1
Faktorisasi Pada Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total
(Factorization on totally positive sign equivalent matrices)
Oleh : Aleksander Hutauruk
( Di bawah bimbingan Muhafzan, Ph.D dan Jenizon, M.Si )
ABSTRACS
Factorization of matrices is the multiply of matrices which is suitable with
where A is as input matrix and , is as factorial matrices that is
matrices suitable with in a certain condition. The number of k represents the number of
factorial matrix F.
Factorization on totally positive sign equivalent matrices that the matrices being able to
be D1QD2, with Q is totally positive matrix, D1 and D1 are diagonal matrices with main
diagonal elements equal to .
Theorem in factorization on totally positive sign equivalent matrices that every square
real matrix n x n, n ≥ 2 is result of multiplical totally positive sign equivalent matrices,
indicated and stated based on facts in Lowner-Neville factorization, the concept about
matrix and facorization matrix. One of them is facorization : Cholesky, LU, and QR.
Keywords:Totally positive matrix, Totally positive sign equivalent matrix, Factorization
on totally positive sign equivalent matrix, Lowner-Neville factorization.
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Faktorisasi matriks merupakan cara untuk menyatakan hubungan sebuah matriks
sebagai perkalian dari matriks-matriks lain. Sedangkan matriks itu sendiri adalah suatu
susunan berbentuk persegi panjang dari entri-entrinya. Selanjutnya, terdapat berbagai
macam tipe matriks berdasarkan pengamatan ukuran maupun karakteristik dari entri
matriks tersebut.
Dengan adanya berbagai macam tipe matriks menimbulkan pula berbagai macam
cara untuk memfaktorkan suatu matriks, diantaranya dikenal sebagai: faktorisasi
Cholesky, faktorisasi LU, faktorisasi SVD, faktorisasi QR dan faktorisasi Loewner-
Neville. Penggunaan masing-masing faktorisasi ini tergantung pada tipe matriks yang
difaktorkan ataupun tipe matriks sebagai faktor pada perkalian.
Disamping cara memfaktorkan matriks tersebut, terdapat suatu cara lain yang
dinamakan faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total yakni cara memfaktorkan
suatu matriks persegi dalam bentuk perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda
positif total. Matriks ekuivalen bertanda positif total itu sendiri adalah suatu matriks
yang dapat dinyatakan sebagai 21
QDD , dimana Q adalah matriks positif total, 1D dan
2D masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 .
Sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks riil persegi
merupakan perkalian dari matriks-matriks bidiagonal. Fakta ini sebagai gagasan pokok
yang digunakan oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2006) dalam artikel On
Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar Factorizations of Matrtices pada suatu
teorema bahwa setiap matriks riil persegi adalah perkalian dari matriks-matriks
ekuivalen bertanda positif total.
Akhirnya penelitian ini dimaksudkan sebagai penegasan tentang matriks ekuivalen
bertanda positif total dan bukti dari teorema tersebut dengan menunjukkan bahwa setiap
2
matriks riil berukuran nn , 2n dapat difaktorkan menjadi perkalian matriks-matriks
ekuivalen bertanda positif total.
1.2. Perumusan Masalah
Diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan ,2n bagaimana memfaktorkan
matriks A sedemikian sehingga matriks A merupakan perkalian dari matriks – matriks
ekuivalen bertanda positif total.
1.3. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah menunjukkan bahwa faktorisasi matriks persegi riil
merupakan perkalian dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total dengan
membuktian suatu teorema yang berkaitan dengan hal tersebut.
1.4. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
- Menambah pengetahuan penulis mengenai faktorisasi pada matriks persegi riil
khususnya pada matriks ekuivalen bertanda positif total.
- Sebagai bahan masukan untuk peneliti selanjutnya dalam mengembangkan dan
memperluas cakupan penelitian ini.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Teori Dasar Matriks
Definisi 2.1.1 (Anton, 1988)
Suatu matriks mempunyai ukuran yang diperoleh berdasarkan banyaknya baris dan
kolom dalam matriks tersebut. Suatu matriks A yang berukuran m x n disimbolkan
dengan Amxn dan dapat ditulis:A = ,
aaa
aaa
aaa
mnmm
n
n
21
22221
11211
aij entri baris ke-i dan kolom
ke-j, i = 1,2,…,m dan j = 1,2,…,n.
Definisi 2.1.2. (Leon, 2001)
Suatu matriks persegi D merupakan matriks diagonal jika entri – entri 0ij
d untuk
ji .
Definisi 2.1.3. (Leon, 2001)
Matriks identitas adalah matriks I = ji
a berorde n x n, dimana jijika
jijikaaij
0
1
ija adalah entri-entri dari matriks yang terletak dibaris ke i dan kolom ke j.
Definisi 2.1.4. (Zwillinger, 2003)
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang entri dibawah atau diatas garis diagonal
utama adalah nol.
Definisi 2.1.5. (Golub & Loan , 1996)
Suatu matriks persegi ij
dD merupakan matriks bidiagonal jika entri-entri yang
mungkin tak nol adalah ii
d dengan ni ...,,1 , dan 1, jj
d (atau jj
d,1
), dengan j=
1,2,........n – 1. Khususnya jika entri 1iid , untuk ni ,,1 dinamakan matriks
bidiagonal elementer (elementary bidiagonal Matrices).
Definisi 2.1.6. ( Leon, 2001).
Suatu matriks A berukuran n x n disebut simetris jika AT = A.
3
Matriks simetris berukuran n x n disajikan sebagai:
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
12111
Definisi 2.1.7. ( Zwilinger, 2003).
Transpos suatu matriks A berukuran m x n dilambangkan dengan TA adalah suatu
matriks berukuran n x m dengan baris dan kolom saling berganti sedemikian sehingga
komponen baris ke-i kolom ke-j dari matriks A adalah komponen baris ke-j kolom ke-i
dari matriks TA dan .)()(
ijijji
TaAA
Definisi 2.1.8. ( Zwilinger, 2003).
Misalkan ijaA merupakan matriks berukuran m x n dan
jkbB matriks
berukuran n x p; ( bahwa banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B
), maka AB adalah matriks berukuran m x p yakni matriks ijcC dengan elemen
pada baris ke-i kolom ke-j ditentukan oleh rumus:
njinjiji
n
k
kjikijbabababac
2211
1
dengan mi ,...,1 dan pj ,...,1 .
Definisi 2.1.9. ( Zwillinger, 2003).
Suatu matriks A berukuran n x n dikatakan nonsingular atau invertibel jika terdapat
suatu matriks B sedemikian sehingga: BAIABn
Setiap matriks B yang memenuhi sifat tersebut dinamakan invers A ditulis 1A .
Jika A tidak memiliki invers maka A dinamakan matriks singular.
Invers suatu matriks A dirumuskan sebagai: )det(
)(1
A
AAdjA , dengan )(AAdj adalah
adjoin dari matriks A sedangkan )det( A merupakan determinan matriks A.
Definisi 2.1.10. (Zwillinger, 2003)
Adjoin suatu matriks ijaA berukuran nn ditulis )(AAdj adalah matriks
berukuran nn yang disajikan sebagai:
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AAdj
21
22212
12111
)( , dimana
merupakan kofaktor .
Definisi 2.1.11. . (Hager, 1988)
Suatu matriks A disebut matriks ortogonal jika hasilkali A dan transposnya yaitu TA
adalah matriks identitas atau IAAAATT dengan I matriks identitas.
Definisi 2.1.12 (Jacob, 1990)
Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah penerapan diantara hal berikut pada
matriks:
(i). Mengalikan salah satu baris dengan suatu bilangan skalar tak nol.
(ii). Menjumlahkan suatu hasilkali dari salah satu baris pada baris lainnya.
(iii). Mempertukarkan dua baris.
Definisi 2.1.13 (Jacob, 1990)
Matriks elementer nn adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks identitas
nn dengan menggunakan operasi baris elementer tunggal.
ijA
ija
4
2.2. Minor dan Determinan Matriks
Definisi 2.2.1. ( Leon, 2001).
Minor baris ke-i kolom ke-j (ditulis ij
M ) adalah determinan matriks berukuran
)1()1( nn dari suatu matriks berukuran n x n tanpa entri baris ke-i dan entri
kolom ke-j.
Definisi 2.2.2. (Zwillinger, 2003)
Kofaktor baris ke-i kolom ke-j dari matriks persegi ijaA berukuran nn ditulis
ijA
adalah hasil kali ij
jiM1 dimana
ijM merupakan determinan dar matriks A dengan
menghapus elemen baris ke-i dan elemen kolom ke-j (ij
M biasa disebut minor dari ij
a )
.Definisi 2.2.3. (Strang, 1988).
Determinan dari matriks persegi ij
aA berukuran n x n biasa ditulis A atau det(A)
dapat dibedakan oleh formula berikut:
a. Matriks persegi berukuran 2 x 2: 2221
1211
aa
aaA , maka deteminan dari A adalah:
det(A) = 21122211
aaaa ..... (1.1)
b. Matriks persegi ukuran n (dengan n > 2)
Misalkan A merupakan matriks persegi ukuran n x n, dengan n > 2 ditulis ij
aA
dimana ij
a adalah entri pada baris ke i dan kolom ke j untuk ni ,,1 dan nj ,,1
maka determinannya dapat dihitung dengan ekspansi kofaktor dari salah satu baris atau
salah satu kolom. Dengan ekspansi kofaktor baris ke-i atau ekspansi kofaktor kolom ke-
j, maka determinan matriks A adalah:
ininiiii
n
j
ijijAaAaAaAaA
2211
1
)det( ..... (1.2)
atau njnjjjjj
n
i
ijijAaAaAaAaA
2211
1
)det( ..... (1.3)
2.3. Faktorisasi dalam matriks
Definisi 2.3.1. (Hager, 1988) .
Faktorisasi Cholesky adalah faktorisasi suatu matriks persegi H yang dinyatakan sebagai
bentuk perkalian matriks TKKH dengan K adalah matriks segitiga bawah yang
disebut segitiga Cholesky (Cholesky triangle). Sebagai ilustrasi, misalkan matriks H
sebagai berikut:
nnnn
n
n
hhh
hhh
hhh
H
21
22221
11211
dengan jiij
hh (i = 1,...,n dan j = 1,...,n).
Ambil
nnnn
ii
kkk
kk
k
K
21
22210
00
maka
nn
n
nii
T
k
kk
kkk
K
00
0222
121
Bentuk faktorisasi Cholesky dari matriks H berukuran nn adalah:
5
nnnn
n
n
hhh
hhh
hhh
21
22221
11211
nnnn
ii
kkk
kk
k
21
22210
00
nn
n
nii
k
kk
kkk
00
0222
121
..... (2.1)
Dengan menyelesaikan (2.1) diperoleh: i
1p
2
ipiikh ..... (2.2)
ji
p
jpipijkkh
,min
1
, dengan ji ..... (2.3)
Definisi 2.3.2. (Hager, 1988).
Faktorisasi LU adalah suatu bentuk perkalian dari suatu matriks A yang dinyatakan
sebagai hubungan A = LU dimana L adalah matriks segitiga bawah dan U merupakan
matriks segitiga atas. Khususnya, jika matriks A berukuran 3 x 3, yakni:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
maka hubungan pada faktorisasi LU menjadi:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
2221
11
0
00
lll
ll
l
33
2322
131211
00
0
u
uu
uuu
..... ( 2.4)
dimana
333231
2221
11
0
00
lll
ll
l
L , dan
33
2322
131211
00
0
u
uu
uuu
U . Persamaan (2.4) berakibat:
111111ula ,
121112ula dan
131113ula atau
13
13
12
12
11
11
11u
a
u
a
u
al
112121ula ,
2222122122ulula dan
2322132123ulula
113131ula ,
2232123132ulula dan
33332332133133ululula
Sebagai contoh pehatikan matriks
22186
774
222
A . Dengan operasi baris elementer
faktorisasi ditulis sebagai:
400
330
222
123
012
001
22186
774
222
Definisi 2.3.3. (Hager, 1988).
Suatu faktorisasi QR dari suatu matriks persegi A yang riil adalah suatu bentuk
perkalian matriks yang dinyatakan sebagai A = QR dimana Q merupakan matriks
ortogonal dan R matriks segitiga atas.
Sebagai contoh, perhatikan matriks:
330
440
7012
2609
A
.
6
Dengan MATLAB diperoleh
330
440
7012
2609
A
05/30
05/40
5/305/4
5/405/3
QR
2500
550
10015
Definisi 2.3.4. (Fiedler & Markham, 1997)
Suatu faktorisasi dari matriks persegi A berukuran n x n disebut faktorisasi Loewner-
Neville jika A dapat dinyatakan sebagai: A = BDC .....
(2.6)
dimana D adalah matriks diagonal, B dan C masing-masing adalah hasilkali dari
matriks-matriks bidiagonal yaitu: 121 n
BBBB ..... (2.7)
dan 121CCCC
nn ..... (2.8)
dengan iB dan
iC untuk 11 ni ,, disajikan sebagai:
1
1
10
10
1
11
ni
in
i
b
b
B
,
..... (2.9)
dan
1
1
1
0
1
01
11
in
ini
c
cC
,
..... (2.10)
Sebagai contoh perhatikan matriks berukuran 33 :
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Sesuai definisi (2.3.4), ambil matriks diagonal:
3
2
1
00
00
00
d
d
d
D ,
Sesuai (2.9) dan (2.10) matriks bidiagonal:
10
010
001
31
1
b
B ,
10
01
001
32
212
b
bB ,
dan
100
10
001
131cC ,
100
10
01
23
12
2c
c
C . Dengan menyelesaikan persamaan (2.7)
dan (2.8) diperoleh:
1
01
001
32313121
21
bbbb
bB dan
100
10
1
2313
131212
cc
ccc
C
7
Sehingga faktorisasi Loewner-Neville dari matriks A dinyatakan dengan:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
1
01
001
32313121
21
bbbb
b
3
2
1
00
00
00
d
d
d
100
10
01
23
12
c
c
333231
232221
131211
..... (2.11)
dimana: 111d ,
12112cd ,
1312113ccd ,
21121bd ,
12211222cbdd ,
)(23132131221123ccdccbd ,
3121131bbd , )(
32312123121132bbdcbbd ,
323133231213123121133))(( dccbbdccbbd ..... (2.12)
III. METODOLOGI PENILITIAN
3.1. Tempat dan Waktu
Penelitian ini dilakukan pada perpustakaan jurusan Matematika Universitas
Andalas, dan Pustaka Digital (Digital Library) dari berbagai situs matematika sesuai
dengan permasalahan yang dihadapi dan berlangsung sejak Desember 2007 sampai
April 2008.
3.2. Metode
Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dan analitik yang menggunakan
analisa teori yang relevan dengan masalah yang dibahas dan berlandaskan pada studi
kepustakaan. Dalam melakukan penelitian ini penulis memulai dengan meninjau
permasalahan, mengumpulkan teori-teori yang didapat sebagai penunjang untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut dan terakhir menarik kesimpulan dari
permasalahan yang telah dibahas.
Langkah - langkah kerja yang dilakukan pada penelitian adalah:
1. Meninjau konsep-konsep dasar matriks
2. Meninjau konsep-konsep faktorisasi pada matriks.
3. Meninjau tentang matriks positif total dan matriks ekuivalen bertanda positif total .
4. Menyelesaikan masalah faktorisasi matriks ekuivalen bertanda positif total dengan
teori-teori dan algoritma yang berhubungan dengan pemecahan masalah tersebut.
5. Menyimpulkan hasil yang diperoleh.
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Matriks Positif Total
Definisi 4.1.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007)
Suatu matriks A dinamakan matriks positif total jika setiap minor dari matriks A adalah
nonnegatif. Secara khusus, jika A berukuran 2 x 2, yakni:2221
1211
aa
aaA maka A
merupakan matriks positif total jika: 0)det(21122211aaaaA .... (3.1)
dan jika A matriks berukuran 3 x 3, yakni:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A maka A adalah
matriks positif total jika setiap nilai minornya adalah nonnegatif atau 11
M
032233322
3332
2322
11aaaa
aa
aaM , 0
31233321
3331
2321
12aaaa
aa
aaM ,
8
031223221
3231
2221
13aaaa
aa
aaM , 0
32133312
3332
1312
21aaaa
aa
aaM ,
031133311
3331
1311
22aaaa
aa
aaM , 0
31123211
3231
1211
23aaaa
aa
aaM ,
022132312
2322
132`1
31aaaa
aa
aaM , 0
21132311
2321
1311
32aaaa
aa
aaM , dan
021122211
2221
1211
33aaaa
aa
aaM ..... (3.2)
Sebagai contoh diberikan 41
52A , akan diselidiki apakah A adalah matriks positif
total. Karena 03)det( A maka sesuai (3.1) A adalah matriks positif total.
Contoh lainnya misalkan
421
232
011
A , akan diselidiki apakah A adalah matriks
positif total. Dengan memeriksa minor-minor dari A yaitu:
842
23
11M , 6
41
22
12M , 1
21
32
13M , 4
42
01
21M ,
441
01
22M , 1
21
11
23M , 2
23
01
31M , 2
22
01
32M ,
132
11
33M .
Karena 0ij
M untuk 3,2,1i dan 3,2,1j , maka sesuai (3.2) jelas A adalah matriks
positif total.
Beberapa tipe matriks khusus yang memenuhi matriks positif total berdasarkan
definisi (4.1.1), diantaranya :
1). Matriks Identitas
a. Ukuran 22 : 10
01I , 01)det( I berarti matriks ini adalah matriks
positif total.
b. Ukuran nn dengan 2n
Sesuai definisi minor pada baris ke-i kolom ke-j )(ij
M dari suatu matriks, maka
minor matriks identitas berukuran nn tersebut adalah:0
1
ijM
untuk
untuk
ji
ji
Dengan hasil ini diperoleh bahwa setiap minor dari matriks identitas berukuran
nn adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), jelas bahwa matriks identitas
termasuk matriks positif total.
2). Matriks diagonal
Sesuai definisi (2.1.2), maka matriks diagonal D dapat disajikan sebagai:
9
nd
d
d
D
00
00
00
2
1
dengan mengambil entri diagonal 0di
dimana ni ,...,1 maka semua minor matriks
D adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), D dengan kondisi tersebut merupakan
matriks positif total.
3). Matriks Bidiagonal
Berdasarkan definisi (2.1.5), maka matriks bidiagonal )(ijdD berukuran n x n
adalah:
a). Untuk entri-entri yang bukan iid , ni ,...,1 dan
)1( jjd , 1,...,1 nj adalah nol
dapat disajikan sebagai:
nn
nnnn
d
dd
dd
dd
D
000
000
00
00
)1()1)(1(
2322
1211
Dengan mengambil kondisi entri 0iid , ni ,...,1 dan 0
)1( jjd , 1,...,1 nj ,
jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), maka
matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total.
b). Untuk entri-entri yang bukan iid , ni ,...,1 dan
jjd
)1(, 1,...,1 nj adalah nol
dapat disajikan sebagai:
nnnn
nnnn
dd
dd
dd
d
D
)1(
)1)(1()2)(1(
2221
11
000
000
00
000
Dengan mengambil kondisi entri 0iid , ni ,...,1 dan 0
)1( jjd , 1,...,1 nj
jelas bahwa semua nilai minornya adalah nonnegatif. Menurut definisi (4.1.1), maka
matriks bidiagonal dengan kondisi tersebut merupakan matriks positif total.
4). Matriks segitiga
a). Matriks segitiga bawah
Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga bawah berukuran nn dapat
disajikan sebagai:
nnnnlll
ll
l
L
21
2221
11
0
00
10
Dengan mengambil kondisi entri 0ijl , ji jelas bahwa semua nilai minor
ijl
adalah nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), matriks segitiga bawah dengan kondisi
tersebut adalah matriks positif total.
b). Matriks segitiga atas
Sesuai definisi (2.1.4), matriks segitiga atas berukuran nn dapat disajikan
sebagai:
nn
n
n
u
uu
uuu
U
00
0222
11211
Dengan mengambil konidisi 0iju untuk ji jelas semua nilai minor
iju adalah
nonnegatif. Sesuai definisi (4.1.1), maka matriks segitiga atas dengan kondisi tersebut
merupakan matriks positif total.
4.2. Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total
Definisi 4.2.1. (Hershkowitz & Pinkus, 2007)
Suatu matriks persegi A disebut matriks ekuivalen bertanda positif total jika A dapat
dinyatakan sebagai: 21
QDDA (4.1) dimana Q adalah matriks positif total, 1
D dan
2D merupakan matriks-matriks diagonal dengan entri diagonal utama adalah 1 .
Karena 1D dan
2D merupakan matriks diagonal dengan entri pada diagonal 1 maka
1D dan
2D merupakan matriks nonsingular yakni 1
1D dan 1
2D ada.
Apabila persamaan (4.1) dikali dari kiri dengan 1
1D dan dari kanan dengan 1
2D
diperoleh: 1
2
1
1ADDQ ..... (4.2)
Kasus 1: Matriks riil A berukuran 22 , yaitu: 2221
1211
aa
aaA
Untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total dapat
dipilih 2
1
10
0
d
dD , dan
2
1
20
0D dengan 1,1,,,
2121dd .
Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih 2221
1211
qqQ matriks positif total maka A
merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total jika memenuhi hubungan persamaan
(4.1), yaitu:
2221
1211
aa
aa
2
1
0
0
d
d
2221
1211
2
1
0
0
Perhatikan 2
1
10
0
d
dD dan
2
1
20
0D adalah matriks-matriks nonsingular
maka : 2
1
1
2
21
1
1/10
0/1
0
01
d
d
d
d
ddD dan
2
1
1
2
21
1
2/10
0/1
0
01D
11
Karena 1,1,,,2121
dd jelas 1
1
1d
d,
2
2
1d
d ,
1
1
1, dan
2
2
1 akibatnya
,
1
2
1
2
11
10
0
/10
0/1D
d
d
d
dD dan
2
2
1
2
11
20
0
/10
0/1DD
Sehingga dengan persamaan (4.2) diperoleh:21
ADDQ ..... (4.3)
atau 2221
1211
2
1
0
0
d
d
2221
1211
aa
aa
2
1
0
0
22222122
12211111
adad
adad ..... (4.4)
Dari hubungan (4.4), diperoleh: 111111adq ,
122112adq ,
211221adq dan
222222adq
Karena 1,1,,,2121
dd , maka 11
d 1, 21
d 1, 12
d 1 dan 22
d 1.
Karena 21
ADDQ maka )det()det(21
ADDQ ,
atau )(21122211212121122211aaaaddqqqq ..... (4.5)
Perhatikan bahwa 2221
1211
qqQ merupakan matriks positif total berarti:
0)(21122211212121122211aaaaddqqqq
Karena ,,21dd 1,1,
21, maka
2121dd 1.
Untuk menentukan apakah 2221
1211
aa
aaA merupakan matriks ekuivalen bertanda
positif total dilakukan dengan memilih Q , 1
D dan 2
D sebagai berikut:
(1). Jika 0)det(21122211aaaaA , maka ,,
21dd
21, memenuhi
2121dd 1.
(2). Jika 0)det(21122211aaaaA , maka
2121,,, dd memenuhi
2121dd 1.
Untuk kedua hal tersebut ditentukan Q yang memenuhi definisi (4.1.1) dengan
menggunakan hubungan (4.3).
Dengan demikian jika A adalah matriks riil berukuran 22 maka ada 3 matriks
disamping matriks identitas yang dapat dipilih sebagai 1
D dan 2
D untuk memeriksa
A matriks ekuivalen bertanda positif total , yaitu: 10
01 ,
10
01 , dan
10
01 .
Contoh: Akan diperiksa apakah matriks 23
65A adalah matriks ekuivalen bertanda
positif total.
Karena 083.62.5)det( A maka 12121
dd dengan 1,1,21dd dan
1,1,21
, Pilih : 10
01
1D dan
10
01
2D . Dalam hal ini : 1
1d ,
12d , 1
1 dan 1
2. Akibatnya , 5
11q , 6
12q , 3
21q dan 2
22q .
Dengan hubungan (4.3) diperoleh: 23
65Q yaitu matriks yang memenuhi
definisi (4.1.1).
12
Jadi, 23
65A
10
01
23
65
2110
01QDD
Kasus 2 : Matriks riil A berukuran 33 , yaitu:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Dalam hal ini, untuk menyelidiki apakah A merupakan matriks ekuivalen bertanda
positif total dipilih
3
2
1
1
00
00
00
d
d
d
D , dan
3
2
1
2
00
00
00
D , dimana ,,,321ddd
1,1,,321
.
Berdasarkan definisi (4.2.1), pilih
333231
232221
131211
qqq
qqq
qqq
Q yang memenuhi definisi (4.1.1)
sebagai matriks positif total sedemikian sehingga A matriks ekuivalen bertanda positif
total jika memenuhi hubungan persamaan (4.1) yaitu:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3
2
1
00
00
00
d
d
d
333231
232221
131211
qqq
qqq
qqq
3
2
1
00
00
00
Perhatikan bahwa
3
2
1
1
00
00
00
d
d
d
D dan
3
2
1
2
00
00
00
D adalah matriks-matriks
nonsingular yaitu 1
11D dan 1
2D ada. Sesuai definisi (2.1.9) yang dirumuskan maka
)()det(
11
1
1
1Dadj
DD dan )(
)det(
12
2
1
2Dadj
DD
Dengan menggunakan hubungan (1.2) pada baris pertama diperoleh determinan 1D dan
2D yaitu:
321
2
33
2
1100
0)0(
0
00)0(
0
0)det( ddd
d
dd
ddD
dan 321
2
33
2
1200
0)0(
0
00)0(
0
0)det( D .
sementara berdasarkan definisi (2.2.1), (2.2.2) dan (2.1.10) diperoleh:
21
31
32
2
112
1
3
1
3
233
2
1
00
00
00
0
0
00
0
00
0
00
0
0
0
0
00
0
00
0
00
0
0
)(
dd
dd
dd
d
ddd
d
d
d
d
ddd
d
DAdj
dan
13
21
31
32
2
112
1
3
1
3
233
2
2
00
00
00
0
0
00
0
00
0
00
0
0
0
0
00
0
00
0
00
0
0
)(DAdj .
Akibatnya ,
3
2
1
1
1
/100
0/10
00/1
d
d
d
D dan
3
2
1
1
2
/100
0/10
00/1
D
Karena ,,,321ddd 1,1,,
321, maka
1
1
1d
d,
2
2
1d
d,
3
3
1d
d,
1
1
1,
2
2
1dan
3
3
1.
Akibatnya , 1
1
1DD dan
2
1
2DD
Sehingga dengan hubungan persamaan (4.2) diperoleh:
333231
232221
131211
qqq
qqq
qqq
3
2
1
00
00
00
d
d
d
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3
2
1
00
00
00
333332233113
233222222112
133112211111
adadad
adadad
adadad
..... (4.6)
Dari hubungan (4.6) diperoleh:ijjiij
adq , dengan }1,1{,ji
d ..... (4.7)
dimana 3,2,1i dan 3,2,1j . Perhatikan
333231
232221
131211
qqq
qqq
qqq
Q merupakan matriks
positif total, karena ,,,321ddd 1,1,,
321 maka hasilkali diantara ,d,d,d
321
321,, adalah 1 .
Secara umum, untuk memeriksa apakah matriks riil ijaA berukuran nn
adalah matriks ekuivalen bertanda positif total atau bukan, cukup dengan memeriksa
setiap kemungkinan matriks ijqQ berdasarkan (4.3) yaitu matriks yang memenuhi
definisi (4.1.1).
4.3. Faktorisasi Matriks Ekuivalen Bertanda Positif Total
Suatu faktorisasi matriks A merupakan hubungan dari matriks A yang sebagai
kFFFA ......
21 ..... (5.1) dengan matriks
iF , ki ,,1 memenuhi kondisi-kondisi
tertentu.
Sesuai dengan definisi faktorisasi Cholesky, faktorisasi LU, faktorisasi QR dan
faktorisasi Loewner-Neville maupun faktorisasi-faktorisasi lainnya maka secara umum
dapat dikatakan bahwa faktorisasi matriks merupakan hubungan suatu matriks sebagai
perkalian dari matriks-matriks lain sesuai dengan karakteristik matriks yang diberikan
maupun karakteristik matriks yang dilibatkan pada perkalian.
14
Berdasarkan pengertian umum tersebut, maka hubungan matriks persegi riil A
sebagai perkalian dari 1
D dan 2
D yakni matriks diagonal dengan entri diagonal utama
1 , serta matriks Q yaitu matriks persegi dengan semua nilai minornya adalah
nonnegatif memenuhi 21
QDDA dapat disebut sebagai faktorisasi matriks A.
Hubungan ini, oleh Daniel Hershkowitz dan Allan Pinkus (2007) dalam artikelnya
disebut sebagai definisi matriks ekuivalen bertanda positif total. Hal ini telah diuraikan
pada bagian pembahasan sebelumnya.
Selanjutnya, berdasarkan rumusan masalah pada penelitian yang dilakukan ini
yaitu jika diberikan matriks riil A berukuran n x n dengan 2n , maka A dapat
difaktorkan masing-masing menjadi perkalian dari matriks – matriks ekuivalen bertanda
positif total akan ditunjukkan dengan membuktikan suatu teorema.
Teorema 4.3.1.
Setiap matriks persegi riil dapat dinyatakan sebagai perkalian dari matriks-matriks
ekuivalen bertanda positif total.
Bukti :
Misalkan )(ijaA matriks berukuran nn akan ditunjukan bahwa A dapat
dinyatakan sebagai: kAAAA ......
21 ..... (5.2)
dimana iA , ki ,,2,1 adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Karena iA , ki ,,2,1 adalah matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total berarti:
21DQDAii
, dimana:i
Q , ki ,,2,1 masing-masing adalah matriks positif total,1D ,
2D masing-masing merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 .
Berdasarkan suatu fakta dari faktorisasi Loewner-Neville bahwa setiap matriks
persegi merupakan hasilkali matriks-matriks bidiagonal, yaitu untuk )(ijaA
berukuran nn yang memenuhi yang hubungan (2.6) yakni: BDCA
dengan D matriks diagonal , B dan C memenuhi persamaan (2.7), (2.8), (2.9) dan
(2.10).
Berdasarkan hubungan (2.7) dan (2.8) maka hubungan (2.6) dapat ditulis sebagai
hubungan: A ........121DBBB
n 121...... CCC
nn ..... (5.3)
Dari hubungan (5.3) dapat dianalisis matriks-matriks pada sisi kanan sebagai berikut:
Karena D matriks diagonal maka menurut definisi (2.1.2) dapat ditulis sebagai:
nd
d
d
D
00
00
00
2
1
Kasus 1: Jika 0id , ni ,,2,1 maka D merupakan matriks positif total karena
semua minornya adalah nonnegatif. Maka, jelas bahwa D merupakan matriks ekuivalen
bertanda positif total.
Kasus 2: Jika terdapat 0id maka D dinyatakan sebagai:
2
2
1
1
2
1
00
0
00
00
00
00
00
D
d
d
d
D
d
d
d
D
nn
..... (5.4)
15
Dalam hal ini dan 2
D adalah matriks diagonal dengan entri pada diagonal utama
1 dan 01d , yang berarti bahwa:
nd
d
d
00
0
00
00
2
1
adalah matriks positif total.
Akibatnya, menurut definisi (4.2.1) D adalah matriks ekuivalen bertanda positif total.
Karena iB dan
iC matriks-matriks bidiagonal, berarti dapat dinyatakan sebagai:
i) ijibB , dengan 1
iib , ni ,...,1 ; 0
,1 jjb , 1,...,1 nj ; dan entri
ijb lainnya
adalah nol.
ii). ijicC , dengan 1
iic , ni ,,2,1 ; 0
1, jjc , 1,,2,1 nj ; dan entri
ijc
lainnya adalah nol.
Kasus 1: 0,1 jj
b , 1,,2,1 nj dan 01, jj
c , 1,,2,1 nj .
Dalam hal ini minor-minor dari matriks ijibB dan
ijicC adalah nonnegatif.
Sehingga menurut definisi (4.1.1) ijibB dan
ijicC adalah matriks positif total
dan tentu saja merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.
Kasus 2: Ada 0,1 jj
b , 1,,2,1 nj atau 01, jj
c , 1,,2,1 nj .
Dalam hal ini, matriks-matriks ijibB dan
ijicC masing-masing dapat
dinyatakan sebagai:
21DBDbB
iiji, dengan
ijibB dan 0
,1 jjb untuk 1,,2,1 nj
21DCDcC
iiji, dengan
ijicC dan 0
1, jjc untuk 1,,2,1 nj .
Dalam hal ini dan2
D merupakan matriks diagonal dengan entri diagonal utama
adalah 1 .
Dari kasus 1) dan 2) tentang ijibB dan
ijicC maka B dan C masing-masing
merupakan perkalian matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Perhatikan pada sisi kanan hubungan (5.2) merupakan perkalian sebanyak 12n dari
matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Selanjutnya pada sisi kanan hubungan (5.4) merupakan perkalian sebanyak k matriks-
matriks ekuivalen bertanda positif total.
Dengan mengambil 12nk diperoleh bahwa persamaan (5.2) dan persamaan (5.3)
adalah analog, yaitu:
faktork
k
faktorn
nnnAAACCDCBBBA
21
12
121121 .....(5.5)
Dengan demikian suatu matriks riil A berukuran nn , 2n merupakan hasilkali dari
matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Berdasarkan hubungan persamaan (5.5) terdapat k yang menyatakan banyaknya matriks
sebagai faktor dalam faktorisasi.
Sebagaimana pada faktorisasi matriks bidiagonal bahwa banyaknya faktor minimal pada
faktorisasi masih merupakan pertanyaan terbuka demikian pula halnya pada faktorisasi
matriks ekuivalen bertanda positif total.
1). Faktorisasi Cholesky
Untuk kasus matriks berukuran 22 Faktorisasi Cholesky dinyatakan dengan :
22
2111
2221
11
2221
1211
0
0
k
kk
kk
k
hh
hh
1D
1D
16
Sesuai definisi faktorisasi Cholesky matriks segitiga bawah yang disebut segitiga
Cholesky jelas setiap elemen segitiga adalah positif, berarti 0kii
, 0ki2
dan 0k22
.
Akibatnya , 00
0
2211
22
2111
2221
11kk
k
kk
kk
k. Ambil
2
1
10
0
d
dD dan
2
1
20
0D dengan ,,
21dd 1,1,
21 . Matriks sisi kanan sesuai hubungan pada
faktorisasi Cholesky dengan hubungan (4.4) yakni :2221
1211
2
1
0
0
d
d
2221
110
kk
k
2
1
0
0
22222212
11110
kdkd
kd
diperoleh: 111111
kdq ; 0q12
; 211221
kdq ;222222
kdq .
Sesuai definisi (4.2.1), bahwa 2221
1211
qq merupakan matriks positif total, maka
02211212121122211kkddqqqq yang berarti 1
2121dd .
Sehingga dapat diambil 2 diantara entri diagonal utama 1
D dan 2
D adalah 1 dan entri
diagonal utama lainnya adalah 1.
Dengan mengambil Q = 2221
110
kk
k merupakan matriks positif total maka
21
2221
11
2221
11
10
010
10
010QDD
kk
k
kk
k
Menurut definisi (4.2.1), maka 2221
110
kk
k adalah matriks ekuivalen bertanda positif
total. Tanpa mengurangi keumuman dapat disimpulkan bahwa 22
2111
0 k
kk juga
merupakan matriks ekuivalen bertanda positif total.
2). Faktorisasi LU
Untuk kasus matriks A berukuran 22 dengan faktorisasi LU dinyatakan sebagai:
22
2111
2221
11
2221
1211
0
0
u
uu
ll
l
aa
aa ….. (5.12)
Ambil 2
1
10
0
d
dD dan
2
1
20
0D dengan 1,1,
21dd dan 1,1,
21
Perhatikan matriks-matriks sisi kanan faktorisasi (5.12), yakni:
2
1
2221
1211
2
1
2221
11
0
0
0
00
d
d
ll
l ..... (5.12a)
dengan ,,21dd 1,1,
21.
17
Dengan menggunakan hubungan (4.4) diperoleh:
22222112
1111
2
1
2221
11
2
1
2221
12110
0
00
0
0
ldld
ld
ll
l
d
d
qq .....(5.12b)
dimana 02211212121122211llddqqqq .
a. Untuk 02211ll berarti untuk matriks
1D dan
2D dapat diambil 2 diantara entri
diagonal utama adalah – 1 dan entri diagonal utama yang lain adalah 1.
Satu pasangan matriks 1
D dan 2
D yang dapat dipilih adalah 10
01 dan
10
01.
Dengan mengambil matriks Q = 2221
110
ll
l yang merupakan matriks positif total,
maka
21
2221
11
2221
11
10
010
10
010QDD
ll
l
ll
l …..(5.12c)
b. Untuk 02211ll berarti untuk matriks
1D dan
2D dapat diambil 3 diantara elemen
bernilai –1 dan elemen diagonal lain 1.
Diantara kemungkina 1
D dan 2
D yang dapat dipilih adalah: 10
01 dan
10
01
dengan mengambil Q = 2221
110
ll
l yang merupakan matriks positif total maka:
21
2221
11
2221
11
10
010
10
010QDD
ll
l
ll
l ….. (5.12d)
Dari (5.12c) dan (5.12d) menurut definisi (4.2.1) maka 2221
110
ll
l adalah matriks
ekuivalen bertanda positif total.
Dengan cara yang sama untuk matriks segitiga atas 22
2111
0 u
uu dapat dikonstruksi
sedemikian sehingga 21
22
2111
0QDD
u
uu dengan Q matriks positif total,
1D dan
2D
matriks diagonal dengan elemen diagonal 1.Sesuai definisi maka 22
2111
0 u
uu adalah
matriks ekuivalen bertanda positif total.
3). Faktorisasi QR
Sebagaimana pada faktorisasi Cholesky dan faktorisasi LU maka pada faktorisasi
QR dapat pula bahwa pada matriks persegi riil yang merupakan hasilkali matriks
ortogonal Q dan matriks segitiga atas R yang juga berbentuk matriks persegi dapat
dikonstruksi sebagai hasil kali dari matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Dalam kasus matriks berukuran 22 pada faktorisasi QR dengan memeriksa
determinan matriks ortogonal Q dan matriks segitiga atas R, sedemikian sehingga
hubungan QRA sebagai faktorisasi QR juga merupakan faktorisasi matriks ekuivalen
bertanda positif total.
18
Contoh sederhana menunjukkan berlakunya teorema (4.3.1) sebagai berikut:
Berdasarkan uraian dan contoh serta bukti teorema tersebut diatas maka untuk
setiap matriks riil ijaA berukuran nn , 2n difaktorkan menjadi:
kAAAA ...
21
dengan iA , ki ,,1 merupakan matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total.
Untuk memeriksa apakah matriks - matriks iA , ki ,,1 merupakan matriks -
matriks yang memenuhi definisi (4.2.1) cukup dengan memeriksa matriks-matriks i
Q ,
ki ,...,1 sebagai matriks-matriks yang memenuhi definisi (4.1.1) ber - dasarkan
persamaan yang memenuhi hubungan (4.3), yakni: 21
DADQii
, ki ,...,2,1 ... (6.2)
dimana 1D dan
2D adalah matriks diagonal dengan entri diagonal utama 1 .
V. KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
1). Suatu matriks riil )(ijaA berukuran nn , dengan 2n merupakan matriks
positif total apabila setiap minornya adalah nonnegatif.
a). Untuk 2n , matriks riil A merupakan matriks positif total jika 0)det( A .
b). Untuk 2n , matriks riil A merupakan matriks positif total jika setiap minor ij
a
ditulis ij
M dengan ni ,...,1 dan n,...,1j adalah nonnegatif.
2). Suatu matriks riil )a(Aij
berukuran nn , dengan 2n merupakan matriks
ekuivalen bertanda positif total jika dapat dinyatakan sebagai 21
QDDA , dengan
Q adalah matriks positif total, 1
D dan 2
D merupakan matriks diagonal dengan entri
diagonal utama ± 1. Disajikansebagai:
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
qqq
qqq
qqq
d
d
d
aaa
aaa
aaa
00
00
00
00
00
00
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
dengan 1,1,kk
d untuk nk ,...,1 atau :
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
d
d
d
qqq
qqq
qqq
00
00
00
00
00
00
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
dengan ijjiijadq , ni ,...,1 ; nj ,...,1 dan }1,1{,
jid .
3). Matriks-matriks 1
D dan 2
D yang dapat dipilih untuk memeriksa suatu matriks
berukuran nn sebagai matriks ekuivalen bertanda positive total sebanyak: 12n
kemungkinan matriks disamping matriks identitas yakni matriks-matriks diambil
dari kemungkinan penyajian matriks diagonal:
100
010
001
19
4). Faktorisasi dari matriks A merupakan hubungan kesamaan matriks A dengan
perkalian matriks-matriks lain yakni: kFFFA .....
21, dengan matriks
iF , ki ,...,1
memenuhi kondisi-kondisi tertentu.
5). Setiap matriks riil A berukuran nn , dengan 2n dapat difaktorkan menjadi
hasilkali matriks-matriks ekuivalen bertanda positif total ditulis sebagai:
kAAAA ......
21 , dengan
iA , ki ,...,1 matriks-matriks ekuivalen bertanda positif
total.
Hal ini ditunjukkan berdasarkan sebuah fakta pada faktorisasi Loewner-Neville
bahwa setiap matriks persegi adalah hasilkali dari matriks-matriks bidiagonal.
B. Saran
Penelitian selanjutnya dapat dilakukan pada matriks yang lebih umum dan cara
pembuktian yang lain. Berlakunya teorema faktorisasi matriks ekuivalen bertanda
positif total pada penelitian ini hanya dihubungkan dengan faktorisasi: Cholesky, LU
dan QR, selanjutnya dapat dilakukan pada faktorisasi matriks lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1988. Aljabar Linier Elementer Edisi Kelima. Erlangga. Jakarta
Fiedler, M & Markham, T.L.1997. Consecutive Column and Row properties of Matrices
and the Loewner-Neville factorization. Linear Algebra and its Applications, 266:
243 – 259. Elsevier Science Inc. New York.
Gasca, M & Peña, J.M. 1996. On Factorizations of Totally Positive Matrices, Total
Positivity and Its Applications, pp. 1-3 Kluwer Academic Publisher. Dordrecht.
Golub, G. H dan Loan, C. F. 1996. Matrix Computations (Third edition). The John
Hopkins University Press. Baltimore London.
Hager, W. W. 1988. Applied Linear Algebra.Prentice Hall.Inc. Englewood Cliff, New
Jersey.
Harville, D. A. 1997. Matrix Algebra From A Statiscian Perspektive. Springer-Verleg.
Inc. New York.
Hershkowitz, D. & Pinkus, A. 2007. On Nonnegative Sign Equivalent and Sign Similar
Factorizations of Matrices. Electronics Journal of Linear Algebra (ELA). ISSN
1081-3810. Volume 16. pp. 162-170.
Horn, R.A & Johnson , C.R. 1985. Matrix Analysis. Cambridge University Press.
Jacob, B. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company. New York.
Johnson, C.R, Olesky, D.D & Driessche, P.v. 1999. Elementary Bidiagonal
Factorizations, Linear Algebra and Its Applications, 292:233-234. Elsevier
Science Inc. New York.
Leon,S.J.2001. Aljabar Linier dan Aplikasinya(Terjemahan). Erlangga. Jakarta.
Polyanin, A.D. & Manzhirov, A.V. 2007. Mathematics for Engineers and Scientists.
Chapman & Hall. New York.
Riley, K.F, Hobson, M.P & Bence,S.J. 2006. Mathematical Methods for Physics and
Engineering. Cambridge University Press.
Strang, G. 1988. Linear Algebra and Its Applications. Harcourt Brace Jovanovich.
Sandiego.
Zwilinger, D. 2003. Standard Mathematical Tables and Formulae. Chapman & Hall
/CRC Press Company. New York.