FAKTORISASI ALJABAR Kelompok 1 : - Adhiwira Prabhawa P. - Filzah Bazlina - Irvan Ary Maulana N. - M. Iqbal Nur Fikri - Rio Muhammad R. H. - Shaqilla Yasmina Difa P. Y .
FAKTORISASI ALJABARKelompok 1 :
- Adhiwira Prabhawa P.
- Filzah Bazlina
- Irvan Ary Maulana N.
- M. Iqbal Nur Fikri
- Rio Muhammad R. H.
- Shaqilla Yasmina Difa P. Y.
Pengertian Aljabar
Aljabar adalah suatu bentuk matematika yang bentuk penyajiannya memuat
huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Aljabar ditemukan
oleh Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi pada bukunya “Al-Kitāb
al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala”. Aljabar berasal dari Bahasa
Arab "al-jabr" yang berarti "pertemuan", "hubungan" atau "penyelesaian"
Unsur-unsur dalam aljabar :
1. Koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.
2. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui
nilainya dengan jelas.
3. Konstanta adalah suku dari bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak
memuat variabel atau sering disebut bilangan tetap
Bentuk Aljabar
1. Suku tunggal / satu / monomial
7𝒶𝒷
7 adalah koefisien, sedangkan 𝒶 dan 𝒷 adalah variabel.
2. Suku dua / binomial
2𝓍 + 4𝓎
2 dan 4 adalah koefisien, sedangkan 𝓍 dan 𝓎 adalah variabel.
3. Suku banyak / polinomial
3𝓍 + 2𝓎 – 𝓏 + 6
3, 2, dan -1 adalah koefisien ; 𝓍, 𝓎, dan 𝓏 adalah variabel ; dan 6 adalah konstanta
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Caranya dengan menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis. Pada
dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan
rill, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk
aljabar :
a. Sifat Komutatif
𝒶+ 𝒷 = 𝒷+ 𝒶, dengan 𝒶 dan 𝒷 bilangan riil.
b. Sifat Asosiatif
(𝒶+ 𝒷) + 𝒸= 𝒶+ (𝒷 + 𝒸), dengan 𝒶, 𝒷, dan 𝒸 bilangan riil.
c. Sifat Distributif
𝒶(𝒷 + 𝒸) = 𝒶𝒷 + 𝒶𝒸, dengan 𝒶,𝒷, dan 𝒸 bilangan riil.
Contoh
a. 𝓍+ 2𝓎 – 𝓏+ 2𝓍 – 𝓎+ 3𝓏= 𝓍+ 2𝓍+ 2𝓎 – 𝓎 – 𝓏+ 3𝓏
= 3𝓍+ 𝓎+ 2𝓏
b. (10𝓅 – 8 )– (8𝓅 – 10) = 10𝓅 – 8𝓅 – 8 + 10
= 2𝓅 + 2
2. Perkalian
Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar.
a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
Contoh :
2(𝒶 + 3𝒷) = 2𝒶 + 6𝒷
b. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
Contoh :
(𝓍+ 2)(𝓍 +4) = 𝓍 ² + 4𝓍+ 2𝓍+ 8
= 𝓍² + 6𝓍+ 8
3. Pembagian
Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk
pecahan
5𝓅²𝓆 : 𝓅𝓆= 5𝓅²𝓆 = 5𝓅
𝓅𝓆
4. Perpangkatan
Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar.
Berlaku jika 𝒶 bilangan riil dan 𝓃 bilangan asli
Contoh :
(2𝓍𝓎²)3 = (2𝓍𝓎²) x (2𝓍𝓎²) x (2𝓍𝓎²) = 8𝓍3𝓎8
𝒶 n = 𝒶 x 𝒶 x 𝒶 x … x 𝒶sebanyak 𝓃 faktor
Untuk memudahkan penguraian perpangkatan seperti (𝒶 + 𝒷)², (𝒶 + 𝒷)3, dan
seterusnya dapat menggunakan pola segitiga pascal.
1 koefisien (𝒶 + 𝒷)0
1 1 koefisien (𝒶 + 𝒷)1
1 2 1 koefisien (𝒶 + 𝒷)²
1 3 3 1 koefisien (𝒶 + 𝒷)3
1 4 6 4 1 koefisien (𝒶 + 𝒷)4
1 5 10 10 5 1 koefisien (𝒶 + 𝒷)5
Penguraiannya :
(𝒶 + 𝒷)² = 𝒶² + 2 𝒶𝒷 + 𝒷²
(𝒶 + 𝒷)3 = 𝒶3 + 3𝒶²𝒷 +3𝒶𝒷² +𝒷3
Dan seterusnya
Contoh :
(𝓍+ 4)² = 𝓍² + 2(𝓍)(4) + 4²
= 𝓍² + 8𝓍+16
Perpangkatan bentuk aljabar (𝒶 + 𝒷)𝓃 dengan 𝓃 bilangan asli juga mengikuti
pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari
(+) ke (–), begitu seterusnya.
Penguraiannya :
(𝒶 –𝒷)² = 𝒶² – 2 𝒶𝒷 + 𝒷²
(𝒶 –𝒷)3 = 𝒶3 – 3𝒶²𝒷 +3𝒶𝒷² –𝒷3
Contoh :
(𝓍 – 4)3 = 𝓍3 – 3(𝓍)²(4) + 3(𝓍)(4)² – 43
= 𝓍3 – 12𝓍² + 48𝓍 – 64
Pemfaktoran Bentuk Aljabar
1. Pemfaktoran dengan Sifat Distributif
Memfaktorkan suatu bilangan berarti menyatakan suatu bilangan dalam bentuk
perkalian faktor-faktornya. Dengan sifat distributif, bentuk aljabar 𝒶𝓍 + 𝒶𝓎 dapat
difaktorkan menjadi 𝒶(𝓍 + 𝓎), dimana 𝒶 adalah faktor persekutuan dari 𝒶𝓍 dan
𝒶𝓎.
Contoh :
10𝓅² + 25𝓅
Faktor persekutuan dari 10 dan 25 adalah 5
Faktor persekutuan dari 𝓅² dan 𝓅 adalah 𝓅
Jadi, 10𝓅² + 25𝓅 = 5𝓅(2𝓅 + 5)
2. Selisih 2 Kuadrat
𝒶² –𝒷² = (𝒶 + 𝒷)(𝒶 – 𝒷)
Bentuk 𝒶² –𝒷² disebut selisih dua kuadrat.
Contoh :
𝓍² – 49 = 𝓍² – 7² = (𝓍 + 7)(𝓍 – 7)
3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat
a. Pemfaktoran bentuk 𝒶𝓍² + 𝒷𝓍 + 𝒸 dengan 𝒶 = 1
Untuk memfaktorkan bentuk ini, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor 𝒸dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 𝒷.
Contoh :
𝓍² + 2𝓍+ 1 = (𝓍+ 1)(𝓍 + 1)
𝒶= 1, 𝒷 = 2, dan 𝒸 = 1
b. Pemfaktoran bentuk 𝒶𝓍² + 𝒷𝓍+ c dengan 𝒶≠ 1
Contoh :
2𝓍² + 11𝓍+ 15 = 2𝓍² + (6𝓍 + 5𝓍) + 15 ⟶ (1)
= (2𝓍² + 6𝓍 ) + (5𝓍 + 15) ⟶ (2)
= 2𝓍(𝓍+ 3) + 5(𝓍 + 3)
= (2𝓍 + 5)(𝓍 + 3)
Cara :
1. Uraikan 𝒷𝓍 menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut
dikalikan hasilnya sama dengan (𝒶𝓍²)(𝒸)
2. Faktorkan bentuk yang diperoleh dengan menggunakan sifat distributif
KPK dan FPB pada Aljabar
Kelipatan-kelipatan dari suatu bentuk aljabar sangat sulit jika harus dinyatakan
satu demi satu. Oleh karena itu, kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bentuk-
bentuk aljabar tidak dicari melalui himpunan kelipatan persekutuan, melainkan
ditentukan dengan cara pemfaktoran (faktorisasi). Demikian juga untuk
menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari bentuk-bentuk aljabar.
Contoh :
12𝒷2 = 22 x 3 x 𝒷2
9𝒷𝒸 = 32 x 𝒷 x 𝒸
KPK dari 12𝒷2 dan 9𝒷𝒸 = 22 x 32 x 𝒷2 x 𝒸= 36𝒷2𝒸
FPB dari 12𝒷2 dan 9𝒷𝒸 = 3 x 𝒷 = 3𝒷
Pecahan dalam Bentuk Aljabar
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Cara menjumlahkan dan mengurangkan pecahan bentuk aljabar adalah sama
dengan menjumlahkan dan mengurangkan pada pecahan biasa.
Contoh :
a. 1 + 2 = 3 b. 2𝒶+ 2𝒷 = 𝒶(2𝒶) + 𝒷(2𝒷) = 2𝒶² + 2𝒷²𝓎 𝓎 𝓎 𝒷 𝒶 𝒶𝒷 𝒶𝒷
c. 5 - 2 = 3 d. 17 - 6 = 17𝓍 – 30
𝓍 𝓍 𝓍 5 𝓍 5𝓍
2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar
a. Perkalian
Cara mengalikan pecahan bentuk aljabar sama dengan mengalihkan pecahan
biasa.
Contoh :
8 x 𝓅 = 8 x 𝓅 = 8𝓅
𝓅 3 𝓅 x 3 3𝓅
b. Pembagian
Aturan pembagian pada pecahan bentuk aljabar sama dengan aturan pembagian
pada pecahan biasa.
Contoh :
9𝓂 : 𝓂= 9𝓂 x 3 = 27𝓂 = 9
3 3 3 𝓂 3𝓂
3. Perpangkatan Pecahan Bentuk Aljabar
Definisi bilangan berpangkat juga berlaku pada pecahan bentuk aljabar.
Contoh :
2 2= 22 = 4
3𝒷 (3𝒷)2 9𝒷2
4. Penyederhanaan Pecahan Bentuk Aljabar
Cara penyederhanakan pecahan bentuk aljabar sama dengan mengalikan
pecahan biasa.
Contoh :
15𝒶2𝒷 = 5𝒶2
3𝒷2 𝒷
TERIMA KASIH ATAS
PERHATIANNYA