Gerak Dua Benda

8/2/2019 Gerak Dua Benda

http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 1/72

DND-2006



DND-2006

Buah durian jatuh

ke bumi

Antara durian dan

bumi terjadi gayatarik gravitasi

Bulan bergerak

mengedari bumi

Antara bumi dan

bulan terjadi gayatarik gravitasi

Hukum Gravitasi Newton

Sebagai hukum yang mengaturgerak dalam alam semesta

Apakah adakesamaan

?

ada !



DND-2006

F F

Menurut Newton,

Antara dua benda yang massanya masing-

masing m1 dan m2 dan jarak antara

keduanya adalah d akan terjadi gaya tarik

gravitasi yang besarnya,

d G = tetapan gravitasi

= 6,67 x 10-8 dyne cm2 /g2

bersifat tarik menarik

gayam 1 m 2

Hukum Gravitasi Newton

. . . . . . . . . (1-1)G m1 m2 F = d 2

Sir Isaac Newton

(1643 – 1727)

http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_newton



DND-2006

Menentukan massa Bumi

Semua benda yang dijatuhkan dekat permukaan Bumiakan bergerak dengan percepatan g = 980,6 cm/s2

Jadi pada benda akan bekerja gaya sebesar,

F = m

g percepatan

massa bendagaya gravitasi

Dari persamaan (1-1) :

. . . . . . . . . . . . . . . . . (1-2)

. . . . . . . (1-3)

radius Bumi

massa Bumi

G m1 m2 F = d 2

F = G M m

R 2



DND-2006

Dari pers. (1-2) :

R 2

G M

g =dan pers. (1-3) :

F = mg

G M mF = R

2

. . . (1-4)

Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km

Radius bumi di kutub : b = 6356,8 km

a b

R Jika bumi berbentuk bundar sempurna maka

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-5)

. . . . . . . . . (1-6)

4

3Volume bumi = (a 2b )

4

3Volume bumi = R

3



DND-2006

Dari pers. (1-5) :

= 6371,1 km = 6,37 x 108 cm

R

= (a 2b )1/3

4

3V = (a 2b )

4

3V = R

3 Dari pers. (1-6) :

R = [(6378,2 )2

(6356,8)]1/3

Radius bumi rata –rata :

Dengan memasukan harga g, G dan R ke pers (1-4)diperoleh,

G

g R 2 M =

(980,6)(6,37 x 108)2

(6,67 x 10-8)= = 5,98 x 1027 gr


http://slidepdf.com/reader/full/gerak-dua-benda 7/72DND-2006

dan dari pers. (1-6) diperoleh,

Massa jenis bumi rata-rata,

4 3

V = R 3

M

V = = 5,98 x 10

27

1,08 x 1027

= 5,52 gr/cm3

= (6,37 x 108)3 4 3

= 1,08 x 1027 cm3



Gerak Bulan Mengedari Bumi

Mengikuti hukumNewton

BumiBulan

Karena M 1/100 M, maka massa bulan dapat

diabaikan. Percepatan bulan terhadap bumi adalah,

da

v jarak Bumi - Bulan

. . . . . . . . . . . . . (1-7)d 2

G M a =



Apabila periode orbit Bulan mengelilingi bumi adalah P maka,

Andaikan orbit Bulan berupa lingkaran dengan radius d ,

dan dengan kecepatan melingkar v yang tetap, makapercepatan sentripetal Bulan adalah,

a = v 2 / d . . . . . . . . . . . . . . . (1-8)

Subtitusikan pers. (1-8) :d 2

G M

a =

G M

d =

d 2

v 2 ke pers. (1-7) diperoleh, . . . . . . . . . . (1-9)

. . . . . . . . . . . (1-10)P

2 d v =



DND-2006

Selanjutnya subtitusikan pers.(1-9) :

ke pers. (1-10) :

diperoleh, . . . . . . . . . . . . . (1-11)

d 2

G M

d =

v 2

P

2 d v =

d 3

P 2

G M

4 2

=

Dari pengamatan diketahui bahwa periode Bulanmengelilingi Bumi adalah,

P = 27,3 hari = 2,36 x 106 detik

Jarak Bum1-Bulan adalah,

d = 384 000 km = 3,84 x 1010 cm



DND-2006

Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan

ke pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,M 6,02 x 1027 gr

Hasil ini sama dengan yang ditentukan berdasarkanbenda yang jatuh dipermukaan Bumi, yaitu

M 5,98 x 1027 gr

Buah durian jatuh ke bumi

Bulan bergerak mengedari bumi

Kesimpulan :

Disebabkan oleh gaya yangsama yaitu gaya gravitasi



DND-2006

Dari pers (1-7) dapat ditentukan percepatan Bulanterhadap Bumi akibat gaya gravitasi yaitu,

jarak Bumi – Bulan = 3,84 x 1010 cm

Percepatan Bulan terhadap Bumi

(6,67 x 10-8)(5,97 x 1027)

(3,84 x 1010)d 2 a = = = 0,27 cm/s2

G M



DND-2006

Massa bulan = 0,0123 kali massa Bumi

Dengan menggunakan persamaan (1-4) untuk Bulan,maka gaya gravitasi dipermukaan Bulan dapat

ditentukan yaitu,massa bulan

radius bulan

= 0,17 kali gaya gravitasi dipermukaan Bumi

Diameter Bulan = 0,27 kali diameter Bumi

Gaya gravitasi di permukaan Bulan

G M

R 2

g =

= 165,72 cm/s2(6,67 x 10-8

)( 0,0123 x 5,98 x 1027

)g =(0,27 x 6,37 x 108)2



DND-2006

ObjekMassa

(Bumi = 1)Diameter

(Bumi = 1)Gravitasi

(Bumi = 1)

Bulan 0,0123 0,27 0,17

Venus 0,81 0,95 0,91

Mars 0,11 0,53 0,38

Jupiter 317,9 11,20 2,54

Matahari 333 000 109,00 28,10

Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit



DND-2006

Berat benda di permukaan Bumi

massa benda

Contoh :

Berat sebuah benda di permukaan Bumi adalah 100 N ,berapakah berat benda tersebut pada ketinggian 25 000km di atas permukaan bumi ?

berat benda (gaya gravitasi yangdirasakan oleh benda) weight

G M m

R 2

W =

Berat benda di permukaan bumi dapat ditentukandengan menggunakan persamaan berikut,



DND-2006

Misalkan berat benda di permukaan bumi adalah W 1 =100 N , maka

Apabila W 2 adalah berat benda pada ketinggian 25 000km (= 2,5 x 109 cm) di atas permukaan bumi, maka

Jawab :

. . . . . . . . . . . . . . . . ()W 1 =G M m

R 2

(R + 2,5 x 109)2 W

2=

G M m . . . . . . . . . . . . ()



DND-2006

Jika harga R = 6,37 x 108 cm, dan harga W 1 = 100 N dimasukan ke pers () maka akan diperoleh,

Dari pers () dan () diperoleh,

(R + 2,5 x 109)2 W 2 =

W 1 R 2

(6,37 x 108 + 2,5 x 109)2

W 2 =(100)(6,37 x 108) 2

4 N

. . . . . . . . . . . . . . ()



DND-2006

Hukum Kuadrat Kebalikan

Untuk menentukan besarnya gravitasi di suatu tempatdapat kita gunakan hukum kuadrat kebalikan

F = - mg

Dari pers. (1-1) :

Dari pers. (1-2) :

. . . . . . . (1-12)

G m M F =

d 2 d 2

G M g =

d 12

G M g 1 =

d 22

G M g 2 =

d 1

g 2 = d 2 g 1

2Untuk g 1 :

Untuk g 2 :



DND-2006

Contoh :

1. Percepatan gravitasi dipermukaan bumi (di permuka-an laut) adalah 980 cm/s2. Tentukanlah percepatan diketinggian 25 000 km di atas permukaan Bumi.

Jawab :

g 1 = gravitasi dipermukaan bumi = 980 cm/s2

d 2

d 1 g 2 = g 1

2

d 1 = radius bumi= R = 6,37 x 108 cm

Misalkan g 2 adalah gravitasi pada ketinggian 25 000km, maka

d 2 = R + 25 000 km = 3,14 x 109 cm



DND-2006

Jadi,

d 1

d 2 g

2= g

1

2

3,14 x 109

6,37 x 108 = (980)

2

= 40,41 cm/s2

2. Pesawat ruang angkasa Galileo berada pada jarak100 000 km dari pusat planet Jupiter, sedangkanpesawat pengorbitnya berada pada ketinggian 300000 km. Tentukanlah besarnya percepatan gravitasipesawat ruang angkasa Galileo dinyatakan dalampercepatan gravitasi pengorbitnya.



DND-2006

Jawab :

Misalkan :g 1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo

d 1 = ketinggian pesawat ruang angkasa Galileo= 100 000 km

g 2 = percepatan gravitasi pesawat pengorbit

d 2 = ketinggian pesawat pengorbit = 300 000 km

d 1

d 2 g 1 = g 2

2

100 000

300 000= g 2

2

= 9 g 2 maka



DND-2006

Satuan Gaya

F = mg

Jika massa (m ) dinyatakan dalam kg dan percepatan (g )dinyatakan dalam m/s2, maka gaya (F ) dinyatakandalam,

F = (kg)(m/s2) = kg m/s2 = Newton (N )

Jika massa (m) dinyatakan dalam gr dan percepatan (g )

dinyatakan dalam cm/s2, maka gaya (F ) dinyatakan

dalam, F = (gr)(cm/s2) = gr cm/s2 = dyne

1 Newton = 105 dyne

Dari pers. (1-2) :



DND-2006

Massa sebuah benda adalah 75 kg, berapakah gayayang dirasakan oleh benda tersebut (berat benda) dipermukaan Bumi, Bulan dan Planet Jupiter ?

Jawab : F = mg

g di Bumi = 9,8 m/s2

g di Bulan = 0,17 x g di Bumi = 0,17 x 9,8 = 1,67 m/s2

g di Jupiter = 2,54 x g di Bumi = 2,54 x 9,8 = 24,89 m/s2

Jadi :

F di Bumi = (75)(9,8) = 735 kg m/s2 = 735 N

Contoh :

F di Bulan = (75)(1,67) = 125,25 kg m/s2 = 125,25 N

F di Jupiter = (75)(24,89) = 1 866,75 kg m/s2 = 1 866,75 N



DND-2006

m2(x 2, y 2, z 2)

m1(x 1, y 1, z 1)

Tinjau dua benda dengan massa benda kesatu adalahm1 dan massa benda kedua adalah m2.

Berdasarkan Hukum Newton,pada benda ke-1 akan bekerjagaya :

m1 = G d 2

r d t 2

m1 m2 r 2

x

y

z

. . (1-13)

r

Koordinat kartesius kedua benda masing-masing adalah(x 1,y 1,z 1 ) dan (x 2,y 2,z 2 ) dan jarak kedua benda adalah r

Hukum Gerak Dua Benda



DND-2006

d 2x 1 m1 = G m1 m2

d t 2

x 1 x 2

r 3 . . . . . (1-14a)

d 2y 1m1 = G m1

m2 d t 2

y 1 y 2

r 3 . . . . . (1-14b)

d 2z 1m1 = G m1 m2

d t 2

z 1 z 2

r 3 . . . . . (1-14c)

Gaya ini dapat diuraikan dalam komponen arah sumbu

x , y , dan z , yaitu :



DND-2006

dalam arah x , y , z , diperoleh :

d 2x 2 m2 = G m1 m2

d t 2

x 2 x 1

r 3 . . . . . . (1-16a)

d 2y 3m2 = G m1 m2

d t 2

y 2 y 1

r 3

. . . . . . (1-16b)

d 2z 2m2 = G m1 m2

d t 2

z 2 z 1

r 3 . . . . . . (1-16c)

Hal yang sama juga berlaku untuk benda kedua, yaitu

dengan menguraikan gaya :

m2 = G d 2r

d t 2

m1 m2

r 2 . . . . . . . . . . (1-15)



DND-2006

Keenam persamaan diferensial tersebut merupakan

persamaan gerak benda.

kedudukan benda setiap saat dapat ditentukan.

Jika keenam persamaan diferensial tersebut dapatdipecahkan, koordinat kedua benda (x 1,y 1,z 1) dan(x 2,y 2,z 2) sebagai fungsi waktu t dapat ditentukan.

Keenam persamaan gerak benda di atas adalahpersamaan diferensial orde ke-2,

terdapat 12 tetapan integrasi.



DND-2006

Ke-12 tetapan integrasi tersebut, dapat ditentukan dari

dari keadaan awal kedua benda tersebut yaitu, 6 koordinat kedudukan awal (3 koordinat x , y , z untuk

masing-masing benda yaitu x 1, y 1, z 1 dan x 2, y 2, z 2)

6 komponen kecepatan awal (3 komponen untuk

masing-masing benda, yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2).



DND-2006

tiga koordinat kedudukan awal tiga komponen kecepatan awal benda yang

bergerak

m1

m2(x , y , z )

x y

z

Sekarang dapat dituliskan :

x = x 2 – x 1 . . . . . . . . . (1-17a)

y = y 2 – y 1 . . . . . . . . . (1-17b)

z = z 2 – z 1 . . . . . . . . . (1-17c)

dan definisikan,

M = m1 + m2 . . . . . . . . . (1-18)

Persoalan ini dapat disederhanakan dengan meng-

anggap benda pertama diam dan dianggap sebagaipusat koordinat

Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu



DND-2006

Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) pada

pers. (1-14a) dan (1-16a), diperoleh

. . . . . . . . . . (1-19a)

Dengan cara yang sama diperoleh komponen padaarah y dan z , yaitu

. . . . . . . . . . (1-19b)

d 2z = G M

d t 2

z

r 3 . . . . . . . . . . (1-19c)

d 2x = G M

d t 2

x

r 3

d 2y = G M

d t 2

y

r 3



DND-2006

x y = 0d 2y

d t 2d 2x

d t 2

d 2y x = G Md t 2

xy

r 3

Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers.

(1-19b) dengan x dan kurangkan keduanya.d 2x

= G Md t 2

x

r 3 Pers. (1-19a) :

d 2y = G M

d t 2

y

r 3 Pers. (1-19b) :

x y

x x

d 2x y = G M

d t 2

xy

r 3

. . . . . . (1-20)



DND-2006

Pers. (1-20) dapat dituliskan sebagai,

x y = 0d y d t

d x d t

d d t

. . . . . . . . . . (1-21)

Integrasikan persamaan (1-21), akan diperoleh,

x y = a 1

d y

d t

d x

d t . . . . . . . . . . (1-22a)

tetapan integrasi

Dengan cara yang sama diperoleh,

y z = a 2 d z

d t

d y

d t . . . . . . . . . . (1-22b)

z x = a 3 d x

d t

d z

d t . . . . . . . . . . . (1-22c)



DND-2006

Pers. (1-22a) : x z x y = a 1 d y

d t

d x

d t

Pers. (1-22b) : x x y z = a 2 d z

d t

d y

d t

Pers. (1-22c) : x y z x = a 3 d x

d t

d z

d t

Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian

jumlahkan

xz yz = a 1z d y

d t

d x

d t

xy xz = a 2x d z

d t

d y

d t

yz xy = a 3y d x

d t

d z

d t



DND-2006

xz yz = a 1z d y

d t

d x

d t

xy xz = a 2x d z

d t

d y

d t

yz

xy = a 3y

d x

d t

d z

d t

Ini adalah persamaan sebuah bidang datar

Orbit benda, terletak pada sebuah bidang datar.

a 1z + a 2x + a 3y = 0 . . . . . . . . . . . (1-23)+



DND-2006

Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian

jumlahkan hasilnya

d 2y = G M

d t 2

y

r 3 Pers. (1-19b) : x

d y 2

d t

2d 2x

= G Md t 2

x

r 3 Pers. (1-19a) : x

dx

d t

d 2x = G M

d

t 2

x

r 3

dx 2

d

t

dx 2

d t

d 2y = G M

d t 2

y

r 3

dy 2

d t

dy 2

d t

d 2z = G M

d t 2

z

r 3 Pers. (1-19c) : x

d t

d z 2

d 2z = G M

d t 2

z

r 3

dz 2

d t

dz 2

d t



DND-2006

d 2x = G M

d t 2

x

r 3

dx 2

d t

dx 2

d t d 2y

= G Md t 2

y

r 3

dy 2

d t

dy 2

d t

d 2z

= G M

d t 2

z

r 3

dz

2 d t

dz

2 d t +

2G M

r 3 x + y + z

dx

d t

dy

d t

dz

d t 2 + + =

d 2x

dt 2

dx

dt

d 2y

dt 2

dy

dt

d 2z

dt 2

dz

dt



DND-2006

2G Mr 3

x + y + z dx dt

dy dt

dz dt

+ + =d dt

dx dt

2 dy dt

2 dx dt

2

atau

. . . . . (1-24)

Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh,r 2 = x 2 + y 2 + z 2

. . . . . . . . . . (1-26)r = x + y + z dx d t

dy d t

dz d t

dr d t

. . . . . . . . . . . . . (1-25)

Apabila pers. (1-25) diturunkan, akan diperoleh,



DND-2006

v 2 = + +dx d t

2

dy d t

2

dx d t

2

. . . . . . . . . (1-27)

Kecepatan benda dinyatakan oleh,

Subtitusikan pers. (1-26) :

dan (1-27) ke pers. (1-24) :

r = x + y + z dx

d t

dy

d t

dz

d t

dr

d t

2G M

r 3 x + y + z

dx

dt

dy

dt

dz

dt + + =

d

dt

dx

dt

2 dy

dt

2 dx

dt

2

diperoleh,2GM

r 2

dr

d t =

dv 2

d t . . . . . . . . . . . (1-28)



DND-2006

Integrasikan pers. (1-28),

v 2 = + h 2G Mr

. . . . . . . . . . . . (1-29)

tetapan integrasi

= dv 2

d t

2G M

r 2

dr

d t 0

v

0

r

diperoleh,

Misalkan energi potensial gravitasi benda kedua adalah

G m2 M

r V = . . . . . . . . . . . . (1-30)



DND-2006

dan energi kinetiknya adalah,

. . . . . . . . . . . . (1-31)T = m2 v 2 1 2

Subtitusikan pers. (1-29) :

T = m2 + h = + m2h 1

2

2G M

r

1

2

G m2M

r . . (1-32)

ke pers. (1-31), diperoleh

v 2 = + h 2G M

r



DND-2006

Pers. (1-30) :

Pers. (1-32) :

G m2 Mr

V =

T = + m2h 1

2

G m2 M

r

T + V = + m2 h 1

2

G m2M

r G m2 M

r 1

2

= m2 h

= h’ . . . . . . . . . . . . . . . . (1-33)Persamaan ini mengatakan bahwa energi total bendakedua selalu tetap selama mengorbit benda pertama.

+

Jumlahkan pers. (1-30) dengan pers. (1-32),



DND-2006

Hukum Kepler

I. Orbit planet mengelilingi matahari tidakberbentuk lingkaran tetapi berbentukelips dengan matahari di titik fokusnya

aphelion perihelion

Matahari

PlanetJohannes Kepler

(1571 – 1630)

http://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler



DND-2006

II. Vektor radius (garis hubung matahari – planet) dalamselang waktu yang sama akan menyapu luas daerahyang sama.

MatahariPlanet

d

dt

dt

r

d

dt r 2 = c (konstan )

Hukum Luas



DND-2006

III. Kuadrat periode planet mengitari matahari sebandingdengan pangkat tiga setengah sumbu besar elips

1 Periode = peredaranplanet mulai dari titik A sampai kembali lagi ke

titik A

P 2 a 3Setengahsumbu panjang

Matahari

Planeta

b

A



DND-2006

Sebagai penyederhanaan, ambil bidang gerak (bidang

orbit) dalam bidang (x, y).

Hukum Kepler adalah hukum empiris, tapi bisadibuktikan dengan hukum Gravitasi Newton.

Gerak benda hanya ditentukan oleh dua persama-an yang mengandung variabel x dan y , yaitu,

d 2x = G Md t 2

x

r 3 Pers. (1-19a) :

d 2y = G M

d t 2

y

r 3 Pers. (1-19b) :

dan

Bukti :

Bukti Hukum Kepler



DND-2006

Sama seperti di bagian yang lalu, persamaan (1.19a)dikalikan dengan y dan persamaan (1.19b) dengan x ,kemudian kurangkan, Hasilnya adalah,

Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh :

x y = 0d y

d t

d x

d t

d

d t Pers. (1-21) :

x y = c d y

d t

d x

d t Per. (1-22a) :

tetapan integrasi

Langkah selanjutnya adalah, lakukan perkalian berikut,



DND-2006

d 2y = G M

d t 2

y

r 3 Pers. (1-19b) :

d y 2

d t

2d 2x

= G M

d t 2

x

r 3

Pers. (1-19a) : dx

d t

d 2x

= G M

d t 2

x

r 3

dx

2 d t

dx

2 d t

d 2y = G M

d t 2

y

r 3

dy 2

d t

dy 2

d t

2G Mr 3

x + y dx d t

dy d t

2 + =d 2x dt 2

dx dt

d 2y dt 2

dy dt



DND-2006

atau . . (1-34)d

dt

2G M

r 3

x + y dx

dt

dy

dt

+ =dx

dt

2 dy

dt

2

Jarak antara kedua benda adalah,

r 2 = x 2 + y 2 . . . . . . . . . . . . (1-35)

Turunkan persamaan (1.35) diperoleh,

r = x + y dx

d t

dy

d t

dr

d t . . . . . . . . . . . (1-36)

Selanjutnya integrasikan persamaan (1.34),

r dr

d t

d

dt 2 x + y

dx

dt

dy

dt + =

dx

dt

2 dy

dt

2

r 3

G M



DND-2006

diperoleh, + 2 = h dx

dt

2 dy

dt

2

r

G M. . . . . . . . . . (1-37)

tetapan integrasi

Sekarang ubah sistem koordinat kartesius ke sistemkoordinat polar dengan mendefinisikan

x = r cos θ = cos θ r sin θ dx dt

dr dt

d θ dt

y = r sin θ = sin θ + r cos θ dy

dt

dr

dt

d θ

dt

Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a),



DND-2006

x y = c d y

d t

d x

d t Per. (1-22a) :

r cos θ

= cos θ - r sin θ dr

dt

d θ

dt

r sin θ

sin θ + r cos θ = dr

dt

d θ

dt

diperoleh r 2

= c d θ

dt

atau = 1

dt

1

d

c

r 2 . . . . . . . . . . . (1-39)

. . . . . . . . . . . . . (1-38)



DND-2006

Dengan cara yang sama kita lakukan ke pers. (1.37),dan hasilnya,

. . . . . . . (1-40)

dengan, = G M . . . . . . . . . . . . (1-41)

+ r 2 = + h 2

r

dr

dt

2 d

dt

2

ke pers. (1-40), diperoleh

Masukan pers. (1-39) : = 1

dt

1

d

c

r 2

dr

d

1

r 4

1

r 2

2

c 2 r

2

+ = 0h

c 2 . . . . . (1-42)



DND-2006

Jika kita definisikan :

Kemudian dimasukkan ke

u =

c 2

1

r

+ = 0dr

d

1

r 4

1

r 2

2

c 2 r

2 h

c 2 Pers. (1-42) :

maka diperoleh, + u 2= H 2 dr d

2 . . . . . . . . . . . (1-43)

dengan H 2 = + =tetapan h

c 2

2

c 4. . . . . . . (1-44)

Pemecahan persamaan (1-43) adalah :

u = H cos ( - ) .. . . . . . . . . . . (1-45)

tetapan integrasi



DND-2006

Masukkan harga u (pers. 1-45) dan H (pers. 1-44) kepers. (1-43),

= 1 + 1 + cos ( )

c 2

1

r

hc 2

2

+ u 2= H 2 dr d

2

Pers. (1-43) :

H 2 = + = tetapan h

c 2

2

c 4Pers. (1-44) :

u = H cos ( - ) Pers. (1-45) :

diperoleh,

c 2

/ r =

1 + 1 + cos ( )hc 2

2

atau . . . . . (1-47)

. . (1-46)



DND-2006

Kita didefinisikan :

1/2

e = 1 + hc

c 2

p = . . . . . . . . . . . . . (1-48)

. . . . . . . . . . . (1-49)

= ( ) . . . . . . . . . . . . . (1-50)

Jika ketiga pers. ini kita subtitusikan ke

Pers. (1-47) :

akan diperoleh,

c 2 / r =

1 + 1 + cos ( )hc 2

2

1 + e cos

p r = . . . . . . . (1-51)

Persamaan irisan kerucut



DND-2006

Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips,parabola atau hiperbola.

Karena elips adalah suatu irisan kerucut, maka hasilini merupakan pembuktian Hukum Kepler I

Dengan demikian, pembuktian Hukum Kepler I

berdasarkan pada persamaan (1-51), yaitu persamaanirisan kerucut.

Parameter p disebut parameter kerucut

Parameter e disebut eksentrisitas

Parameter disebut anomali benar

1 + e cos

p r =



DND-2006

Arti geometri dari parameter ini diperlihatkan padagambar berikut

ω

A

B

m 1

m 2

a

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

Setengah jarak AB disebut setengah sumbu besar,dituliskan a yang harganya diberikan oleh :

p = a (1 – e 2) . . . . . . . . . . . (1-52)

(Apfokus)

(Perifokus)



DND-2006

ω

A

B

m 1

m 2

a


(Apfokus)

(Perifokus)

Perhatikan :

Benda pusat terletak pada titik fokus orbit Sudut menunjukkan kedudukan titik perifokus

terhadap suatu garis acuan tertentu (dalam hal inigaris potong bidang orbit dengan bidang langit)



DND-2006

jika e < 1 orbit berupa elips1 + e cos

p r = Dari pers. (1-51) :

jika e = 1 orbit berupa parabola

jika e > 1

orbit berupa hiperbola

p = a (1 – e 2)karena (pers. 1-52) :

Titik perifokus dicapai apabila = 0o r = a (1 – e)

Titik apfokus dicapai apabila = 180o r = a (I + e)

maka,



DND-2006

ω

A

B

m 1

m 2

a


Aphelion

Perihelion

Apabila m 1

adalah Matahari dan m 2

adalah planet, maka

titik terjauh dari Matahari disebut Aphelion

titik terdekat disebut Perihelion



DND-2006

ω

A

B

m 1

m 2

a


Apastron

Periastron

Apabila ini adalah sistem bintang ganda dengan m 1

adalah bintang ke-1 dan m 2 adalah bintang ke-2, maka

titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron

titik terdekat disebut Perastron



DND-2006

Dari persamaan (1-38) :

Jika kedua ruas dikalikan dengan ½, maka diperoleh :

r 2 = c d θ

dt

r 2 = c d θ

dt

1

2

1

2

. . . . . . . . . . . . (1-53)

luas segitiga yg disapuoleh vektor radius r dlmwaktu dt

Bukti Hukum Kepler II



DND-2006

Integrasikan persamaan (1-53) : r 2 = c d θ

dt

1

2

1

2

A = a 2 (1 – e 2)1/2 r 2 d = c dt 1

2

1

2

0

P Periode Orbit

Luas elips

Dengan demikian :

c P = a 2

(1 –

e 2

)1/2

a 2 (1 – e 2)1/2 = c P 1

2

= 2 a 3/2 a 1/2 (1 – e 2)1/2 atau

. . . . . . . (1-54)



DND-2006

Masukkan p = a (1 – e 2 ) ke

c P = 2 a 3/2

a 1/2

(1 –

e 2

)1/2

pers. (1-54) :

c P = 2 a 3/2 p 1/2 diperoleh, . . . . . . . . . . (1-55)

Selanjutnya masukan pers. p = c 2 / ke pers. (1-55),

diperoleh,

c P = 2 a 3/2 c

1/2 P = 2 a 3/2

1

1/2

P 2 = 4 2 a 3

Kuadratkan pers. di atas akan diperoleh,

=a 3

P 2

4 2 . . . (1-56)



DND-2006

M = m 1 + m 2

= G Mdan pers. (1-41) :

Masukkan pers. (1-18) :

ke pers. (1-56) : =a 3

P 2

4 2

diperoleh, = (m 1

+ m 2)

a 3

P 2

G

4 2 . . . . . . . . (1-57)

Dalam kasus planet mengelilingi Matahari,

m 1 adalah massa matahari (M

)

m 2 adalah massa planet

Karena m 2 << m 1 (massa planet terbesar, yaitu Jupiter,hanya 0,001 M

), maka persamaan (1-57) menjadi :



DND-2006

=M

a 3

P 2

G

4 2

Bukti Hukum Kepler III

. . . . . . . . . . . . . . (1-58)

Bumi dengan satelit-satelit buatan

Planet dengan satelit-satelitnya

Sistem bintang ganda

Hukum Kepler bukan hanya berlaku untuk planet dalammengedari matahari saja tetapi juga berlaku untuk :

dan lainnya



DND-2006

1. Sebuah satelit buatan mengorbit Bumi dalam orbityang hampir berupa lingkaran. Apabila radiusorbitnya adalah 96 000 km, tentukanlah periode orbitsatelit tersebut.

Contoh :

Jawab :

Karena massa bumi jauh lebih besar daripada massasatelit maka menurut Hk Kepler III

a 3

P 2 4 2

G M =

4 2 a 3

G M P =

0,5

Diketahui, M = 5,98 x 1027 gr, a = 9,6 x 109 cm danG = 6,67 x 10-8 dyne cm2 /gr2



DND-2006

Jadi

(6,67 x 10-8) (5,98 x 1027)4

2

(9,6 x10

9

)

3

P =

0,5

= 295 919,24 det = 3,42 hari



DND-2006

Jawab :

2. Tentukanlah periode orbit Bumi jika massa matahari8 kali lebih besar dari massa sekarang dan radiusorbit Bumi dua kali daripada radius sekarang(andaikan orbit Bumi berupa lingkaran)

Misalkan :M1 = massa matahari sekarang

M2 = 8 M

1

a 1 = radius orbit bumi sekarang

a 2 = 2 a 1

Karena M>> M maka4 2 G M = a

3

P 2



DND-2006

Jadi periodenya sama dengan periode sekarang

P 12

a 13

4 2

G M 1 =

a 23

P 22 4 2

G M 2 =

M 1 8M 1

0,5

8P 2 =P 1

a 1 2a 1

1,5

= 21,5 P 1 1

0,5

M 2 M 1 P 2 = P 1

a 1 a 2

0,5 1,5

= (2,83)(0,3535) P 1 = P 1



DND-2006

1. Statsiun ruang angkasa Rusia Mir mengorbit bumisetiap 90 menit sekali pada ketinggian 250 km.Statsiun ruang angkasa ini diluncurkan pada tanggal20 Februari 1986. Setelah beberapa tahun di ruangangkasa, statsiun ruang angkasa ini ditinggalkan dansecara perlahan-lahan jatuh ke Bumi pada tanggal10 Maret 2001.

a. Berapa kalikah statsiun ruang angkasa inimengelilingi Bumi sebelum jatuh ke Bumi?

b. Berapakah jarak yang ditempuh statsiun ruangangkasa ini ? (Ketinggian Mir diabaikan relatifterhadap radius Bumi)

Soal Latihan :



DND-2006

2. Berapa kalikah gaya gravitasi yang disebabkan olehMatahari terhadap pesawat ruang angkasa Ulyssesyang berjarak 2,3 AU dari Matahari dibandingkandengan percepatan gravitasi yang disebabkan olehMatahari terhadap planet Jupiter yang berjarak 5,2AU dari Matahari?

3. Teleskop ruang angkasa Hubble mengorbit Bumisetiap 1,5 jam sekali pada ketinggian 220 km, Jikakamu akan menempatkan satelit komunikasi di ruangangkasa, pada ketinggian berapakah satelit tersebut

harus ditempatkan supaya satelit bisa mengedariBumi setiap 24 jam sekali? (Satelit semacam inidisebut satelit Geosyncronous karena satelit selaluberada di suatu titik yang tetap di atas Bumi)



5. Jika Io yang berjarak 422 000 km dari Jupitermemerlukan waktu 1,8 hari untuk melakukan satu

putaran mengelilingi Jupiter, berapakah waktuyang diperlukan oleh Europa (satelit Jupiter yanglain) yang berjarak 671 000 km dari Jupiter untukmelakukan satu putaran mengelilingi Jupiter?

4. Salah satu satelit Jupiter yaitu Io mempunyaimassa yang sama dengan Bulan (satelit Bumi),dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yangsama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapiIo mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi

dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamumenjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini?

Gerak Dua Benda

Documents