§ 45. Параллельные прямые · 2020. 4. 16. · § 45. Параллельные прямые Рассмотрим на плоскости прямую a и точку

269

сколько раз. Докажите, что после каждой такой операции общее ко-личество точек на прямой будет нечётным.

§ 45. Параллельные прямые

Рассмотрим на плоскости прямую a и точку M, не принадлежащую этой прямой (рис. 165). Через точку M можно провести бесконечно много прямых. И только одна из них не пересечёт прямую a (на рис. 166 эта пря-мая обозначена буквой b). В таких случаях говорят, что прямые a и b парал-лельны.

Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называют параллельными.

Если прямые a и b параллельны, то это записывают так: a N b (чита-ют: «прямая a параллельна прямой b» или «прямые a и b параллельны»).

Представление о параллельных прямых дают линии дорожной раз-метки (рис. 167), рельсы на прямолинейном участке железной дороги

Рис. 163 Рис. 164 Рис. 165

A

a

BC

a a

M

Рис. 166 Рис. 167

a

bM

270

(рис. 168), след, который оставляет лыжник, двигаясь прямолинейно (рис. 169).

Обратим внимание, что и раньше вам были известны геометрические фигуры, элементы которых лежат на параллельных прямых. Например, противолежащие сто-роны прямоугольника лежат на параллель-ных прямых (рис. 170), на параллельных прямых лежат рёбра A

1B

1 и C

1D

1, AA

1 и

CC1 прямоугольного параллелепипеда

ABCDA1B

1C

1D

1 (рис. 171).

Отметим, что прямые A1B

1 и AD (см.

рис. 171) также не пересекаются. Однако они не лежат в одной плоскости, поэтому параллельными их не считают, а называют скрещивающимися.

Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называют парал-лельными. Так, противолежащие стороны прямо угольника параллельны; в прямоугольном параллелепипеде (см. рис. 171) параллельными являются, например, рёбра AB и CD, BB

1 и DD

1.

На рисунке 170 каждая из прямых BC и AD перпендикулярна пря-мой AB, при этом BC N AD. Это не случайно, поскольку справедливо следу-ющее свойство.

Если две прямые, лежащие в одной плоскости, перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Это свойство даёт возможность с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые. На рисунке 172 показано, как через данную точку M провести прямую, параллельную данной прямой a.

Рис. 168 Рис. 169 Рис. 170

DA

B C

Рис. 171

1

1

1

1

A

A

B

B

C

C

D

D

271

1. Каким может быть взаимное расположение двух прямых на плос-кости?

2. Какие две прямые называют параллельными?3. Каким символом обозначают параллельность прямых?4. Как читают запись m N n?5. Какие отрезки (лучи) называют параллельными?6. Можно ли считать два отрезка параллельными, если они лежат в од-

ной плоскости и не имеют общих точек?7. Каково взаимное расположение двух прямых, которые лежат в од-

ной плоскости и перпендикулярны третьей прямой?

Решаем устно

1. Пять братьев хотят поделить между собой 40 яблок так, чтобы каж-дый из них получил нечётное количество яблок. Смогут ли они это сделать?

2. Из 12 м батиста сшили 8 одинаковых блузок. Сколько таких блузок можно сшить из 18 м батиста?

?

Рис. 172

aM

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10

01

23

45

67

89

10

01

23

45

67

89

10

11 12 13 14 15

272

3. Оля собрала в саду яблоки и груши, причём яблок было в 4 раза боль-ше, чем груш. Сколько процентов собранных фруктов составляли яблоки?

Упражнения

1280. Перерисуйте в тетрадь рисунок 173. Проведите через каждую из то-чек A и B прямую, параллельную прямой m.

1281. Определите на глаз, а потом проверьте с помощью угольника и ли-нейки, какие из прямых, изображённых на рисунке 174, параллельны.

1282. Перерисуйте в тетрадь рисунок 175. Проведите через точку O пря-мые, параллельные прямым k и p.

1283. Начертите угол MKE, градусная мера которого равна: 1) 58°; 2) 116°; 3) 90°. Отметьте между сторонами угла точку P и проведите через эту точку прямые, параллельные сторонам угла.

1284. Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину пря-мую, параллельную противоположной стороне.

Рис. 173

A

B

m A

B

m m

AB

а б в

Рис. 174 Рис. 175

a

c

b

ab c d

O

k

p

а б

273

1285. Перерисуйте в тетрадь рисунок 176. Проведите прямые BC, CE, AD, DF, BE и AF. Определите, какие из этих прямых параллельны.

1286. Начертите четырёхугольник, у ко-торого:1) две стороны параллельны, а две другие — не параллельны;2) противоположные стороны па-раллельны.

1287. Начертите:1) пятиугольник, две стороны кото-рого параллельны;2) шестиугольник, у которого каж-дая сторона параллельна какой-либо другой стороне.

1288. Начертите шестиугольник, две стороны которого лежат на одной прямой, а каждая из четырёх остальных сторон параллельна какой-либо другой стороне.

1289. Сколько точек пересечения могут иметь три прямые на плоскости? Изобразите все случаи.

Упражнения для повторения

1290. Составили одинаковые большие и одинаковые маленькие букеты роз. В двух маленьких и пяти больших букетах было 55 роз, а в шести ма-леньких и пяти больших — 75 роз. Сколько роз было в каждом букете?

1291. При обработке детали её масса уменьшилась с 240 кг до 204 кг. На сколько процентов уменьшилась масса детали?

1292. Влажность травы составляет 80 %, а сена — 20 %. Сколько килограм-мов сена получат из 4 т травы?

1293. Найдите значение выражения:

8 25 10 11 2 615 12 7 21011

23

29

12

, : , , :⋅ −⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟ ⋅ −⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + −⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ .

Готовимся к изучениюновой темы

1294. Отметьте на координатной прямой точку A (−3). Найдите на этой прямой точки, удалённые от точки A на пять единичных отрезков, и укажите их координаты.

Рис. 176

B

D

A

C

E

F

274

Задача от мудрой совы

1295. Все жители города A всегда говорят правду, а все жители города B всегда лгут. Известно, что жители города A бывают в городе B и на-оборот. Путешественник попал в один из этих городов, но не знает, в какой. Какой один вопрос он должен задать первому встречному, чтобы выяснить, в каком городе находится?

§ 46. Координатная плоскость

Можно ли на координатной пря-мой найти точку, если известна её координата? Конечно да. Например, числу −2,5 соответствует единствен-ная точка A (−2,5) (рис. 177).

Однако не любой объект удаётся отыскать, имея такую ограниченную информацию, как одно-единственное число.

Если, например, после летних каникул вы расстаётесь со своим но-вым другом и оставляете ему только номер своей квартиры, то он вряд ли сможет вас отыскать. Часто в таких случаях говорят, что вы оставили недо-статочно координат.

Также понятно, что невозможно на географической карте отыскать пункт, если указана только его широ-та. Вспомните, как герои книги Жюля Верна «Дети капитана Гранта» долго и с многочисленными приключения-ми путешествовали в поисках капита-на, потому что они знали только то, что он находится на 37-й параллели.

Координаты объекта — это такая информация, по которой его можно найти (определить местонахождение) однозначно. Например:

• номера квартиры и дома, названия улицы, города и страны — коорди-наты, с помощью которых ваш друг вас легко найдёт;

• широта и долгота — координаты объекта на географической карте;

• номер ряда и номер места — координаты кресла в зале кинотеатра;

• шахматная запись Кa1 — координаты коня на шахматной доске (рис. 178).

«Морской бой» — ещё одна игра, в которой используют координаты.

Рис. 177

A

0 2–1–2–3 1