Bài 3 1AX XB A B
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Ta xét hệ phương trình:
2 3 8 2 3 85 7 1 5 7 1
x x yy x y
Hệ phương trình trên có thể viết ở dạng ma trận: A X=B. Câu hỏi đặt ra là X = ?
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
)0(.1 1 ababaa
bx
1 .AX B X A B
Xét phương trình: a x = b.
Ta có:
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có
như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào?
1A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
bax
bax
baaxa
bxa
1
1
11
1
1 1
1
1
A X B
A A X A B
I X A B
X A B
Ta để ý:
Phải chăng ?1 IAA
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Nhận xét:
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Nhận xét:
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
1 2 32 4 0
4 5 7A
11A 2812A 14
13A -6
21A -29
22A -5
23A 13
31A -12
32A -6
33A 8
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A
A A AP A A A
A A A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Bài tập: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau: 2 0 0
5 1 03 4 1
A
11A -112A 5
13A 17
21A 0
22A -2
23A -8
31A 0
32A 0
33A 2
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A
A A AP A A A
A A A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
1 2 3 28 29 122 4 0 14 5 6
4 5 7 6 13 8AAP
38 0 00 38 00 0 38
Ví dụ:
1 0 038 0 1 0
0 0 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ:
1
28 29 121 14 5 638
6 13 8A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 3
0 1 40 0 1
A
det( ) 1A
1 2 50 1 40 0 1
1 2 50 1 40 0 1
AP
1A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 6
1 4A
det( ) 2A
4 61 2
12
2 34 6111 22
AP
1A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 0 2 3
1 0 14 5 0
A
1det( ) ? 1? det( ) A
A
AA P
P A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Đáp số:
1
5 15 21 4 12 37
5 8 2A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 2 5
1 2A
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2
A
a b d bA P
c d c a
Đáp số: 1 2 51 2
A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Bài toán:Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn Tìm ma trận X thỏa mãn
1)1) AX = BAX = B 2)2) XA = BXA = B 3)3) AXB = CAXB = C 4)4) AX + kB = CAX + kB = C
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo Ta có:
1
-1 -1
-1
1) AX=B A AX=A
IX=A
B
A
B
X B
1 1
1
1
2) XA B XAA BA
XI BA
X BA
1A B
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo Ta có:
-1 -1
-1 -1
1 1
1
3) AXB=C A AXB=A
XBB =A
X A
B
CB
C
C
1
1 1
(
4 ( )
( )
)
) AX kB C AX C kB
A AX A C kB
X A C kB
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ
phương trìnhsau:2 6
3 2 14 3 5 5
x y zx y zx y z
1 2 1 63 1 2 14 3 5 5
xyz
121
X
1AX B X A B
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:
1 2 3 1 50 1 4 0 40 0 1 2 3
X
Phương trình có dạng: AX=B 1X A BTa có:
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
1 2 5 1 50 1 4 0 40 0 1 2 3
X
9 188 162 3
Vậy
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
1 3 1 1 2 32
2 4 2 0 0 5X
2XA B C
Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:
Phương trình có dạng
1( 2 )X C B A
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
Ta có
1( 2 )X C B A
1 4 3 0 11 ; 22 1 4 52
A C B
0 1 4 3 0 1 4 31 1( )4 5 2 1 4 5 2 12 2
X
Với nên
12172
12 111326 172
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
1 3 2 2 20 4 2 0 45 0 3 8 6
X
AX B
Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn:
Phương trình có dạng
1X A B
Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
Đại Số Tuyến Tính
§3: Ma trận nghịch đảo
2 4 2 7 4 83 5 1 3 2 0
X
AXB C
Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn:
Phương trình có dạng
1 1X A CB