TEHNIČKA MEHANIKA II Predavanje X

SVEUČILIŠTE U SPLITU

POMORSKI FAKULTET U SPLITU

ZAVOD ZA BRODOSTROJARSTVO

TEHNIČKA MEHANIKA IIPredavanje X

Nastavnik:

doc.dr.sc.Đorđe Dobrota

SPLIT, svibanj 2021.

MEHANIKA FLUIDA

DINAMIKA FLUIDA

4 KINEMATIKA FLUIDA

4.2 VRSTE STRUJANJA

4.3 JEDNADŽBA KONTITUITETA

5 KINETIKA FLUIDA

5.1 BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA

5.1.1 Bernoullijeva jednadžba za stlačive fluide

5.1.2 Bernoullijeva jednadžba za nestacionarno strujanje

5.1.3 Grafički prikaz sadržaja Bernoullijeve jednadžbe

5.1.4 Primjena Bernoullijeve jednadžbe

5.1.5 Strujanje u cijevima za strujnicu koja prolazi simetralom cjevovoda

5.1.6 Istjecanje

5.1.8 Istjecanje kroz male otvore ispod razine

Zadaci iz skripte-Vježbe

PRIMJER 22 PRIMJER 25 PRIMJER 28



ZNAČAJNI ISHODI UČENJA

Konceptualno znanje

• Objasniti ključnu razliku između Lagrangeov i Eulerianov opisa gibanja čestice fluida.

• Razlikovati vrste strujanja.

• Objasniti jednadžbu kontinuiteta kao Zakona o održanju (očuvanju) mase.

• Objasniti značenje volumnog i masenog protoka.

• Opisati korake za izvođenje Bernoulijeve jednadžbe zakonom o očuvanju mehaničke energije i II Newtonovim zakonom.

• Navesti ograničenja primjene Bernoulijeve jednadžbe.

• Primijeniti jednadžbu kontinuiteta kod pražnjenja spremnika i promjene brzine u strujnim cijevima promjenjivog presjeka.

• Primijeniti Bernoulijevu jednadžbu za izračunavanje promjene tlaka i brzina između dvije točke stacionarnog, neviskoznog i nestlačivog strujanja.

PITANJA1. Kako se naziva gibanje fluida i kako nastaje?

2. Što su strujnice, a što strujna cijev?

3. Koje se strujanje naziva stacionarno?

4. Gdje se javlja jednodimenzionalno strujanje?

5. Koja je razlika između jednolikog (uniformnog) i nejednolikog strujanja

fluida?

6. Koja je razlika između viskoznog i neviskoznog strujanja fluida?

7. Kada se strujanje smatra kompresibilnim?

8. Što određuje Reynoldsov broj?

9. Što kaže jednadžba kontinuiteta?

10. Što je protok i koja mu je jedinica?

11. Kako se odnose brzine prema jednadžbi kontinuiteta za bilo koja dva

različita presjeka strujne cijevi?

12. Napiši jednadžbu kontinuiteta za maseni protok.

13. Koje oblike energije može posjedovati čestica fluida?

14. Za koje se fluide izvodi Bernoullijeva jednadžba?

15. Koje članove sadrži Bernoullijeva jednadžba?

16. Na koje se sve načine može prikazati Bernoullijeva jednadžba?

17. Koji je oblik pogodan za korištenje kod strujanja kapljevina, a koji kod

strujanja plinova? Objasni zašto.

18. Koju primjenu ima Bernoullijeva jednadžba kod nestlačivih

(nekompresibilnih) fluida?

19. U kojim dijelovima strujanja fluida Bernoullijeva jednadžba nije primjenjiva

i zašto?

20. Kojim se linijama grafički prikazuje sadržaj Bernoullijeve jednadžbe?

DODATNI PRIMJERI

• PRIMJER 24: Tri cijevi promjera (dijametra) D1=4 cm, D2=5 cm i D3=6 cm, stalno dobavljaju vodu u veliku izlaznu cijev promjera D4=9 cm kao što je prikazano na slici. Brzina u cijevi 2 je v2=5 m/s, a izlazni protok Q4=120 m3/h. Ukoliko je poznato da se povećanjem protoka Q3 za 20% povećava izlazni protok Q4 za 10% izračunaj brzine v1, v3 i v4.

D3

D2

D1D4

Q2

Q3

Q1

Q4

Rješenje:

• Za stalan protok vrijedi:

• Brzina v4 uz poznati protok , iznosi:

• Brzina v3 može se izračunati iz odnosa:

D3

D2

D1D4

Q2

Q3

Q1

Q4

1 2 3 4

1 1 2 2 3 3 4 4

Q Q Q Q

v A v A v A v A

3

4

120 m0,0333

3600 sQ

4 4 4

4 44 2 2

44

4 0,0333 m5,24

0,09 s

4

Q v A

Q Qv

D πA π

3 4

3 3 4

4 43 2 2

33

0,2 0,1

0,2 0,1

0,1 4 0,0333 m0,5 0,5 5,89

0,2 0,06 s

4

Q Q

v A Q

Q Qv

D πA π

(I)

• Iz izraza (I) slijedi brzina v1:

D3

D2

D1D4

Q2

Q3

Q1

Q4

1 1 2 2 3 3 4 4 4

1 1 4 2 2 3 3

22 2

31 21 4 2 3

2 22

1

1

1

4 4 4

0,05 0,060,040,0333 5 5,89

4 4 4

0,00125 0,0333 0,00981 0,01664 0,00684

0,00689 m5,47

0,00125 s

v A v A v A v A Q

v A Q v A v A

D πD π D πv Q v v

π ππv

v

v

• PRIMJER 25: Zrak stacionarno protječe kroz kanal promjera d=10 cm. Brzina, tlakovi (aposlutni) i temperature (izotermni protok) u presjecima 1 i 2 su kao što je prikazano na slici. Izračunaj maseni protok i brzinu u presjeku 2.

1 2v1=30 m/s

p1=100 kPa

T=300 K

v2=?

p2=95 kPa

T=300 K

dQzrak

ρ

Rješenje:

• Zbog gubitaka energije tlakovi p1 i p2 nisu jednaki zbog čega nisu jednake ni brzine v1 i v2 te gustoće zraka ρ1 i ρ2.

• Prema jednadžbi kontinuiteta za maseni protok zraka kroz kanal vrijedi:

• Maseni protok u presjeku 1 iznosi:

• U gornjem izrazu je nepoznanica gustoća zraka ρ1 pri temperaturi T, a koja se može izračunati pomoću izraza:

pa je maseni protok u presjeku 1

1 2m m m

1 1 1 1m ρ Q ρ v A

1 2v1=30 m/s

p1=100 kPa

T=300 K

v2=?

p2=95 kPa

T=300 K

dQzrak

ρ

3

11 3

100 10 kg1,16

287 300 m

pρ

R T

2 2

1 1 1 1 1 3

0,1 kg1,16 30 0,273

4 4 m

d π πm ρ v A ρ v

• Pošto su maseni protoci u presjecima 1 i 2 jednaki vrijedi:

• U gornjem izrazu je nepoznanica brzina v2 i gustoća zraka ρ2 pri temperaturi T.

• Gustoća zraka ρ2 u presjeku 2 iznosi:

pa je je brzina v2

1 2v1=30 m/s

p1=100 kPa

T=300 K

v2=?

p2=95 kPa

T=300 K

dQzrak

ρ

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

:

m m

ρ v A ρ v A A

ρ v ρ v

3

22 3

95 10 kg1,10

287 300 m

pρ

R T

1 1 2 2

1 12

2

1,16 30 m31,6

1,10 s

ρ v ρ v

ρ vv

ρ

• PRIMJER 26: Voda utječe u cilindrični otvoreni spremnik protokom

Q1= 1 m3/min i istječe van protokom Q2=1,2 m3/min (slika). Poprečni presjek

spremnika je A= 2 m2. Izračunaj brzinu promjene razine vode u spremniku.

Q2Q1

Ah

p0

Rješenje:

• Pretpostavljajući kako se volumen u spremniku smanjuje na način da se slobodna površina vode giba brzinom dh/dt, izlazni protok kroz cijevni priključak 2 jednak je sumi ulaznog protoka u cijevnom priključku 1 i optjecanju vode iz spremnika:

gdje predstavlja otjecanje iz spremnika zbog smanjenja volumena .

• Iz izraza (I) brzina promjene razine vode u spremniku je:

2 1 2 1(I) ili 0dh dh

Q Q A Q A Qdt dt

Q2Q1

A

h

p0

dhA

dt

2 1

2 1 1,2 1 m0,1

2 min

dhQ Q A

dt

Q Qdh

dt A

• PRIMJER 27: Zrak tlaka p1=110 kPa i temperature t=50°C protječe protokom

Q =45 L/s prema gore kroz cijev promjera D=6 cm. Cijev se potom suzuje na

promjer d=4 cm. Razlika tlaka se mjeri U-cijevnim diferencijalnim

manometrom ispunjenim vodom. Razlika visine između dviju točaka (1 i 2)

cijevi kojima su spojeni krakovi manometra 0,20 m. Gustoća vode je

ρM=1000 kg/m3. Gubitci protjecanja se zanemaruju. Odredi visinu očitanja h

U-cijevnog diferencijalnog manometra.

1

2

h ρM

ρz

Q

z=0s

• Rješenje:

• Visina očitanja h manometra izračunati će se iz manometarske jednadžbe:

• U jednadžbi (I) visine stupaca zraka se zbog njegove male gustoće zanemaruju. Pošto visina očitanja h manometra predstavlja visinu stupca razlike tlaka u točkama 1 i 2, tj. Δp=p1-p2 izraz (I) može se napisati kao:

pa visina očitanja h

• U izrazu (II) je nepoznanica razlika tlaka Δp=p1-p2 koja se može izračunati postavljajući Bernoullijevu jednadžbu za točke 1 i 2 s obzirom na referentnu liniju z=0, a koja je prikazana preko tlakova:

1 2(I) Mp ρ g h p

1 2 Mp p ρ g h

1 2(II)M M

p pph

ρ g ρ g

2 2

1 2

1 1 2 2(III)

2 2

v vp z g p z g

1

2

h ρM

ρz

Q

z=0

s

• Sređivanjem jednadžbe (III) dobiva se izraz za razliku tlaka:

• U izrazu (IV) nepoznanice su brzine v1, v2 (različite jer su protočni presjeci različiti) gustoća zraka ρ dok je razlika geodetskih visina z2-z1=s.

• Gustoća zraka je:

• Brzine v1 i v2 mogu se izračunati iz jednadžbe kontinuiteta:

1

2

h ρM

ρz

Q

z=0

s

2 2

1 2

1 1 2 2

2 2

2 1

1 2 2 1

(III)2 2

( )(IV) ( )

2

v vp z g p z g

v vp p g z z

3

1

3

110 10 kg1,19

287(50 273,15) m

pρ

R T

1 2

1 1 2 2

3 33

1 2 2 2

1

3

2 2 2

2

4 4(45 10 ) m L m15,9 45 45 10

(6 10 ) s s s

4

4 4(45 10 ) m35,8

(4 10 ) s

Q Q Q

v A v A Q

Q Q Qv Q

D πA D π π

Q Qv

A D π π

• U izračunate brzine v1 i v2 i izračunatu gustoća zraka ρ, iz izraza (IV) slijedi razlika tlaka:

• Visina očitanja h U-cijevnog diferencijalnog manometra je iz (II):

2 2

2 1

1 2 2 1

2 2

1 2

( )( )

2

1,19(35,8 15,9 )1,19 9,81 0,2 614 Pa

2

v vp p g z z

p p

1 2 6140,0628 m =6,28 cm

1000 9,81M M

p pph

ρ g ρ g

1

2

h ρM

ρz

Q

z=0

s

• U slučajevima kada se brzina strujanja fluida mijenja zbog promjene protočnog presjeka tada je pored Bernoullijeve jednadžbe obično potrebno koristiti i jednadžbu kontinuiteta. Takvi slučajevi uključuju protjecanje kroz cijevi promjenjivog presjeka, prigušnice i mlaznice.

• Kada se u izrazu (IV) ne bi uzeo u obzir član koji daje hidrostatski tlak stupca zraka u cijevi, , razlika tlaka bi bila:

što predstavlja grešku manju od 1%.

• Stoga, utjecaj stupca zraka na promjenu tlaka se može zanemariti. Drugim riječima, promjena tlaka zraka u cijevi se većinom događa zbog promjene brzine.

1

2

h ρM

ρz

Q

z=0

s

2 2 2 2

2 1

1 2 2

( ) 1,19(35,8 15,9 ) N612

2 2 m

v vp p

2 1( )g z z

• PRIMJER 28: Voda se pod djelovanjem sile stapa F potiskuje van kroz mlaznicu (slika). Širi promjer mlaznice je D=6 cm, a uži d=2 cm. Stap se giba brzinom v1=5 m/s. Zanemarujući gubitke energije zbog trenja odredi silu F i brzinu izlaznog mlaza v2. Gustoća vode je ρ=1000 kg/m3. Izlazni tlak je p2 je atmosferski.

D

d

1

2

F v2v1

p0

z=0ρ

Rješenje:

• Brzina v2 uz poznate površine poprečnih presjeka 1 i 2 te poznatu brzinu v1

može se izračunati iz jednadžbe kontinuiteta:

• Sila F može se izračunati određivanjem statičkog tlaka u presjeku 1 kao posljedica djelovanje te sile. Postavljajući Bernoullijevu jednadžbu za širi (1) i uži (2) presjek horizontalne mlaznice(z=0) dobiva se tlak p1:

D

d

1

2

F v2v1

p0

z=0ρ

1 2

1 1 2 2

2 2

1 2

2 2

2 1 2 2

4

:4 4

0,06 m5 45

0,02 s

Q Q Q

v A v A

D π d πv v

π

Dv v

d

2 2

1 2

1 0 1 2 2 1 2 2 0

2 2

1 2

1

2 2 2 2

62 1 1

1

( ) 0, 02 2

2 2

( ) 1000(45 5 )1 10 Pa=1 MPa

2 2

v vp p z g p z g uz z z p p

v vp

v vp

• Pošto se stap giba konstantnom brzinom, primijenjena vanjska sila F je u ravnoteži sa silom tlaka p1 u presjeku 1, tj. vrijedi:

D

d

1

2

F v2v1

p0

z=0ρ

2 26

1 1 1

0,061 10 2826 N

4 4

D π πF p A p

• PRIMJER 29: Voda iz otvorenog spremnika stacionarno protječe kroz cijev promjera D=120 mm na kojoj se na kraju nalazi mlaznica promjera d=80 mm. Prema slici su a=7,5 m, b=c=15 m i e=300 mm. Svi gubitci energije se zanemaruju kada mlaz vode istječe u atmosferu kroz mlaznicu. Koja je visina tlaka u točkama 2, 3, 4, 5.

ab

c

e

1

2

3

4

5

D

d

Q

p0

p0

z=0

Rješenje:

• Pošto se traži visina tlaka u točkama 2,3,4, i 5 primijeniti će se Bernoullijevajednadžba koja prikazuje tlakove kao visine stupaca fluida u strujanju:

• Pošto je spremnik dovoljno velik, može se smatrati da je visina vode u spremniku stalna (v1=0), a istjecanje stacionarno.

• Referentna geodetska ravnina (z=0) u odnosu na koju se mjere visine stupaca je postavljena na izlazu iz cijevi u točki 5. Time se visine svih ostalih točaka mjere prema gore pa su iste pozitivne.

ab

c

e

1

2

3

4

5

D

d

Q

p0

p0

z=0

2

.2

p vz konst

g g

• Atmosferski tlak koji djeluje na slobodnu

površinu vode i na izlazu iz cijevi nije zadan,

tj. p0=0. To znači kako će sve dobivene visine tlaka biti manometarske visine.

• Visina tlaka u točki 5 može se odrediti primjenom Bernoullijeve jednadžbe za točke 1-5:

• Uz z5=0, p1=p5=0 i v1=0 (stacionarno strujanje) gornja jednadžba poprima oblik:

iz koje proizlazi kako u točki 5 djeluje samo visina dinamičkog tlaka

ab

c

e

1

2

3

4

5

D

d

Q

p0

p0

z=0

2 2

1 1 5 5

1 52 2

p v p vz z

g g g g

2

5

1

2

5

1

0 0 0 02

2

vz

g

vz

g

2

5 ( ) (7,5 15 15) 37,5 m2

va b c

g


• Uz p1=0 i v1=0 (stacionarno strujanje) gornja jednadžba poprima oblik:

odakle slijedi izraz za visinu tlaka u točki 2:

• U izrazu (I) nepoznanica je brzina v2.

ab

c

e

1

2

3

4

5

D

d

Q

p0

p0

z=0

2 2

1 1 2 2

1 22 2

p v p vz z

g g g g

2

2 2

1 2

2

2 2

1 2

0 02

2

p vz z

g g

p vz z

g g

2

2 2

1 2(I)

2

p vz z

g g

• Brzina v2 može se odrediti iz jednadžbe kontinuiteta. Pošto nema gubitaka energije, brzine u točkama 2, 3 i 4 su jednake jer je u svim tim točkama jednak poprečni presjek cijevi, tj. vrijedi:

• Stoga, iz jednadžbe kontinuiteta slijedi odnos brzina v2 i v5:

ab

c

e

1

2

3

4

5

D

d

Q

p0

p0

z=0

2 3 4v v v

2 5

2 2 5 5

2 2

2 5

2 2

2 5

2

2 5 2

4

:4 4

Q Q Q

v A v A

D dv v

v D v d

dv v

D

(II)

• Uvrštenjem izraza (II) u (I) dobiva se visina statičkog tlaka u točki 2:

ab

c

e

1

2

3

4

5

D

d

Q

p0

p0

z=0

2

2 2

1 2

22

52

2

1 2

4 4

2 2

5 54 4 2

2 5

1 2

4

2

54 4

2

4

2

2

( ) ( ) 37,5 m2 2 2

0,087,5 37,5 7,5 7,4 0,1 m

2 0,12

p vz z

g g

dv

Dpz z

g g

d dv v

D Dp vz z a b c b c

g g g g

dv

Dpa

g g


• Uz p1=0 i v1=0 (stacionarno strujanje) te izraza (II)

visina statičkog tlaka u točki 3 je:

ab

c

e

1

2

3

4

5

D

d

Q

p0

p0

z=0

2 2

1 1 3 3

1 32 2

p v p vz z

g g g g

4

2 3 4 54

dv v v v

D

4

54

3

1 3

4 4

5 54 4

3 5

1 3

4

5 44

3

4

0 02

( ) 37,5 m2 2 2

0,08( ) (7,5 15) 37,5 22,5 7,4 15,1 m

2 1,2

dv

p Dz z

g g

d dv v

p vD Dz z a b c c

g g g g

dv

p Da b

g g


• Uz p1=0 i v1=0 (stacionarno strujanje) te izraza (II)

visina statičkog tlaka u točki 4 je:

ab

c

e

1

2

3

4

5

D

d

Q

p0

p0

z=0

2 2

1 1 4 4

1 42 2

p v p vz z

g g g g

4

2 3 4 54

dv v v v

D

4

54

4

1 4

4 4

5 54 4

4 5

1 4

4

4

4

0 02

( ) 37,5 m2 2 2

0,08(7,5 15 15) 37,5 0,3 37,5 7,4 0,3 29,8 m

1,2

dv

p Dz z

g g

d dv v

p vD Dz z a b c l

g g g g

p

g

• Sve dobivene visine tlaka su manometarske visine. Apsolutne visine se dobivaju dodavanjem visine atmosferskog tlaka koji u ovom slučaju nije zadan, tj. p0=0.

• PRIMJER 30: Voda protječe iz otvorenog spremnika kroz sifonsku cijev promjera D (slika). Pretpostavlja se stacionarno turbulentno strujanje idealnog fluida, pri čemu se gubitci energije zanemaruju. Odredi:

- Brzinu izlaznog mlaza vode.

- Statički tlak u točki 2 (minimalni tlak).

Zadano: D=1 cm, a=1 m, b=4 m, ρ=1000 kg/m3.

v p0

p0

a

b

Dρ

3

2

1

z=0

Rješenje:

• Pošto je spremnik dovoljno velik, može se smatrati da je visina vode u spremniku stalna (v1=0), a istjecanje stacionarno.

• Referentna geodetska ravnina (z=0) u odnosu na koju se mjere visine stupaca je postavljena na izlazu iz sifonske cijevi u točki 3. Time se visine svih ostalih točaka mjere prema gore pa su iste pozitivne.

• Atmosferski tlak koji djeluje na slobodnu površinu vode i na izlazu iz cijevi nije zadan, tj. po=0. To znači kako će sve dobivene visine tlaka biti manomentarske visine.

v p0

p0

a

b

D

ρ

3

2

1

z=0

• Brzine u točkama 2 i 3 su jednake jer je u

tim točkama jednak poprečni presjek

cijevi, tj. vrijedi:

2 3v v

• Brzina izlaznog mlaza može se izračunati postavljajući Bernoullijevujednadžbu za točke 1 i 3 s obzirom na referentnu liniju z=0. Ova jednadžba koja uz p1=p3=0, v1=0, z3=0 i z1=b poprima oblik:

odakle slijedi brzina izlaznog mlaza

v p0

p0

a

b

D

ρ

3

2

1

z=0

2 2

1 1 3 3

1 3

2

3

1

2

3

1

2 2

0 0 0 02

2

p v p vz z

g g g g

vz

g

vz

g

3 1

m2 2 9,81 4 8,86

sv g z

• Statički tlak u točki 2 može se izračunati postavljajući Bernoullijevu jednadžbu

za točke 1 i 2 s obzirom na referentnu liniju z=0. Ova jednadžba koja uz koja

uz p1=0, v1=0, v2=v3=8,86 m/s, z3=0 i z2=a+b poprima oblik:

odakle slijedi tlak u točki 2

• Dobivena vrijednost statičkog tlaka u točki 2 je manometarski vakuum

(podtlak), a što je i normalno jer se točka 2 nalazi iznad slobodne površine

vode u spremniku i drukčije voda ne bi protjecala kroz sifonsku cijev.

v p0

p0

a

b

D

ρ

3

2

1

z=0

2 2

1 1 2 2

1 2

2

2 2

1 2

2

2 2

1 2

2 2

0 02

2

p v p vz z

g g g g

p vz z

g g

p vz z

g g

2 2

2 2

1 2

2

8,864 5 5 m

2 2 9,81

5 5 1000 9,81 49050 Pa

p vz z g

g g

p g

ZADACI ZA VJEŽBU

ZADATAK 1-P11: Otvoreni cilindrični spremnik promjera D=75 cm puni se preko cijevi promjera d=12 cm vodom gustoće ρ=998 kg/m3. Brzina ulaznog protoka je v1=2,5 m/s, a izlaznog protoka v2=1,9 m/s. Ukoliko je u trenutku vremena t=0, dubina vode u spremniku iznosila, 30 cm procjeni vrijeme punjenja tanka do vrha, tj. do visine od 1 m.

Rješenje: t=46 s

v1

v2

30

cm

1 m

h

v3=dh/dt

D

d

ρ

ZADATAK 2-P11:Otvoreni spremnik se prazni kroz difuzor (postupno proširenje) dijametara d i D. Pretpostavljajući stacionarno turbulentno strujanje idealnog fluida za zadatu visinu stupca vode h izračunaj:

- izlazni protok,

- visinu statičkog tlaka u točki 2.

Zadano: D=80 mm, d= 60 mm, h=5 m.

Rješenje: Q=0,0498 m3/s,

1

D

p0

h

2 3

p0

d

Qρ

z=0

2 10,8 mp

ρ g

TEHNIČKA MEHANIKA II Predavanje X

Documents