269
сколько раз. Докажите, что после каждой такой операции общее ко-личество точек на прямой будет нечётным.
§ 45. Параллельные прямые
Рассмотрим на плоскости прямую a и точку M, не принадлежащую этой прямой (рис. 165). Через точку M можно провести бесконечно много прямых. И только одна из них не пересечёт прямую a (на рис. 166 эта пря-мая обозначена буквой b). В таких случаях говорят, что прямые a и b парал-лельны.
Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называют параллельными.
Если прямые a и b параллельны, то это записывают так: a N b (чита-ют: «прямая a параллельна прямой b» или «прямые a и b параллельны»).
Представление о параллельных прямых дают линии дорожной раз-метки (рис. 167), рельсы на прямолинейном участке железной дороги
Рис. 163 Рис. 164 Рис. 165
A
a
BC
a a
M
Рис. 166 Рис. 167
a
bM
270
(рис. 168), след, который оставляет лыжник, двигаясь прямолинейно (рис. 169).
Обратим внимание, что и раньше вам были известны геометрические фигуры, элементы которых лежат на параллельных прямых. Например, противолежащие сто-роны прямоугольника лежат на параллель-ных прямых (рис. 170), на параллельных прямых лежат рёбра A
1B
1 и C
1D
1, AA
1 и
CC1 прямоугольного параллелепипеда
ABCDA1B
1C
1D
1 (рис. 171).
Отметим, что прямые A1B
1 и AD (см.
рис. 171) также не пересекаются. Однако они не лежат в одной плоскости, поэтому параллельными их не считают, а называют скрещивающимися.
Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называют парал-лельными. Так, противолежащие стороны прямо угольника параллельны; в прямоугольном параллелепипеде (см. рис. 171) параллельными являются, например, рёбра AB и CD, BB
1 и DD
1.
На рисунке 170 каждая из прямых BC и AD перпендикулярна пря-мой AB, при этом BC N AD. Это не случайно, поскольку справедливо следу-ющее свойство.
Если две прямые, лежащие в одной плоскости, перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
Это свойство даёт возможность с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые. На рисунке 172 показано, как через данную точку M провести прямую, параллельную данной прямой a.
Рис. 168 Рис. 169 Рис. 170
DA
B C
Рис. 171
1
1
1
1
A
A
B
B
C
C
D
D
271
1. Каким может быть взаимное расположение двух прямых на плос-кости?
2. Какие две прямые называют параллельными?3. Каким символом обозначают параллельность прямых?4. Как читают запись m N n?5. Какие отрезки (лучи) называют параллельными?6. Можно ли считать два отрезка параллельными, если они лежат в од-
ной плоскости и не имеют общих точек?7. Каково взаимное расположение двух прямых, которые лежат в од-
ной плоскости и перпендикулярны третьей прямой?
Решаем устно
1. Пять братьев хотят поделить между собой 40 яблок так, чтобы каж-дый из них получил нечётное количество яблок. Смогут ли они это сделать?
2. Из 12 м батиста сшили 8 одинаковых блузок. Сколько таких блузок можно сшить из 18 м батиста?
?
Рис. 172
aM
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
01
23
45
67
89
10
01
23
45
67
89
10
11 12 13 14 15
272
3. Оля собрала в саду яблоки и груши, причём яблок было в 4 раза боль-ше, чем груш. Сколько процентов собранных фруктов составляли яблоки?
Упражнения
1280. Перерисуйте в тетрадь рисунок 173. Проведите через каждую из то-чек A и B прямую, параллельную прямой m.
1281. Определите на глаз, а потом проверьте с помощью угольника и ли-нейки, какие из прямых, изображённых на рисунке 174, параллельны.
1282. Перерисуйте в тетрадь рисунок 175. Проведите через точку O пря-мые, параллельные прямым k и p.
1283. Начертите угол MKE, градусная мера которого равна: 1) 58°; 2) 116°; 3) 90°. Отметьте между сторонами угла точку P и проведите через эту точку прямые, параллельные сторонам угла.
1284. Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину пря-мую, параллельную противоположной стороне.
Рис. 173
A
B
m A
B
m m
AB
а б в
Рис. 174 Рис. 175
a
c
b
ab c d
O
k
p
а б
273
1285. Перерисуйте в тетрадь рисунок 176. Проведите прямые BC, CE, AD, DF, BE и AF. Определите, какие из этих прямых параллельны.
1286. Начертите четырёхугольник, у ко-торого:1) две стороны параллельны, а две другие — не параллельны;2) противоположные стороны па-раллельны.
1287. Начертите:1) пятиугольник, две стороны кото-рого параллельны;2) шестиугольник, у которого каж-дая сторона параллельна какой-либо другой стороне.
1288. Начертите шестиугольник, две стороны которого лежат на одной прямой, а каждая из четырёх остальных сторон параллельна какой-либо другой стороне.
1289. Сколько точек пересечения могут иметь три прямые на плоскости? Изобразите все случаи.
Упражнения для повторения
1290. Составили одинаковые большие и одинаковые маленькие букеты роз. В двух маленьких и пяти больших букетах было 55 роз, а в шести ма-леньких и пяти больших — 75 роз. Сколько роз было в каждом букете?
1291. При обработке детали её масса уменьшилась с 240 кг до 204 кг. На сколько процентов уменьшилась масса детали?
1292. Влажность травы составляет 80 %, а сена — 20 %. Сколько килограм-мов сена получат из 4 т травы?
1293. Найдите значение выражения:
8 25 10 11 2 615 12 7 21011
23
29
12
, : , , :⋅ −⎛⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ + −⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ .
Готовимся к изучениюновой темы
1294. Отметьте на координатной прямой точку A (−3). Найдите на этой прямой точки, удалённые от точки A на пять единичных отрезков, и укажите их координаты.
Рис. 176
B
D
A
C
E
F
274
Задача от мудрой совы
1295. Все жители города A всегда говорят правду, а все жители города B всегда лгут. Известно, что жители города A бывают в городе B и на-оборот. Путешественник попал в один из этих городов, но не знает, в какой. Какой один вопрос он должен задать первому встречному, чтобы выяснить, в каком городе находится?
§ 46. Координатная плоскость
Можно ли на координатной пря-мой найти точку, если известна её координата? Конечно да. Например, числу −2,5 соответствует единствен-ная точка A (−2,5) (рис. 177).
Однако не любой объект удаётся отыскать, имея такую ограниченную информацию, как одно-единственное число.
Если, например, после летних каникул вы расстаётесь со своим но-вым другом и оставляете ему только номер своей квартиры, то он вряд ли сможет вас отыскать. Часто в таких случаях говорят, что вы оставили недо-статочно координат.
Также понятно, что невозможно на географической карте отыскать пункт, если указана только его широ-та. Вспомните, как герои книги Жюля Верна «Дети капитана Гранта» долго и с многочисленными приключения-ми путешествовали в поисках капита-на, потому что они знали только то, что он находится на 37-й параллели.
Координаты объекта — это такая информация, по которой его можно найти (определить местонахождение) однозначно. Например:
• номера квартиры и дома, названия улицы, города и страны — коорди-наты, с помощью которых ваш друг вас легко найдёт;
• широта и долгота — координаты объекта на географической карте;
• номер ряда и номер места — координаты кресла в зале кинотеатра;
• шахматная запись Кa1 — координаты коня на шахматной доске (рис. 178).
«Морской бой» — ещё одна игра, в которой используют координаты.
Рис. 177
A
0 2–1–2–3 1