PAPERMETODE NUMERIKMETODE EULER, METODE HEUN DAN METODE
RUNGE-KUTTA
Disusun oleh:Kelompok 41. Adnan Widya Iswara(M0513003)2. Bara
Okta Pratista J.(M0513012)3. Moechammad Alvan P. U.(M0513032)4.
Shofwah Dinillah(M0513043)
JURUSAN INFORMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAMUNIVERSITAS SEBELAS MARETSURAKARTA2015A. Dasar TeoriPersamaan
differensial biasa merupakan suatu persamaan diferensial di mana
fungsi yang tidak diketahui (variable terkait) adalah fungsi dari
variable bebas tunggal. Dalam bentuk paling sederhana, fungsi yang
tidak diketahui ini adalah fungsi riil atau fungsi kompleks namun
secara umum dapat juga berupa fungsi vector maupun matriks. Lebih
jauh lagi, persamaan differensial biasa digolongkan berdasarkan
orde tertinggi dari turunan terhadap variable terikat yang muncul
dalam persamaan tersebut. Contoh sederhana dari persamaan
differensial biasa adalah hokum gerak kedua Newton. Persamaan
differensial linier umumnya dapat diselesaikan dengan menggunakan
cara analitik, tetapi pada bentuk yang kompleks persamaan
differensial biasa ini menjadi sulit diselesaikan. Pada kondisi
ini, terdapat beberapa metode yang disarankan untuk digunakan,
diantaranya adalah metode euler, metode heun dan metode
Runge-Kutta.
B. Definisi dan Rumus Umuma) Metode EulerMetode Euler merupakan
metode yang menghitung penyelesaian persamaan differensial melalui
taksiran langsung dari slope yang kemudian diberi turunan pertama.
Rumus umum yang digunakan oleh metode Euler adalah . b) Metode
HeunMetode Heun merupakan salah satu metode yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan persoalan matematika yang memiliki masalah
nilai awal. Masalah nilai awal merupakan masalah penyelesaian suatu
persamaan differensial dengan syarat awal yang telah diketahui.
Misalkan diberikan persamaan differensial orde satu, yaitu: dengan
penyelesaian adalah . Metode Heun merupakan salah satu metode satu
langkah di dalam metode numerik. Hal ini dikarenakan untuk menaksir
nilai dibutuhkan sebuah taksiran nilai sebelumnya yaitu Metode Heun
merupakan suatu modifikasi dari metode Euler dengan memperkirakan
kemiringan . Berdasarkan metode Euler, kemiringan pada ujung awal
dari interval adalah yang digunakan untuk menghitung nilai dengan
ekstrapolasi linier sehingga menghasilkan rumus perhitungan .
Metode Heun dapat digambarkan sebagai berikut ini:Figure 1-Metode
Heun
c) Metode Runge-KuttaRumus umum dari metode Runge-Kutta adalah
dengan nilai dari adalah fungsi pertambahan yang merupakan
kemiringan rerata pada interval. Fungsi pertambahan dapat ditulis
dalam bentuk umum =.Metode ini merupakan suatu alternative lain
dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan
turunan. Metode Runge-Kutta ini berusaha mendapatkan derajat
ketelitian yang lebih tinggi dan sekaligus menghindarkan keperluan
mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi
pada suatu titik terpilih dalam setiap selang langkah. Dengan inti
metode yang demikian, metode Runge-Kutta merupakan suatu metode
yang popular dan banyak digunakan dalam praktek penyelesaian
persamaan differensial biasa.
C. Contoh Soal dan Penyelesaian I. Soal Metode Euler1. Diketahui
persamaan dan nilai . Gunakan metode Euler untuk mengetahui nilai
dari dengan ukuran langkah hitung hingga jumlah angka signifikannya
5! (Adnan Widya I. / M0513003)Jawab :Dalam persamaan tersebut,
nilai dan penerapan metode Euler pada persamaan tersebut menjadi
dan langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut: Jadi, nilai 2.
Jika diketahui solusi sejati persamaan pada nomor 1 adalah , maka
carilah galat eksaknya!(Bara Okta P.J / M0513012)Jawab :Nilai
solusi sejati dari persamaan nomor 1 adalah sedangkan nilai solusi
pada metode Euler adalah . Maka galatnya adalah .3. Diketahui
persamaan dan nilai . Gunakan metode Euler untuk mengetahui nilai
dari dengan ukuran langkah hitung hingga jumlah angka signifikannya
5! (Moh. Alvan P. U. / M0513032)Jawab :Dalam persamaan tersebut,
nilai dan penerapan metode Euler pada persamaan tersebut menjadi
dan langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut: Jadi, nilai 4.
Jika diketahui solusi sejati persamaan pada nomor 1 adalah , maka
carilah galat eksaknya!(Shofwah Dinillah / M0513043)Jawab :Nilai
solusi sejati dari persamaan nomor 1 adalah sedangkan nilai solusi
pada metode Euler adalah . Maka galatnya adalah .II. Soal Metode
Heun1. Selesaikan persamaan differensial dengan interval sampai
dengan ketetuan pada saat nilai, dan hitung galatnya! (Adnan Widya
I. / M0513003)Jawab :
Tabel hasil perhitungannya adalah sebagai berikut ini:Tabel
1-Tabel hasil perhitungan dengan menggunakan metode Heun
2. Buktikan bahwa nilai galat pada metode Heun adalah !(Bara
Okta Pratistas J. /M0513012)Jawab :Pada Metode Heun, nilai eksak
dapat dirumuskan dalam bentuk sedangkan nilai hampirannya
dinyatakan dalam dengan menggunakan patokan keduanya, maka
perhitungan galat menjadi sebagai berikut ini:Galat = = - )= = ===
(terbukti)3. Diketahui persamaan dan nilai . Gunakan metode Heun
untuk mengetahui nilai dari dengan ukuran langkah hitung hingga
jumlah angka signifikannya 5! (Moh. Alvan P. U. / M0513032)Jawab :
. Jadi, nilai .4. Selesaikan persamaan dengan menghitung nilai bila
diketahui nilai dari !(Shofwah Dinillah / M0513043)Jawab : Jadi,
nilai
III. Soal Metode Runge-Kutta1. Selesaikan masalah nilai awal
pada [0,3] dengan nilai dan lebar langkah !(Adnan Widya I. /
M0513003)Jawab :Tabel 2-Tabel hasil perhitungan denagn menggunakan
metode Runge-Kutta Orde 2
Dengan menggunakan rumus iterasi pada Runge-Kutta Orde 2,
sebagai berikut
Maka penyelesaiannya adalah .2. Jika diketahui persamaan
differensial biasa adalah dengan nilai , maka tentukan nilai dari
dengan metode Runge-Kutta orde tiga dan gunakan ukuran langkah !
(Bara Okta P.J./M0513012)Jawab : Jadi, nilai dari .3. Diketahui
persamaan differensial hitunglah nilai dari dengan menggunakan
metode Runge-Kutta Orde Empat!(Moh. Alvan P.U. / M0513032)Jawab
:Persamaan tersebut kita dapat mengubahnya ke dalam bentuk ,
sehingga nilai dari . Dalam perhitungan dengan metode Runge-Kutta
orde empat, maka nilai dari masing-masing k adalah: Sehingga akan
diperoleh nilai dari 4. Selesaikan persamaan differensial dengan
menggunakan metode Runge-Kutta Orde 2!(Shofwah Dinillah /
M0513043)Jawab :Fungsi persamaan differensial dapat diubah menjadi
bentuk dan dengan nilai pendekatan awal (0,0) diperoleh table
perhitungan sebagai berikut: Tabel 2-Hasil perhitungan dengan
menggunakan Runge-Kutta
REFERENSI
___.ttp://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Buku/Metode%20Numerik/BAb-%2008%20Solusi%20Persamaan%20Diferensial%20Biasa.pdf.
Diakses tanggal 14 April 2015 pukul 09.22 WIB.___.
http://jurnal.untan.ac.id/index.php/jbmstr/article/view/5178/5322.
Diakses tanggal 13 April 2015 pukul 08.00 WIB.___.
http://personal.fmipa.itb.ac.id/novriana/files/2014/02/Penyelesaian-Persamaan-diferensial-biasa-v2013.pdf.
Diakses tanggal 14 April 2014 pukul 08.25 WIB.___.
http://www.unsri.ac.id/upload/arsip/runge_kutta_new.pdf. Diakses
tanggal 13 April 2015 pukul 09.24 WIB.___.
http://xa.yimg.com/kq/groups/23042333/1023943147/name/HEUN.ppt.
Diakses tanggal 13 April 2015 pukul 10.00 WIB.___.
https://yess24.files.wordpress.com/2010/05/6-persamaan-diferensial1.ppt.
Diakses tanggal 14 April 2015 pukul 09.00 WIB.
9