年 　番号 氏名

1 2個の文字A，Bを重複を許して左から並べて 7文字の順列を作る．次の条件をみたす順列はそ

れぞれいくつあるか答えなさい．

(1) Aが 5個以上現れる．

(2) AABBがこの順に連続して現れる．

(3) Aが 3個以上連続して現れる．

（首都大学東京 2017）

2 以下の各問に答えよ．

(1) xy¡ x¡ 11y+ 11を因数分解せよ．

(2) x; yを 0でない整数とする． 11x +1y = 1を満たす x; yの組をすべて求めよ．

(3) x; z; wを 0でない整数とする．2z ¡ 3w = 1と 11x ¡

12z +

13w = 1を同時に満たす

x; z; wの組をすべて求めよ．

（茨城大学 2017）

3 AB > ACとなる三角形ABCに対して，辺BCの中点Mを通り辺BCに垂直な直線が，三角形

ABCの外接円と交わる点を P，Qとする．ただし，弧ABと交わる点を Pとし，弧 BCと交わ

る点を Qとする．さらに，P，Qから直線ABにそれぞれ垂線 PR，QSを引く．このとき，次

の各問に答えよ．

(1) ÎPBR = ÎPMRであることを示せ．

(2) 三角形 SMRは直角三角形であることを示せ．

（茨城大学 2017）

4 図のように，点Oを中心とし，線分ABを直径とする半径 1の半円において，円周上に点 Pを

とり，ÎPOA = µとし，点 Pにおける接線が線分OAの延長と交わる点を Hとする．ただし，

0 < µ < ¼2とする．さらに，線分OA上に ÎOPB = ÎOPDとなるように点Dをとる．

(1) AP = ア sinµイ

である．

(2) limµ!+0

APµ = ウ である．

(3) limµ!+0

AHµ2=

エ

オである．

(4) limµ!+0

OD =カ

キである．

（金沢工業大学 2014）