Analisa Sinyal Waktu Kontinyu: Transformasi Fourier 1
1
Analisa Sinyal Waktu Kontinyu:Transformasi Fourier
Pendahuluan
• Deret fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan fungsi periodik sebagai penjumlahan sinusoidal dan untuk memperoleh spektrum frekuensi dari deret tersebut.
• Transformasi Fourier memberikan kita konsep analisa dari spektrum frekuensi dari fungsi non periodik.
• Dengan tranformasi, diasumsikan fungsi non periodik adalah sebagai fungsi periodik dengan perioda tak terbatas.
Pendahuluan
• Transformasi fourier adalah representasi integral dari fungsi non periodik yang sama dengan representasi deret fourier dari fungsi periodik.
• Transformasi fourier mengubah fungsi dari domain waktu ke domain frekunsi.
Fungsi non-periodik
• Fungsi non periodik p(t).
• Dibuat fungsi periodik f(t) yang bentuknya sama dengan p(t).
• Dengan perioda T -> ∞, dan hanya satu pulsa dengan lebar τ.• Menaikkan T hingga tak terbatas membuat f(t) menjadi fungsi
non periodik dalam gambar sebelumnya.
6
Fungsi non-periodik
7
Transformasi Fourier
• Transformasi fourier dari fungsi f(t) dinotasikan dengan F(ω) dan didefinisikan sbg:
• Sedangkan invers transformasi fourier fungsi F(ω) didefinisikan sebagai:
• Operasi fourier dinotasikan dengan:
8
• Contoh:– Tentukan transformasi fourier dari fungsi e-atu(t).
• Penyelesian:
9
• Magnitude dan sudut (untuk spektrum):
10
Tabel Transformasi Fourier
11
12
13
14
15
Sifat2 Transformasi Fourier
1. Sifat Simetri• Sifat ini menyatakan bahwa, jika
• maka
16
• Contoh
– F(t) sama dengan F(ω) yang diganti ω dengan t, dan f(- ω) sama dengan f(t) yang diganti t dengan -ω.
– Karena rect x adalah fungsi genap, maka rect (-x) = rect (x)
17
2. Sifat Scaling– Jika
– Maka
3. Sifat Time Shifting– Jika
– Maka
18
Contoh– Carilah transformasi fourier dari fungsi e-a|t-t0|
Penyelesaian
↔
Maka:
19
4. Sifat Frequency Shifting– Jika
– Maka
• Contoh– Carilah transformasi fourier dari sinyal termodulasi f(t).cos 10t.
Dimana f(t) adalah pulsa gerbang rect (t/4) seperti yg digambarkan dibawah ini.
20
• Penyelesian– Kita ketahui bahwa:
– Berarti:
– Sehingga:
– Karena f(t) = rect (t/4), maka F(ω) = 4 sinc (2ω)– Sehingga:
21
22
Operasi Transformasi Fourier
23
Transmisi Sinyal Melalui Sistem LTIC
• Jika f(t) dan y(t) adalah input dan output dari sistem LTIC yang mempunyai fungsi transfer H(ω), maka:
• Persamaan ini hanya berlaku untuk f(t) yang bisa di transformasi fourier.
24
• Contoh– Carilah respon zero state dari sistem LTIC stabil yang mempunyai
fungsi transfer:
– Dan inputnya adalah f(t) = e-tu(t).
• Penyelesaian
– dan
25
– Dengan cara pecahan parsial, maka:
– Sehingga diperoleh respon zero state dari sistem adalah:
• Latihan– Carilah respon zero state dari sistem pd contoh, jika input sistem
adalah f(t) = etu(-t)
• Jawaban