= {b,c,d}B={d,c,b} maka A=B
Himpunan ekuivalen adalah himpunan-himpunan yang jumlah anggotanya sama. Contohnya A= {b,c,d}B={d,c,b} A jumlah anggotanya sama dengan B
Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S. Contohnya:A = {1,3,5,7,9}himpunan semestanya berupa:S = {bilangan asli}S = {bilangan cacah}S = {bilangan ganjil kurang dari 10}
Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A.contohnya B = {a,c,e}A = {a,b,c,d,e}jadi B bagian dari A.
Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan.ContohnyaA = (a,b,c,d,e}maka a elemen A
Himpunan lepas adalah ssuatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain.Contohnya :A = {d,e,f}B = {g,h,i}maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B
Bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Contohnya :A = {a,b,c,d}
e bukan anggota himpunan A.
5. Operasi dan Hubungan Antar Himpunan Irisan (Intersection)
Irisan adalah dua himpunan yang bagian-bagiannya menjadi anggota dari keduanya.Contohnya: Irisan himpunan A dan B
A B = { x | x∈A dan x∈B }
Jika A = { 2, 7, 9, 11 }
Jika B = { 1, 5, 9, 10}
Maka A B = {9}
Atau
Gabungan (Union)
Gabungan adalah dua himpunan yang anggotanya hanya bilangan itu saja
misalnya anggota bilangan A saja, anggota bilangan B saja dan anggota A, B
keduanya.
Contohnya: A B = { x∈A, atau x∈B}
Jika A = { 5, 7, 9, 11 )
Jika B = { 6, 7, 8, 9, 10 }
A B = { 5, 6, 7, 8, 9 10, 11 }
Atau
Selisih
Selisih dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A-B
atau AǀB, adalah himpunan yang beranggotakan objek-objek milik A yang
bukan objek milik B.
A-B= AǀB={x; x∈A tetapi x∈B}
Pelengkap
Pelengkap (complement) dari sebuah himpunan A, ditulis dengan notasi
Ā, adalah himpunan yang beranggotakan objek-objek yang tidak dimiliki
oleh A. Dengan kata lain, Ā adalah sama dengan selisih antara himpunan
universal U dan himpunan A.
Ā=U-A
Sifat-sifat operasi himpunan :
Kaidah Idempoten
1) A U A = A
2) A ∩ A = A
Komutatif
1) Irisan, => Berlaku: A B = B A
2) Gabungan,=> Berlaku: A B = B A
Asosiatif
1) Irisan tiga himpunan, => (A B) C = A ( B C)
2) Gabungan tiga himpunan, => (A B) C = A ( B C)
Distributif
1) Irisan, => A ( B C ) = (A B) (A C)
2) Gabungan, => A (B C) = (A B) (A C)
6. Contoh Soal
Soal 3Di daerah Jatinangor terdapat lahan pertanian tumpang sari yang ditanami tanaman kacang tanah dan jagung
seluas 400 ha. 150 ha diantaranya ditanami kacang dan 200 ha jagung serta 300 ha diantaranya ditanami kacang atau jagung. Setiap hektarnya si petani mendapat keuntungan 60 juta dari jagung dan 40 juta dari kacang. a. Berapa ha lahan yang ditanami jagung dan kacang tanah?b. Berapa ha lahan yang hanya ditanami jagung?c. Berapa ha lahan yang hanya ditanami kacang tanah?d. Berapa ha lahan yang tidak ditanami jagung maupun kacang tanah?e. Berapa ha lahan yang hanya ditanami jagung saja atau kacang tanah
saja?f. Berapa keuntungan yang diterima oleh si petani bila bagi setiap ha
tanah yang tidak ditanami memberikan kerugian sebesar 20 juta dan bagi setiap ha tanah yang ditanami keduanya keuntungan per hektar adalah ¾ nya dari yang seharusnya?
Jawab :
a. n(J∩K)= (150+200)-300= 50
b.
n(J) = 200-50 = 150
c.
n(K) = 150-50 = 100
d.
n = 400-(100+50+150)= 100
e.
n = 150+100 = 250
f. KeuntunganJagung = (150x60000000) + (50x ¾x60000000)
= 9000000000 + 2250000000= 11250000000
Kacang Tanah = (100x40000000) + (50x ¾ x40000000)= 4000000000 + 1500000000= 5500000000
Kerugian = 100x20000000= 2000000000
Keuntungan = Keuntungan Jagung + Keuntungan Kacang Tanah – Kerugian
= 11250000000 + 5500000000 – 2000000000= 14750000000
Jadi, keuntungan yang diterima petani tersebut Rp 14750000000,00
7. Fungsi Himpunan bagi AgribisnisWalaupun pada mulanya teori himpunan dikembangkan secara teoritis, tetapi sekarang teori himpunan banyak sekali diterapkan baik di matematika sendiri,
cabang-cabang ilmu lain maupun di kehidupan sehari-hari salah satunya di bidang agribisnis. Himpunan digunakan untuk mengklasifikasikan berbagai hal di bidang pertanian. Himpunan dapat memudahkan kita untuk mengelompokkan data yang ada sehingga data tersebut dapat terlihat lebih efektif dan efisien dalam hasil informasi data yang diberikan juga terlihat lebih jelas juga perbedaannya yang spesifik dari sekian banyak data.