Teoria de Las Mediciones y Errores

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MECNICA ELEMENTAL Juan G. Roederer

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Captulo 1

E1 proceso de medicin

a) Magnitud fsica

La fsica es una ciencia experimental. Estudia procesos del mndo fsico en su forma ms general, independientemente de su valor prctico inmediato, y establece un cierto nmero limitado de leyes con las cuales se puede explicar la mayor variedad posible de los fen-menos observados y predecir cuantitativamente su comportamiento. Que sea ciencia ex-perimental significa que los fenmenos bajo anlisis deben observarse y medirse. Cual-quier aseveracin en fsica carece de sentido si la misma o sus consecuencias lgicas no pueden ser comprobables experimentalmente.

Vamos a analizar el proceso de medicin; proceso fundamental para la fsica y punto de partida de toda teora fsica. El proceso de medicin es una operacin fsica experi-mental, en la que intervienen necesariamente tres sistemas: el "sistema objeto" al cual queremos medir, el instrumento o aparato de medicin y el "sistema de comparacin" que definimos como unidad y que suele venir unido o estar incluido en el aparato o ins-trumento de medicin.

Por ejemplo: en el proceso llamado "medicin de longitud" intervienen:

1. El objeto cuya longitud queremos medir.

2. El instrumento, por ejemplo, una regla.

3. La unidad (cierta escala marcada en la misma regla, cierta barra patrn, o cierta longi-

tud de onda espectral).

Para definir unvocamente el proceso de medicin es necesario dar adems la "rece-ta" mediante la cual deben ponerse en interaccin el sistema objeto, el aparato de medi-cin y la unidad. En particular, el procedimiento fsico correspondiente a esta receta, rea-lizado entre el aparato de medicin y la unidad, se denomina "calibracin" del aparato.

Por ejemplo, la "receta" para medicin de longitudes sera: "tmese un cierto instru-mento llamado regla, en la que estn marcadas cierto nmero de divisiones; hgase coin-cidir la primera divisin de la regla con un extremo del objeto cuya longitud se quiere determinar; determnese la divisin que coincide con el otro extremo del objeto. Por otra parte, realcese el mismo procedimiento con el objeto que se defini como unidad (cali-bracin de la regla)".

Medir temperaturas significa: "tomar un instrumento llamado termmetro, ponerlo en contacto trmico con el sistema que queremos medir, esperar que se establezca equili-brio trmico, medir la longitud de la columna de mercurio, etc.".

16 / Mecnica elemental

Medir el peso de un cuerpo significa: "tomar el cuerpo, ponerlo sobre el platillo de un instrumento llamado balanza, colocar pesos unidad en el otro platillo hasta equilibrar la balanza, leer el nmero de pesos unidad".

Cada proceso de medicin define lo que se llama una magnitud fsica. Estas ltimas estn unvocamente determinadas por el proceso de medicin. Por ejemplo, se define como "longitud" aquello que se mide en el proceso descripto como "medicin de longi-tudes". "Peso" es aquello que se mide con el proceso fsico denominado "pesar un cuerpo". Esto podra parecer trivial; sin embargo, es importante notar que no hay otra forma de definir una magnitud fsica ms que por la descripcin del proceso de medi-cin en s. En otras palabras, el concepto fsico primario es el de proceso de medicin, y no el de magnitud fsica.

Hay muchos procesos de medicin que definen una misma magnitud. Por ejemplo, hay muchas formas de medir una longitud. Son procesos de medicin equivalentes. El resultado de un proceso de medicin es un nmero real, que se llama valor de la magni-tud en cuestin. Se lo interpreta intuitivamente como el "nmero de veces que la unidad est contenida en la magnitud en cuestin". Dos objetos tienen una cierta magnitud dada igual cuando el resultado del proceso de medicin (que define la magnitud en cuestin) aplicado a ambos objetos es el mismo, o sea, cuando se obtiene el mismo valor numrico.

Tenemos en resumen dos conceptos definidos a partir del proceso de medicin:

define una magnitud fsica. Proceso de medicin:

da corno resultado el "valor" de la magnitud.

La suma de dos magnitudes (de igual tipo, por supuesto) debe definirse por un proce-so fsico Por ejemplo, la longitud "suma" de las longitudes de dos varillas es la longitud del sistema que se obtiene alineando paralelamente las dos varillas en fila, una a conti-nuacin de la otra, haciendo coincidir el extremo de una con el principio de la otra. Una magnitud fsica es "genuina" cuando el valor de la magnitud suma es la suma de los valo-res de las magnitudes originales. Esto no es trivial. Si ello no sucede, la magnitud en cuestin no es una magnitud fsica genuina. Por ejemplo, la temperatura no es aditiva. Si quisiramos definir la operacin "suma" de temperaturas como proceso fsico (juntando dos cuerpos de temperaturas T1 y T2 y esperando que se establezca equilibrio trmico), veremos invariablemente que el valor numrico de la temperatura del sistema final o su-ma no es la suma de los valores T 1 + T2 .

El valor de una magnitud dada es independiente del proceso particular de medicin, dependiendo slo de la unidad elegida. Como esta unidad, en principio, es arbitraria y se fija por convencin, es necesario aadir un smbolo al valor numrico de una magnitud dada para indicar cual unidad ha sido utilizada como comparacin. Por ejemplo, se escri-be 1 m", "10 pies", "25 seg", etc. Decir que una longitud es "2,5" no tiene sentido fsico si no se indica la unidad de referencia.

Cuando cambiamos de unidad, el valor numrico de una misma magnitud cambia. Es necesario conocer la regia de transformacin para los valores numricos de las magnitudes.

Sean L y L' dos unidades de longitud distintas, y x el nmero real que representa el valor de la longitud de un objeto dado cuando se usa L como unidad. Sea ademas el nmero real que representa el valor de la longitud de la unidad L medida con la unidad L'

Captulo 1. El proceso de medicin / 17

(nmero de veces que la unidad L' est contenida en L). La regla de transformacin que sufre el nmero x cuando se pasa de la unidad L a la L' es:

x '= x/1.. (1 . 1)

o sea, el "nuevo" valor es igual al "viejo" valor multiplicado por el nmero de veces que la nueva unidad est contenida en la vieja unidad. Observemos que la (1.1) es una rela-cin entre nmeros.

Para recordar la regla de transformacin se utiliza la convencin arriba indicada para escribir los valores numricos de una magnitud. Sea una longitud de "3 m". Ello significa que "x = 3" y "la unidad L es el metro patrn". Si ahora cambiamos de unidad, la opera-cin por realizar es: reemplazar el smbolo m por el valor (nmero real) de esa unidad (metro) medido con la nueva unidad y hacer el producto correspondiente.

Por ejemplo, si la nueva unidad L' es el cm, dado que la longitud del metro patrn contiene 100 veces el centmetro, el nuevo valor de x'ser, segn la (1.1):

x' =3 . 100-300

O sea, con la nueva unidad escribimos "300 cm".

Hay que tener mucho cuidado: "3 m" o "300 cm" es una expresin simblica. El "m" o "cm" es un smbolo que indica dos cosas:

1. la unidad que se eligi al expresar el valor; 2. nos recuerda que si se cambia la unidad, debemos multiplicar el valor original

de la magnitud por el valor de la unidad original medida con la nueva unidad.

Por ese motivo, la igualdad:

3 m = 300 cm

es simblica y no tiene significado algebraico. El significado fsico es: la longitud cuyo valor es 3 cuando la unidad es el metro es la misma que aquella cuyo valor es 300 cuando la unidad usada es el centmetro.

Hemos dicho que el proceso de medicin, punto de partida de toda teora fsica, es, en esencia, una interaccin entre tres sistemas: el sistema objeto, el aparato de medicin y el sistema unidad. Supongamos ahora que queremos medir la temperatura de un centme-tro cbico de agua con un termmetro de dos metros de largo que contiene medio kilo-gramo de mercurio. Que sucede? Lo nico que lograremos es que el centmetro cbico de agua adquiera la temperatura del termmetro. La lectura del termmetro nada tendr que ver con la temperatura inicial del agua. Consideremos otro caso: queremos medir la velocidad de un proyectil por el impacto que causa sobre un objeto. Si bien podemos ob-tener informacin sobre la velocidad del proyectil, habremos destruido con nuestra medi-cin nuestro sistema objeto. Seria imposible volver a repetir la medicin con el mismo proyectil. En ambos ejemplos, el proceso de medicin ha perturbado sustancialmente el sistema que quisimos medir.


Pensndolo bien, es fcil darse cuenta de que en todo proceso de medicin el aparato de medicin perturba en mayor o menor grado el sistema que se est midiendo. Lo que la fsica clsica supone es que, si la perturbacin result apreciable, siempre es posible cons-truir un aparato de medicin ms perfecto, con el que se obtendra una perturbacin menor.

Este principio no "funciona" en el dominio atmico. Efectivamente, se comprueba experimentalmente que, cuando nos aproximamos al dominio atmico, nunca podemos perfeccionar nuestros procesos de medicin ms all de cierto lmite; es decir, nunca po-demos reducir la perturbacin del proceso de medicin a cero. En otras palabras: jams podra observarse y medir un sistema atmico sin molestarlo o perturbarlo sensiblemente.

La llamada "fsica clsica" fue edificada sobre la hiptesis de la posibilidad de per-feccionar los procesos de medicin indefinidamente. Como esto no vale en el dominio atmico, la fsica clsica no vale en este dominio. No hay que sorprenderse entonces que en ese dominio pasen "cosas raras", como, por ejemplo, el comportamiento "dual" de la materia: segn por qu mtodo se observe una partcula atmica, sta parece comportar-se como "onda" o como "partcula"! Esto deja de aparecer como misterio de la naturaleza si se tiene bien presente que en el dominio atmico es imposible "observar sin perturbar", influyendo el propio proceso de medicin sobre lo que se est observando. "Lo que es" la partcula mientras no se la est observando (mientras no est interactuando) no tiene senti-do fsico, por lo expresado en la ltima frase del primer prrafo de este captulo.

b) Errores de medicin

Volvamos al proceso de medicin y consideremos el valor numrico obtenido. Diji-mos que es un nmero real. Un nmero real en el sentido matemtico est representado por un nmero infinito de guarismos. Es evidente que esto no se obtiene como resultado de una medicin. Hay un lmite a priori dado por el instrumento o aparato de medicin, en el cual aparece necesariamente un cierto lmite de apreciacin, dado por el mnimo valor distinguible en una medicin.

Si, por ejemplo, se tiene una regla graduada en cm y mm, en la cifra que expresa el valor de una longitud dada slo estar asegurado el guarismo correspondiente al milme-tro. Por ejemplo: en el valor "3,25633" no tendran sentido las dos ltimas cifras (33) (pues slo seran producto de la imaginacin).

Si se repite una medicin varias veces, el resultado expresado en cifras significativas dadas por la escala del instrumento debera ser el mismo en cada caso, siempre que la magnitud por medirse se mantenga constante. Pero en general esto no sucede. Aun si en cada medicin podemos asegurar a priori hasta un cierto nmero de guarismos, los valo-res obtenidos en mediciones consecutivas no suelen coincidir.

Consideremos un ejemplo: yo mido una cierta longitud cien veces con mucho cuida-do y obtengo los mismos valores numricos en cada medicin. Pero ahora tomo unas co-pas de vino y vuelvo a hacer cien mediciones. Volver a obtener valores coincidentes en cada caso? Evidentemente no; la "borrachera" me impedir ver ntidamente las lneas y los nmeros de la regla, as como los confines del objeto que estoy midiendo. Si, por otra parte, tomo una regla muy corta y (sin estar borracho) mido la longitud de un objeto largo,

Captulo 1. El proceso de medicin 1 19

tampoco obtendr el mismo resultado en todas las mediciones. Esto se debe a que en el proceso de transporte de la regla se cometen inevitablemente ciertos errores mecnicos.

Supongamos entonces que hemos hecho una serie de N mediciones de una misma magnitud, que han dado los valores numricos x 1 , x2 , , xi , XN_1 , x N , todos ellos expresados en cifras significativas exclusivamente. Qu hacemos con estos valores? Va-mos a plantearnos claramente el problema: tenemos una serie de N mediciones con N re-sultados en general diferentes. Sabemos, adems, que la magnitud dada puede tener, en realidad, un solo valor numrico. Cmo podemos "fabricar" de esos N valores uno solo, que est "lo ms cerca posible" del "verdadero valor", al cual desconocemos? En trmi-nos ms correctos: Cmo podemos volcar la informacin dada por esos N nmeros hacia uno solo, que podamos adoptar como "el valor ms probable de la magnitud"?

Sea X el nmero que adoptamos como "valor ms probable" de la magnitud. Las di-ferencias X xi = Ei se llaman "desviacin de cada medicin" respecto de X . Tendre-mos N desviaciones El , E 2 .. E N . Sern, en general, nmeros positivos y negativos. La suma algebraica e l + E 2 + . .. .E i + EN no tendr mucho significado fsico. Incluso puede ser cero, an siendo grandes los el si los valores positivos y negativos de los el se compensan mutuamente. En cambio, la suma de los cuadrados, o suma de "desviaciones cuadrticas"

N

E1 E2 +*****" EN = ^ ? i=1

ser una magnitud ms representativa, que nos dar una idea global de cmo fluctan los valores medidos xi alrededor de X . Es evidente que esa suma depende del valor que eli-jamos para X :

N N 2 2 N N Ei2 = ^ X xi = NX 2X^ x i + ^ x 2

i=1 i=1 i=1 i=1

Obtenemos una funcin cuadrtica de X que pasa por un mnimo para un cierto valor de X . Con esta expresin encontramos la posibilidad para un criterio "razonable" (por ahora convencional) para definir el "valor ms probable de una magnitud" obtenido a partir de N mediciones individuales xi. Elegimos como tal el valor de X que haga m-nima la suma cuadrtica de las desviaciones. Esto es lo ms razonable que se puede hacer por ahora; ms adelante quedar totalmente justificado.

O sea, X debe satisfacer la siguiente condicin de extremo:


Por lo tanto:

lo que nos da

d /N

-2 N N ^

X 2XEx i + ^ x 2 d X i=1 i=1 ,

2NX 2i xi = 0 i=1

(promedio aritmtico de las x;). (1.2)

El promedio aritmtico de los valores x i es entonces lo que elegimos como "valor ms probable" o "valor ms razonable" de la magnitud en cuestin. Es el valor (nico) que hace mnima la suma cuadrtica de las desviaciones.

Volvamos a esa suma cuadrtica E? . Esta cantidad tiene el inconveniente de que su valor no slo depende de las fluctuaciones, sino tambin del nmero total de observaciones N. Efectivamente, es fcil comprender que esta suma de sumandos positivos puede ser arbitrariamente grande, aun para muy pequeos valores de E. , con tal de ser el nmero de sus sumandos (N) suficientemente grande.

Para independizamos de este nmero ocasional N, definimos la cantidad llamada va-rianza y, que es el promedio de las desviaciones cuadrticas, y que ahora s slo depende de la forma en que los datos individuales fluctan alrededor del promedio, siendo inde-pendiente del nmero total de observaciones:

E i2 xi - NY 2

N N N - X 2 -X 2 (Ver nota 1)

En la expresin precedente hemos tenido en cuenta (1.2); X 2 = x2 /N es el pro- 2

medio de los cuadrados de x, (que no es igual al cuadrado del promedio X , a menos que todas las xi sean iguales entre s!). Las dimensiones fsicas de y no son las de los da-tos originales, puesto que stos figuran elevados al cuadrado. Por lo tanto, se introduce la cantidad

6 = (1.3)

1. En realidad, por razones matemticas debe definirse la varianza como v = E E? /(N 1) . Pero como en fsica experimental siempre suele ser N 1, la expresin dada arriba es una aproximacin suficiente-

mente buena. Tal como est escrita, la ecuacin es rigurosamente correcta si se reemplaza el promedio X por el "verdadero valor" de la magnitud en cuestin [en general desconocido en la prctica].


que tiene las mismas dimensiones que X (por ejemplo: una longitud, si las x; son longi-tudes), y que por lo tanto se puede comparar numricamente con X . En la (1.3) tuvimos

Z 2 en cuenta que Lx = NX . a nos da una idea cabal y precisa de la mayor o menor fluctuacin o dispersin, en forma global, de los valores de x i alrededor del promedio X . a se llama dispersin o error estndar, o error cuadrtico medio de cada medicin. Ob-srvese que a = O slo si cada uno de los el es nulo, o sea, si todos los valores de xi son iguales entre s. Tal como la varianza, a depende slo del proceso de medicin en s.

La cantidad ri _ a-/X se llama error o desviacin relativa de cada medicin; 10017 = a/X se llama error porcentual de cada medicin. Obsrvese que el error relativo, que no tiene dimensiones, es una cantidad que nos representa la forma numrica ms in-tuitiva posible del concepto de "error" o dispersin. Efectivamente, cuando decimos que un error dado es del 10%, tenemos con ello una informacin sobre la calidad de la medi-cin, que es totalmente independiente de lo que estamos midiendo. Ello no ocurre con el error estndar absoluto: si decimos que en la medicin de una longitud el error estndar es de 10 cm, ello puede representar una medicin excelente, si la longitud que se mide es de centenares de metros, pero puede significar una medicin "mala" si el objeto medido tiene slo 20 cm. El error relativo, asimismo, permite una comparacin de la calidad de mediciones de diferentes magnitudes entre s.

Supongamos que hemos obtenido un promedio X de una serie de mediciones x N . Hagamos ahora otra serie de N mediciones en las mismas condiciones que la

anterior, obteniendo los valores x' 1 x' N . El promedio X' de esta segunda serie no tiene

por qu coincidir con el de la primera: X ' # X . Tampoco las desviaciones estndar a y a sern idnticas aunque su orden de magnitud siempre ser el mismo, puesto que repre-sentan una caracterstica del proceso de medicin en s que, por hiptesis, es el mismo en ambas series.

En general, los promedios X' , X" , ...., X k , ...., X Al , obtenidos a travs de M series de mediciones con N valores cada una, fluctuarn alrededor de un promedio general, o "promedio de los promedios", de valor

M N N , N x M MN X zX k L ,,i _f_ z _,.. i

+ + E N---`X^

k _ i N i N i N _ l_ 1 N (suma de ^ todas las x)

M M MN (total de mediciones)

La dispersin de esos promedios, considerados como datos individuales de una serie de valores, ser:

^ - M (1.4)


sta es la dispersin estndar de cada promedio de las series de mediciones. Lo im-portante es que se puede demostrar que para los casos de errores casuales de medicin esta dispersin o error estndar vale

jN

VTV N 2 (1.5)

Esta relacin es en realidad aproximada, 2 pero se convierte en igualdad para N sufi-cientemente grande. a es la dispersin estndar en una de las M series de mediciones (ya dijimos que el orden de magnitud de las slY k es el mismo en cada serie). Esto tiene una importancia prctica fundamental: permite predecir la fluctuacin del promedio de una serie de N mediciones, sin necesidad de volver a realizar ms series de mediciones. En la expresin (1.4) es necesario hacer N.M mediciones. En la expresin (1.5) bastan las N mediciones de una sola serie. Para evitar confusiones y por razones prcticas se conviene en definir como "error estndar del promedio" directamente a la cantidad (1.5) (y no a la (1.4)).

Recurdese que 6 era la dispersin estndar de cada medicin, y que era indepen-diente de N. Evidentemente, depende de N, y siempre es menor que a . Fsicamente, da el orden de magnitud con el cual podemos esperar que el promedio ha de fluctuar alrededor del "verdadero valor" de la magnitud en cuestin, en caso de que se hicieran ms series de mediciones. El significado ms preciso del error estndar del promedio lo daremos en 1.c.

A este respecto nos falta aclarar un punto importante. Segn la expresin (1.5) = 6 su interpretacin fsica, se desprende que cuanto ms mediciones hagamos ^ ^ y rP p q g

(mayor sea N), tanto ms se acercar el promedio al verdadero valor (pues tanto menor ser su fluctuacin ). Pero esto requiere necesariamente una comprobacin experimental. Efectivamente, si por algn medio conocemos a priori el valor exacto de una magnitud dada, se comprueba experimentalmente que el promedio X tiende a confundirse con el valor exacto de la magnitud, si N tiende a infinito. Esto da ahora "carta de ciudadana" al uso del promedio como ente representativo del valor ms probable de una magnitud.

En resumen, a medida que aumenta el nmero de mediciones N en una serie, el rango de fluctuacin que se espera para el promedio, dado por , ser cada vez ms restringido, y por lo tanto el valor del promedio X tender cada vez ms a confundirse con el "verda-dero valor". sa es la razn por la cual el valor de una magnitud se conoce tanto mejor cuanto ms mediciones se realizan.

En cambio, un aumento de N (esto se llama "un aumento de la estadstica") no afecta en nada a la fluctuacin 6 de cada dato. Esta fluctuacin est definida exclusivamente por el proceso de medicin en s. , en cambio, est definido por el proceso de medicin

2. Como en rigor la varianza se define como v = E E /(N 1) , el error estndar del promedio ser, ms exactamente, _ . ^ E? /NO/ 1) .

Captulo 1. El proceso de medicin / 23

y la estadstica (N). En particular, a puede ser muy grande (grandes fluctuaciones de los datos individuales); no obstante, el promedio puede estar muy bien definido, con tal de que sea pequeo (o sea N grande). Un individuo "tremendamente borracho" (gran o ) puede hacer una medicin muy precisa, con tal de medir un nmero suficientemente grande de veces (pequeo ).

El resultado numrico de una serie de mediciones se indica en la forma X , o sea, por ejemplo, (3,794 0,039) Para indicar la unidad, se escribe: (3,794 0,039) m. La cantidad /X. se llama error relativo del promedio, 101n /Y se llama error porcentual del promedio.

Aparece aqu la cuestin del nmero de cifras significativas en el promedio y en . Las del promedio estarn dadas evidentemente por el error estndar . Si en el ejemplo anterior 0,039 son todas cifras significativas del error estndar, no tendra sentido expre-sar el promedio con ms de tres cifras decimales.

Pero, cmo determinamos las cifras significativas del error estndar? Para ello ha-br que determinar el "error del error", o sea, el orden de fluctuacin que esperamos para la expresin de c . Para ello hay una frmula. No la vamos a dar; nos limitaremos a dar la receta prctica, de la que se suelen tomar dos guarismos para el error del promedio.

Sea ahora una magnitud f, funcin de otras x, y, z,... las cuales estn medidas con errores 6x, ay, 6Z, ... Se puede demostrar que, en primera aproximacin, la dispersin es-tndar 6 de la magnitud f es, en funcin de las dispersiones 6x, ay, 6Z,...:

/i' Z 6 = l ^ 6x

y su error del promedio:

( of

(- a z af 2

(1.6)

6 (1.6a) VNxNy Nz ....

donde Nx , Ny , NZ ... son los nmeros de mediciones de x, y,..., respectivamente. Una forma ms cmoda, pero menos aproximada para a es:

of 6

ax x of -5-y aY

=

(suma de valores absolutos).

Apliquemos esta relacin para una funcin potencial del tipo

f=xa Y fi z y 6 = IGllxa-t y S Z Y +I0Ix y fl-1 h y +IYI XayY 1 -^ -


Dividiendo por , f obtenemos la dispersin relativa r) = 6/ f , que aparece ligada a las dispersiones relativas de las variables independientes en la forma sencilla, lineal:

n = I aI res + Ifiln,, + frI nZ +

Finalmente consideremos el caso de tener que hacer el promedio de varios valores, cada uno de error estndar diferente. En ese caso, evidentemente no le atribuye la misma importancia a un dato que tenga un error del 50% que a uno que slo tenga un error del 1%. Para calcular el valor ms probable se procede mediante el mtodo de los "prome-dios pesados". Se asigna un peso estadstico (un nmero positivo) a cada dato, que en al-guna forma mida el "grado de confianza" que le tenemos. Si cada dato tiene entonces su peso estadstico pi , el promedio pesado es:

p^ xl + p2x2 + + pNxN > PX i X _ I p i

Para obtener los valores de pi no podemos dar una regla general. Depende del pro-blema particular. Si, por ejemplo, disponemos de los errores de cada x i, podemos tomar como pi nmeros proporcionales a la inversa del error de cada dato (o una potencia de la inversa).

c) Distribucin de Gauss

Consideremos de nuevo la serie de resultados de medicin: x l, ..., xi, ..., x,,. Estos mi- meros estn distribuidos alrededor del promedio X . Observaremos que hay valores que estn cerca del promedio; otros, menores en nmero, estarn lejos. Cuando nos propone-mos hacer una medicin ms, la (N+1)-sima, no podemos saber de antemano el resultado que va a salir, tal como que en ningn caso podemos predecir de antemano el resultado de una medicin. Pero es evidente que s podremos decir que con buena probabilidad estar cerca del promedio, y con probabilidad menor estar lejos. En otras palabras, no podremos nunca predecir el valor de una medicin dada, pero s podremos decir algo sobre la proba-bilidad de que su valor caiga en un determinado intervalo de valores posibles.

Analicemos detenidamente esto. Tomemos un eje, en el cual marcamos los valores de xi que van apareciendo en nuestra serie de mediciones:

xi x

P1 + P2 + PN

El aspecto suele ser el de la figura. Los valores se "aglomeran" cerca del promedio, y se hacen ms ralos a medida que nos vamos alejando de l.


Si dividimos el eje x en pequeos intervalos iguales Ax , podemos contar el nmero de observaciones dn que caen en cada intervalo y representarlo grficamente. Esto es lo que se llama un histograma (cuando a todo un intervalo le corresponde un valor, y no a un solo punto, como sucede en una funcin). Cuanto ms grande sea la estadstica, o sea N, ms pequeos podemos hacer los intervalos d x sin por ello perder la chance de tener un nmero suficientemente grande dn de datos en cada intervalo.

A An

^

^

^

^

>

dx \ X x x+dx

- I , x

Lo notable de todo esto es que la experiencia muestra que, para todos los casos de errores casuales, el histograma que se obtiene puede ser aproximado por una funcin con-tinua bien definida y nica, cuya forma es siempre la misma, dependiendo slo de dos parmetros que podrn variar de caso en caso.

Sea An el nmero de valores numricos de nuestra serie de mediciones, que caen en un determinado intervalo, entre x y x + dx . Se comprueba experimentalmente que ese nmero depende del valor de x y de la longitud del intervalo Ax en la forma aproximada:

N 26 2 An = e Ax

6 2Tt (1.7)

La aproximacin es tanto mejor cuanto mayor sea N y cuanto ms pequeo sea dx . La relacin se transforma en igualdad para diferenciales dn y dx.

Como se ve, aparecen dos parmetros: a y X (N no es estrictamente un parmetro, pues no modifica la forma de la curva; es un factor de escala). Se puede demostrar que o representa lo que precisamente habamos llamado desviacin estndar de cada medicin

(1.3) y X es el valor medio (1.2). La expresin:

( x )2 . An dn N 2a2 llm = = e

Ox-40 AX dx 6 271.


se llama "densidad de observaciones". Ntese nuevamente bien la relacin entre dn, dx y x: dn es el nmero de observaciones cuyos valores estn comprendidos entre x y x+dx. O sea, la variable x que figura en el exponente ubica el intervalo dx en el cual se cuentan dn observaciones. La representacin grfica de la densidad de observaciones se llama curva de distribucin o curva de Gauss. Tiene la forma de la figura:

X-- ^ - X X+^ x

Presenta de campana, alejamos de

La supe

un mximo en x = X . Es simtrica respecto de ese valor medio, tiene forma y sus puntos de inflexin estn en X o . Tiende a cero a medida que nos X .

erficie total subtendida por la curva de Gauss, es:

ri-x)

(Ti x }2

N 26''

N 2,2 e dx = f e

6 2^z 27r dx N 27r = N 6 Al 27r

(nmero total de observaciones)

Esta es precisamente la razn por la cual se coloca el factor 27 en el denominador. La integral:

^

N ^ X x) dN x,

n_ J e 26' dx = j = idN =AN o-1/27r x, x,

(1.9)


es el nmero de observaciones, cuyo valor est comprendido entre x, y x2. La integral no se puede resolver en forma cerrada; su valor debe buscarse en tablas. 3 Si ahora dividimos el nmero AN por N, nmero total de datos, o sea:

1 x2 X -x 2

e 2a2 dx 6 2^ xl

(1.10) N

obtenemos lo que se llama la probabilidad de que una observacin dada est comprendi-da en ese intervalo. Efectivamente, la probabilidad es por definicin el cociente entre el nmero de casos "favorables" (o sea, en este caso, los que estn en ese intervalo x, x 2) y el nmero de casos totales (1V). El nmero 100 AN/N representa la probabilidad expresa-da en porciento. La probabilidad de encontrar un dato entre oo y + o. es 1 (o sea 100%), certeza. La probabilidad de encontrar un dato fuera del intervalo x, x, ser 1 AN/N.

En resumen, de esto deducimos que, si bien es imposible predecir el valor exacto que saldr de una medicin dada, s podemos decir algo sobre la probabilidad de que ese va-lor est comprendido en un intervalo dado. La prediccin de estas probabilidades es la utilidad fundamental de la funcin de Gauss.

Consideremos unos ejemplos. Ante todo, veamos las probabilidades para algunos in-tervalos "prototipo".

La probabilidad de que el valor de una medicin dada caiga entre X 6 y X + 6 es, segn la (1.10), del 68%; entre X 2a y X + 2a es del 95,4%, y entre X 46 y X + 46 es del 99,99994%. Esto significa que la probabilidad de que una observacin caiga fuera del intervalo X 4a es de slo 6.10-5% ! El valor de ,u que determina el in-tervalo x ,u dentro del cual cae el 50% de las observaciones se denomina error ms probable. De la (1.10) resulta ,u = 0,6456 6 _ 2/3a .

Un ejemplo para fijar ideas sobre la utilidad prctica de la distribucin de Gauss es el siguiente: supongamos que una fbrica de automviles compra pistones a un subsidiario. La fbrica necesita que el dimetro de los pistones est exactamente comprendido dentro del intervalo (110,00 0,02) mm (0,02 sera el lmite de tolerancia admitida). Con una primera remesa de 100 ejemplares se comprueba, midiendo los dimetros, que el subsi-diario provee pistones fabricados con error estndar en el dimetro de 0,04 mm (o sea que los dimetros fluctan gaussianamente con una dispersin a = 0,04 mm). Cuntos pis-tones debe encargar la fbrica para poder seleccionar 1.000 ejemplares que cumplan con los requisitos de tolerancia? La probabilidad de que un pistn fabricado por el subsidiario

t _t2 3. En las tablas no figura la integral como en la (1.9), sino en la forma J e 2 dt 27t . Por ello es nece- g

-00

sacio hacer previamente el cambio de variable t = (5C 46 y calcular la (1.9) como diferencia entre valores tabulados para los lmites en cuestin.


tenga su dimetro en el intervalo requerido ( X a/2) es, segn tablas, del 40%. 0 sea, por 1.000 pistones "buenos" vienen 1.500 "malos". Para seleccionar 1.000 pistones, la fbrica debe encargar entonces 2.500.

Otra consecuencia, muy importante en la prctica, es la siguiente. Al realizar una se-rie de mediciones de una magnitud dada, es posible que en algunos casos aislados se co-meta un error no casual (o sea, no-gaussiano), originado por un factor extrao (error de clculo, mal funcionamiento del aparato de medicin, equivocacin personal, etc.). La distribucin de Gauss nos permite utilizar un criterio fsico para rechazar un dato sospe-

choso. Supongamos haber hecho 100 mediciones de una magnitud, con un valor medio X y una dispersin estndar 6 de cada dato. Supongamos que entre los 100 datos haya tres que difieran del valor medio en ms de 3 a , por ejemplo. De acuerdo con la funcin de

Gauss, la probabilidad de que un dato caiga fuera del intervalo X 36 es:

1 262 0,28%) 1 e dx = 0,0028 ( 6 2?L

X -36

O sea que slo entre 1.000 datos podra esperarse que haya 3 fuera de ese intervalo. El hecho de que los tres aparezcan entre un nmero 10 veces menor de datos es un indicio de que esas tres mediciones particulares padecen de un defecto "extra-gaussiano": deben rechazarse. De esta manera podemos fijar para cada serie de mediciones un "lmite de confidencia". Cualquier dato cuyo valor caiga fuera del intervalo dado por el lmite de confidencia debe ser rechazado. Por supuesto que para determinar el lmite de confiden-cia no puede darse un criterio unvoco; ese lmite depender adems del nmero total de mediciones N. Una receta razonable es la de fijar el lmite de confidencia ic en forma tal

de que la probabilidad "gaussiana" para un dato de caer fuera de X K sea mucho me-nor que 1/N (probabilidad para un dato). O sea:

X +K - (i-x)2 1 2a2

1 1 e dx (por ejemplo, = 1/10/V)

c7-127r N X -K

Obsrvese finalmente que, para la prediccin de probabilidades a partir de una serie dada de mediciones, no es necesario que el suceso que queramos predecir haya ocurrido realmente en la serie en cuestin. Por ejemplo, en el caso de los pistones, es posible pre-decir la probabilidad de que aparezca un pistn de, digamos, ms de 100,07 mm de di-metro, aunque en la remesa de prueba de 100 ejemplares no hubiese habido ninguno de esas caractersticas.

Cuando tenemos varias (M) series de N mediciones, con sus promedios parciales,

, se comprueba experimentalmente que estos M promedios tambin se distribuyen

"gaussianamente" alrededor del promedio total X . O sea, su distribucin es a su vez una curva de Gauss en la que la dispersin cuadrtica del promedio (1.5) es el parmetro que fija sus puntos de inflexin. La interpretacin de como uno de los parmetros de

X+3a (-x) 2


esa curva de Gauss nos dice que el 68% de los promedios parciales estarn entre

X -- y X + . El significado de la relacin (1.5) resalta ahora con toda claridad: cuando hacemos

una sola serie de N mediciones, obteniendo un promedio X , sabemos a priori que ese promedio, y todos los promedios de otras series de N mediciones, pertenecern a una dis-tribucin de Gauss alrededor del "verdadero valor". Sin necesidad de determinar esta dis-tribucin experimentalmente, podemos predecir que su dispersin cuadrtica ser del orden de c /TV . Por cierto que no podemos predecir el "verdadero valor" de la magnitud medida. Pero podemos interpretar el error estndar del promedio como aquel valor que

determina el intervalo alrededor del promedio, X , dentro del cual el "verdadero va-lor" de la magnitud estar comprendido con una probabilidad del 68%. Obsrvese que la probabilidad de que el verdadero valor est fuera de ese intervalo es apreciable: 32%. Pe-ro ya hemos visto que esa probabilidad cae rpidamente al aumentar el intervalo. Para un intervalo X .4- la probabilidad de que el "verdadero valor" est fuera del mismo es de slo 6.1V%!

La cantidad 0,6456 2/3 representar, de acuerdo con lo visto ms arriba, el error ms probable del promedio. Nos fija el intervalo X 2/n dentro del cual el ver-dadero valor estar con una probabilidad del 50%.

Cuando en algn momento hay que hacer intervenir en un grfico el resultado de una medicin, se representa

7Y-1- con un punto su valor medio, y se indica con un segmento el intervalo que va de X -- hasta X + .

X Esto permite visualizar grficamente la influencia de la

X fluctuacin: con un 68% de probabilidad, el verdadero estar dentro del segmento, y con un 32%, fuera de l; con un 4,6%, distar ms de dos veces el segmento; con un 0,3%, distar ms de tres veces, etc. Esto ayuda

considerablemente cuando hay que ajustar curvas de forma predeterminada por puntos experimentales representados con su error en la forma indicada.

Aqu aparece otra cuestin muy importante en fsica experimental. Supongamos que hemos medido dos magnitudes de la misma clase. Cundo podemos afirmar que son iguales? Evidentemente nunca van a ser iguales los valores medios correspondientes X y ii , aunque realmente fueran iguales las magnitudes. Sean c y ' los errores de esos promedios. Segn lo dicho arriba, es evidente que si IX . X'1>>1 + es muy poco

probable que los verdaderos valores de x y x' sean iguales (pues sera una tremenda ca- sualidad que en ambas series los valores medios hayan cado lejos del verdadero valor).

En cambio si I X X') < ^^ + hay buena chance de que los verdaderos valores de ambas magnitudes sean realmente iguales. Esta probabilidad se puede calcular exactamente, en

lX-

x) 2

An N _ e 2a2 Ax 6 2Tr


funcin de X X' , c y ' . No lo haremos aqu; simplemente diremos que un criterio razonable es ver si ambos promedios coinciden dentro del intervalo dado por sus errores.

No en todos los procesos de medicin los datos se distribuyen de acuerdo con una curva de Gauss. Muchas veces, errores sistemticos u otras condiciones fsicas "dis-torsionan" la distribucin de Gauss, sea haciendo aparecer muchos ms datos de un lado del promedio que del otro (distribucin asimtrica), o introduciendo "cortes" en sus extremos. La forma cualitativa ms simple para verificar si una distribucin dada de datos es gaussiana es comparar el histograma obtenido con la curva de Gauss teri-ca correspondiente.

Para ello, veamos brevemente cmo se procede para trazar una curva de Gauss por el histograma de una serie de datos experimentales. Ante todo, es conveniente elegir bien el intervalo Ax . Debe ser pequeo, pero no demasiado, pues si no caern muy pocos datos en cada uno. Ello requiere un poco de experiencia y tanteo. Una vez elegido Ax , se re-

presenta el histograma. De los valores calculados X y a , y del valor de N y Ax (en las unidades del dibujo) se calcula numricamente (1.7):

( -x) 2 An = N e 2a' Ax (x es la coordenada de cada intervalo Ox )

6 A 2,7L

y se lo representa grficamente. Si la distribucin es gaussiana, la curva pasar ms o menos bien por el histograma. Cuanto mayor sea N, tanto mejor ser el acuerdo.

Todo esto vale slo si todos los intervalos Ax son iguales entre s. Si no lo son (cosa que suele hacerse cuando hay poca estadstica), es necesario representar el histograma de los valores de An/Ax , o sea de la densidad de datos. En otras palabras, sobre cada intervalo Ax (ahora desiguales entre s) se representa el valor de An dividido por Ax . Luego se traza la curva dada por (1.8):

que se puede comparar con el histograma. Resumamos finalmente los pasos que deben darse para medir una magnitud dada:

1. Mdase N veces la magnitud, obteniendo los valores x1 ...xi ...xN expresados en sus cifras significativas (determinadas por el instrumento de medicin).

2. Calclese el promedio aritmtico.

3. Calclese el error estndar de cada dato: a = ^ (X. xi ^ /iv (para N pequeo (di-gamos


4. Fjese un lmite de confidencia K (de tal manera que la probabilidad gaussiana de

tener un dato fuera del intervalo X K sea mucho menor que 1/N ).

5. Rechcese todos los datos que estuvieren fuera del intervalo y con los que quedan,

calclense los valores de X y 6 corregidos.

6. Calclese el error estndar del promedio = 6N

7. Escrbase el resultado en la forma X interpretndolo correctamente en la forma:

a) el valor ms probable de la magnitud medida es X ,

b) la probabilidad de que el verdadero valor est en el intervalo X es del 68% (o sea, estar afuera con un 32% de probabilidad).

A veces ser necesario un paso adicional intermedio:

3'. Comprese el histograma de distribucin de datos con la curva de Gauss correspondiente, para determinar si la distribucin es gaussiana (si los errores son casuales).

Para terminar, hagamos una observacin importante. En muchos casos de medicio-nes, es la cantidad misma que se mide la que sufre fluctuaciones intrnsecas. En este caso no podemos llamar a a y "errores". Son desviaciones o fluctuaciones "genuinas". Por ejemplo, si quisiramos medir la longitud de un objeto, con una precisin de 10' cm, nos encontraramos con que la magnitud en cuestin flucta intrnsecamente. Ello se debe a que con esta precisin ya entramos dentro del dominio de los movimientos trmicos de las molculas, que es un movimiento "al azar". O si se considera las estaturas de un grupo de personas (por ejemplo, de los alumnos de un curso), tenemos una magnitud, cuyo va-lor est determinado con arbitraria precisin, pero que flucta de caso en caso. El valor 6 de una distribucin de estaturas de un grupo de personas nuevamente no represen-ta un "error", sino una dispersin o fluctuacin genuina. La distribucin correspondiente es gaussiana, dentro de ciertos lmites.

En este ltimo caso, es muy importante notar que el promedio no representa "el valor de algo", sino que es un parmetro que depende de la edad y de la raza del grupo de per-sonas. 6 representa el orden de magnitud con que las estaturas fluctan alrededor del valor medio y tambin ser caracterstica de la edad y raza del grupo. La curva de Gauss correspondiente servir para predecir las probabilidades para que una persona elegida al azar tenga su estatura comprendida en un intervalo dado. En este caso, no tendra nin-gn significado fsico.

En el otro caso, en el que la dispersin de datos se debe exclusivamente a errores de medicin, el promedio representa el valor ms probable de algo real y nico, que es el "verdadero valor" de la magnitud que estamos midiendo. da informacin sobre el gra-do de conocimiento de esa magnitud.


d) Relaciones entre magnitudes fsicas: cuadrados mnimos y regresin lineal

Con saber medir una magnitud fsica dada y valorar el resultado de la medicin des-de el punto de vista de su significado estadstico, no est terminado el asunto. Esto slo es el primer paso. La "fsica en serio" comienza cuando se estudia la interdependencia causal entre dos o ms magnitudes fsicas entre s. En otras palabras, para establecer leyes fsicas con las cuales se pueda predecir la evolucin de un sistema dado es necesario previamente descubrir experimentalmente el tipo de relacin que hay entre los valores numricos de las magnitudes intervinientes y representar esta dependencia matemticamente.

Como en la prctica estos valores numricos estn todos afectados de errores de me-dicin o fluctuaciones intrnsecas, es necesario aplicar un algoritmo que permita determi-nar algo as como "la relacin ms probable" entre dos magnitudes fsicas, vinculadas causalmente por un mecanismo fsico.

Comencemos por el caso ms simple: supongamos que dos magnitudes x e y estn vinculadas linealmente (por ejemplo, la longitud de un resorte y la fuerza aplicada, la pre-sin en un punto de un lquido y la distancia a la superficie):

y =ax+b

Sea el problema determinar los coeficientes a y b experimentalmente, a partir de la medicin de x e y. Si no hubiera error en las mediciones de x e y, bastara hacer dos pares de mediciones xl, yi y x2, y2, y resolver el sistema:

y i =ax , + b y 2 = ax2 +b

Desgraciadamente, ello nunca ocurre en la prctica. Debemos partir de una serie de pares de valores correspondientes (x1y1 , x2y2,...., x n y,, ) los cuales, debido a sus errores,

nunca satisfacen exactamente una nica relacin y = ax + b . En otras palabras, las diferencias yi ax i b = Ei nunca sern cero; los valores de Ei sern positivos y negativos.

Procedamos como en el caso de una sola variable. La suma de los cuadrados E e 2 nos dar una cierta idea de las fluctuaciones (ahora combinadas) de xi, yi . Evidentemente, esa suma depende de los coeficientes a y b en la forma:

E = E - ax; 02 = =a 2 Ex? + b2N - 2aE x, y; 2bEy; 2abEx; + E

Esto es una funcin cuadrtica de a y b que pasa por un mnimo para un dado par de valores a y b. Podemos aplicar el criterio conocido de elegir como valores ms probables de a y b aquellos que hacen mnima a E s 2. O sea, a y b sern soluciones del sistema (condicin de extremo):

CP O

0 C^

O 0 0 O O 00

00O O O

O

^

o p O O


aEi2 =o aEE? =o a s ab

Por lo tanto:

2a1 x,2 x i y r +2b^ x = 0

2Nb--2Ey i +2a j = 0

cuyas soluciones son:

a= N^x^yl -E x , , _ xy- X y

N x2-- x ^ , . ` ^ ^ t^ X X ^ ^

E x 2 y, yl - y,x, yx,y, x ' f - x xY

l2 - X2

N xiz -( x, I --Y 2 ^ ^

Para llegar a las segundas igualdades hemos tenido en cuenta la definicin de los promedios X = xt N , = y N , X 2 = x N y XY = x i y i N . Cada uno de estos valores a, b tiene a su vez un error. Para ello hay expresiones algo complica-das que pueden consultarse en los libros.

Veamos algo sobre la interpretacin grfica del mtodo de cuadrados mnimos. Representemos en el plano (x, y) los pares de valores medidos x, y 1 , x, y, ,...., x, l y 1z . Si stos obedecen a una relacin lineal, y si carecen de errores, los puntos x i , y, caern exactamente sobre una recta de pendiente a y de ordenada origen b. Pero, debido a las fluctuaciones casuales en las mediciones de x e y, los puntos formarn una "nube" que se condensar tanto ms en las vecindades de una recta cuanto menores sean las fluctua-ciones (ver figura) :

x x mucha fluctuacin poca fluctuacin


Los coeficientes a y b determinados por el mtodo de los cuadrados mnimos son los

parmetros de una recta para la cual y e? es mnimo. Pero obsrvese en el plano (x, y) que Ei = yi ax i b es precisamente la distancia vertical del punto experimental i a la

recta y = ax + b. La recta por cuadrados mnimos es entonces aquella para la cual la suma de las distancias verticales (en realidad sus cuadrados) es mnima. Obsrvese adems que pasa y

por el punto X, Y definido por los promedios de los xb experimentales(basta verificar ue el ar ^^valores exp que par _

X , Y satisface la ecuacin de la recta, teniendo en

cuenta las (1.11)). Todo esto permite, con un poco de experiencia, trazar "a ojo" la recta por cuadrados mnimos y determinar grficamente los coeficientes de la relacin lineal. Muchas veces esto es suficiente en la prctica. x x Obsrvese finalmente que el mtodo de cuadrados mnimos puede aplicarse a relaciones no lineales, como, por ejemplo:

y = bx a y = be"' _ a

y b+x

Bastar para ello transformar cada una en una relacin lineal. En el caso de estos ejemplos, ello se consigue tomando logaritmos de la siguiente manera:

lny =lnb+alnx lny = lnb +ax 1 b x = + y a a

Ahora se pueden tratar los pares de valores ln y, ln x; in y, x; 1/y, x, respectiva-mente, como datos en una relacin lineal, a los que se pueden aplicar directamente las frmulas (1.11).

Para la derivacin de la recta por cuadrados mnimos hemos escrito la relacin entre las variables experimentales en la forma y = ax + b , y hemos elegido las distancias verti-

cales E. para la condicin de mnimo. Pero nada nos impide contemplar la relacin inver-

sa x = x(y) y repetir los pasos anteriores uno por uno. Tendramos, en principio:

_ ^ *= 1 b x a y + b donde a y b ^ =_

a a (1.12)

Ahora sern las diferencias ni = x i a* y i b* cuya suma de cuadrados habr que mini-mizar (ntese que las ni son las distancias horizontales en la figura). Obtenemos el par de relaciones

o O "1 1 0

o

o o

o

LE. i 1

o

o 0

o o o o

o o oo

o 0

O 0

O0

O o

o

o o

o

o

o o 0 o 0;

O 0 a

,o

o . ^o

o '

O

a R

Axk xl X x

0 0

o

o

o o

o o

o

o

o

o o

o


N^ xiyi- E xi E yi XY XY a*= _

N y 2 ( yi )2 ^-2

^ Y Z Y

b*= yy?Ixiyy i lixiyi Y2XYXY _

N 2 Y '-

Y 2

yG yi ) ^ ^

(1.13)

formalmente idntico al de (1.11), en el cual simplemente se han intercambiado las x con

las y, as como X con Y . Lo sorprendente es que en general la recta de cuadrados mnimos as obtenida no coincide con la anterior! Si bien tambin pasa por el punto de los

promedios X , Y , su pendiente ser diferente. En otras palabras, los coeficientes a* y b* calculados segn las (1.13) no satisfacen las relaciones (1.12). Qu est pasando?

Es fcil ver que las dos rec-tas de cuadrados mnimos no tienen por qu coincidir. Para ello consideremos el caso ex- .. e v franja l ( tremo de una serie de datos co- AY1

e oa oo Cv)) : o 0 o

a : e i para regresin x(y)) a dos magnitu-

des fsicas x, y que no estn correlacionadas en absoluto, o que estn sujetas a errores de medicin o fluctuaciones intrnsecas muy grandes. En ese caso, graficando los pares de valores obtenidos xi, y i , se obtendra una nube de puntos como en la figura. Es fcil com-probar "a ojo" que para una recta horizontal que pasa por el

punto de valores medios X, Y se minimiza la suma de cuadrados de distancias verticales

E , y que una recta vertical por X , Y minimiza la suma cuadrtica de distancias hori-

zontales Ti, . En este caso, evidentemente, a = O y a* = O, y las (1.12) no se cumplen. Por

otro lado, en el otro extremo de una correlacin perfecta sin errores de medicin, la nube de puntos estar perfectamente alineada (ver figura derecha, pgina 33), y las dos rectas coincidirn, satisfacindose las relaciones (1.12). Para un caso normal intermedio, es un buen ejercicio tratar de determinar las dos rectas, llamadas rectas de regresin, a ojo. Pa-ra ello se divide el plano x, y en franjas verticales y para cada una (p. ej., franja k en la

figura), se estima el valor medio yk de los valores de y de los puntos que caen dentro de

ella, marcndolo con un punto distintivo (ver figura). Con este procedimiento se reduce el nmero total de puntos a unos pocos, a travs de los cuales se puede trazar a ojo una recta,

que adems debe pasar por el punto de promedios totales X, Y . sta ser la recta de regresin de "y sobre x" (recta horizontal en el ejemplo de la figura). Luego se divide el plano en franjas horizontales y, para cada una de ellas (por ejemplo la franja 1), se marca

franja k (para regresin y(x))

A o o

o o

O o O 0 o

36 I Mecnica elemental

el promedio x l de los valores de x de los puntos que contiene. La recta que pasa por esos

promedios ser la recta de regresin de "x sobre y" (recta vertical en la figura) . Cuanto mejor sea la correlacin entre x e y, menor ser el ngulo entre las dos rectas de regresin; para una correlacin perfecta el ngulo tender a cero. Para variables no correlacionadas, es de 90 (caso de la figura).

Todo esto se puede precisar matemticamente. Teniendo en cuenta las (1.11) y (1.13) es fcil verificar las siguientes igualdades:

(1.14)

donde

2

6 = V = x ^2 - ^ x^ = X 2 X 2 x x Y z

2 ^

yi (E yi ^ 2 _ _ _^ _Y

son las dispersiones cuadrticas medias de x e y, respectivamente, y el parmetro r es el coeficiente de correlacin:

r = aa*= AINEx? (Ex,) 2 VIVE Y y ,

XY - X Y

XYXY

x 6 y,

AI \X ZX 2 1

(1.15)

El coeficiente de correlacin r vara entre O y 1. En una correlacin perfecta, a =1/a* , y r = 1; en ausencia de correlacin r. O. En la prctica una correlacin "bue-na" est en general dada por r > 0,9. Si r < 0,3 se considera que las dos magnitudes x e y no estn correlacionadas. La teora estadstica de mediciones da algoritmos ms precisos para determinar la "bondad" de una correlacin.

Nos debemos preguntar ahora: dado que hay dos rectas de regresin, cul de las dos vale para describir cuantitativamente la relacin entre las dos variables x, y? En general, ello depender de cul de las dos elegimos como variable independiente. Pero hay casos en que la eleccin no es arbitraria. El ms comn es aquel en que una de las variables, por ejemplo la x, tiene errores de medicin relativos muy pequeos comparados con los de y. En ese caso, los distintos valores obtenidos en la medicin de x que caen dentro de cada franja horizontal, como la 1 en la figura, se deben a variaciones genuinas de la magnitud que se est midiendo, no a fluctuaciones causadas por errores de medicin. En cambio, los distintos valores de y dentro de las franjas verticales como la k se debern a errores de medicin. En este caso, le podemos "echar la culpa" de que los puntos no caigan sobre


una recta a la variable y exclusivamente, y la regresin a adoptar deber ser la descripta por y = y(x) (o sea, los coeficientes a y b dados por las (1.11)).

Observemos, para terminar, que la cantidad

C=XY XY= y (x; -X ^^y ^ -

que aparece en las relaciones (1.11), (1.13) y (1.15) se llama covarianza; juega un papel importante en el tratamiento estadstico de datos experimentales. Puede variar entre C = O (ausencia de correlacin) y C = a'x 6 y (correlacin perfecta).

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Teoria de Las Mediciones y Errores

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