13.01.2011. 1
EULEROV METOD
Euler metoda, nazvana po Leonard Euleru, je prvog reda numeriki postupak za reavanje obinih diferencijalnih jednaina, za date poetne vrednosti.
Eulerov metod ne spada u analitike metode. Aproksimacija funkcije reenja ne dobija se u obliku izraza, ve u obliku tabele priblinih vrednosti.
13.01.2011. 2
EULEROV METOD
Neka je dat Cauchyjev problem na intervalu [a, b]
y = f( x,y ), y( x0 )= y0,
ije reenje se trai. Interval [a, b] podeliemo na n podintervala
pomou taaka
gde je
13.01.2011. 3
EULEROV METOD
Pretpostavimo da je funkcija y neprekidna zajedno sa svojim
izvodima y' i y". Tada na osnovu Taylorove formule postoji taka c1 izmeu X0 i x (x ( X0, X1 )) takva da je:
Kako je odavde sledi da za x = x1 dobijamo:
Ako je korak h dovoljno mali, zanemariemo poslednji lan na desnoj strani i za aproksimaciju tane vrednosti y(x1) uzeti:
13.01.2011. 4
EULEROV METOD
Aproksimacija tane vrednosti y(x2) na intervalu [x1, x2]:
Opti oblik pojedinanog koraka Eulerovog metoda:
Ovako se dobijaju niz taaka (xk, yk), k= 0, ..., n, ijim spajanjem nastaje poligonalna linija koja se zove Eulerov poligon. Ova
poligonalna linija aproksimira grafik traene funkcije y=y(x) (sl.1).
)1...,,1,0(),,(1 nkyxhfyy kkkk
13.01.2011. 5
Sl.1 Eulerov poligon
EULEROV METOD
13.01.2011. 6
EULEROV METOD
Eulerov metod oigledno nije mnogo precizan i u zavisnosti je od broja koraka n tj. od veliine koraka h. Sa slika se vidi da e akumulirana greka Eulerovog metoda biti znaajna. Na celom intervalu [a, b] posle n koraka greka iznosi:
Sl.2 Geometrijska interpretacija Eulerove metode
0x 1x 2x 3x x
0y
1y
2y
3y
y
)( 0xy
)( 1xy
)( 2xy
)( 3xy
)(xyy
13.01.2011. 7
EULEROV METOD- Primer
Primer: Reiti diferencijalnu jednainu y' = 2xy, x0 = 0 i y0 = 1
na intervalu [0,1] za h = 0.1.
Reenje: U tabeli 1. je dat rezultat dobijen Eulerovom metodom i vrednost
analitikog reenja ( ). Na osnovu podataka u tabeli vidi se da je kvalitet reenja dobijenog Ojlerovom metodom vrlo nizak.
(Tabela 1.)
k
kkkk yhxyy 21
13.01.2011. 8
METOD RUNGE-KUTTA
Carl Runge (1895) i Wilhelm Kutta (1901) razvili su metode koje se
zasnivaju na primeni Taylorovog reda, ali izbegavaju izraunavanje izvoda date diferencijalne jednaine.
Najpre su izvedeni metodi nieg reda, kao to su Runge-Kutta reda dva i Euler-Cauchyev metod. Ovi metodi imaju malu preciznost, a
metod koji je u mnogo iroj upotrebi je metod Runge-Kutta reda etiri.
Karl David Tolme Runge Martin Wilhelm Kutta
13.01.2011. 9
METODI RUNGE-KUTTA
Ideja ovih metoda je da se u Taylorovoj metodi izraz zameni
jednostavnijim tj. vrednost se izraunava na sledei nain:
pri emu je:
),( nnp yxhT
1ny
,)(
1
1
n
i
r
i
inn Kyy
(1)
riKbyhaxhfK
KbyhaxhfK
yxhfK
n
j
i
j
ijnin
n
i
n
nn
n
nn
n
,...,2,1),,(
),,(
),(
)(1
1
)(
)(
1212
)(
2
)(
1
Neodreeni koeficijenti se odreuju iz jednakosti ijii ba ,,
)(
1
),( ni
r
i
innp KyxhT
(2)
tj. iz jednaina koji se dobija izjednaavanjem koeficijenata uz iste stepene h na levoj i desnoj strani.
Izborom p odnosno r dobijaju se metode Runge Kuta razliitog reda.
13.01.2011. 10
METODI RUNGE-KUTTA 2. REDA
Dobija se za p=2 i r=2. Prema (1) je
pri emu je:
Razvijanjem K2(n) primenom Tejlorove formule dobija se:
tj.
Iz prethodne relacije i (2) izjednaavanjem odgovarajuih koeficijenata uz hk, dobija se sistem jednaina
)(
22
)(
111
nn
nn KKyy
).,(),,( 1212)(
2
)(
1 KbyhaxhfKyxhfK nnn
nn
n
32122)(2 ,,,, hOyxfyxfbyxfahyxhfK nnnnynnxnnn
nnnnynnxnnnn yxfyxfbyxfahyxfhyy ,,,, 2122
2
211
5.0
5.0
1
212
22
21
b
a
(3)
13.01.2011. 11
METODI RUNGE-KUTTA 2. REDA
Sistem (3) sastoji se iz tri jednaine sa etiri nepoznate, tako da ima beskonano reenja. Neka od njih su:
a)
Tada (1) ima oblik
Ova metoda je poznata kao modifikovana Eulerova metoda.
b)
Tada (1) ima oblik
Ova metoda je poznata kao Heuna metod.
Greka na jednom koraku kod ovih metoda je .
5.0,1,0 21221 ba
,...2,1,0)),,(2
,2
(1 nyxfh
yh
xhfyy nnnnnn
1,5.0 21221 ba
,...2,1,0))),,(,(),((2
1 nyxhfyhxfyxfh
yy nnnnnnnn
)O(hE 3
13.01.2011. 12
METODI RUNGE-KUTTA 4. REDA
Dobija se za p=4 i r=4 tako da je
pri emu je
Slino kao kod metode 2. reda dobija se sistem jednaina, po neodreenim koeficijentima, koji ima beskonano mnogo reenja.
)(
44
)(
33
)(
22
)(
111
nnnn
nn KKKKyy
),(
),,(
),,(
),,(
)(
343
)(
242
)(
1414
)(
4
)(
232
)(
1313
)(
3
)(
1212
)(
2
)(
1
nnn
nn
n
nn
nn
n
n
nn
n
nn
n
KbKbKbyhaxhfK
KbKbyhaxhfK
KbyhaxhfK
yxhfK
13.01.2011. 13
METODI RUNGE-KUTTA 4. REDA
Standardna metoda Runge Kuta 4. reda dobija se za
pa je
pri emu je
Greka metode na svakom koraku je
1,0,2
1,1,
2
1,
3
1,
6
14342413132214323241 bbbbbbaaa
,...1,0,226
1 )(4
)(
3
)(
2
)(
11 nKKKKyynnnn
nn
),(
),2
,2
(
),2
,2
(
),,(
)(
3
)(
4
)(
2)(
3
)(
1)(
2
)(
1
n
nn
n
n
nn
n
n
nn
n
nn
n
KyhxhfK
Ky
hxhfK
Ky
hxhfK
yxhfK
)O(hE 5
13.01.2011. 14
METODI RUNGE-KUTTA 4. REDA
xi xi + h/2 xi + h
f1
f2
f3
f4
4321 226
1fffff
f
Graphical Representation of the 4rth order method:
13.01.2011. 15
METODI RUNGE-KUTTA - Primer
Primer: Reiti diferencijalnu jednainu y' = 2xy, x0 = 0 i y0 = 1
na intervalu [0,1] za h = 0.1.
Reenje: U tabeli je dat rezultat dobijen Runge-Kutta metodom etvrtog reda i vrednost analitikog reenja dobijen korienjem ugraenih matematikih funkcija u Turbo Pascal-u. na intervalu [0, 1] uporediemo efikasnost Eulerove i RK metode.
xk y(xk)
0.0 1,000000000 1,000000000
0.1 1,010050167 1,010050167
0.2 1,040810770 1,040810774
0.3 1,094174265 1,094174284
0.4 1,173510814 1,173510871
0.5 1,284025256 1,284025417
0.6 1,433328995 1,433329415
0.7 1,632315187 1,632316220
0.8 1,896478467 1,896480879
0.9 2,247902590 2,247907987
1.0 2,718270175 2,718281828
13.01.2011. 16
METODI RUNGE-KUTTA - Primer
k xk y(xk)
0.0 1,000000000 1,000000000
0.1 1,010050167 1,010050167
0.2 1,040810770 1,040810774
0.3 1,094174265 1,094174284
0.4 1,173510814 1,173510871
0.5 1,284025256 1,284025417
0.6 1,433328995 1,433329415
0.7 1,632315187 1,632316220
0.8 1,896478467 1,896480879
0.9 2,247902590 2,247907987
1.0 2,718270175 2,718281828
Eulerov vs RK metod
Iz primera se vidi da je slaganje sa analitikim reenjem daleko vee kod rezultata Runge-Kutta metode nego kod rezultata Ojlerove metode.
13.01.2011. 17
METODI RUNGE-KUTTA - Primer
Primer : Neka je data diferencijalna jednaina
Reenje:
13.01.2011. 18
METODI RUNGE-KUTTA - Primer
Rezultati izraunavanja prikazani su u Tabeli 3 zajedno sa vrednostima tanog reenja i grekom.
Tabela 3.