BAB 6 Analisa Spektrum
VI-1
Bab 6: Analisa Spektrum
1 Analisa Spektrum Dengan DFT
Tujuan Belajar 1
Peserta dapat menghubungkan DFT dengan spektrum dari sinyal hasil sampling sinyal waktu kontinue.
N-point DFT dari sinyal x(n) adalah X(ω) yang dievaluasi pada frekuensi-frekuensi ωk = 2πk/N untuk k=0,1,…,N-1 Contoh :
Sinyal dengan durasi sepanjang L diberikan sebagai berikut :
( ) −≤≤
=lainnya
Lnnx
010,1
Transformasi Fourier dari sinyal ini adalah
( ) ( ) ( )( )
( ) 211
0
1
0 2sin2sin
11 −−
−
−−=
=
−−=
=
− =−−
=== ∑∑ Ljj
LjLn
n
njLn
n
nj el
ee
eenxX ωω
ωωω
ωω
ω
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
omega
|X(o
meg
a)|
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi-pi
-pi/2
0
pi/2
pi
Gambar 6.1 : Karakteristik magnituda dan fasa hasil transformasi Fourier
N-point DFT dari sinyal diatas adalah
( ) ( )( )
( ) NLkjNkLj
NkLjLn
n
NkLj eNkNkL
ee
ekX 12
21
0
2
sinsin
11 −−
−
−−=
=
− =−−
== ∑ ππ
ππ
ππ
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10N = 50
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10N = 100
BAB 6 Analisa Spektrum
VI-2
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5N = 50
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi-3
-2
-1
0
1
2
3N = 100
Gambar 6.2 : Magnituda dan fasa N-point DFT untuk N=50 dan N=100
Tujuan Belajar 2
Peserta dapat melakukan analisa spektrum dengan DFT, termasuk konsep windowing
Untuk menghitung spektrum sinyal, baik sinyal waktu kontinyu maupun sinyal waktu diskrit, maka perlu diketahui besarnya sinyal setiap saat. Namun, secara praktis, kita mengamati sinyal hanya dalam selang waktu tertentu. Akibatnya, spektrum sinyal harus didekati menggunakan sejumlah data yang berhingga.
Misalkan, 1. 2. Durasi xa(t) = To ≥ T dimana T = 1/Fs
⇒ kemampuan membedakan frekuensi terbatas ke sF
F1
=∆
bila xa(t) lebih panjang dari To, tetapi kita "memaksa" diri menggunakan blok sebesar L samples, maka gunakan window ω(n) berdurasi L
)()()(ˆ nnxnx ω=
misal −≤≤
=lainnya
Lnn
0101
)(ω
maka )(ˆ nx berdurasi L, gunakan pada DFT Misalkan x(n) mengandung frekuensi tunggal ω0
x(n) = cos ω0 n
maka transformasi Fourier x(n) dapat dinyatakan
( ) ( ) ( )[ ]0021ˆ ωωωωω ++−= WWX
xa(n) L samples
B
anti aliasing
filter
sampling xa(t)
Fs≥2B
BAB 6 Analisa Spektrum
VI-3
dimana W(ω) adalah transformasi Fourier dari sekuen window, dimana untuk rectangular window
2/)1(
)2/sin()2/sin(
)( −−= ljeL
W ω
ωω
ω
Tujuan Belajar 3
Peserta mengerti zero padding dan persamaan/perbedaan akibatnya dibanding dengan menaikkan point DFT.
( )ωX̂ dihitung menggunakna DFT. Jika diinginkan menghitung N-points DFT dimana N > L maka dapat dilakukan zero padding, yaitu dengan menyisipkan sejumlah (N–L) buah nol pada sekuen { ( )nx̂ }. Gambar dibawah memperlihatkan magnituda spektrum
untuk L=25 dan N=2048. Seperti terlihat pada gambar tersebut, spektrum ( )ωX̂ tidak terlokalisir pada satu frekuensi tetapi menyebar ke seluruh range frekuensi. Jadi, daya dari sinyal x(n) yang sebelumnya terkonsentrasi pada satu frekuensi sekarang tersebar ke seluruh range frekuensi, atau disebut leakage.
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi0
2
4
6
8
10
12
14
16L = 32, N = 2048
Tujuan Belajar 4
Peserta dapat mengurangi kebocoran spektrum (spektral leakage)
Windowing, selain menyebabkan kesalahan estimasi spektrum sinyal karena leakage, juga mengurangi resolusi spektrum. Misalkan terdapat sinyal terdiri dari dua frekuensi :
x(n) = cosω1n + cosω2n dengan menggunakan windowing, maka
)()(ˆ nxnx nω=→ dimana transformasi Fouriernya adalah :
[ ])()()()(21
)( 2121 ωωωωωωωωω ++++−+−= WWWWX
BAB 6 Analisa Spektrum
VI-4
Zero crossing W(ω) terjadi pada ω = 2π/L, bila |ω1-ω2| < 2π/L maka terjadi overlap pada W(ω-ω1) dan W(ω-ω2), jika |ω1-ω2| ≥ 2π/L maka muncul 2 lobe. Jadi kemampuan meresolusi garis spektrum ditentukan oleh lebar main-lobe dari window. Contoh :
x(n) = cos 0.2πn + cos 0.22πn + cos 0.6πn
Terdapat dua frekuensi yang saling berdekatan, yaitu 0.2π dan 0.22π. Kedua frekuensi tidak bisa dipisahkan menggunakan L=25 dan L=50, kedua frekuensi baru terpisah menggunakan L = 100.
Untuk mengurangi kebocoran dapat digunakan window w(n) dengan side-lobe yang rendah yang berakibat main-lobe melebar (resolusi meningkat). Bila spektrum window relatif sempit dibanding X(ω) maka efek smoothing kecil, sebaliknya bila spektrum window relatif lebar maka efek W(ω) lebih dominan sehingga harus dihindari. Contoh :
Hanning Window
−≤≤
−−=
otherwise
LnnLn
0
101
2cos1
21
)(π
ω
yang digunakan pada sinyal seperti diatas. Perhatikan gambar dibawah, menggunakan Hanning window.
BAB 6 Analisa Spektrum
VI-5
2 Menghitung DFT Dengan bantuan Filter
Tujuan Belajar 5
Peserta dapat menghitung DFT dengan bantuan filter linier dan diterapkan dalam kasus Goertzel Algorithm untuk DMTF.
Algoritma Goertzel memanfaatkan sifat periodik sudut fasa { }kNW sehingga perhitungan
DFT dapat dinyatakan sebagai operasi linear filtering dengan resonator pada ωk= 2πk/N Karena 1=−kN
NW , maka dapat digunakan sebagai faktor pengali, sehingga
∑ ∑−
=
−
=
−==1
0
1
0
)()()(N
m
kmN
N
m
kNN
kmN WmxWWmxkX
Nnk
N
m
mNkN nyWmx =
−
=
−− == ∑ )()(1
0
)(
bila ∑−
=
−=1
0
)()()(N
mkk mnhmxny
)()( nuWnh knNk−≡
x(m) yk(n) → tunggu sampai n = N
Hk(n)
BAB 6 Analisa Spektrum
VI-6
→ yk(N) = X(k) Ctt.
111
)( −−−=
zWzH k
Nk
)()1()( nxnyWny kk
Nk +−=⇒ − y(-1) = 0
Untuk menghindari bilangan kompleks akibat kNW − , buat komplex conjugate →
( )( ) )(11
1
1
zHzWzW
kkN
kN
−
−
−−×
sehingga ( )21
1
2cos21
1−−
−
+
−
−=
zzNkzW
kHk
N
π
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) NkNNkX
nvWnvny
nxnvnvN
knv
kk
Nkk
kkk
2log valuesMuntuk baik realinput 1
212
cos2
≤−=→−−=
+−−−=π
sehingga cukup menghitung
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )12cos21
1
22
22
−
−−+=
−−⇒
NvNk
NvNv
NvWNvny
kkk
kk
Nkk
π