Teoria Variables Regionalizadas Estimacion

7/22/2019 Teoria Variables Regionalizadas Estimacion

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G. MATHERON

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LAS VARIABLES REGIONALIZADASY SU ESTIMACION

Una aplicacin de la Teora de las Funciones

Aleatorias a las Ciencias de la Naturaleza

Traducido al espaol por

Marco Antonio Alfaro Sironvalle

2008


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TESISPRESENTADA

A LA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA

UNIVERSIDAD DE PARISPARA OBTENER

EL GRADO DE DOCTOR EN CIENCIAS APLICADASPOR

MATHERON Georges

TESIS. LAS VARIABLES REGIONALIZADAS Y SU

ESTIMACION

Sostenida el 10 de Noviembre de 1965 delante la Comisin de examen.

Sres. SCHWARTZ Presidente

FORTET Examinador

CAILLEUX Examinador


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PREFACIO

Es para m extremadamente agradable expresar mi reconocimiento a todos aquellos que mehan guiado, aconsejado, animado en el desarrollo del trabajo que presento aqu: a sucomprensin e indulgencia. Agradezco en particular:

Al Profesor FORTET, que ha aceptado dirigir mi trabajo y ser el Profesor Informante.

Al Profesor L. SCHWARTZ quien, adems de inculcarme el rigor por un uso torpe de lateora de las Distribuciones, me ha hecho el gran honor de presidir mi jurado de tesis.

Al Profesor CAILLEUX quien, al aceptar participar en mi jurado, me ha aportado una

ayuda muy preciosa dado que vena del mundo de las Ciencias de la Tierra.

En el curso de diez aos de actividad prctica, de la cual el presente trabajo trata de haceruna sntesis terica, son numerosos los que me han ayudado, sea abrindome, con suautoridad, campos nuevos de aplicaciones, sea hacindome beneficiar de su experienciaprctica a travs de fructuosos cambios de ideas, sea finalmente, al mo o en colaboracin,pero siempre en un clima de perfecto acuerdo. Yo les debo mucho, y, no pudiendoagradecerles individualmente, les ruego encontrar aqu la expresin de mi gratitud.

Georges MatheronPars, Francia, 1965

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PREFACIO DEL TRADUCTOR

Pongo a disposicin de la comunidad geoestadstica de habla hispana la Tesis de Doctor deEstado del Maestro Georges Matheron (1930-2000), publicada en 1965. A mi juicio, estaobra contiene el pasado, el presente y el futuro de la geoestadstica.

El nivel matemtico de la obra es bastante elevado, pero su contenido est siempreorientado a las aplicaciones, al uso de modelos probabilsticos para el estudio de fenmenosnaturales nicos. Las conclusiones metodolgicas de cada captulo son fundamentalesdesde el punto de vista epistemolgico y para las aplicaciones prcticas.

Para mi fue enriquecedor realizar la traduccin de esta obra. He tratado de omitir, dentro delo posible, las referencias al modelo de De Wijs, ya superado con la aparicin de lascomputadoras.Por fin logr entender la teora de las Distribuciones de Laurent Schwartz: Si antes, paralos problemas de estimacin pensaba en trminos de espacios de Hilbert, ahora, con estateora pienso en las leyes de mineral como una funcin generalizada.

En esta obra el tratamiento de la teora de las variables regionalizadas es notable, sobre todoen lo que respecta a la teora transitiva, las varianzas de estimacin, las relaciones entre unavariable regionalizada y su campo V y los lmites de aplicacin de la teora intrnseca.Despus de leer profundamente este texto, es difcil ser un detractor del concepto devarianza de estimacin.

A Rodrigo SegoviaQuien fuera un gran geoestadstico y amigo.

Marco AlfaroSantiago, Chile, 2008

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Maestro, di; che terra e questa?

INTRODUCCION

1.- Nocin de variable regionalizada.

En un gran nmero de actividades humanas, principalmente en las Ciencias de la Tierra, elarte de las minas, etc... interesa estudiar la variacin espacial de ciertas magnitudes, que

llamaremos, de manera general, variables regionalizadas. Como ejemplos simples devariables regionalizadas, citemos entre otras: las densidades de poblacin humana en unazona geogrfica, la potencia (o el espesor) de una formacin geolgica, la ley de un metaldado en un yacimiento minero, etcEl tcnico se puede interesar a esta magnitudes por razones de tipo puramente utilitario. Porejemplo, para un minero, se puede tratar de estimar las reservas de un yacimiento, entonelaje y en ley, a partir de un muestreo fragmentario, y, en la medida de lo posible,acompaar estas estimaciones de un clculo de error. Pero tambin de una manera msgeneral, puede interesarse en estas magnitudes para tratar de hacer comprensible elfenmeno natural (regionalizado) que estas magnitudes representan. Se trata entonces deextraer de la masa de datos numricos brutos disponibles, los grandes rasgos estructurales y

las caractersticas mayores de un fenmeno natural.Estos dos puntos de vista no se oponen entre s. En efecto, para resolver correctamente unproblema esencialmente prctico, como el clculo del error posible cometido en laestimacin de un yacimiento minero, es imperativo tomar en cuenta ciertas caractersticasestructurales de la variable regionalizada, tal como su continuidad. El ejemplo elementalsiguiente lo muestra de manera clara. Supongamos que se han realizado medidas, aintervalos regulares, a lo largo de una lnea, las cuales han proporcionado, en el terreno, enun primer lugar, la secuencia A de valores numricos:

A) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1y, en un segundo caso, la secuencia B:

B) 1 4 3 6 1 5 4 3 2 5 2En el caso A, se tiene claramente una estructura simtrica muy fuerte, caracterizada por undecrecimiento muy regular a partir del punto central. En el segundo caso, la estructura, sies que existe, es muy dbil, y la impresin que se tiene es la de una extrema irregularidad.A pesar que las once medidas tienen, en ambos casos, los mismos valores numricos (en un


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orden diferente), es claro que la estimacin de un valor medio puede ser hecha, en el casoA, con una muy mejor precisin que en el caso B. La precisin depende, en efecto, de lacontinuidad en el espacio de la variable regionalizada.En este ejemplo simple, se ve tambin, que la descripcin puramente estadstica delfenmeno es enteramente insuficiente. El estadstico que se conformara con la

construccin de los histogramas de las secuencias A y B concluira, debido a que estos doshistogramas son idnticos, equivocadamente, a la identidad de los dos fenmenos naturalesobservados. En el tratamiento estadstico ordinario, en el cual se conformara con clasificaren forma de histogramas las muestras disponibles, se hace abstraccin del lugar donde hansido tomadas. Se destruyen las estructuras espaciales. Por otra parte, es claro que no bastacon saber con qu frecuencia se repite una ley dada en un yacimiento minero. Es tambinimportante saber de qu manera las leyes se suceden en el espacio, y, principalmente, cules el tamao y la posicin de las zonas explotables, etcAparece as que las variables regionalizadas no pueden ser asimiladas a variables aleatorias,cuyo estudio es el objetivo de la estadstica habitual. De hecho, la nocin de variablealeatoria solo tiene un sentido concreto si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1.

Posibilidad, por lo menos terica de repetir indefinidamente el experimento queatribuye un valor numrico definida a la variable aleatoria.2. Independencia mutua de estos experimentos, el resultado de uno de estos no puede

estar de ninguna manera influenciado por el resultado de los experimentosprecedentes.

Una variable regionalizada no puede verificar estas dos condiciones. Si el experimentoconsiste, por ejemplo, en tomar una muestra de caractersticas definidas en un punto decoordenadas xyz, al interior de un yacimiento, la ley de esta muestra es nica, fsicamentebien determinada y de ninguna manera aleatoria. No hay ninguna posibilidad de repeticin,y la condicin 1 no se verifica. Sin embargo es posible tomar una nueva muestra, no en elmismo punto, sino en un punto vecino del precedente: a pesar que no se trata, estrictamente,del mismo experimento, se podra en rigor, admitir que la condicin 1 se respeta de maneraaproximada. Pero ahora la condicin 2 no lo ser de ninguna manera. Si la primera muestraha sido tomada en una zona rica, la segunda implantada en su vecindad, tendr tendencia,en promedio, a ser rica igualmente, y esta tendencia ser ms pronunciada cuando lamineralizacin ser ms continua.

2.- Caractersticas cualitativas de las variables regionalizadas.

Las variables regionalizadas que se presentan a observacin, poseen caractersticascualitativas, ligadas estrechamente a la estructura del fenmeno natural que ellasrepresentan. Entre estas caractersticas que la estadstica ordinaria es incapaz de expresar, yque deben, obligatoriamente ser tomadas en cuenta por la teora de las variablesregionalizadas, examinemos, usando como referencia el ejemplo ya dado de una ley en unyacimiento minero, algunas de las caractersticas ms importantes:

a) Localizacin. Una variable regionalizada no toma sus valores en cualquier lugar, sinomas bien, en una regin bien determinada del espacio, que se llama campo geomtrico: Elcampo es en general una formacin geolgica, por ejemplo el espacio mineralizado delyacimiento mismo. Pero a veces es necesario limitar el estudio de la variable a una porcin,


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o panel, de su campo geomtrico natural. Igualmente, la variable ser a veces definidacomo una funcin f(M) del punto M. Sin embargo, a menudo, no habr inters en losvalores puntuales, sino en los valores medios de la variable al interior de un dominiopequeo, o soporte geomtrico. Para una ley, el soporte ser el volumen vde la muestratomada. El volumen v debe estar definido de manera precisa, con sus dimensiones, su

forma geomtrica, y su orientacin en el espacio. Si se cambia el soporte v se obtiene unanueva regionalizacin, que presenta analogas con la primera, pero que no es idntica. Esas como los bloques de algunos metros cbicos no se distribuyen en el espacio de la mismamanera que los testigos de sondajes de algunos kilos. Una de las tareas de la teora de lasvariables regionalizadas, que se llama a veces tambin geoestadstica cuando se aplica aproblemas geolgicos y mineros, consiste en prever las caractersticas de la variabledefinida sobre un soporte v y en un campo V, conociendo, por ejemplo, las de la variablepuntual en un campo diferente V.

b) Continuidad.- Una segunda caracterstica esencial es el grado de mayor o menorcontinuidad de la regionalizacin en el espacio. En ciertos casos, por ejemplo, para

variables que poseen una significacin puramente geomtrica, como la potencia de unaformacin geolgica, se observar la continuidad estricta de los matemticos, que se definecon y . Lo ms corriente, es observar una continuidad ms floja, llamada continuidaden media. En este caso, cuando el punto M tiende hacia M0 , solamente el valor medio de[f(M) f(M0)]

2 tiende a cero. La reparticin en le espacio toma ahora una forma msirregular y discontinua. Finalmente puede suceder que la continuidad en media no severifique. En este caso de extrema irregularidad, nosotros hablaremos de efecto de pepita.Los yacimientos de oro peptico proporcionan un ejemplo clsico.

c) Anisotropa.- En tercer lugar, una regionalizacin puede ser anistropa. Puede existir,por ejemplo, una direccin privilegiada, a lo largo de la cual los valores se modificanlentamente, mientras que stos varan mucho ms rpido en la direccin perpendicular. Estetipo de fenmenos conocidos con el nombre de corridas, de zonaciones, etc est, engeneral asociado a la existencia de ciertas estructuras geolgicas.

d) Fenmeno de transicin.- Otros tipos de estructuras se pueden manifestar, ligados a laaparicin en el campo geomtrico de la variable, de una red de discontinuidades: se hablaentonces, de una manera general, de fenmenos de transicin. Como ejemplos simples, sepueden citar, para las formaciones sedimentarias, las estratificaciones y las repeticioneslenticulares de los estratos. Puede suceder que la variable la cual es constante o casiconstante al interior de los estratos, tenga cambios bruscos al pasar de un estrato a otro. Aestas discontinuidades verticales, materializadas en el espacio por las unionesestratigrficas, a menudo se adicionan discontinuidades horizontales, debidas al trminolenticular y a la repeticin de los estratos individuales. Esta red compleja dediscontinuidades realiza una particin del espacio mineralizado en compartimientos casiindependientes entre s (correspondientes, por ejemplo, a antiguos micro-cuencas, donde lascondiciones de depositacin han evolucionado de manera ms o menos autnoma).Se puede observar que el efecto de pepita de origen granulomtrico est tambin ligado aun fenmeno de transicin. La red de discontinuidad es en este caso lo que separa, en elespacio, los diferentes granos de estril y de mineral. La naturaleza del fenmeno es lamisma, pero la escala es bastante diferente. El efecto de pepita aparece como una forma de


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fenmeno de transicin ligado a la presencia de micro-estructuras discontinuas en el campode la regionalizacin.

3.- Los esquemas tericos.

Para elaborar una representacin matemtica de las variables regionalizadas, capaz detomar en cuenta las caractersticas estructurales mencionadas anteriormente, se puedepensar en utilizar la teora probabilstica de las funciones aleatorias. Sin embargo, esnecesario ver bien, que los naturalistas tienen aqu una objecin muy fuerte, ligada a launicidad de los fenmenos naturales y a la imposibilidad de la inferencia estadstica.Recordemos, en efecto, rpidamente la nocin de funcin aleatoria. Partiendo de la nocinde variable aleatoria simple X, definida por su ley de distribucin probabilstica F(x), losmatemticos han introducido a continuacin las variables aleatorias con variascomponentes (X1, X2, , Xn) descritas por leyes de distribucin simultneas F(x1, x2, ,xn), luego ellos han examinado lo que se produce cuando n es infinito. Una funcinaleatoria es, si se quiere, una variable aleatoria con una infinidad de componentes. En el

caso que nos ocupa, estas componentes, en nmero infinito, seran los valores tomados porla variable regionalizada en cada uno de los puntos de su campo geomtrico. Se ve cul esla objecin de los naturalistas. Los valores tomados por la variable en todos los puntos desu campo deben ser considerados como el resultado de una prueba al azar, en unexperimento nico, efectuado segn la ley de probabilidad con una infinidad decomponentes que definen la funcin aleatoria. Pero el paso inverso no es posible. Elexperimento es nico y no se puede remontar, a partir de los valores experimentales, ladistribucin terica, como tampoco se puede inferir la ley de probabilidad F(x) de unavariable aleatoria ordinariaXcuando solo se dispone del resultado de un solo experimento,el cual ha dado un valor numrico particular (por ejemplo x= 98).A pesar que la inferencia estadstica no est fundamentada, es claro que los valoresnumricos tomados efectivamente por la variable regionalizada, es decir, el fenmenonatural mismo, poseen una realidad fsica, y todo recurso a una interpretacin probabilsticaaparece como perfectamente arbitraria. Este es el punto de vista adoptado por la teora delas variables regionalizadas en un primer grupo de mtodos llamados representacionestransitivas. Estos mtodos que son el objeto de la primera parte de la obra, no hacenninguna referencia a alguna hiptesis probabilstica, ni tampoco a algn principiodeterminstico: el determinismo no es negado a priori, pero solo puede ser puesto enevidencia con la ayuda de estudios especficos, respecto de cada categora de fenmenosnaturales, y no servira de nada invocarlos, in abstracto, a nivel de generalidades. El puntode vista puramente descriptivo y formal , adoptado en las representaciones transitivas,puede ser comparado con el de la cinemtica, que desarrolla las leyes generales y formalesque todo movimiento debe cumplir, cualquiera que sean las causas y contenido fsico, delsolo hecho que se trata de movimiento. El punto esencial consiste en asociar, a todavariable regionalizada, una funcin g(h) ms simple, llamada covariograma transitivo,capaz de expresar, de una forma sinttica, las caractersticas mayores enumeradasanteriormente, y al mismo tiempo, de formular y de resolver los problemas importantespropuestos por la prctica, respecto de las variables regionalizadas.Pero hay un caso particular en el cual la objecin de los naturalistas puede ser levantada. Esel caso llamado estacionario. En trminos abstractos, se dice que una funcin aleatoria esestacionaria, si la ley de probabilidad de los valores tomados por esta funcin en kpuntos


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arbitrarios es invariante para toda traslacin del conjunto de estos puntos. Dicho de otramanera, el carcter estacionario implica la homogeneidad del fenmeno en el espacio. Si setienen slidas razones para pensar, por ejemplo, que las condiciones fsico-qumicas deldepsito, o de la gnesis, de una mineralizacin son, efectivamente, homogneas en elespacio del yacimiento, esta hiptesis puede ser adoptada, por lo menos en primera

aproximacin. En virtud del carcter estacionario, se puede decir que el fenmeno se repiteen el espacio, y se concede que la inferencia estadstica es ahora posible, y con ella unainterpretacin del fenmeno, fundada en la teora clsica de las funciones aleatorias. Unpapel determinante juega, en esta teora, la funcin de auto-correlacin K(h) , querepresenta la covarianza de los valores tomados por la funcin aleatoria en dos puntosdistintos distantes de h , y que constituye el equivalente probabilstica del covariogramag(h) de las representaciones transitivas. Sin embargo, la teora de la auto correlacin sepuede aplicar solamente en el caso en que la funcin aleatoria tiene una varianza a priorifinita, mientras que muchos fenmenos naturales tienen una capacidad de dispersin casiilimitada, y no pueden ser descritos correctamente si se les atribuye una varianza finita.Pero, a pesar que la varianza de la funcin aleatoria misma puede ser considerada como

infinita, sus incrementos, o diferencias que la funcin aleatoria toma en dos puntosdistintos, conserva, en general, una varianza finita. La teora de los esquemas estocsticosintrnsecos, que es el objeto de la segunda parte de la obra, est consagrada al estudio deesta clase particular de funciones aleatorias accesibles solamente por sus incrementos. Elpapel mayor del covariograma transitivo g(h), o la covarianza estacionaria K(h), incumbeahora a una funcin de dispersin intrnseca (h), o variograma , la cual representa elincremento cuadrtico medio de la funcin entre dos puntos distantes de h.La teora intrnseca postula la homogeneidad del fenmeno en el espacio y se formula entrminos probabilsticos. Esta teora se opone fuertemente a las representaciones transitivas.Es a la vez menos general y ms potente. Menos general, porque grandes clases defenmenos regionalizados que manifiestan, por ejemplo, un aspecto zonal en el interior desu campo geomtrico, no pueden ser considerados como estacionarios, ni descritos por unesquema intrnseco, mientras que permanecen accesibles a las representaciones transitivas.Ms potente, en el fondo por la misma razn, porque las representaciones transitivas no soncapaces de distinguir, en una regionalizacin, lo que es imputable a la variable misma, ylo que resulta de la geometra de su campo, mientras que la teora intrnseca elimina deoficio toda interferencia geomtrica, y permite, cuando ella es aplicable, un estudio msfino y ms profundo de la variable misma. A pesar de esta oposicin, se constata unaconvergencia remarcable entre los resultados de los dos mtodos, y un parentesco profundode sus formalismos matemticos. Se puede pensar que las representaciones transitivasposeen un carcter probabilstico implcito, o, al contrario, que la teora intrnseca no utilizarealmente el contenido probabilstico de sus hiptesis de base, sino solamente su carcterestacionario. En efecto, covariogramas, auto correlaciones y funciones intrnsecas poseensignificaciones muy cercanas, ligadas estrechamente, como lo muestra la fsica, a la energade dispersin del fenmeno representado..

4.- Plan y objetivo de la obra.

Esta obra est destinada a todos aquellos, naturalistas o tcnicos, que estn relacionados, ensu actividad cientfica o prctica, a fenmenos regionalizados: gelogos, gegrafos,


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ingenieros de minas, meteorologistas, etc Su objetivo es doble. Por una parte se trata deelaborar un aparato conceptual y un formalismo matemtico capaz de describir,sintticamente, los caracteres estructurales mayores de un fenmeno natural, por otra partede introducir mtodos de aplicacin que permitan resolver efectivamente los problemaspropuestos por la prctica, entre los cuales uno de los ms importantes est relacionado a la

estimacin de las variables regionalizadas a partir de un muestreo fragmentario. Resulta,como sin duda para toda obra de matemtica orientada a las aplicaciones, una naturaleza unpoco mixta, y el riesgo de incurrir en reproches simtricos de parte de los prcticos y losmatemticos: los primeros encontrando la obra intilmente abstracta, los segundos,insuficiente en el rigor. Reproches justificados, sin duda, pero difciles de evitar. Para evitaren parte este inconveniente, propio de la naturaleza del objeto tratado, hemos puesto, alinicio de cada captulo un sumario bastante detallado, que permitir al lector seleccionar, yas retener lo que le concierne.En lo esencial, la comprensin de la obre supone nada ms que conocimientos de base enmaterias de clculo de probabilidades. Es deseable igualmente, estar familiarizado con lateora de los procesos estocsticos. Sin embargo el lector encontrar en el captulo VII un

recuerdo sobre las funciones aleatorias, el cual resume las nociones de base de esta teora ylos resultados utilizados en los captulos siguientes. Es necesario igualmente decir unapalabra sobre la teora de las distribuciones. Esta teora solo interviene explcitamente enlos captulos III y X, los cuales no son estrictamente necesarios para la comprensin delresto de la obra, y pueden ser omitidos por los lectores que no estn familiarizados con estateora. Sin embargo, para estos lectores, damos, en el Anexo A una exposicin simplificada,pero suficiente para nuestro propsito. En verdad, si las distribuciones solo son utilizadasen los dos captulos ya citados, su presencia latente e implcita es sensible en todas partes.En efecto, los fenmenos naturales rara vez son conocidos, o estudiados, al nivel puntual.Se abordan, lo ms a menudo, por intermedio de respuestas que ellos aportan a lasoperaciones tcnicas a las cuales son sometidos: toma de muestras, explotacin de paneles,ponderaciones diversas que hacen intervenir globalmente los valores tomados por lavariable en un dominio, o soporte, de dimensiones no nulas, y no por los valores puntuales.La idea de representar estos fenmenos por distribuciones, en vez de funciones, estsugerida por la misma prctica: a pesar de no ser estrictamente obligatoria, esta teora seimpone con insistencia, y se revela como muy instructiva, en particular, para un naturalista.Las dos primeras partes de esta obra, consagradas respectivamente a las representacionestransitivas y a la teora intrnsecas tienen desarrollos paralelos: En primer lugar se exponenlos conceptos de base (captulos I y VII-VIII respectivamente), y son extendidos,posteriormente, al caso de las co-regionalizaciones, es decir el caso donde, en un mismocampo geomtrico coexisten varias regionalizaciones (captulos V y IX respectivamente), yluego formulados en trminos de distribuciones (captulos III y X respectivamente).Despus de estas generalidades vienen temas ms especficos, y sobretodo orientados a lasaplicaciones. El fenmeno muy general de la regularizacin de una variable, porponderacin o por toma de muestras no puntuales es estudiado profundamente con elproceso de la subida. La subida es la operacin que permite pasar de una variable definidaen el espacio de ndimensiones a variables definidas en los espacios de n 1, n 2,dimensiones, es la transposicin abstracta de la tcnica minera corriente que consiste enperforar sondajes verticales, y luego a trazar niveles horizontales, etc. La subida seacompaa de una regularizacin de la variable regionalizada, la cual se estudia en detalledebido a su importancia a la vez terica y prctica (captulos II y XI respectivamente).


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Finalmente, se formulan en su generalidad, los problemas de estimacin y se desarrollanmtodos de aproximacin los cuales permiten el clculo numrico efectivo de las varianzasde estimacin correspondientes a los diferentes tipos de mallas de muestreo (captulos IV yXII respectivamente). Hay una estrecha relacin, y es uno de los temas mayores de estaobra, entre la mayor o menor regularidad de una variable regionalizada y el

comportamiento, en la vecindad del origen, de su covariograma o de su funcin intrnseca,comportamiento caracterizado por una parte irregular cuya aventura, a la subida, pone enevidencia el proceso de regularizacin, y que se puede hacer una correspondencia, trminoa trmino, con el desarrollo limitado de la varianza de estimacin.

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PRIMERA PARTE

LAS REPRESENTACIONES TRANSITIVAS


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CAPITULO PRIMERO

EL SIMBOLISMO TRANSITIVO

SUMARIO

Este captulo expone los conceptos fundamentales y el formalismo general de lasrepresentaciones transitivas. Con la excepcin del prrafo 5, el contenido de este captuloes indispensable para la comprensin de toda la primera parte.

El prrafo 1 define el campo geomtrico V de una variable regionalizada f(x) (dominiofuera del cual f(x) = 0), y la variable geomtrica k(x) asociada a f(x) (k(x) = 1 si x

pertenece a V, y 0 en el caso contrario). Se precisan las condiciones impuestas a f(x)(|f(x)| debe ser sumable). Luego se define el covariograma transitivo

( ) ( ) ( )g h f x f x h dx f f = + = , herramienta de base de la teora, y el covariogramageomtrico ( )K h k k = . K(h) es igual a la medida de la interseccin de V y de su

traslacin por h. Las propiedades de g(h) resultan del hecho que g(h) es una funcin detipo positivo (continuidad, desigualdad | ( ) | (0)g h g , simetra g(h) = g(-h). Enseguida se

proporciona la definicin de cantidad de metal Q (como una integral de f(x)) eindicaciones sobre las relaciones entre la regularidad de g(h) en h = 0 y la regularidad dela variable misma.

El prrafo 2 define las variables con soporte no puntual (muestras) y, ms generalmente,las regularizadas f p de una variable f por una funcin de ponderacin p. El

covariograma de la regularizada se obtiene al regularizar g por el covariograma de p.Las variables regularizadas tienen, efectivamente, un comportamiento ms regular que lavariable puntual. Cuando p = k es una variable geomtrica, se obtiene el algoritmo deCauchy, de utilidad ms adelante (1, 2, 9).

El prrafo 3 proporciona la definicin general de la subida, operacin que hace pasar deuna variable de n dimensiones, (leyes en un yacimiento de 3 dimensiones) a una variablede n - 1 dimensiones (acumulaciones de los sondajes verticales). Los covariogramassuben y descienden de la misma manera que las variables.

El prrafo 4 proporciona el formalismo de la subida para los covariogramas istropos. Unpoco ms difcil que los tres primeros, indispensable para comprender el fenmenoesencial de la regularizacin con la subida. Despus de mencionar las anomalas posibledebidas a un efecto rectangular, se definen subidas y descensos por la transformacin deFourier-Hankel (1, 4, 6), luego, directamente por una convolucin (1, 4, 18).


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El prrafo 5 tiene un carcter ms terico. Puede ser omitido, sin inconvenientes mayorespor los naturalistas o los tcnicos: La relacin entre subida y transformacin de Hankel (1,5, 3) permite asociar a un covariograma istropo, su covariograma istropo recproco,una subida para uno de ellos est asociada a un descenso de igual orden efectuada en elotro. Se estudia enseguida la estructura algebraica del conjunto de las subidas y de las

transformaciones de Hankel, isomorfo del grupo de las translaciones-simetra, las subidascorresponden a las translaciones y las transformaciones d Hankel a las simetras.

1.- El covariograma y su transformada de Fourier.

Hemos indicado, en la introduccin, el sentido fsico que convena atribuir a la variableregionalizada. Independiente del hecho que ella representa la evolucin en el espacio de unfenmeno natural, una variable regionalizada se define de un punto de vista puramentematemtico, como una funcin f(x) la cual toma, en cada punto x, de coordenadas (x1, x2,, xn)del espacio de ndimensiones, un valor numrico definido. En la prctica se tendr

que n = 1, 2 o 3,

pero es cmodo no especificar de antemano, el nmero de dimensionesdel espacio. Puede suceder que esta funcin f(x) posea caractersticas suficientes deregularidad (ser continua y derivable) para que sea posible de representarla, de una manerasatisfactoria al interpolarla por funciones ms simples (polinomios por ejemplo). Pero alcontrario, muy a menudo, la funcin f(x) se comportar de manera extremadamenteirregular. Ella no ser, lo ms a menudo, ni derivable, ni tampoco continua, y no se podrrepresentar grficamente, de manera aproximada que por curvas en dientes de sierra. Eneste caso, el estudio directo de f(x) sera prohibitivo, y solo presentara un inters limitado,a causa de su misma complicacin. Pero, bajo la complejidad y la irregularidad extremasque presenta una regionalizacin en su variacin espacial, se disimula, en general, laestructura de un fenmeno natural. Por otra parte, en las aplicaciones, es necesario resolverciertos problemas de gran importancia prctica, como la estimacin de una variableregionalizada a partir de un muestreo fragmentario. Reemplazar la funcin f(x) por unafuncin g(h) mucho ms simple, pero sin embargo capaz, a la vez, de representar de unamanera sinttica las caractersticas estructurales mayores de una regionalizacin, y depermitir la solucin de problemas prcticos que se pueden proponer legtimamente estees el primer objetivo de la teora de las variables regionalizadas.

Campo geomtrico y variable geomtrica asociada. Supondremos, en adelante, que lafuncin f(x) toma valores diferentes de cero en un dominio acotado V que llamaremoscampo geomtrico1de la variable regionalizada f(x). Al exterior de su campo V, la variablese supone idnticamente nula: la regionalizacin se considera como aislada en el seno de ununiverso vaco. Pero las fronteras de este campo no son infranqueables, y es al franquearestas fronteras que se manifiestan, con menor o mayor intensidad la transicin brutal, losfenmenos de efecto de borde, los que volveremos a estudiar en los captulos V y VI. Deall el nombre de representaciones transitivas para los mtodos expuestos en esta primeraparte. De una manera general, en transitivo, una variable f(x) no puede ser considerada

1 La nocin de campo geomtrico de f(x) es la misma que la de soporte de una funcin o de una distribucin(ver Anexo A-1).


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independiente de su campo, y no es posible de hacer una particin entre lo que es imputablea la variable misma y a su campo (ver captulo V, prrafos 3 y 4).Para caracterizar el campo V, es cmodo introducir la variable regionalizada k(x), definidacomo sigue:

(I, 1, 1) ( ) 1( ) 0

k x si x pertenece a V k x si x no pertenece a V

= =

Esta variable k(x) se llama variable geomtrica 2asociada a f(x).Sin embargo, en ciertos casos, se puede suponer que el campo geomtrico es infinito, con lareserva que f(x) verifique condiciones convenientes de sumabilidad. Se obtiene entoncesun modelo de reparticin zonal, donde la variable regionalizada tiende a cero, a partir de unncleo, de manera ms o menos regular, donde la variable toma valores considerables.

Condiciones impuestas a f(x). - En todos los casos supondremos que |f(x)| es sumable (al

menos en el sentido de la integral de Lebesgue), de manera que todas las integrales( )f x dx extendidas a dominios cualesquiera, tengan un sentido. Esta condicin, impuesta

por consideraciones fsicas evidentes, es la nica verdaderamente necesaria. En general nose supondr que f(x) es derivable, ni tampoco continua. Podr tener una red completa dediscontinuidades (puntos aislados, lneas y superficies) o an no ser continua en ningunaparte. Se podr aceptar adems que f(x) no est definida en ciertos puntos, siempre queestos puntos constituyan un conjunto de medida nula (por ejemplo una lnea o unasuperficie en el espacio de 3 dimensiones).Sin embargo, lo ms comn es que las variables regionalizadas sern del tipo continua portrozos, es decir que sern continuas en todas partes salvo en ciertas superficies, las cualesconstituyen una red de discontinuidad, que, al atravesarlas, f(x) sufre un salto. Pero esta

red puede ser muy compleja. En un yacimiento minero, por ejemplo, al nivel puntual, la leyf(x) debe ser definida como una variable geomtrica, igual a +1 si el punto x cae alinterior de un grano mineralizado, y a 0 en el caso contrario. La red de discontinuidad estconstituida por superficies de todos los granos mineralizados del yacimiento. Por otra parte,no es necesario precisar si f(x) es igual a +1 o a 0 cuando el punto x se encuentra en lasuperficie de un grano de mineral, porque estas superficies constituyen un conjunto demedida nula.

El covariograma transitivo g(h). - A la variable regionalizada f(x) le asociaremos unafuncin g(h) , llamada covariograma transitivo asociado a f(x), o ms brevementecovariograma de f(x), definida, para un argumento vectorial h de coordenadas (h1, h2,

hn)por la expresin:

(I, 1, 2) ( ) ( ) ( )g h f x f x h dx= +

2 En teora de conjuntos, k(x) se llama funcin caracterstica del conjunto V. No usaremos esta terminologapara evitar cualquier confusin con las funciones caractersticas del clculo de probabilidades, y tambin paradestacar el hecho que k(x)yf(x)son de la misma naturaleza.


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En esta frmula, la integral 3 es una integral mltiple de orden n, extendida a todo elespacio, y dx representa el elemento de volumen

dx1dx2dxn

Segn las notaciones generales utilizadas en esta obra, (I, 1, 2) nos recuerda la expresindel producto de convolucin de dos funciones f1 y f2 (ver Anexo A, 6, 1):

1 2 1 2( ) ( )f f f x f h x dx =

En efecto, al introducir la transpuesta f de f , definida por:

( ) ( )f x f x=

Y, cambiando x por x h , se pone (I, 1, 1) en forma equivalente:

(I, 1, 3) g f f f f = =

El covariograma g(h) asociado a una variable regionalizada f(x) es igual al producto deconvolucin de f por su transpuesta. El covariograma est siempre definido, porque,debido a que la variable f tiene un campo geomtrico V acotado, la integral (I, 1, 2)extendida a todo el espacio, se calcula en realidad en un dominio acotado.De la misma manera, la variable geomtrica k(x) definida en (I, 1, 1) est caracterizada porsu covariograma K(h):

(I, 1, 4) ( ) ( ) ( )K h k k k x k x h= = +

Llamado covariograma geomtrico asociado a V. La expresin k(x)k(x+h) es igual a launidad en el dominio definido por la interseccin del campo V y de su traslacin por -h,que notaremos -hV, y 0 en cualquier otra parte. En efecto k(x) es igual a 1 cuando xest en V, y k(x+h)es igual a 1 cuandox+h = y est en V es decir six = y - h est en-hV.As, el covariograma K(h) representa la medida(el volumen si n=3, la superficie si n=2,la longitud si n=1) de la interseccin del campo V y de su traslacin por h. En notacinde teora de conjuntos, esta interseccin se escribe hV V . Se tiene entonces:

(I, 1, 5) ( ) ( ) ( )h hK h Medida V V Medida V V = =

Propiedades del covariograma. - Una funcin como g(h) o K(h) es evidentementesimtrica, como se ve al cambiar h por h (y, simultneamente x por x+h) en (I, 1, 2):

3Lo ms comn es tomar esta integral en el sentido de las integrales de Lebesgue.


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16

(I, 1, 6) ( ) ( ) og h g h g g= =

Por otra parte, cuando el mdulo del vector h es superior al dimetro mximo D de V(oalcance), k(x) y k(x+h)al menos uno es igual a 0, de manera que k(x)k(x+h)=0, y porconsiguiente:

(I, 1, 7) ( ) 0 para | |g h h D >

Luego, el covariograma solo toma valores no nulos en un dominio acotado, al igual quef(x).Propiedades ms especficas pueden ser obtenidas mediante la transformacin de Fourier.

Transformada de Fourier de f(x) y de g(h).- Como V es acotado, y |f(x)| es sumable,la transformada (u) = (u1, u2, , un) de f(x) es:

(I, 1, 8) 2( ) ( ) ( ) = = iuxu F f f x e dx

Que es una funcin continua e indefinidamente derivable (Anexo A, 8, 1), y latransformada inversa:

2( ) ( ) ( ) = = iuxf x F u e du

Es siempre posible 4.Como la transformacin de Fourier cambia los productos convolutivos en multiplicativos,se deduce de (I, 1, 3) que la transformada G(u) del covariograma g(h) es:

(I, 1, 9) 2 2( ) ( ) | ( ) | = =i uhG u g h e dh u

Es igual al cuadrado del mdulo de (u) . Resulta entonces, del teorema de Bochner(Anexo A, 9, 1) que el covariograma g(h) es tambin una funcin de tipo positivo, y estoimplica las propiedades siguientes:

a) g(h)es una funcin continuade su argumento vectorial h.b) g(h) = g(-h) conforme a (I, 1, 6)c) g(h) est acotada en mdulo por su valor g(0) en el origen, valor que es

obligatoriamente positivo.

(I, 1, 10) [ ]2

| ( ) | (0) ( ) = g h g f x dx

Veremos, en el captulo IV que la obligacin impuesta a g(h)de ser de tipo positivo, no esotra que la condicin necesaria y suficiente para que todas las varianzas de estimacin seanpositivas.

4 Por lo menos en el sentido de las distribuciones (A, 8, 2).


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Cantidad de metal. Se llama cantidad de metal Q5asociada a la variable regionalizada ala integral extendida a todo el espacio:

(I, 1, 11) ( )Q f x dx=

Al hacer u = 0 en (I, 1, 8), se obtiene:

(I, 1, 12) (0)Q =

Consideremos ahora la integral del covariograma g(h) extendida a todo el espacio. Alhacer u = 0 en (I, 1, 9), se obtiene |(0)|2, es decir Q2 segn (I, 1, 12):

(I, 1, 13) 2 ( )Q g h dh=

La integral del covariograma, extendida a todo el espacio, es igual al cuadrado de lacantidad de metal.Si aplicamos este resultado a la variable geomtrica y al covariograma geomtrico K(h), lacantidad de metal es reemplazada por la medida (volumen, superficie o longitud segn quen = 3, 2, o 1) del campo V, medida que designaremos tambin por V:

(I, 1, 14)2

( ) (0)

( )

V k x dx K

V K h dh

= =

=

Significacin fsica del covariograma. - El comportamiento de g(h) en la vecindad delorigen es ms regular cuando la regionalizacin es tambin ms regular y continua en suvariacin espacial. Por ejemplo, si f(x) admite derivadas de primer orden, g(h) admitederivadas de orden 1 y 2. Tomemos, en efecto, una derivada en la direccin , se tiene:

^ 2

2

f f f f g

= =

(se sabe, Anexo A, 6, 1 que para derivar un producto de convolucin, basta con derivar unode los factores). Como la derivada de la transpuesta es igual a la transpuesta de la derivada

con signo negativo, se ve adems que

2

2

g

es el covariograma asociado a

f

. Comog(h) = g(-h) es una funcin par, las primeras derivadas de g son nulas en el origen , yg(h) presenta en el origen un comportamiento parablico (en h2).

5 Esta terminologa es de origen minero: Si V es un yacimiento y f(x) la ley en el punto x , expresada enmetal contenido por unidad de volumen (ley volumtrica) si n = 3, o de superficie (acumulacin) si n = 2, ode longitud (cantidad de metal al metro de profundidad) si n = 1, Qrepresenta efectivamente la cantidad demetal contenido en V.


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Por otra parte, el recproco no es necesariamente exacto. Si g(h) tiene en el origen uncomportamiento en h2 , es decir si g(h) es dos veces derivable en h = 0 , se sabe, quesiendo g(h) una funcin de tipo positivo, es derivable dos veces en todas partes (Anexo A,9, 2). Pero de aqu no resulta que f(x) sea tambin derivable. Solamente se puede afirmarque f(x) es derivable en media cuadrtica, es decir que la integral:

(I, 1, 15)2

2

( ) ( ) ( ) (0)2

f x h f x g h gdx

h h

+ =

Tiende a un lmite g(0) cuando |h| tiende a 0.De la existencia de g(0) se deduce solamente que f(x) es continua casi en todas partes(es decir puede ser discontinua en un conjunto de medida nula).En la prctica, las funciones f(x) discontinuas que es posible encontrar son del tipocontinuas por trozos , es decir son continuas en todas partes, salvo al atravesar una red dediscontinuidad, donde presentan saltos. Se ve fcilmente que para una funcin de este tipo,la integral (I, 1, 15) no puede tener lmite, de manera que las derivadas segundas en el

origen no existen. As, un covariograma que presenta en el origen un comportamientoparablico caracteriza, prcticamente, una variable regionalizada continua en el sentidousual.Hemos visto, por otra parte, que g(h) es siempre una funcin continua de h. Esto es unaconsecuencia de la hiptesis hecha sobre la sumabilidad de |f(x)| , es decir sobre laexistencias de las cantidades de metal, y esto implica que:

(I, 1, 16) [ ]2| ( ) ( ) | 2 (0) ( )f x h f x dx g g h+ =

Tiende hacia 0 cuando |h| tiende a 0. Se enuncia este resultado diciendo que f(x) es

continua en media cuadrtica.Recprocamente, si f(x) es continua en el origen, y, como g(h) es de tipo positivo, estobasta para garantizar que g(h) es continua en todas partes.Sin embargo, desde el punto de vista prctico, el hecho que el covariograma sea siemprecontinuo, y f(x) siempre continua en media cuadrtica, bajo la hiptesis que |f(x)| essumable, no debe ilusionarnos. Existen discontinuidades que equivalen -experimentalmente y en las aplicaciones prcticas - a una perfecta discontinuidad. Se puedeencontrar siempre un tal que |h| implica |g(0) - g(h)| , pero puede ocurrir queeste nmero sea extremadamente pequeo a la escala humana. En esta caso, citadoanteriormente, de una ley puntual f(x) en un yacimiento minero, las distancias a partirde las cuales se manifiesta la continuidad de g(h) son del orden de magnitud de las

dimensiones granulomtricas, es decir, a lo ms, algunos milmetros. A la escala delhombre, es decir, por ejemplo, para del orden de algunos metros, se observa una totaldiscontinuidad [tanto en el caso de g(h) como para f(x)].Se ve as aparecer un tipo de covariograma, importante en las aplicaciones prcticas, el cualse comporta prcticamente de una manera discontinua en el origen, el cual corresponde avariables regionalizadas de alto grado de irregularidad. Se dice que estos covariogramas


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presentan un efecto de pepita en el origen 6. En realidad, no hay una discontinuidadverdadera, sino una zona de transicin muy rpida donde g(h) decrece de maneraextremadamente rpida a partir de g(0). La dimensin de esta zona de transicin, o alcancedel efecto de pepita es muy pequea: en el ejemplo ya citado, este alcance es del orden deldimetro medio de los granos de mineral. Ms all de este alcance, el g(h) decrece de

manera ms moderada. En las aplicaciones prcticas (dado que los datos experimentalesno permiten hacerlo de otra manera) - se representa el covariograma por una curva regularg1(h) extrapolando esta tendencia moderada justo hasta h = 0 , y se introduce unaconstante de pepita Cdefinida por:

1(0) ( )C g g h=

En que 2(0) | ( ) |g f x dx= es conocida experimentalmente, y donde g1(0) se obtieneextrapolando la curva regular g1(h) . Se tiene as:

(I, 1, 17) 11

g(h)= g (h) para h 0g(0)= g (0)+C para h = 0

Con este covariograma esquematizado de esta manera, se debe, por ejemplo, calcular lavarianza de estimacin (ver captulo IV) en presencia de efecto de pepita.Mencionemos, para terminar, que las anisotropas del covariograma detectablesexperimentalmente, permiten poner en evidencia y de caracterizar las direccionesprincipales, que podran haberse escapado al estudiar directamente la variable regionalizadamisma.

2- Variable con soporte no puntual y regularizacin de las variables.

Muy a menudo, no se dispone experimentalmente de los valores de la variable puntual f(x),sino solamente valores medios de esta variable en volmenes v que tienen sus centros degravedad en los puntos x1, x2, , correspondientes a los puntos donde han sido tomadaslas muestras de volumen v. Estas muestras definen una nueva variable regionalizada,diferente de f(x) , y cuyas caractersticas dependen del tamao y de la forma de la muestrav . Esta nueva variable se llamar regularizada de f(x) por v , y se espera, en efecto, a queella sea ms regular en su variacin espacial que f(x). El volumen v se llamar soportegeomtricode la variable regularizada por v, mientras que f(x) se llama a veces variablecon soporte puntual.Se pueden definir dos variables de soporte v:

6 Esta terminologa, de origen minero, evoca el comportamiento, particularmente errtico, de los yacimientosde oro pepticos. La nocin de efecto de pepita ser presentada, de manera ms rigurosa, en el captulo III.


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(I, 2, 1)

1( ) ( )

( ) ( )

v

v

t x f x h dxv

q x f x h dx

= +

= +

En esta escritura, la integracin se hace con respecto al argumento vectorial h, cuyaextremidad recorre el volumen v centrado en x = 0 . La primera variable t(x) representael valor medio de f(x) en el volumen centrado en x. En la terminologa minera, es la leymedia de la muestra v tomada en el punto x . Esta ley solo est definida cuando elvolumen v es acotado. La segunda q(x) = v t(x) representa la cantidad de metal contenidoen esta misma muestra, y est definida an en el caso en que v no sea acotado, porque|f(x)| es sumable.Ms generalmente, se puede definir una ley media y una cantidad de metal generalizadas (oponderadas) asociadas a una funcin de ponderacin p(h) . Se escribir, por ejemplo:

(I, 2, 2)

( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

( )

q x f x h p h dh

t x f x h p h dhp

p p h dh

= +

= + =

p(x) y t(x)se llamarn regularizadas de f(x) por la funcin de ponderacin p(h). A vecesse tomar para p(h) una funcin idnticamente nula al exterior de un volumen v centradoen el origen. En otros casos, el soporte de p puede ser no acotado, con la reserva natural deverificar las condiciones convenientes de sumabilidad.Por otra parte (I, 2, 1) aparece como un caso particular de (I, 2, 2). Al introducir la variablegeomtrica k(x) asociada al volumen v centrado en el origen, (I, 2, 1) se escribe, enefecto:

(I, 2, 3)

( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

q x f x h k h dh

t x f x h k h dhv

= +

= +

En este caso particular, la funcin de ponderacin k(h) se llama tambin funcin demuestreo.Para desarrollar el simbolismo transitivo, es til poner estas diversas expresiones en laforma de productos de convolucin. Al cambiar h por h x , e introduciendo latranspuesta ( ) ( )p h p h= , se encuentra fcilmente:

( ) ( ) ( ) ( )f x h p h dh f h p x h dh f p+ = =


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De aqu la escritura simblica buscada, equivalente a (I, 2, 2):

(I, 2, 4)

( )

1( )

q x f p

t x f pp

=

=

Al comparar (I, 2, 4) con (I, 2, 3), se ve que el covariograma g(h) puede ser interpretadocomo la cantidad de metal asociado a una funcin de ponderacin idntica a la variable f(x)misma: El covariograma es la auto-regularizada de una variable regionalizada. En el casoparticular de una variable geomtrica k(x), se encuentra tambin (I, 1, 5). En este caso, enefecto, K(h) representa la medida de lo que se obtiene al tomar en Vuna muestra iguala Vpero trasladado en la traslacin h - es decir la medida de la interseccin de Vy de sutrasladado -.

Covariograma de la variable regularizada. Designemos, por ejemplo, por gq(h) alcovariograma de q(x) . Este covariograma, por una aplicacin inmediata de (I, 1, 3) estdado por:

qg f p f p f f p p= =

Al tomar en cuenta las propiedades de asociatividad y de conmutatividad del producto deconvolucin, y designando por

( )P h p p=

Al covariograma asociado a la funcin de ponderacin p, se obtiene el notable resultadosiguiente:

(I, 2, 5) qg g P=

El covariograma de la cantidad de metal asociado a una funcin de ponderacin p seobtiene al regularizar el covariograma gde la variable puntual por el covariograma Pde lafuncin de muestreo. En el caso de una funcin de muestreo k(x), se reemplaza Ppor el

covariograma geomtrico K k k= asociado a k(x).Anlogamente, para la ley media t(x) asociada a p , se obtiene el covariograma:

(I, 2, 6)2

1tg g P

p

=

Se ve lo que es necesario entender por regularizacin: Si, por ejemplo, la funcin demuestreopadmite derivadas primeras (o si es solamente derivable en media cuadrtica) Pes dos veces derivable. Pero ahora, segn la regla de derivacin de productos convolutivos,gq o gt son tambin dos veces derivables, y q(x) y t(x) son derivables en mediacuadrtica, an si f(x) no lo fuera: Ptransmite a gq y a gt sus propias caractersticas de


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regularidad. Esta regularizacin ser estudiada con mucho ms detalle, en los dos ltimosprrafos de este captulo y en los dos captulos siguientes:El valor en el origen gt(0) del covariograma regularizado se escribe:

(I, 2, 7)2

1(0) ( ) ( )tg g u P u du

p

=

Al reemplazar P(u) por p p , luego cambiando u por u v , queda:

2 2

1 1(0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tg g u p v p u v dudv g u v p u p v dudv

p p= + =

Al tomar h = u v , se ve que esta expresin representa el valor medio de g(h) , cuandolas extremidades v y u del vector h recorren el espacio, ponderado por p(u) y p(v).Como siempre se tiene que ( ) (0)g h g , se tiene tambin

( ) (0)tg h g

Y esto es otra manifestacin de la regularizacin.En el caso particular de una funcin de muestreo k, con covariograma geomtrico K,correspondiente a una muestra vde volumen K(0) = v, la relacin anterior se escribe:

(I, 2, 8)2 2

1 1(0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tg g h K h dh g x y k x k y dxdy

v v= =

Entonces gt(0) representa el valor medio de g(h) cuando las dos extremidades x e y de

h recorren, cada uno por su propia cuenta, el volumen v. Esta relacin constituye elalgoritmo de Cauchy, el cual ser til ms adelante. Se aplica, naturalmente, a una funcinF(h) cualquiera y se demuestra de la misma manera: la integral de orden 2nque da el valormedio de F(), cuando las extremidades x e y del vector h recorren un volumen v, sereduce as a una integral de orden n, donde figura el covariograma geomtrico K(h) delvolumen v:

(I, 2, 9)2 2

1 1( ) ( ) ( )

v v

F x y dxdy F h K h dhv v

=

De la misma manera se obtiene

(I, 2, 10)2 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )t

v v

g h g h u K u du g h x y dxdyv v

= + = +

El valor medio de g(h) aparece como el valor medio de g(h) , cuando las dosextremidades del vector h recorren, cada una por su cuenta, dos volmenes v1 y v2iguales a v y trasladados uno del otro por la traslacin h.


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Cantidad de metal asociado a la variable regularizada. Por razones de coherencia, esdeseable que la cantidad de metal Qt:

( )tQ t x dx=

Asociada a la variable regularizada t(x) coincida con la cantidad Q, asociada en (I, 1, 11)a la variable puntual correspondiente. Demostremos que es bien as. Sean (u) y (u) lastransformadas de Fourier de la funcin de ponderacin p y de la variable f(x). Se tiene:

(0)

1(0) (0)t

Q

Qp

=

=

Pero porque ( )p p x dx= - se tiene justamente (0) =p, de donde resulta bien

(I, 2, 11) Qt = Q

3. - Procesos de subida y de descenso.

Cuando el volumen de muestreo v no es acotado, la ley

1 ( )t x f k v

=

se desvanece, pero la cantidad ( )q x f k = queda perfectamente definida. En el lmite, el

volumen ilimitado v puede reducirse a una recta, a un plano (o a un hiperplano si se tienenms de tres dimensiones) y nada nos prohbe definir variables regionalizadas con n - 1, n -2, dimensiones, definidas como cantidades de metal en las rectas, los planos, ,paralelos.Para precisar esta nocin, designemos por fn(x1, x2, , xn) al valor de la variableregionalizada de n dimensiones en el punto de coordenadas:

(x1, x2, , xn)

La variable de n 1 dimensiones, definida por la integral:

(I, 3, 1) 1 1 1 1 1( ,..., ) ( ,..., , )n n n n n nf x x f x x x dx =

Representa las cantidades de metal de las rectas paralelas al eje de las xn . Anlogamente, lavariable de n 2 dimensiones definida por la integral:


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(I, 3, 2) 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., , )n n n n n n n n n nf x x f x x dx f x x x dx dx = =

Representa las cantidades de metal de los planos paralelos a los ejes xn y xn-1. Laoperacin (I, 3, 1), que hace pasar de fn a fn-1 , ser designada como subida de orden 1efectuada a lo largo del eje de las xn. Anlogamente, la operacin (I, 3, 2) puede ser

considerada como una subida de orden 1, a lo largo del eje de las xn-1, que hace pasar defn-1 a fn-2, sea como una subida de orden 2 en el plano de los xnxn-1 , haciendo pasardirectamente de fn-1afn-2 . En los espacios de ms de 3 dimensiones, se definir igualmentesubidas de orden 3 o 4, etc. Para efectuar una subida a lo largo de un eje, o de un plano, noparalelo a un eje o plano de coordenadas, basta naturalmente de realizar una rotacinconveniente en el sistema de ejes coordenados.En el caso de una variable de 3 dimensiones f3(xyz) que representa una ley de unyacimiento minero (ley expresada en cantidad de metal por unidad de volumen), la subidatoma una significacin muy concreta. Se supone que el eje de las z es la vertical, lavariable:

2 3( ) ( )f xy f xyz dz=

Representa la cantidad de metal por unidad de superficie o acumulacin, de un sondajevertical implantado en el punto de coordenada (xy) . La subida vertical hace pasar de lavariable de 3 dimensiones f3, ley volumtrica, a la variable f2, de 2 dimensiones oacumulacin. Anlogamente, la variable de 1 dimensin:

1 3( ) ( )f z f xyz dxdy=

Representa la cantidad de metal al metro cuadrado de profundidad en un nivel de cota z.

Las leyes volumtricas son menos regulares, en su variacin espacial, que lasacumulaciones de los sondajes verticales, y estas son menos regulares que los tonelajes demetal al metro de profundidad. El estudio detallado que haremos, de este proceso deregularizacin por la subida presenta entonces un inters prctico cierto. Adems, tendr elmrito de aclarar, en un ejemplo preciso, el fenmeno general de la regularizacin.La operacin de subida se formula, de manera particularmente simple, con la ayuda de latransformacin de Fourier. Designemos en efecto por:

1 1 1 1 1 2 1 2( ,..., , ), ( ,..., ) ( ,..., )n n n n n n nu u u u u y u u

A las transformadas de Fourier de fn(x1,,xn) y de las variables fn-1(x1,,xn-1) y fn-2(x1,,xn-2), que se deducen por subida de orden 1 y 2 de acuerdo a (I, 3, 1) y (I, 3, 2). Seobtiene inmediatamente:

(I, 3, 3) 1 1 1 1 1

2 1 2 1 1 2 1 2

( ,..., ) ( ,... ,0)

( ,..., ) ( ,... ,0) ( ,..., ,0,0)

n n n n

n n n n n n

u u u u

u u u u u u

=

= =


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La operacin de subida a lo largo del eje de las xn se manifiesta por la anulacin de lacoordenada un de la transformada de Fourier, conforme a un mecanismo bien conocido, enclculo de Probabilidades, para el paso de una ley de distribucin a su ley marginal. Msgeneralmente, la subida a lo largo de una recta, de un plano, cualesquiera se traducirapor una, dos, relaciones lineales homogneas entre las coordenadas ui. No insistiremos

aqu en el lgebra de la subida. Observamos solamente que, segn (I, 3, 2), las subidas a lolargo de dos ejes perpendiculares constituyen operaciones conmutativas, cuyo productoproporciona la subida de orden 2 en el plano de estos dos ejes: esto se ve, mscmodamente an en (I, 3, 3). La operacin inversa de la subida o descenso, estestrechamente ligada al problema de Radon 7 que consiste en determinar una funcin,conociendo el valor de su integral sobre todas las rectas, o todos los planos, del espacio.Abordaremos este problema, en el prrafo siguiente, en el caso particular de funcionesistropas, lo cual es suficiente para las aplicaciones prcticas, y permite poner en evidencialas propiedades esenciales de las operaciones de subida y descenso.

Subida sobre los covariogramas. Designemos por gn, gn-1, gn-2,los covariogramas den, n - 1, n - 2

, dimensiones asociadas a las variablesf

n, f

n-1, f

n-2, introducidas en (I,3, 1) y (I, 3, 2) y por Gn, Gn-1, Gn-2 sus transformadas de Fourier. De las relaciones dedefinicin:

1 1 1

2 2 2

n n n

n n n

n n n

g f f

g f f

g f f

=

=

=

Se concluye, inmediatamente, al tomar en cuenta (I, 3, 3):

21 1

2 21 1 1 1 1 1 1 1

2 22 1 1 1 1 2 1 2

( ,..., ) | ( ,... ) |

( ,..., ) | ( ,... ) | | ( ,..., ,0) |

( ,..., ) | ( ,... ) | | ( ,..., ,0,0) |

n n n n

n n n n n n

n n n n n n

G u u u u

G u u u u u u

G u u u u u u

=

= =

= =

Por consiguiente, se tiene:

(I, 3, 4)1 1 1 1 1

2 1 2 1 2

( ,..., ) ( ,..., ,0)

( ,..., ) ( ,..., ,0,0)

n n n n

n n n n

G u u G u u

G u u G u u

=

=

Al comparar con (I, 1, 3), se concluye que el covariograma asociado a la nueva variableobtenida a partir de una subida puede obtenerse al efectuar directamente la misma subidasobre el covariograma de la variable primitiva. Subida y paso al covariograma sonoperaciones permutables.

7 El problema de Radon est tratado en Guelfand y ChilovLes Distributions, Pars, Dunod, 1962. Vertambin Guelfand e Igraiev, Integralnaa geometria, Mosc, 1962.


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26

Diremos, brevemente, que el covariograma sube y desciende al mismo tiempo que lavariable a la cual est asociada.

4.- Subida y descenso para covariogramas istropos.

Se dir que la variable regionalizada fn(x) de n dimensiones obedece a un esquematransitivo istropo si el covariograma transitivo gn(h) asociado, no depende de la direccindel argumento vectorial h, sino solamente de su mdulo, que designaremos por r:

(I, 4, 1) 2 2 21 2 ... nr h h h= + + +

Se escribir gn(r), en lugar de gn(h), el ndice nsirve para recordar que gn(r), bien quesolo depende de la sola variable r, es en realidad una funcin definida en el espacio de ndimensiones.En las aplicaciones, se utilizarn casi exclusivamente esquemas istropos, sea porque lasregionalizaciones presentan realmente un grado suficiente de isotropa, sea porque es

posible reducirse a esta caso simple por una transformacin lineal conveniente de lascoordenadas (afinidad geomtrica).Los esquemas istropos nos permitirn, en los dos captulos siguientes, de poner enevidencia el fenmeno de la regularizacin con la subida: un gn(r) que se comporta en r

en la vecindad del origen proporciona, por subidas sucesivas, covariogramas en r+1, r+2,, salvo en el caso particular en que es un entero par. En este ltimo caso, se observarla secuencia r, r2logr, r3, r4logr.

Efecto rectangular. - Sin embargo, adems del caso istropo, nos podemos imaginarcovariogramas que no se regularizan a la subida. Por ejemplo, si un covariograma de 3dimensiones es de la forma:

g3(xyz) = g(x)g(y)g(z)

Se obtendr, por subidas de orden 1 y 2, los covariogramas:

2

21

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

g xy Ag x g y

g z A g z

A g u du+

=

= =

Que presentan, en el origen, el mismo comportamiento que g3.

Un efecto de este tipo puede existir en la naturaleza, en una forma ms o menos atenuada,imaginemos el caso lmite de la variable geomtrica k(x) asociada al cubo de lado unidad.En este caso, se tiene:


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27

( ) (1 | |)(1 | |)(1 | |)

( ) 0

K xyz x y z para | x | 1, | y | 1, | z | 1

K xyz en otro caso

=

=

En la subida, se obtiene (1 - |x|)(1 - |y|) y (1 - |z|) . Las potencias de los sondajesverticales, o de las superficies de las secciones horizontales varan, en los espacios de 2 y

1 dimensiones, con exactamente el mismo grado de irregularidad que k(xyz) en el espaciode 3 dimensiones. Los fenmenos de esta naturaleza sern designados con el nombre deefecto rectangular. A pesar que un tal efecto puede a veces manifestarse, la mayora de losfenmenos naturales podrn ser estudiados a partir de esquemas istropos, o reducindolosa modelos istropos.

Estudio de la subida istropa por la transformacin de Hankel. _ La subida istropapuede estudiarse, sea directamente, o bien a partir de las relaciones (I, 3, 3). Examinaremos,en primer lugar, el mtodo que se fundamente en la transformacin de Fourier. Como gn(r)tiene simetra esfrica, ocurre lo mismo con su transformada, la cual puede ponerse en laforma G(), con:

(I, 4, 2) 2 2 21 2 ... nu u u= + + +

Se sabe (Anexo A, 8, 1) que G() admite la expresin siguiente:

(I, 4, 3)1

2 2

120

( ) ( ( )) 2 (2 ) ( )n n

n n nG F g r J r g r dr

= =

J designa la funcin clsica de Bessel con ndice . La frmula (I, 4, 3) representa latransformacin de Fourier en el espacio de ndimensiones cuando se considera que gn y Gson funciones istropas definidas en este espacio. Si gn y G se consideran comofunciones de una sola variable (ro ), la misma frmula representa la transformacin deHankel de orden n, y puede generalizarse, como tambin la frmula recproca, a valores noenteros de n.El proceso de subida a lo largo del eje de las xn (proporciona, evidentemente la mismafuncin istropa a lo largo de cualquier eje), se representa, segn (I, 1, 3), anulando lacoordenada un de la transformada de Fourier del covariograma. Esta transformada G(),solo depende de . Ahora, al anular unen (I, 4, 2), se obtiene simplemente el mismo ,considerado como radio vector del espacio de n - 1 dimensiones. Por consiguiente, elcovariograma gn-1 deducido de gn por subida de orden 1 tiene, en su espacio de n - 1dimensiones, una transformada de Fourier G(), la cual, como funcin de no se distinguede la transformada G() de gn, tomada en su espacio de n dimensiones.As, en esquema istropo, una subida, o un descenso, de orden cualquiera, a lo largo deuna recta, de un plano, de orientacin cualquiera, deja invariante la transformada G()del covariograma. Escribiremos:

(I, 4, 4) 1 1( ) ...n n n n n k n k G F g F g F g = = = =


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28

La inversa de la transformada de Fourier proporciona inmediatamente la expresin delcovariograma obtenido por subida de orden k :

(I, 4, 5)1

2 2

20

( ) ( ) 2 (2 ) ( )n k n k

n k n k n k g r F G r J r G d

= =

Esta frmula da la solucin terica del problema de la subida y del descenso en esquemaistropo, una vez conocida la funcin G(). Para el descenso, basta, naturalmente, con dara k un valor negativo. Como las transformaciones de Hankel se generalizan para ndicesno enteros o semi-enteros, nos podemos imaginar subidas o descensos de orden cualquiera(no entero).Ms generalmente, el conocimiento de la funcin G() permite definir una familia decovariogramas istropos g(r) , la cual depende de un parmetro , definida por larelacin:

(I, 4, 6)

1

2 21

20( ) ( ) 2 ( ) (2 )g r F G r G J r d

= =

El juego del proceso de la subida y del descenso permite describir toda la familia de los g,una subida de orden , por ejemplo, hace pasar de g a g- , mientras que latransformada de Hankel:

( )F g F g G = =

Queda invariante. Notemos bien que el orden de esta transformacin debe ser tomado igualal ndice (la transformada de Fourier debe ser tomada en el espacio de dimensiones alcual pertenece g). Si se efecta una transformacin de ndice cualquiera pero fijo,veremos que Fg desciende cuando g sube, y, recprocamente.

Estudio directo de la subida. - En el caso de una funcin istropa gn(r) , las expresionesdirectas (I, 3, 1) y (I, 3, 2) de las subidas de orden 1 y 2 se ponen en la forma siguiente:

(I, 4, 7)

2 21

0

2 22

0

( ) 2 ( )

( ) 2 ( )

n n

n n

g r g r x dx

g r g r d

= +

= +

La expresin de gn-2 se obtiene al pasar en coordenadas polares en el plano de (xn, xn-1).Mediante el cambio de variable:

2 2u r = +

Se obtiene inmediatamente:


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29

(I, 4, 8) 20

( ) 2 ( )n ng r ug u du

=

Se ve que la subida de orden 2 (y, en general, toda subida de orden impar) se reduce a una

integracin ordinaria. La operacin recproca, el descenso de orden par, se efecta pormedio de derivaciones simples. Por ejemplo, al derivar (I, 4, 8) en r, se obtiene la expresindel descenso de orden 2 8:

(I, 4, 9) 21

( ) ( )2

n n

dg r g r

r dr =

Por el contrario, las subidas de orden impar son operaciones ms difciles. El descenso deorden 1, en particular, no se puede expresar con la ayuda de derivaciones elementales. Estacircunstancia no es fortuita. Tomemos, en efecto, como nueva variable:

(I, 4, 10) y = r2

Y consideremos los gk(r) como funciones gk(y) de esta nueva variable.Las dos ecuaciones (I, 4, 7) se ponen (mediante los cambios de variables v = y + x2 y v =y +2) en la forma:

(I, 4, 11)

1

2

( ) ( )

( ) ( )

n n

y

n n

y

dvg y g v

v y

g y g v dv

=

=

La segunda expresin es una integracin simple de gn(u) , mientras que la primera sepresenta como un producto de convolucin:

(I, 4, 12) 1( ) ( ) ( )n ng y g y T y =

De gn(u)por la funcin T(y) definida como sigue:

1

2( ) | | 0

T y y para y

T y para y

=

=

Esta funcin T(y) aparece como muy prxima del operador Yque representa, en teora delas distribuciones, la integracin de orden (Anexo A, 7). Se tiene, en efecto:

8Nota del Traductor: Las relaciones (I, 4, 8) y (I, 4, 9) son las ecuaciones de la simulacin de una variableregionalizada por el mtodo de las lneas rotantes.


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30

1

2

1( ) ( )Y y T y

=

Reemplazar T(y) por Y en el producto de convolucin (I, 4, 12) equivale a reemplazar la

primera integral de (I, 4, 11) por:

0

1( )

y

n

dvg v

y v

Es decir, prcticamente, a realizar la integracin de 0 a y , y no de y al infinito. Como elproducto de un nmero par de integraciones de orden es una integracin de ordenentero, no es sorprendente que la subida de orden par conduzca a resultados simples.Introduzcamos ahora las funciones F(y) definidas por

9:

(I, 4, 13)

1

| |( ) < 0( )

( ) 0 > 0

yF y para y

F y para y

=

=

() designa la funcin euleriana (Anexo B). Se demuestra fcilmente (Anexo A, 7, 1) queel producto de convolucin de F por F es F+:

(I, 4, 14) F F F + =

Como la subida de orden 1 puede representarse por el producto de convolucin:

1 1

2

( ) ( ) ( )n ng y g y F y =

La relacin (I, 14, 4) permite escribir la subida de orden k en la forma:

(I,4 15) 2

2

( ) ( ) ( )k

n k n k g y g y F y =

Para k = 0, caemos de nuevo en la funcin gn(y)10 , y para k entero par caemos de

nuevo en integraciones ordinarias. Anlogamente, el descenso de orden k se obtiene alcambiar k por k:

9En realidad, cuando la parte reales negativa o nula, F es una distribucin, igual, por otra parte, a latranspuesta de Ydefinida en (A, 5). Las relaciones que vamos a escribir, solo tienen sentido, para todos losvalores de, cuando los gny los Fson distribuciones. En las aplicaciones, los valores deson tales queconservan su sentido si gny Fson funciones.10 F0es la distribucin de Dirac (Anexo A, 5).


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31

2

2

( ) ( ) ( )k

n k n k g y g y F y

+

=

En efecto, la subida de orden k efectuada sobre un gn+k proporciona bien gn11.

Finalmente, la subida de orden cualquiera (entero o no, positivo o negativo) se obtiene al

reemplazar k por . Todos los covariogramas g , que pertenecen a una misma familia,tal como los definimos en (I, 4, 6), pueden deducirse de uno cualquiera de ellos por elproceso de subida o de descenso, representados por los productos de convolucin:

(I, 4, 16) 2

2

( ) ( ) ( )g y g y F y

+=

Al volver a las notaciones explcitas:

(I, 4, 17)

2 1

2( ) ( )( )

2y

g y g v v y dv

+=

Finalmente, al reintroducir la variable primitiva r2 = y, y cambiando v en u2,encontramos la expresin de la subida de orden bajo la forma siguiente:

(I, 4, 18)2 1

2 2 22

( ) ( )( )

2r

g r g u u r udu

+=

En un proceso de descenso ( negativo), podra suceder que una integral como (I, 4, 18)sea divergente (en el sentido usual). En general, se podr evitar el recurso a la teora de lasdistribuciones, al descender primero en un entero, operacin que solo introducederivaciones ordinarias, y, efectuando a continuacin la subida de orden positivo 2k .Por ejemplo, la subida de orden 1:

1 2 2( ) 2 ( )n n

r

ug r g u du

u r

=

Admite como recproco el descenso de orden 1:

(I, 4, 19) ' 1 2 21

( ) ( )n nr

ug r g u du

u r

=

11Porque F-k / 2* Fk / 2= F0= .


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32

Esta relacin se interpreta como un descenso de orden 2, que conduce, segn (I, 4, 9) a

'1 1

1( )

2n ng g u

u+ += , seguido de una nueva subida de orden 1.

Eleccin de un modelo istropo. Las operaciones realizadas aqu tienen un carcter

formal y no consideran para nada la capacidad de los covariogramas g obtenidos pararepresentar convenientemente a la variable regionalizada correspondiente a uno u otrofenmeno natural. Solamente, un conocimiento directo del fenmeno natural mismo puedepermitir un juicio. En la eleccin de un modelo terico de covariograma, es necesariobuscar la mejor interpolacin posible del covariograma experimental, construido sobrepuntos discontinuos segn los datos disponibles. Se deber tambin asociar una extremaimportancia al comportamiento de g(r) en la vecindad del origen. An en los casos en queeste comportamiento no est suficientemente puesto en evidencia por los datosexperimentales, se podr, en general, tener nociones a priori bastante precisas acerca de sunaturaleza analtica, gracias a los conocimientos cualitativos que se pueden tener, por otraparte, sobre el fenmeno representado. Naturalmente, en este caso, la experiencia es el juez

soberano y podr por si sola decidir si tal u otro tipo de comportamiento conviene bien a talu otro tipo de variable.Sin embargo, los covariogramas utilizados debern siempre ser de tipo positivo. Estacondicin es imperativa, si no se desea caer un da en una varianza de estimacin negativa.En este sentido, es importante observar que,para que todos los covariogramas g de unafamilia de covariogramas istropos sean de tipo positivo, basta con que uno solo de elloslo sea. Esto resulta inmediatamente de la relacin (I, 4, 4) y del teorema de Bochner(Anexo A, 9, 1). Para que un g sea de tipo positivo, es necesario y suficiente que sutransformada de Fourier G() , tomada en el espacio de dimensiones sea una funcin nonegativa (ms generalmente, una medida positiva). Como todos los g tienen la mismatransformada de Fourier G(), en sus espacios respectivos de dimensiones, son todos de

tipo positivo si uno solo de ellos lo es.

5. Modelo recproco y grupo de Hankel.

La operacin de subida de orden , tal como est definida en (I, 4, 18), puede sersimbolizada por un operador M. Por definicin (I, 4, 18) se escribe entonces:

(I, 5, 1) g M g +=

Pero esta misma operacin puede igualmente expresarse, con la ayuda de (I, 4, 6), segn lastransformaciones de Hankel F que estn as en relacin estrecha con los M. La relacin

(I, 4, 6) se simboliza por las dos ecuaciones siguientes:

G F g

g F G

+ +=

=

Resulta la relacin:


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33

(I, 5, 2) g F F g + +=

Al comparar (I, 5, 1) y (I, 5, 2) obtenemos una relacin entre operadores:

M F F +=

Que escribiremos, al cambiar por y por - , en la forma siguiente:

(I, 5, 3) M F F =

El producto de transformaciones de Hankel de orden y es igual a la subida de orden-. Es necesario precisar bien que el operador FF el cual acta sobre una funcin f,representa lo que se obtiene al efectuar, en primer lugar Ff, y haciendo intervenirenseguida a F sobre el resultado obtenido.

En particular, para =, se obtiene:

(I, 5, 4) 0M F F =

Como la subida de orden cero es el operador unitario (M0f = f ), esta relacin traducesimplemente la reciprocidad de la transformacin de Hankel F.Consideremos ahora G = F g como el elemento G0 de un nuevo modelo, quellamaremos modelo recproco de los g. El elemento general G de este modelo seobtiene, por definicin, al efectuar la subida de orden sobre G0:

(I, 5, 5) 0G M G =

En estas condiciones, apliquemos los dos miembros de (I, 5, 3) sobre G0:

0M F F G =

Al lado izquierdo, obtenemos G- segn (I, 5, 5). A la derecha, podemos reemplazarFG0 por g segn (I, 4, 6). Se tiene as:

(I, 5, 6) G F g =

Al multiplicar a la izquierda los dos miembros de (I, 5, 6) por F, se obtiene:

(I, 5, 7) g F G =

Las dos ecuaciones recprocas (I, 5, 6) y (I, 5, 7) relacionan estrechamente los dos modelosg y G. Se pueden establecer directamente por clculo, al utilizar la frmula (A, 8, 30) delAnexo A, la cual proporciona la transformada de Hankel de la funcin Besseliana r-J(r).Estas relaciones justifican el nombre de modelos recprocos. De (I, 5, 6), por ejemplo, se


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34

deduce que una subida de orden efectuada sobre g,la cual tiene por efecto cambiar en , tiene como recproco, siendo constante, un descenso del mismo orden efectuado sobre G- que se transforma en G-+.

OBSERVACION. El modelo recproco de los G no conviene necesariamente para la

representacin de un fenmeno real. Por ejemplo, si los g son de tipo positivo, no resultade ninguna manera que los G tambin lo sean. Veremos ejemplos. Para que dos modelosrecprocos g y G sean ambos de tipo positivo, segn el teorema de Bochner (Anexo A,9, 1), es necesario y suficiente, que por lo menos uno de los g y al menos uno de los Gsean funciones no negativas o medidas positivas. Veremos igualmente, en el captulosiguiente, ejemplos de modelos istropos que verifican esta condicin.

El grupo de Hankel. De un punto de vista puramente formal (es decir sin preocuparse de lanaturaleza de las funciones o las distribuciones sobre las cuales actan los operadoresintroducidos simblicamente) es interesante precisar la estructura algebraica del conjuntode transformaciones constituidas por la subida, los descensos y las transformaciones de

Hankel. Veremos que este conjunto es un grupo, que llamaremos el grupo de Hankel.Consideremos en primer lugar el conjunto de las subidas M . El producto de dos subidases una subida, segn (I, 1, 14), y se tiene:

(I, 5, 8) M M M M M += =

De manera que el producto, evidentemente asociativo, es, adems conmutativo. Existe unelemento unidad, la subida de orden 0, M0 , y cada elemento M tiene un inverso M-:

(I, 5, 9) 0M M M =

As, el conjunto de las subidas constituye un grupo, por otra parte abeliano (conmutativo).Consideremos ahora el conjunto H constituido por el grupo de las subidas, y lastransformadas de Hankel F. El producto de dos subidas es una subida, segn (I, 5, 8). Elproducto de dos transformaciones de Hankel es una subida, segn (I, 5, 3).Multipliquemos esta ltima relacin a la derecha por F. Queda:

M F F =

Anlogamente (el producto es evidentemente asociativo) multipliquemos a la izquierda porF. Queda:

F M F =

Al cambiar las notaciones, estas dos relaciones se escriben:

(I, 5, 10)M F F

F M F

+

+

=

=


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35

Las que muestran que el producto de una subida y de una transformacin de Hankel es unatransformacin de Hankel. Por otra parte, existe un elemento neutro M0, y cada elementotiene un inverso:

0

0

M M MF F M

==

Hes entonces bien un grupo, el grupo de Hankel.Comparemos este grupo con el grupo de las translaciones-simetras en la recta euclidiana.Designemos por S2 la simetra respecto del punto de abscisa , y por T la traslacin por(traslacin hacia la izquierda): Las propiedades geomtricas elementales bien conocidasde este grupo proporcionan las reglas de clculo siguientes:

(I, 5, 11)

T T T

S S TS T S

T S S

+

+

+

=

==

=

Si se establece una correspondencia (aplicacin biyectiva) entre S y F y entre T yM, se ve que las reglas (I, 5, 11) no son diferentes de (I, 5, 8), (I, 5, 3) y (I, 5, 10).As el grupo de Hankel es isomorfo con el grupo de las simetras-translaciones en la rectaeuclidiana. En este isomorfismo, las transformaciones de Hankel corresponden a lassimetras, y las subidas a las traslaciones. Si se considera que el grupo de Hankel operasobre el eje de las dimensiones, una subida M se interpreta como una traslacin (hacia

la izquierda) a lo largo de este eje, y una transformacin de Hankel F como una simetrarespecto del punto / 2 de este eje, simetra que tiene por efecto de hacer pasar de unmodelo istropo a su recproco.

** *


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36

CAPITULO SEGUNDO

EJEMPLOS DE MODELOS ISOTROPOS

SUMARIO

Este captulo es una simple aplicacin de la subida istropa a modelos particulares, loscuales pueden ser utilizados en la prctica. Sin embargo su objetivo principal es poner enevidencia el fenmeno de la regularizacin a la subida. En el estudio del comportamientode un covariograma g(r) en la vecindad del origen, se distingue una parte regular (serie

entera par 2kka r )y una parte irregular, de la forma a r ( diferente de un enteropar). En cada uno de los ejemplos estudiados, se muestra que la subida puede hacerse

trmino a trmino sobre la parte irregular, segn la regla:

2

2 2M r r

+

+ =

Con la condicin de reemplazar2

r

por un trmino en r2klog r cuando es un

entero par 2k. La serie logartmica log r r -r2log r obtenida por subidassucesivas de orden 1 es fundamental para las aplicaciones.Esta regla de subida trmino a trmino sobre la parte irregular se aplica a todos los

covariogramas usuales, pero proporciona el resultado salvo una serie entera. Esta seriesolo puede ser determinada por un estudio directo de cada g(r) particular.La demostracin de la validez general de esta regla ser entregada en el captulosiguiente. Nos contentaremos aqu con encontrarla en cada una de las familias de modelosestudiados: modelos de Bessel (prrafo 1), de Gauss (prrafo 2), de Laguerre (prrafo 3),modelos hipergeomtricos (prrafo 4) y esfricos (prrafo 5).A pesar de que numerosos clculos se derivan a Anexos, esta captulo es de lectura difcil.No es necesario profundizar cada uno de los ejemplos tratados para pasar a los captulossiguientes. Sin embargo, debido a la importancia de la regularizacin con la subida, y dela regla de la subida trmino a trmino, y tambin para convencer al lector que la subidano es una operacin elemental, aconsejamos leer, al menos el sub prrafo I.2 (modelos de

Bessel de segunda especie) antes de pasar al captulo III.

1. Los modelos de Bessel.Trataremos rpidamente el modelo de primera especie, poco importante para lasaplicaciones, y con mucho ms detalle el modelo de Bessel de segunda especie, cuya


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37

importancia es muy grande tanto para las aplicaciones como para la teora de la estimacin(captulo IV).

1.1. El modelo de Bessel de primera especie. Tomemos, en el espacio de ndimensionesun covariograma gn(r) definido por:

(II, 1, 1) ( ) ( ) ( )ng r cr J cr

=

En que c es una constante, y J la funcin de Bessel de ndice (Anexo C-1). Estecovariograma tiene por transformada de Hankel de orden 2, segn la frmula (A, 8, 30) delAnexo A:

2 22 2

2

2 4( ) 1

(1 )2

n nn

n

n n nG F g cn c

= =

+

La subida de orden se efecta segn (I, 4, 5) al aplicar a G la transformacin de ordenn-. Al aplicar (A, 8, 9) del anexo A, se obtiene:

(II, 1, 2) 2 2

2

(2 ) ( ) ( )n ng F G c cr J cr

= =

As, salvo un factor constante, la subida de orden se manifiesta por el cambio del ndice en - /2. La aplicacin de la definicin directa (I, 4, 18), de su lado, conduce a laexpresin:

(II, 1, 3)2 1

2 2 22

( )( )( )2

n n

r

g g u u r udu

=

Al igualar (II, 1, 2) y (II, 1, 3), se encuentra una integral clsica de Sonine:

12

12 2 2 2

2

22

( ) ( )( ) ( ) ( )r

cr J cr u r udu cr J cr c

=

El modelo de Bessel de primera especie es bien de tipo positivo, porque sus transformadas

son de la forma2

2

2

41

c

, luego son positivas. Sus covariogramas, que son todos con

desarrollo en series pares, son, sin embargo, demasiado regulares en el origen para serutilizados en las aplicaciones.


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38

El modelo recproco est constituido por funciones de la forma2

21

r

a

, sobre los cuales

la subida de orden se manifiesta por el cambio de en + /2, conforme a la regla (I,5, 6). Pero estas funciones no son de tipo positivo, porque sus transformadas, que son los-J , toman valores negativos. No pueden servir entonces como modelos de covariograma.

1.2 . - El modelo de Bessel de segunda especie. Las funciones de Bessel modificadas desegunda especie, tomadas en la forma xK-(x) (ver Anexo C.2), son mucho mejoradaptadas para los usos prcticos: Son siempre positivas y decrecen en el infinito como lasexponenciales, adems presentan en el origen una gama de comportamientosextremadamente variados.Tomemos como covariograma de partida, en un espacio de n dimensiones la funcin:

(II, 1, 4) ( ) ( )ng r c r K cr

=

El cual tiene por transformada de Hankel de orden n , segn (A, 8, 30), la funcin:

(II, 1, 5) 1 22 2

2

2

1( ) 2

24

1

nn n

n

nG c

c

+

+

= +

+

Para realizar la subida de orden , se debe, segn (I, 4, 5) calcular Fn-G , lo que se hacefcilmente con la ayuda de la frmula (A, 8, 27) del Anexo A. Se obtiene:

(II, 1 ,6)2

2

2

(2 )( ) ( ) ( )ng r cr K cr

c

+

=

As, salvo el factor2(2 )

c

, la subida de orden se efecta al reemplazar en (II, 1, 4) el

ndice por +/2.Por ejemplo, tomemos = 0 . Se obtiene, como punto de partida, la funcin K0 cuyodesarrollo est dado en (C, 2, 4): Por subidas sucesivas de orden 1, se describe la gamasiguiente:


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39

(II, 1, 7) 12

0

1 1

2

2 12

33 222

3 33 32

( )

2( )

2( ) ( )

(2 ) 2( ) ( ) (1 )

n

cr

n

n

cr

n

g K cr

g crK cr ec c

g cr K cr

c

g cr K cr e cr c c

= = = =

= = +

As, a gn = K0 cuyo comportamiento en el origen es logartmico, le sucede gn-1 que es elmodelo exponencial, el cual es lineal en el origen, luego viene gn-2 que es en r

2log r,etcMs generalmente, la frmula (II, 1, 6) permite captar en vivo el proceso de regularizacina la subida. El desarrollo de gn est dado, en el caso general ( no entero) por la frmula(6, 2, 3) del Anexo C. Este desarrollo tiene una parte regular, que es una serie entera par en

r2k , y una parte irregular que tiene trminos en r2+2k . La parte regular no debe ser tomadaen consideracin. Si solo existiera esta parte, el covariograma sera indefinidamentederivable en el origen, y solo podra describir una variable f(x) tambin indefinidamentederivable. Entonces, la parte irregular sola, representa el comportamiento de la variablef(x), y su aventura a la subida debe poner en evidencia el fenmeno de la regularizacin.Consideremos en primer lugar, el trmino ms irregular, que es r2 (k = 0). Es igual a:

12( )

(1 ) ( )cr

sen

+

La subida de orden proporciona gn - por la frmula (II, 1, 6): Si + /2 no es unentero, el mismo desarrollo (C, 2, 3) nos da el trmino ms irregular. Es de la forma r2 + ,y tiene por expresin exacta:

12 1 2( ) 2

12 2

cr

csen

++

+ + +

Al comparar estas dos expresiones, se obtiene la regla siguiente:Si y + /2 no son ni uno ni otro enteros, un trmino en r2 proporciona, a la subida

de orden , un trmino en r2+

, segn la frmula:

(II, 1, 8) 2 22(1 )

12 2

senM r r

sen

+ +=

+ + +

12Nota del traductor: gn-1corresponde al modelo exponencial, de gran uso en geoestadstica.


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40

Se verifica fcilmente, con la ayuda del desarrollo (C, 2, 3) que esta regla (II, 1, 8) no solose aplica al trmino ms irregular, sino tambin la trmino general de la parte irregular(basta con reemplazar 2 por 2 + 2k). As la subida se puede efectuar trmino a trminosobre la parte irregular. Sin embargo, la parte regular no puede ser manipulada de maneratan simple, pero, como hemos visto, esta parte no presenta ninguna importancia en el

Teoria Variables Regionalizadas Estimacion

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