8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 2/72
DND-2006
Buah durian jatuh
ke bumi
Antara durian dan
bumi terjadi gayatarik gravitasi
Bulan bergerak
mengedari bumi
Antara bumi dan
bulan terjadi gayatarik gravitasi
Hukum Gravitasi Newton
Sebagai hukum yang mengaturgerak dalam alam semesta
Apakah adakesamaan
?
ada !
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 3/72
DND-2006
F F
Menurut Newton,
Antara dua benda yang massanya masing-
masing m1 dan m2 dan jarak antara
keduanya adalah d akan terjadi gaya tarik
gravitasi yang besarnya,
d G = tetapan gravitasi
= 6,67 x 10-8 dyne cm2 /g2
bersifat tarik menarik
gayam 1 m 2
Hukum Gravitasi Newton
. . . . . . . . . (1-1)G m1 m2 F = d 2
Sir Isaac Newton
(1643 – 1727)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 4/72
DND-2006
Menentukan massa Bumi
Semua benda yang dijatuhkan dekat permukaan Bumiakan bergerak dengan percepatan g = 980,6 cm/s2
Jadi pada benda akan bekerja gaya sebesar,
F = m
g percepatan
massa bendagaya gravitasi
Dari persamaan (1-1) :
. . . . . . . . . . . . . . . . . (1-2)
. . . . . . . (1-3)
radius Bumi
massa Bumi
G m1 m2 F = d 2
F = G M m
R 2
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 5/72
DND-2006
Dari pers. (1-2) :
R 2
G M
g =dan pers. (1-3) :
F = mg
G M mF = R
2
. . . (1-4)
Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km
Radius bumi di kutub : b = 6356,8 km
a b
R Jika bumi berbentuk bundar sempurna maka
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-5)
. . . . . . . . . (1-6)
4
3Volume bumi = (a 2b )
4
3Volume bumi = R
3
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 6/72
DND-2006
Dari pers. (1-5) :
= 6371,1 km = 6,37 x 108 cm
R
= (a 2b )1/3
4
3V = (a 2b )
4
3V = R
3 Dari pers. (1-6) :
R = [(6378,2 )2
(6356,8)]1/3
Radius bumi rata –rata :
Dengan memasukan harga g, G dan R ke pers (1-4)diperoleh,
G
g R 2 M =
(980,6)(6,37 x 108)2
(6,67 x 10-8)= = 5,98 x 1027 gr
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 7/72DND-2006
dan dari pers. (1-6) diperoleh,
Massa jenis bumi rata-rata,
4 3
V = R 3
M
V = = 5,98 x 10
27
1,08 x 1027
= 5,52 gr/cm3
= (6,37 x 108)3 4 3
= 1,08 x 1027 cm3
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 8/72DND-2006
Gerak Bulan Mengedari Bumi
Mengikuti hukumNewton
BumiBulan
Karena M 1/100 M, maka massa bulan dapat
diabaikan. Percepatan bulan terhadap bumi adalah,
da
v jarak Bumi - Bulan
. . . . . . . . . . . . . (1-7)d 2
G M a =
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 9/72DND-2006
Apabila periode orbit Bulan mengelilingi bumi adalah P maka,
Andaikan orbit Bulan berupa lingkaran dengan radius d ,
dan dengan kecepatan melingkar v yang tetap, makapercepatan sentripetal Bulan adalah,
a = v 2 / d . . . . . . . . . . . . . . . (1-8)
Subtitusikan pers. (1-8) :d 2
G M
a =
G M
d =
d 2
v 2 ke pers. (1-7) diperoleh, . . . . . . . . . . (1-9)
. . . . . . . . . . . (1-10)P
2 d v =
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 10/72
DND-2006
Selanjutnya subtitusikan pers.(1-9) :
ke pers. (1-10) :
diperoleh, . . . . . . . . . . . . . (1-11)
d 2
G M
d =
v 2
P
2 d v =
d 3
P 2
G M
4 2
=
Dari pengamatan diketahui bahwa periode Bulanmengelilingi Bumi adalah,
P = 27,3 hari = 2,36 x 106 detik
Jarak Bum1-Bulan adalah,
d = 384 000 km = 3,84 x 1010 cm
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 11/72
DND-2006
Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan
ke pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,M 6,02 x 1027 gr
Hasil ini sama dengan yang ditentukan berdasarkanbenda yang jatuh dipermukaan Bumi, yaitu
M 5,98 x 1027 gr
Buah durian jatuh ke bumi
Bulan bergerak mengedari bumi
Kesimpulan :
Disebabkan oleh gaya yangsama yaitu gaya gravitasi
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 12/72
DND-2006
Dari pers (1-7) dapat ditentukan percepatan Bulanterhadap Bumi akibat gaya gravitasi yaitu,
jarak Bumi – Bulan = 3,84 x 1010 cm
Percepatan Bulan terhadap Bumi
(6,67 x 10-8)(5,97 x 1027)
(3,84 x 1010)d 2 a = = = 0,27 cm/s2
G M
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 13/72
DND-2006
Massa bulan = 0,0123 kali massa Bumi
Dengan menggunakan persamaan (1-4) untuk Bulan,maka gaya gravitasi dipermukaan Bulan dapat
ditentukan yaitu,massa bulan
radius bulan
= 0,17 kali gaya gravitasi dipermukaan Bumi
Diameter Bulan = 0,27 kali diameter Bumi
Gaya gravitasi di permukaan Bulan
G M
R 2
g =
= 165,72 cm/s2(6,67 x 10-8
)( 0,0123 x 5,98 x 1027
)g =(0,27 x 6,37 x 108)2
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 14/72
DND-2006
ObjekMassa
(Bumi = 1)Diameter
(Bumi = 1)Gravitasi
(Bumi = 1)
Bulan 0,0123 0,27 0,17
Venus 0,81 0,95 0,91
Mars 0,11 0,53 0,38
Jupiter 317,9 11,20 2,54
Matahari 333 000 109,00 28,10
Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 15/72
DND-2006
Berat benda di permukaan Bumi
massa benda
Contoh :
Berat sebuah benda di permukaan Bumi adalah 100 N ,berapakah berat benda tersebut pada ketinggian 25 000km di atas permukaan bumi ?
berat benda (gaya gravitasi yangdirasakan oleh benda) weight
G M m
R 2
W =
Berat benda di permukaan bumi dapat ditentukandengan menggunakan persamaan berikut,
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 16/72
DND-2006
Misalkan berat benda di permukaan bumi adalah W 1 =100 N , maka
Apabila W 2 adalah berat benda pada ketinggian 25 000km (= 2,5 x 109 cm) di atas permukaan bumi, maka
Jawab :
. . . . . . . . . . . . . . . . ()W 1 =G M m
R 2
(R + 2,5 x 109)2 W
2=
G M m . . . . . . . . . . . . ()
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 17/72
DND-2006
Jika harga R = 6,37 x 108 cm, dan harga W 1 = 100 N dimasukan ke pers () maka akan diperoleh,
Dari pers () dan () diperoleh,
(R + 2,5 x 109)2 W 2 =
W 1 R 2
(6,37 x 108 + 2,5 x 109)2
W 2 =(100)(6,37 x 108) 2
4 N
. . . . . . . . . . . . . . ()
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 18/72
DND-2006
Hukum Kuadrat Kebalikan
Untuk menentukan besarnya gravitasi di suatu tempatdapat kita gunakan hukum kuadrat kebalikan
F = - mg
Dari pers. (1-1) :
Dari pers. (1-2) :
. . . . . . . (1-12)
G m M F =
d 2 d 2
G M g =
d 12
G M g 1 =
d 22
G M g 2 =
d 1
g 2 = d 2 g 1
2Untuk g 1 :
Untuk g 2 :
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 19/72
DND-2006
Contoh :
1. Percepatan gravitasi dipermukaan bumi (di permuka-an laut) adalah 980 cm/s2. Tentukanlah percepatan diketinggian 25 000 km di atas permukaan Bumi.
Jawab :
g 1 = gravitasi dipermukaan bumi = 980 cm/s2
d 2
d 1 g 2 = g 1
2
d 1 = radius bumi= R = 6,37 x 108 cm
Misalkan g 2 adalah gravitasi pada ketinggian 25 000km, maka
d 2 = R + 25 000 km = 3,14 x 109 cm
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 20/72
DND-2006
Jadi,
d 1
d 2 g
2= g
1
2
3,14 x 109
6,37 x 108 = (980)
2
= 40,41 cm/s2
2. Pesawat ruang angkasa Galileo berada pada jarak100 000 km dari pusat planet Jupiter, sedangkanpesawat pengorbitnya berada pada ketinggian 300000 km. Tentukanlah besarnya percepatan gravitasipesawat ruang angkasa Galileo dinyatakan dalampercepatan gravitasi pengorbitnya.
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 21/72
DND-2006
Jawab :
Misalkan :g 1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo
d 1 = ketinggian pesawat ruang angkasa Galileo= 100 000 km
g 2 = percepatan gravitasi pesawat pengorbit
d 2 = ketinggian pesawat pengorbit = 300 000 km
d 1
d 2 g 1 = g 2
2
100 000
300 000= g 2
2
= 9 g 2 maka
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 22/72
DND-2006
Satuan Gaya
F = mg
Jika massa (m ) dinyatakan dalam kg dan percepatan (g )dinyatakan dalam m/s2, maka gaya (F ) dinyatakandalam,
F = (kg)(m/s2) = kg m/s2 = Newton (N )
Jika massa (m) dinyatakan dalam gr dan percepatan (g )
dinyatakan dalam cm/s2, maka gaya (F ) dinyatakan
dalam, F = (gr)(cm/s2) = gr cm/s2 = dyne
1 Newton = 105 dyne
Dari pers. (1-2) :
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 23/72
DND-2006
Massa sebuah benda adalah 75 kg, berapakah gayayang dirasakan oleh benda tersebut (berat benda) dipermukaan Bumi, Bulan dan Planet Jupiter ?
Jawab : F = mg
g di Bumi = 9,8 m/s2
g di Bulan = 0,17 x g di Bumi = 0,17 x 9,8 = 1,67 m/s2
g di Jupiter = 2,54 x g di Bumi = 2,54 x 9,8 = 24,89 m/s2
Jadi :
F di Bumi = (75)(9,8) = 735 kg m/s2 = 735 N
Contoh :
F di Bulan = (75)(1,67) = 125,25 kg m/s2 = 125,25 N
F di Jupiter = (75)(24,89) = 1 866,75 kg m/s2 = 1 866,75 N
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 24/72
DND-2006
m2(x 2, y 2, z 2)
m1(x 1, y 1, z 1)
Tinjau dua benda dengan massa benda kesatu adalahm1 dan massa benda kedua adalah m2.
Berdasarkan Hukum Newton,pada benda ke-1 akan bekerjagaya :
m1 = G d 2
r d t 2
m1 m2 r 2
x
y
z
. . (1-13)
r
Koordinat kartesius kedua benda masing-masing adalah(x 1,y 1,z 1 ) dan (x 2,y 2,z 2 ) dan jarak kedua benda adalah r
Hukum Gerak Dua Benda
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 25/72
DND-2006
d 2x 1 m1 = G m1 m2
d t 2
x 1 x 2
r 3 . . . . . (1-14a)
d 2y 1m1 = G m1
m2 d t 2
y 1 y 2
r 3 . . . . . (1-14b)
d 2z 1m1 = G m1 m2
d t 2
z 1 z 2
r 3 . . . . . (1-14c)
Gaya ini dapat diuraikan dalam komponen arah sumbu
x , y , dan z , yaitu :
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 26/72
DND-2006
dalam arah x , y , z , diperoleh :
d 2x 2 m2 = G m1 m2
d t 2
x 2 x 1
r 3 . . . . . . (1-16a)
d 2y 3m2 = G m1 m2
d t 2
y 2 y 1
r 3
. . . . . . (1-16b)
d 2z 2m2 = G m1 m2
d t 2
z 2 z 1
r 3 . . . . . . (1-16c)
Hal yang sama juga berlaku untuk benda kedua, yaitu
dengan menguraikan gaya :
m2 = G d 2r
d t 2
m1 m2
r 2 . . . . . . . . . . (1-15)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 27/72
DND-2006
Keenam persamaan diferensial tersebut merupakan
persamaan gerak benda.
kedudukan benda setiap saat dapat ditentukan.
Jika keenam persamaan diferensial tersebut dapatdipecahkan, koordinat kedua benda (x 1,y 1,z 1) dan(x 2,y 2,z 2) sebagai fungsi waktu t dapat ditentukan.
Keenam persamaan gerak benda di atas adalahpersamaan diferensial orde ke-2,
terdapat 12 tetapan integrasi.
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 28/72
DND-2006
Ke-12 tetapan integrasi tersebut, dapat ditentukan dari
dari keadaan awal kedua benda tersebut yaitu, 6 koordinat kedudukan awal (3 koordinat x , y , z untuk
masing-masing benda yaitu x 1, y 1, z 1 dan x 2, y 2, z 2)
6 komponen kecepatan awal (3 komponen untuk
masing-masing benda, yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2).
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 29/72
DND-2006
tiga koordinat kedudukan awal tiga komponen kecepatan awal benda yang
bergerak
m1
m2(x , y , z )
x y
z
Sekarang dapat dituliskan :
x = x 2 – x 1 . . . . . . . . . (1-17a)
y = y 2 – y 1 . . . . . . . . . (1-17b)
z = z 2 – z 1 . . . . . . . . . (1-17c)
dan definisikan,
M = m1 + m2 . . . . . . . . . (1-18)
Persoalan ini dapat disederhanakan dengan meng-
anggap benda pertama diam dan dianggap sebagaipusat koordinat
Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 30/72
DND-2006
Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) pada
pers. (1-14a) dan (1-16a), diperoleh
. . . . . . . . . . (1-19a)
Dengan cara yang sama diperoleh komponen padaarah y dan z , yaitu
. . . . . . . . . . (1-19b)
d 2z = G M
d t 2
z
r 3 . . . . . . . . . . (1-19c)
d 2x = G M
d t 2
x
r 3
d 2y = G M
d t 2
y
r 3
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 31/72
DND-2006
x y = 0d 2y
d t 2d 2x
d t 2
d 2y x = G Md t 2
xy
r 3
Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers.
(1-19b) dengan x dan kurangkan keduanya.d 2x
= G Md t 2
x
r 3 Pers. (1-19a) :
d 2y = G M
d t 2
y
r 3 Pers. (1-19b) :
x y
x x
d 2x y = G M
d t 2
xy
r 3
. . . . . . (1-20)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 32/72
DND-2006
Pers. (1-20) dapat dituliskan sebagai,
x y = 0d y d t
d x d t
d d t
. . . . . . . . . . (1-21)
Integrasikan persamaan (1-21), akan diperoleh,
x y = a 1
d y
d t
d x
d t . . . . . . . . . . (1-22a)
tetapan integrasi
Dengan cara yang sama diperoleh,
y z = a 2 d z
d t
d y
d t . . . . . . . . . . (1-22b)
z x = a 3 d x
d t
d z
d t . . . . . . . . . . . (1-22c)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 33/72
DND-2006
Pers. (1-22a) : x z x y = a 1 d y
d t
d x
d t
Pers. (1-22b) : x x y z = a 2 d z
d t
d y
d t
Pers. (1-22c) : x y z x = a 3 d x
d t
d z
d t
Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian
jumlahkan
xz yz = a 1z d y
d t
d x
d t
xy xz = a 2x d z
d t
d y
d t
yz xy = a 3y d x
d t
d z
d t
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 34/72
DND-2006
xz yz = a 1z d y
d t
d x
d t
xy xz = a 2x d z
d t
d y
d t
yz
xy = a 3y
d x
d t
d z
d t
Ini adalah persamaan sebuah bidang datar
Orbit benda, terletak pada sebuah bidang datar.
a 1z + a 2x + a 3y = 0 . . . . . . . . . . . (1-23)+
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 35/72
DND-2006
Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian
jumlahkan hasilnya
d 2y = G M
d t 2
y
r 3 Pers. (1-19b) : x
d y 2
d t
2d 2x
= G Md t 2
x
r 3 Pers. (1-19a) : x
dx
d t
d 2x = G M
d
t 2
x
r 3
dx 2
d
t
dx 2
d t
d 2y = G M
d t 2
y
r 3
dy 2
d t
dy 2
d t
d 2z = G M
d t 2
z
r 3 Pers. (1-19c) : x
d t
d z 2
d 2z = G M
d t 2
z
r 3
dz 2
d t
dz 2
d t
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 36/72
DND-2006
d 2x = G M
d t 2
x
r 3
dx 2
d t
dx 2
d t d 2y
= G Md t 2
y
r 3
dy 2
d t
dy 2
d t
d 2z
= G M
d t 2
z
r 3
dz
2 d t
dz
2 d t +
2G M
r 3 x + y + z
dx
d t
dy
d t
dz
d t 2 + + =
d 2x
dt 2
dx
dt
d 2y
dt 2
dy
dt
d 2z
dt 2
dz
dt
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 37/72
DND-2006
2G Mr 3
x + y + z dx dt
dy dt
dz dt
+ + =d dt
dx dt
2 dy dt
2 dx dt
2
atau
. . . . . (1-24)
Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh,r 2 = x 2 + y 2 + z 2
. . . . . . . . . . (1-26)r = x + y + z dx d t
dy d t
dz d t
dr d t
. . . . . . . . . . . . . (1-25)
Apabila pers. (1-25) diturunkan, akan diperoleh,
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 38/72
DND-2006
v 2 = + +dx d t
2
dy d t
2
dx d t
2
. . . . . . . . . (1-27)
Kecepatan benda dinyatakan oleh,
Subtitusikan pers. (1-26) :
dan (1-27) ke pers. (1-24) :
r = x + y + z dx
d t
dy
d t
dz
d t
dr
d t
2G M
r 3 x + y + z
dx
dt
dy
dt
dz
dt + + =
d
dt
dx
dt
2 dy
dt
2 dx
dt
2
diperoleh,2GM
r 2
dr
d t =
dv 2
d t . . . . . . . . . . . (1-28)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 39/72
DND-2006
Integrasikan pers. (1-28),
v 2 = + h 2G Mr
. . . . . . . . . . . . (1-29)
tetapan integrasi
= dv 2
d t
2G M
r 2
dr
d t 0
v
0
r
diperoleh,
Misalkan energi potensial gravitasi benda kedua adalah
G m2 M
r V = . . . . . . . . . . . . (1-30)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 40/72
DND-2006
dan energi kinetiknya adalah,
. . . . . . . . . . . . (1-31)T = m2 v 2 1 2
Subtitusikan pers. (1-29) :
T = m2 + h = + m2h 1
2
2G M
r
1
2
G m2M
r . . (1-32)
ke pers. (1-31), diperoleh
v 2 = + h 2G M
r
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 41/72
DND-2006
Pers. (1-30) :
Pers. (1-32) :
G m2 Mr
V =
T = + m2h 1
2
G m2 M
r
T + V = + m2 h 1
2
G m2M
r G m2 M
r 1
2
= m2 h
= h’ . . . . . . . . . . . . . . . . (1-33)Persamaan ini mengatakan bahwa energi total bendakedua selalu tetap selama mengorbit benda pertama.
+
Jumlahkan pers. (1-30) dengan pers. (1-32),
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 42/72
DND-2006
Hukum Kepler
I. Orbit planet mengelilingi matahari tidakberbentuk lingkaran tetapi berbentukelips dengan matahari di titik fokusnya
aphelion perihelion
Matahari
PlanetJohannes Kepler
(1571 – 1630)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 43/72
DND-2006
II. Vektor radius (garis hubung matahari – planet) dalamselang waktu yang sama akan menyapu luas daerahyang sama.
MatahariPlanet
d
dt
dt
r
d
dt r 2 = c (konstan )
Hukum Luas
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 44/72
DND-2006
III. Kuadrat periode planet mengitari matahari sebandingdengan pangkat tiga setengah sumbu besar elips
1 Periode = peredaranplanet mulai dari titik A sampai kembali lagi ke
titik A
P 2 a 3Setengahsumbu panjang
Matahari
Planeta
b
A
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 45/72
DND-2006
Sebagai penyederhanaan, ambil bidang gerak (bidang
orbit) dalam bidang (x, y).
Hukum Kepler adalah hukum empiris, tapi bisadibuktikan dengan hukum Gravitasi Newton.
Gerak benda hanya ditentukan oleh dua persama-an yang mengandung variabel x dan y , yaitu,
d 2x = G Md t 2
x
r 3 Pers. (1-19a) :
d 2y = G M
d t 2
y
r 3 Pers. (1-19b) :
dan
Bukti :
Bukti Hukum Kepler
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 46/72
DND-2006
Sama seperti di bagian yang lalu, persamaan (1.19a)dikalikan dengan y dan persamaan (1.19b) dengan x ,kemudian kurangkan, Hasilnya adalah,
Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh :
x y = 0d y
d t
d x
d t
d
d t Pers. (1-21) :
x y = c d y
d t
d x
d t Per. (1-22a) :
tetapan integrasi
Langkah selanjutnya adalah, lakukan perkalian berikut,
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 47/72
DND-2006
d 2y = G M
d t 2
y
r 3 Pers. (1-19b) :
d y 2
d t
2d 2x
= G M
d t 2
x
r 3
Pers. (1-19a) : dx
d t
d 2x
= G M
d t 2
x
r 3
dx
2 d t
dx
2 d t
d 2y = G M
d t 2
y
r 3
dy 2
d t
dy 2
d t
2G Mr 3
x + y dx d t
dy d t
2 + =d 2x dt 2
dx dt
d 2y dt 2
dy dt
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 48/72
DND-2006
atau . . (1-34)d
dt
2G M
r 3
x + y dx
dt
dy
dt
+ =dx
dt
2 dy
dt
2
Jarak antara kedua benda adalah,
r 2 = x 2 + y 2 . . . . . . . . . . . . (1-35)
Turunkan persamaan (1.35) diperoleh,
r = x + y dx
d t
dy
d t
dr
d t . . . . . . . . . . . (1-36)
Selanjutnya integrasikan persamaan (1.34),
r dr
d t
d
dt 2 x + y
dx
dt
dy
dt + =
dx
dt
2 dy
dt
2
r 3
G M
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 49/72
DND-2006
diperoleh, + 2 = h dx
dt
2 dy
dt
2
r
G M. . . . . . . . . . (1-37)
tetapan integrasi
Sekarang ubah sistem koordinat kartesius ke sistemkoordinat polar dengan mendefinisikan
x = r cos θ = cos θ r sin θ dx dt
dr dt
d θ dt
y = r sin θ = sin θ + r cos θ dy
dt
dr
dt
d θ
dt
Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a),
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 50/72
DND-2006
x y = c d y
d t
d x
d t Per. (1-22a) :
r cos θ
= cos θ - r sin θ dr
dt
d θ
dt
r sin θ
sin θ + r cos θ = dr
dt
d θ
dt
diperoleh r 2
= c d θ
dt
atau = 1
dt
1
d
c
r 2 . . . . . . . . . . . (1-39)
. . . . . . . . . . . . . (1-38)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 51/72
DND-2006
Dengan cara yang sama kita lakukan ke pers. (1.37),dan hasilnya,
. . . . . . . (1-40)
dengan, = G M . . . . . . . . . . . . (1-41)
+ r 2 = + h 2
r
dr
dt
2 d
dt
2
ke pers. (1-40), diperoleh
Masukan pers. (1-39) : = 1
dt
1
d
c
r 2
dr
d
1
r 4
1
r 2
2
c 2 r
2
+ = 0h
c 2 . . . . . (1-42)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 52/72
DND-2006
Jika kita definisikan :
Kemudian dimasukkan ke
u =
c 2
1
r
+ = 0dr
d
1
r 4
1
r 2
2
c 2 r
2 h
c 2 Pers. (1-42) :
maka diperoleh, + u 2= H 2 dr d
2 . . . . . . . . . . . (1-43)
dengan H 2 = + =tetapan h
c 2
2
c 4. . . . . . . (1-44)
Pemecahan persamaan (1-43) adalah :
u = H cos ( - ) .. . . . . . . . . . . (1-45)
tetapan integrasi
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 53/72
DND-2006
Masukkan harga u (pers. 1-45) dan H (pers. 1-44) kepers. (1-43),
= 1 + 1 + cos ( )
c 2
1
r
hc 2
2
+ u 2= H 2 dr d
2
Pers. (1-43) :
H 2 = + = tetapan h
c 2
2
c 4Pers. (1-44) :
u = H cos ( - ) Pers. (1-45) :
diperoleh,
c 2
/ r =
1 + 1 + cos ( )hc 2
2
atau . . . . . (1-47)
. . (1-46)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 54/72
DND-2006
Kita didefinisikan :
1/2
e = 1 + hc
c 2
p = . . . . . . . . . . . . . (1-48)
. . . . . . . . . . . (1-49)
= ( ) . . . . . . . . . . . . . (1-50)
Jika ketiga pers. ini kita subtitusikan ke
Pers. (1-47) :
akan diperoleh,
c 2 / r =
1 + 1 + cos ( )hc 2
2
1 + e cos
p r = . . . . . . . (1-51)
Persamaan irisan kerucut
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 55/72
DND-2006
Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips,parabola atau hiperbola.
Karena elips adalah suatu irisan kerucut, maka hasilini merupakan pembuktian Hukum Kepler I
Dengan demikian, pembuktian Hukum Kepler I
berdasarkan pada persamaan (1-51), yaitu persamaanirisan kerucut.
Parameter p disebut parameter kerucut
Parameter e disebut eksentrisitas
Parameter disebut anomali benar
1 + e cos
p r =
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 56/72
DND-2006
Arti geometri dari parameter ini diperlihatkan padagambar berikut
ω
A
B
m 1
m 2
a
Garis potong bidang orbit dan bidang langit
Setengah jarak AB disebut setengah sumbu besar,dituliskan a yang harganya diberikan oleh :
p = a (1 – e 2) . . . . . . . . . . . (1-52)
(Apfokus)
(Perifokus)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 57/72
DND-2006
ω
A
B
m 1
m 2
a
Garis potong bidang orbit dan bidang langit
(Apfokus)
(Perifokus)
Perhatikan :
Benda pusat terletak pada titik fokus orbit Sudut menunjukkan kedudukan titik perifokus
terhadap suatu garis acuan tertentu (dalam hal inigaris potong bidang orbit dengan bidang langit)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 58/72
DND-2006
jika e < 1 orbit berupa elips1 + e cos
p r = Dari pers. (1-51) :
jika e = 1 orbit berupa parabola
jika e > 1
orbit berupa hiperbola
p = a (1 – e 2)karena (pers. 1-52) :
Titik perifokus dicapai apabila = 0o r = a (1 – e)
Titik apfokus dicapai apabila = 180o r = a (I + e)
maka,
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 59/72
DND-2006
ω
A
B
m 1
m 2
a
Garis potong bidang orbit dan bidang langit
Aphelion
Perihelion
Apabila m 1
adalah Matahari dan m 2
adalah planet, maka
titik terjauh dari Matahari disebut Aphelion
titik terdekat disebut Perihelion
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 60/72
DND-2006
ω
A
B
m 1
m 2
a
Garis potong bidang orbit dan bidang langit
Apastron
Periastron
Apabila ini adalah sistem bintang ganda dengan m 1
adalah bintang ke-1 dan m 2 adalah bintang ke-2, maka
titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron
titik terdekat disebut Perastron
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 61/72
DND-2006
Dari persamaan (1-38) :
Jika kedua ruas dikalikan dengan ½, maka diperoleh :
r 2 = c d θ
dt
r 2 = c d θ
dt
1
2
1
2
. . . . . . . . . . . . (1-53)
luas segitiga yg disapuoleh vektor radius r dlmwaktu dt
Bukti Hukum Kepler II
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 62/72
DND-2006
Integrasikan persamaan (1-53) : r 2 = c d θ
dt
1
2
1
2
A = a 2 (1 – e 2)1/2 r 2 d = c dt 1
2
1
2
0
P Periode Orbit
Luas elips
Dengan demikian :
c P = a 2
(1 –
e 2
)1/2
a 2 (1 – e 2)1/2 = c P 1
2
= 2 a 3/2 a 1/2 (1 – e 2)1/2 atau
. . . . . . . (1-54)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 63/72
DND-2006
Masukkan p = a (1 – e 2 ) ke
c P = 2 a 3/2
a 1/2
(1 –
e 2
)1/2
pers. (1-54) :
c P = 2 a 3/2 p 1/2 diperoleh, . . . . . . . . . . (1-55)
Selanjutnya masukan pers. p = c 2 / ke pers. (1-55),
diperoleh,
c P = 2 a 3/2 c
1/2 P = 2 a 3/2
1
1/2
P 2 = 4 2 a 3
Kuadratkan pers. di atas akan diperoleh,
=a 3
P 2
4 2 . . . (1-56)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 64/72
DND-2006
M = m 1 + m 2
= G Mdan pers. (1-41) :
Masukkan pers. (1-18) :
ke pers. (1-56) : =a 3
P 2
4 2
diperoleh, = (m 1
+ m 2)
a 3
P 2
G
4 2 . . . . . . . . (1-57)
Dalam kasus planet mengelilingi Matahari,
m 1 adalah massa matahari (M
)
m 2 adalah massa planet
Karena m 2 << m 1 (massa planet terbesar, yaitu Jupiter,hanya 0,001 M
), maka persamaan (1-57) menjadi :
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 65/72
DND-2006
=M
a 3
P 2
G
4 2
Bukti Hukum Kepler III
. . . . . . . . . . . . . . (1-58)
Bumi dengan satelit-satelit buatan
Planet dengan satelit-satelitnya
Sistem bintang ganda
Hukum Kepler bukan hanya berlaku untuk planet dalammengedari matahari saja tetapi juga berlaku untuk :
dan lainnya
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 66/72
DND-2006
1. Sebuah satelit buatan mengorbit Bumi dalam orbityang hampir berupa lingkaran. Apabila radiusorbitnya adalah 96 000 km, tentukanlah periode orbitsatelit tersebut.
Contoh :
Jawab :
Karena massa bumi jauh lebih besar daripada massasatelit maka menurut Hk Kepler III
a 3
P 2 4 2
G M =
4 2 a 3
G M P =
0,5
Diketahui, M = 5,98 x 1027 gr, a = 9,6 x 109 cm danG = 6,67 x 10-8 dyne cm2 /gr2
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 67/72
DND-2006
Jadi
(6,67 x 10-8) (5,98 x 1027)4
2
(9,6 x10
9
)
3
P =
0,5
= 295 919,24 det = 3,42 hari
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 68/72
DND-2006
Jawab :
2. Tentukanlah periode orbit Bumi jika massa matahari8 kali lebih besar dari massa sekarang dan radiusorbit Bumi dua kali daripada radius sekarang(andaikan orbit Bumi berupa lingkaran)
Misalkan :M1 = massa matahari sekarang
M2 = 8 M
1
a 1 = radius orbit bumi sekarang
a 2 = 2 a 1
Karena M>> M maka4 2 G M = a
3
P 2
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 69/72
DND-2006
Jadi periodenya sama dengan periode sekarang
P 12
a 13
4 2
G M 1 =
a 23
P 22 4 2
G M 2 =
M 1 8M 1
0,5
8P 2 =P 1
a 1 2a 1
1,5
= 21,5 P 1 1
0,5
M 2 M 1 P 2 = P 1
a 1 a 2
0,5 1,5
= (2,83)(0,3535) P 1 = P 1
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 70/72
DND-2006
1. Statsiun ruang angkasa Rusia Mir mengorbit bumisetiap 90 menit sekali pada ketinggian 250 km.Statsiun ruang angkasa ini diluncurkan pada tanggal20 Februari 1986. Setelah beberapa tahun di ruangangkasa, statsiun ruang angkasa ini ditinggalkan dansecara perlahan-lahan jatuh ke Bumi pada tanggal10 Maret 2001.
a. Berapa kalikah statsiun ruang angkasa inimengelilingi Bumi sebelum jatuh ke Bumi?
b. Berapakah jarak yang ditempuh statsiun ruangangkasa ini ? (Ketinggian Mir diabaikan relatifterhadap radius Bumi)
Soal Latihan :
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 71/72
DND-2006
2. Berapa kalikah gaya gravitasi yang disebabkan olehMatahari terhadap pesawat ruang angkasa Ulyssesyang berjarak 2,3 AU dari Matahari dibandingkandengan percepatan gravitasi yang disebabkan olehMatahari terhadap planet Jupiter yang berjarak 5,2AU dari Matahari?
3. Teleskop ruang angkasa Hubble mengorbit Bumisetiap 1,5 jam sekali pada ketinggian 220 km, Jikakamu akan menempatkan satelit komunikasi di ruangangkasa, pada ketinggian berapakah satelit tersebut
harus ditempatkan supaya satelit bisa mengedariBumi setiap 24 jam sekali? (Satelit semacam inidisebut satelit Geosyncronous karena satelit selaluberada di suatu titik yang tetap di atas Bumi)
8/2/2019 Gerak Dua Benda
http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 72/72
5. Jika Io yang berjarak 422 000 km dari Jupitermemerlukan waktu 1,8 hari untuk melakukan satu
putaran mengelilingi Jupiter, berapakah waktuyang diperlukan oleh Europa (satelit Jupiter yanglain) yang berjarak 671 000 km dari Jupiter untukmelakukan satu putaran mengelilingi Jupiter?
4. Salah satu satelit Jupiter yaitu Io mempunyaimassa yang sama dengan Bulan (satelit Bumi),dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yangsama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapiIo mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi
dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamumenjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini?