Top Banner
UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET ODSJEK: GRAFIČKO INŽENJERSTVO Dr Valentina Golubović - Bugarski TEHNIČKA MEHANIKA (Skripta – izvodi predavanja) Banja Luka, mart 2012.
99

UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Mar 01, 2019

Download

Documents

nguyenliem
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

UNIVERZITET U BANJOJ LUCI

TEHNOLOŠKI FAKULTET

ODSJEK: GRAFIČKO INŽENJERSTVO

Dr Valentina Golubović - Bugarski

TEHNIČKA MEHANIKA (Skripta – izvodi predavanja)

Banja Luka, mart 2012.

Page 2: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

PREDGOVOR

Ova skripta priređena su prema važećem nastavnom programu predmeta Tehnička mehanika, koji se izvodi u II semestru I ciklusa studija na odsjeku Grafičko inženjerstvo Tehnološkog fakulteta u Banjoj Luci.

Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: Statiku, Otpornost materijala, Kinematiku i Dinamiku. Obim gradiva prilagođen je fondu časova predavanja i vježbi (3+3). U skriptama su obrađeni osnovni pojmovi i metode primijenjene mehanike, pri čemu je namjera bila da se ukaže na praktično značenje razmatranih problema, a da se matematički aparat koji je pri tome neophodan svede na primjenu osnovnih elemenata matematičke analize i vektorskog računa.

Iako ovaj sažeti tekst ne može zamijeniti udžbenik i zbirku zadataka, svakako će pomoći studentima u pripremanju ispita iz ovog fundamentalnog predmeta tehničke struke. Studenti se upućuju da šira i dublja saznanja iz područja Tehničke mehanike, koja se obrađuju u ovom nastavnom predmetu, steknu iz odgovarajuće nastavne literature, udžbenika i zbirki zadataka, dostupnih u bibliotekama i na internetu.

Banja Luka, mart 2012.

Autor

2

Page 3: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

UVOD U MEHANIKU

Mehanika je nauka o opštim zakonima mehaničkih kretanja i ravnoteže materijalnih tijela.

Zadatak mehanike, najopštije rečeno, sastoji se u proučavanju kretanja matrijalnih tijela, tj. proučavanju promjene položaja tijela i njegovih dijelova u prostoru tokom vremena. U toku kretanja različita tijela mogu da vrše, jedna na druge, mehanički uticaj, npr. podstičući njihova kretanja ili im se suprotstavljajući. Takav međusobni uticaj jednog tijela na kretanje drugog tijela naziva se sila.

Ravnoteža tijela predstavlja poseban slučaj mehaničkog kretanja, pa je zadatak mehanike, takođe, proučavanje ravnoteže materijalnih tijela.

Podjela mehanike:

• Teorija kretanja i ravnoteže apsolutno krutih tijela (mehanika krutog tijela) • Teorija kretanja i ravnoteže deformabilnih tijela (otpornost materijala, teorija

elastičnosti i plastičnosti,) • Teorija kretanja i ravnoteže tečnih i gasovitih tijela (hidromehanika i aerodinamika,

mehanika fluida)

Mehanika krutog tijela može se podijeliti na statiku, kinematiku i dinamiku.

Statika proučava ravnotežu materijalnih krutih tijela.

Kinematika se bavi proučavanjem kretanja materijalnih tijela, sa geometrijskog stajališta, ne uzimajući u obzir sile koje to kretanje izazivaju.

Dimanika pručava kretanje materijalnih tijela pri djelovanju sila, tj. dovodi u vezu kretanje materijalnih tijela sa mehaničkim uticajima (silama) koji djeluju na tijela.

Otpornost materijala se bavi analizom naprezanja i deformacija deformabilnih tijela.

Bazu mehanike krutog tijela čine Njutnovi zakoni:

• Prvi zakon: Svaka materijalna tačka ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja, sve dok djelovanjem sile ne bude prinuđena da to stanje promjeni.

• Drugi zakon: Promjena količine kretanja materijalne tačke proporcionalna je sili koja djeluje na nju i vrši se u pravcu i smjeru djelovanja sile.

• Treći zakon (zakon akcije i reakcije): uzajamni mehanički uticaji dvaju tijela ispoljavaju se silama jednakog intenziteta i pravca, a suprotnih smjerova.

3

Page 4: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

I DIO

STATIKA

4

Page 5: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

UVOD U STATIKU

U uvodu definišemo zadatak Statike, osnovne pojmove Statike (kruto tijelo, materijalna tačka, sila,sistem sila), aksiome statike, i prikazujemo primjere najčešćih mehaničkih veza.

Zadatak i osnovni pojmovi u Statici

Statika, kao dio mehanike, je nauka koja izučava ravnotežu sila koje dejstvuju na materijala tijela, tj. izučava uslove koji moraju biti ispunjeni da bi sile, koje dejstvuju na posmatrana tijela, bile u ravnoteži.

Može se reći i daje Statika nauka koja proučava zakone mirovanja i uslove ravnoteže materijalnih tijela.

Zadaci Statike su:

1) Slaganje sila i svođenje sistema sila na prostiji oblik 2) Određivanje uslova ravnotežekrutih tijela izloženih djelovanju sistema sila

Pojam apsolutno krutog tijela: Pod krutim tijelom podrazumijevamo tijelo koje ne mijenja svoj oblik pod uticajem bilo kakvih spoljašnjih sila. To znači da rastojanje između bilo koje dvije tačke tijela, izloženog djelovanju spoljašnjih sila, ostaje nepromijenjeno, tj. A1A2=const. Ovakva tijela u prirodi ne postoje, ali za slučaj zanemarljivih promjena oblika, stvarne osobine tijela se uprošćavaju i tijela se smatraju apsolutno krutim.

Sl.1 Primjer deformabilnog i krutog tijela

Pojam materijalne tačke: Pod materijalnom tačkom podrazumijevamo materijalno tijelo čije se dimenzije zanemaruju. Stoga kruto tijelo možemo smatrati sistemom materijalnih tačaka, kod kojih se međusobni razmak ne mijenja.

Pojam sile: Sila definiše mjeru uzajamnog mehaničkog dejstva jednog tijela na drugo. Ovo djelovanje između tijela manifestuje se promjenom stanja mirovanja ili kretanja tijela.

Podjela sila: U prirodi su poznate samo dvije vrste sila: volumenske sile i površinske sile.

Volumenske sile su sile koje djeluju po cijelom volumenu tijela. Primjer za ovo je težina tijela (sila teže). Svaki dovoljno mali djelić ukupnog volumena tijela ima određenu težinu, a napadni pravci ovih težina su međusobno paralelni. Suma svih ovih sila dG koje su kontinualno

5

Page 6: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

raspoređene po volumenu daje ukupnu težinu. Kao primjer za volumenske sile mogu se navesti još magnetne i električne sile.

Površinske sile nastaju na dodirnoj površini dva tijela. To su npr. pritisak vode p na branu, opterećenje snijega na krovu, pritisak vjetra na konstrukciju, ili pak pritisak tereta na površinu ruke. Ove sile mogu biti kontinuirano raspoređene ili koncentrisane.

Koncentrisane sile dejstvuju u jednoj tački tijela (aproksimativno, jer sila sa napadnim pravcem i hvatištem predstavlja određenu idealizaciju stvarnog stanja), dok se kontinualne sile raspoređuju na više tačaka tijela kontinuirano.

Kao idealizacija u mehanici se koriste još linijske sile. Ovdje se radi o silama koje su kontinualno raspoređenje duž linije. Ako se pritiskuje oštricom alata na neko tijelo, bez sječenja po debljini, tada duž dodirne linije djeluje linijska sila q.

Sl.2 Primjer zapreminskih, površinskih i koncentrisanih sila

Sile možemo takođe podijeliti na aktivne sile i reaktivne sile. Aktivne se nazivaju sile koje kod nekog mehaničkog sistema fizikalno uzrokuju opterećenje, kao npr. uteg, pritisak vjetra ili opterećenje snijegom. Reaktivne sile ili sile otpora nastaju zbog ograničenja slobodnog kretanja, odnosno zbog prisilnih uslova kojima je sistem podvrgnut. Na kamen koji slobodno pada djeluje samo aktivna sila teže. Ako se kamen uzme u ruku tada je njegova sloboda kretanja ograničena; na kamen će tada dodatno djelovati sila otpora (reaktivna sila) ruke.

Sile dijelimo na spoljašnje (one koje dejstvuju na tijelo izvana, tj. od strane drugih tijela) i unutrašnje (to su sile međusobnog djelovanja djelića jednog istog tijela, i one ne utiču na ravnotežu tijela). Aktivne i reaktivne sile spadaju u spoljašnje sile.

Sila, , je vektorska veličina, određena pravcem, smjerom i intenzitetom, i napadnom tačkom (hvatištem). Intenzitet sile, , predstavlja iznos ili vrijednost djelujuće sile, i određuje se poređenjem date sile sa silom uzetom za jedinicu. Za jedinicu sile se uzima jedan njutn, [N].

Sl.3 Elementi sile kao vektora

6

Page 7: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Skup sila koje dejstvuju na neko tijelo naziva se sistem sila.

Ako se slobodno kruto tijelo pod djelovanjem datog sistema sila nalazi u stanju mirovanja , onda je to uravnoteženi sistem sila, a tijelo je u ravnoteži.

Slobodno tijelo je ono tijelo koje nije vezano za druga tijela i može da zauzima bilo koji položaj u prostoru (npr. hitac u vazduhu, slobodni pad).

Ekvivalentni sistem sila je onaj koji može zamijeniti posmatrani sistem sila koji dejstvuje na tijelo, a da se to dejstvo ne promijeni.

Rezulatanta datog sistema sila je sila koja je ekvivalnetna sistemu sila, tj. ona zamjenjuje dejstvo sistema sila na kruto tijelo.

Uravnotežavajuća sila je jednaka rezultanti po intenzitetu i pravcu, a suprotnog je smjera.

Aksiome statike

Proučavanje problema statike može se znatno pojednostaviti preko definicija aksioma statike, koje su bazirane na osobinama sile kao vektora. Ove osnovne pretpostavke se usvajaju bez matematičkog dokazivanja, a proistekle su iz iskustva, dugotrajnog eksperimentisanja i ispitivanja u ovoj oblasti. Aksiome iskazuju neke fundamentalne odnose u vezi sa ravnotežom tijela.

Prva aksioma: Slobodno kruto tijelo biće u ravnoteži pod dejstvom dvije sile samo ako te sile dejstvuju duž iste napadne linije, ako su istih intenziteta (F1=F2), a suprotnih smjerova. Očigledo je da je rezultanta ovih sila jednaka nuli, što znači da tijelo ne može biti u ravnoteži pod djelovanjem samo jedne sile.

Sl.4 Prva i druga aksioma statike

Druga aksioma: Ako se krutom tijelu doda ili oduzme uravnoteženi sistem sila, dejstvo datog sistema sila na tijelo se ne mijenja.

Posljedica prve i druge aksiome: Napadnu tačku sile koja dejstvuje na kruto tijelo možemo prenosti duž napadne linije, a da se pri tome njeno dejstvo ne tijelo ne mijenja. Djelovanje sile na kruto tijelo ne zavisi od položaja hvatišta sile na napadnom pravcu. Sile na krutim tijelima su klizni vektori koji se mogu duž napadnog pravca proizvoljno pomjerati. Ovaj stav važi samo u slučaju kada sila dejstvuje na apsolutno kruto tijelo; kod deformabilnih tijela ovaj stav ne važi.

Treća aksioma (aksioma o paralelogramu sila): Rezultanta dvije sučeljne sile koje napadaju kruto tijelo u tački A, određena je po intenzitetu, pravcu i smjeru dijagonalom paralelograma, konstruisanog nad silama kao stranicama paralelograma. Rezultanta dobijena na ovaj način predstavlja vektorski zbir datih sila, 1 2R F F= +

. Intenzitet i pravac rezultante može se odrediti

geometrijski ili analitički primjenom teorema trigonometrije.

7

Page 8: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.5 Slaganje dvije sile pomoću paralelograma sila i trougla sila

Iz kosinusne teoreme je: 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 cos(180 ) 2 cosR F F F F F F F Fα α= + − − = + +

Iz sinusne teoreme je: 1 2

sin( ) sin sinF FR

π α γ β= =

−, odakle se odrede uglovi β i γ, a time i pravac

rezultante.

Četvrta aksioma: Sile kojima dva materijalna tijela dejstvuju jedno na drugo jednake su po intenztetu i pravcu , a suprotnog su smjera (dejstvo i protivdejstvo dva tijela su jednaka), tj.

1 2F F= −

. Ova aksioma predstavlja III Njutnov zakon mehanike – zakon akcije i reakcije. Pošto ove sile dejstvuju na dva tijela, one ne predstavljaju uravnoteženi sistem sila.

Sl.6 Dejstvo i protivdejstvo dva tijela su jednaki

Peta aksioma (princip solidifikacije): ako se deformabilno tijelo nalazi u ravnoteži pod dejstvom datog sistema sila, ravnoteža će postojati i kada deformabilno tijelo postane kruto (npr. ako je lanac opterećen zateznim silama u ravnoteži, ostaće u ravnoteži i kada se karike lanca zavare i on postane kruto tijelo. Obrnuto ne važi).

Veze i rekacije veze

Vezano tijelo je tijelo čije je pomijeranje u prostoru ometeno, tj. ograničeno nekim drugim tijelima. Veza je tijelo koje ograničava - ometa pomijeranje drugog tijela u prostoru.

Sile kojima veze dejstvuju na posmatrano tijelo su reakcije veza, a sile kojima tijelo dejstvuje na vezu su sile pritiska na vezu.

Reakcije se određuju tako da se tijelo oslobodi svojih geometrijskih veza, a djelovanje veze na tijelo se zamijeni silom (rekacijom veze). To se naziva oslobađanje od veza.

Pravac i smjer reakcije veze je određen tako što se uzima da je reakcija usmjerena u suprotnom smjeru od smjera u kojem veza ne dopušta pomjeranje tijela. Napadna tačka reakcije veze je u tački dodira tijela i veze.

Reakcije veza određuju se rješavanjem postavljenog statičkog zadatka, a zavise od veza kojim je tijelo podvrgnuto, kao i od sila koje dejstvuju na tijelo.

Neki osnovni oblici veza

a) Veza ostvarena preko glatke površine - glatki oslonac (zanemareno trenje između tijela i veze). Ovakve veze kod kojih je zanemareno trenje zovu se idealne veze. Reakcija veze

8

Page 9: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

ima pravac zajedničke normale na dodirnu površinu. Znači, poznat je pravac reakcije veze, a potrebno je odrediti njen intenzitet, slika 7.

b) Veza užetom (neistegljivim). Reakcija veze ima pravac užeta, a smjer prema tački vješanja, slika 8a.

c) Veza ostvarena lakim štapom (to je štap čija se težina zanemaruje). Reakcija veze ima pravac ose štapa, tj. pravac koji spaja njegove krajeve (ako je štap opterećen silama na krajevima), slika 8b.

d) Veza cilindričnim zglobom. Najčešća je kod osovinica na koje je navučena glavčina za koju je čvrsto vezano tijelo. Ova veza omogućava zakretanje tijela u ravni koja je okomita na osu osovinice. Pravac reakcije veze nije poznat, pa se ukupna rekacija razlaže na dvije komponente, u pravcu dvije međusobno okomite ose, slika 9a,b.

e) Veza sfernim zglobom - ležištem. Sferni zglob ne dozvoljava pomjeranje niti u jednom pravcu. Reakcije veze nepoznata je po pravacu i intenzitetu, a za odreživanje ove sile potrebno je odrediti tri komponente sile (u pravcu sve tri koordinatne ose), slika 9c.

Sl.7 Primjeri glatke veze

Sl.8 Veza užetom i lakim štapovima

Sl.9 Veza cilindričnim zglobom i sfernim zglobom

Aksioma o vezama – princip oslobađanja tijela od veza

Svako vezano tijelo može se posmatrati kao slobodno ako zamislimo da smo uklonili veze, a njihov uticaj zamijenili odgovarajućim silama, koje predstavljaju reakcije veza.

9

Page 10: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

SISTEM SUČELJNIH SILA

Sučeljni sistem sila je takav sistem sila koje dejstvuju na tijelo kod kojeg sve sile dejstvuju u jednoj tački, odnosno napadni pravci svih sila prolaze kroz jednu tačku, slika 10a.

Ako napadne linije svih sila leže u jednoj ravni, onda je to ravanski sistem sučeljnih sila.

Ako napadne linije sila ne leže u istoj ravni, onda je to prostorni sistem sučeljnih sila.

SLAGANJE SUČELJNIH SILA U RAVNI

Djelovanje dviju ili više sila na neko tijelo ekvivalentno je djelovanju jedne sile R

, koju nazivamo rezultanta sistema sila.

Intenzitet, pravac i smjer rezultante može se odrediti grafički (geometrijski), konstrukcijom paralelograma sila.

Sl.10 Sučeljni sistem sila i paralelogram sila

Ako na tijelo djeluje n sila čiji svi napadni pravci prolaze kroz tačku A, tada se rezultanta dobije naizmjeničnom primjenom aksiome o paralelogramu sila, odnosno kao suma vektora svih n sila, slika 10b:

1 2 3 ... n iR F F F F F= + + + + =∑

Redoslijed sumiranja je pri tome proizvoljan. Određivanje rezultante naziva se redukovanje, jer se sistem sila redukuje na pojedinačnu ekvivalentnu silu.

Sistem od n sila se može nanositi proizvoljnim redoslijedom, a rezultanta R

se dobije kao vektor koji spaja početnu tačku a sa krajnjom tačkom b poligona sila ili trougla sila.

RAZLAGANJE SILA U RAVNI

Ako silu R

želimo razložiti na dvije sile čiji se napadni pravci f1 i f2 sijeku, nacrtamo trougao sila u kome kroz početnu i krajnju tačku rezultante R

prolaze zadani pravci. Trougao sila se može

nactrati u dvije varijante, iz kojih se jednoznačno određuju tražene sile prema intenzitetu i smjeru. Sile 1F

i 2F

nazivaju se komponente sile R

u odnosu na pravce f1 i f2, slika 11.

10

Page 11: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.11 Razlaganje sile na dvije komponente

Komponenta sile . Projekcija sile na osu

U mnogim slučajevima je podesno u Dekartovom koordinatnom sistemu razložiti sile na komponente koje stoje međusobno okomito i paralelno pravcima osa x i y.

Sl.12 Komponente sile u pravcu osa x i y

Pomoću jediničnih vektora i

i j

koordinatnih osa x i y, mogu se komponente sile, xF

i yF

, napisati kao

xx iF F=

- komponenta sile u pravcu x ose

y y jF F=

- komponenta sile u pravcu y ose

Vektor sile F

je vektorski zbir ovih komponenata:

x y x yF i F jF F F+ = +=

Ovdje su xF i yF projekcije sile F

na ose x i y, ili koordinate vektora F

.

Definišimo pojam projekcije sile na osu: projekcija sile na neku osu je skalarna veličina koja se određuje kao proizvod intenziteta sile i kosinusa ugla između sile i ose, tj.

cosxF F α= i sinyF F α= .

Intenzitet i pravac vektora sile iskazan preko projekcija je:

2 2x yF F F= + , y

x

Ftg

Fα =

Projekcija sile na osu može biti pozitivna, negativna i jednaka nuli, što se vidi sa sljedeće slike.

Sl.13 Projekcije sile na osu

11

Page 12: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Teorema o projekcijama rezultante na ose:

Projekcija rezultante na neku osu jednaka je algebarskom zbiru projekcija komponenata na istu osu.

Sl.14 Projekcija rezultante na osu

Teoremu objasnimo na primjeru sa dvije sile. Označimo komponente sile iF

u pravcu osa x i y sa

i iX X i=

, i iY Y j=

.

Tada su sile 1F

i 2F

:

1 1 1F X i Y j= +

, 2 2 2F X i Y j= +

a njihova rezultanta je:

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2( ) ( )F X i Y j X i Y j X X i Y Y jR F + = + + + = + + +=

Kako rezultujuću silu možemo razložiti na kompnente xR

i yR

u pravcu osa x i y, onda je

1 2 1 2( ) ( )x y x yR R R R i R j X X i Y Y j= + = + = + + +

Odavde su projekcije (koordinate) rezultante određene sa zbirom projekcija komponenata na tu osu:

1 2( )xR X X= + , 1 2( )yR Y Y= +

U opštem slučaju, za sistem od n sučeljnih sila, projekcije rezultante u pravcu osa x i y određene su sa:

x iR X=∑ , y iR Y=∑ ,

a intenzitet i pravac rezultante su:

x yR R R= + , yR

x

Rtg

Rα = .

Ove jednačine nam omogućavaju da odredimo projekcije rezultantne sile analitičkim (računskim) putem, i bez grafičke interpretacije izvršimo slaganje sila.

12

Page 13: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

SUČELJNI SISTEM SILA U PROSTORU

Analogno predstavljanju sile u ravni sa dvije međusobno okomite komponente, sila u prostoru se može jednoznačno prikazati sa tri međusobno okomite komponente. Silu F

možemo

prikazati u Dekartovom koordinatnom sistemu x,y,z.

Sl.15 Prikaz sile u Dekartovom koordinatnom sistemu

Vektor sile prikazan pomoću komponenata je:

x y z x y zF F F i F j F kF F= + + = + +

Intenzitet sile i kosinusi pravca su:

x y zF F F F= + + , cos xFF

α = , cos yFF

β = , cos zFF

γ = ,

gdje važi: 2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = .

Posmatrajmo prostorni centrični sistem od n sila.

Sl.16 Prostorni centrični sistem sila

Rezultanta ovog sistema sila slijedi iz teoreme o paralelogramu sila u prostoru ili, upravo kao kod ravnog sistema sila, kao vektorska suma svih n sila:

iR F=∑

.

Prikažemo li sile preko njihovih komponenata xF

, yF

, zF

, koje kraće označimo sa X

, Y

, Z

, tada je:

( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i iR F X Y Z X i Y j Z k= = + + = + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑

.

Budući da rezultujuću silu možemo razložiti na tri komponente:

13

Page 14: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

x y z x y zR R R R R i R j R k= + + = + +

,

izjednačavanjem veličina koje stoje uz odgovarajuće jedinične vektore osa x,y,z, dobijemo projekcije rezultante:

x iR X=∑ , y iR Y=∑ , z iR Z=∑ .

Intenzitet rezultante određen je sa

x y zR R R R= + + .

USLOVI RAVNOTEŽE SISTEMA SUČELJNIH SILA

Sistem sučeljnih sila je u ravnoteži ako je rezultanta sistema sila jednaka nuli.

Ovaj uslov ravnoteže sistema sučeljnih sila može se izraziti geometrijski i analitički.

Geometrijski uslov ravnoteže: Da bi rezultanta sistema sila bila jednaka nuli mora poligon sila biti zatvoren, tj. kraj posljednje sile mora se poklapati sa početkom prve sile.

Sl. 17 Ravnoteža dvije kolinearne sile; Zatvoreni poligon sila

Analitički uslov ravnoteže: Razultanta sučeljnog sistema sila jednaka je nuli ako su njene projekcije na ose x, y, z jednake nuli, tj.

0x iR X= =∑ , 0y iR Y= =∑ , 0z iR Z= =∑ .

Za ravanski sistem sučeljnih sila rezultanta je određena sa projekcijama na dvije ose, pa su uslovi ravnoteže: 0x iR X= =∑ , 0y iR Y= =∑ .

PRINCIPI RJEŠAVANJA ZADATAKA STATIKE

Primjenom uslova ravnoteže sistema sučeljnih sila mogu se uspješno rješavati problemi ravnoteže tijela, u kojim je potrebno odrediti reakcije veza, neke od nepoznatih uravnotežavajućih sila, ili uslove pod kojim je ravnoteža ispunjena. Bez obzira koje veličine određujemo, možemo odrediti najviše dvije nepoznate pomoću dva uslova ravnoteže (za ravanski sistem sučeljnih sila), odnosno tri nepoznate pomoću tri uslova ravnoteže (za prostorni

14

Page 15: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

sistem sučeljnih sila). Takav problem se može riješiti i naziva se statički određen. Ako se pojavi više nepoznatih veličina nego što imamo jednačina ravnoteže, takav problem se ne može riješiti pomoću uslova ravnoteže i naziva se statički neodređen problem.

Opšti principi rješavanja zadataka su sljedeći:

1. Uočiti tijelo (tačku) čija se ravnoteža izučava

2. Osloboditi tijelo veza i njih zamijeniti odgovarajućim rekacijama veza. Pri tome je bitno da pravci sila i njihovi smjerovi, uglovi i cjelokupna geometrija budu jasno predstavljeni, kako bi se mogla uspješno izvršiti dalja analiza problema.

3. Uočiti o kakvom problemu sila je riječ (sučeljne sile, sile u jednoj ravni, itd.) i primijeniti odgovarajuće uslove ravnoteže, koji mogu biti analitički ili grafički.

4. Odrediti nepoznate veličine (obično su to reakcije veza).

5. Komentarisati rješenja, ukoliko je potrebno (u vezi sa smjerovima sila, i sl.).

OPŠTI (PROIZVOLJNI) SISTEM SILA

REZULTANTA DVIJE PARALELNE SILE

Dvije paralelne sile 1F

i 2F

mogu se zamijeniti jednom rezultantom R

. Prvo ćemo datim silama

1F

i 2F

pridružiti sistem od dvije sile u ravnoteži K

i K−

, koje na krutom tijelu ne proizvode nikakvo djelovanje. Time možemo odrediti pojedinačne rezultante i ukupnu rezultantu R

:

1 1R F K= +

, 2 2 ( )R F K= + −

, 1 2 1 2R R R F F= + = +

Sl.18 Rezultanta dvije paralelne sile

Iz slike se može očitati

1 2R F F= + , 1 2h a a= + , 1

1

a Kl F= , 2

2

a Kl F= .

15

Page 16: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Kod paralelnih sila rezultanta R

ima intenzitet jednak algebarskoj sumi sila. Iz prethodnih proporcija proizilazi i Arhimedov zakon poluge i veličina rastojanja rezultante u odnosu na komponentne sile:

1 1 2 2Kl F a F a= = , 2 21

1 2

F Fa h hF F R

= =+

, 1 12

1 2

F Fa h hF F R

= =+

.

Na ovaj način uvijek možemo odrediti vrijednost i položaj rezultante.

MOMENT SILE ZA TAČKU I OSU

Poznato je da sila predstavlja uzrok promjene stanja nekog tijela i da može izazvati kretanje tijela na koje djeluje. Ovo kretanje tijela pod uticajem sile može biti: translacija i rotacija-obrtanje.

MOMENT SILE ZA TAČKU

Momenta sile u odnosu na tačku uzrokuje obrtno dejstvo sile u odnosu na tačku, tj. rotaciju tijela.

Posmatrajmo tijelo koje se može obrtati oko tačke O. Ako na tijelo u tački A dejstvuje sila F

, pod djelovanjem ove sile tijelo će se obrtati. Obrtni efekat sile zavisi od: intenziteta sile F

,

kraka sile h (koji predstavlja najkraće – normalno - rastojanje napadne linije sile od tačke O), položaja ravni obrtanja OAB (određene obrtnom tačkom O i silom F

), smjera obrtanja u toj

ravni.

Sl.19 Moment sile za tačku

Moment sile u odnosu na tačku O, FOM

, je vektorska veličina, definisana vektorskim proizvodom:

FOM r F= ×

gdje je r -vektor položaja napadne tačke A sile F

, u odnosu na obrtnu tačku O.

Kako je moment sile vektroska veličina, karakterišu ga intenzitet, paravac i smjer:

a) Intenzitet momenta određen je sa FOM Fh= , gdje je h krak sile, koji predstavlja najkraće

(normalno) rastojanje od napadne linije sile do tačke O

b) Pravac vektora momenta – upravan je na ravan dejstva momenta OAB (ovu ravan obrazuju vektor sile F

i vektor položaja r )

16

Page 17: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

c) Smjer vektora momenta – u onu stranu odakle se vidi da je obratnje silom suprotno kretanju kazaljke na satu. Za određivanje smjera momenta pogodno je pravilo desne ruke:

Ako sila nastoji da okrene tijelo u smjeru savijenih prsta desne ruke, tada vektor momenta ima smjer ispruženog palca.

Sl.20 Smjer momenta sile: pravilo desne ruke

Predznak momenta je pozitivan ako sila teži da okrene tijelo u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu.

Budući da je moment sile definisan vektorskim proizvodom vektora sile i vektora položaja, intenzitet momenta definisan je i sa:

sin ( , )FOM r F rF r F Fh= × = =

ANALITIČKO DEFINISANJE MOMENTA SILE

Komponente momenta –projekcije momenta u pravcu osa x, y, z Dekartovog koordinatnog sistema, dobiju se razvijenjem vektorskog proizvoda, imajući u vidu da su projekcije vektora položaja ( , , )r x y z i vektora sile ( , , )F X Y Z

, tj.:

( ) ( ) ( )FO Ox Oy Oz

i j kM r F x y z yZ zY i zX xZ j xY yX k M i M j M k

X Y Z= × = − + − + − = + +

Sl. 21 Komponente vektora momenta sile u pravsu osa x, y, z

Odavde su projekcije momenta na ose:

OxM yZ zY= − , OyM zX xZ= − , OzM xY yX= −

Jedinica momenta sile u SI sistemu je njutnmetar, [Nm].

17

Page 18: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

MOMENT SILE ZA OSU

Moment sile za osu je skalarna veličina koja opisuje težnju sile da okrene tijelo oko neke ose.

Moment sile za osu je skalarna veličina zbog toga što je ravan dejstva momenta uvijek poznata (to je ravan koja je okomita na posmatranu osu).

Moment sile za osu definiše se kao moment projekcije sile na ravninu okomitu na tu osu računat za tačku u kojoj osa probija ravninu. Npr. da bi odredili moment sile F

u odnosu na osu

Oz, potrebno je naći projekciju sile F

na ravan Oxy, koja je upravna na datu osu, pa potom izračunati moment sile u odnosu na tačku O u kojoj osa z prodire ravan Oxy. Dakle, silu F

razlažemo na komponente Z

i xyF

, pri čemu komponenta Z

nema obrtno dejstvo oko ose z jer joj je paralelna (ova kompnenta sile može samo translatorno da pomjera tijelo duž ose z). Obrtno dejstvo sile oko ose Oz svodi se na dejstvo komponente xyF

, tako da je moment sile u

odnosu na osu Oz

1xy xyF F

Oz O xyM M F h= = ±

Sl.22 Projekcije sile na ravan Oxy

Moment sile u odnosu na osu je pozitivan ako sila nastoji da okrene tijelo oko ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativan ako sila nastoji da okrene tijelo oko ose u smjeru kazaljke na satu.

Moment sile za osu jednak je nuli, 0xyFOzM = , za:

0xyF = (ovo je zadovoljeno kada je sila F

paralelna osi Oz; tada postoji samo

komponenta Z

)

0h = (krak je jednak nuli kada napadna linija sile F

siječe osu Oz).

VARINJONOVA TEOREMA (MOMENTNO PRAVILO)

Francuski naučnik P.Varinjon (1654-1722) dokazao je da je moguće naći ekvivalentni moment, koji će proizvesti isti obrtni efekat na kruto tijelo, kao moment sistema sila 1F

, 2F

,.., nF

, koje u datoj tački dejstvuju na kruto tijelo.

Varinjonova teorema glasi: Moment za tačku O rezultante R

sistema sučeljnih sila jednak je vektorskom zbiru momenata komponenti za istu momentnu tačku.

18

Page 19: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.23 Varinjonova teorema

Dokažimo ovu teoremu:

Rezultante sistema sučeljnih sila koje dejstvuju u tački A je:

1 2 ... n iR F F F F= + + + =∑

Moment rezultante za tačku O je: 1 2

1 2 .. .. nFF FRO i n O O OM r R r F r F r F r F M M M= × = × = × + × + + × = + + +∑

Ili iFR

O OM M=∑

.

Ovim je teorema dokazana.

Teorema vrijedi i za sistem sila s različitim hvatištima, ako on ima rezultantu.

Posebno, ako sve sile leže u jednoj ravnini, vrijedi skalarna jednačina iFR

O OM M=∑ .

Primjena momentnog pravila olakšava određivanje momenta sile F

za tačku O, ako su poznate njene komponente X

i Y

, te koordinate x i y njenog hvatišta A, tj:

OM Fh Y x X y= = ⋅ − ⋅

Sl.24 Moment sile koja leži u ravni

19

Page 20: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

SPREG SILA

Spreg sila čine dvije paralelne sile, jednakih intenziteta a suprotnih smjerova.

Iako nema rezultantu ( R = F − F = 0 ), taj sistem sila nije u ravnoteži već on nastoji okrenuti tijelo u svojoj ravnini. Znači, slobodno kruto tijelo pod dejstvom sprega sila vrši obrtno kretanje.

Sl. 25 Spreg sila; predstavljanje momenta sprega

Moment sprega sila je vektorska veličina.

Pravac vektora je okomit na ravninu sprega (to je ona ravan u kojoj spreg teži da obrne tijelo).

Smjer vektora određen je pravilom desne ruke (kao i moment sile za tačku).

Intenzitet momenta sprega jednak je proizvodu intenziteta sile F i kraka sprega d (to je rastojenje između napadnih linija sila):

M F d= ⋅

Moment sprega sila M

je slobodan vektor i može se slobodno pomicati paralelno i duž svoga pravca (ne zavisi od izbora momentne tačke). Zato se njegovo djelovanje u ravnini prikazuje samo kružnom strelicom, slika 27.

Na sljedećoj slici je prikazano nekoliko primjera u kojima nastaje spreg sila: a) točak za otvaranje i zatvaranje ventila (ili npr. točak upravljača automobila), b) izvijač koji sa malim zazorom u prorezu djeluje na glavu vijka i c) greda koja je uklještena u zidu i čiji kraj se zaokreće (silom ili momentom). Treba uočiti da spreg sila ima određeni smjer obrtanja (lijevi ili desni). Spreg sila, upravo kao i koncentrična sila, predstavlja idealizaciju kojom se zamjenjuje djelovanje provršinski raspoređenih sila.

Sl.26 Primjeri sprega sila

20

Page 21: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

SLAGANJE SPREGOVA

Ako na kruto tijelo djeluje više spregova sila, iM

, tada se oni mogu zamijeniti jednim rezultujućim spregom momenta RM

:

R iM M=∑

Sl.27 Slaganje spregova u rezultujući spreg

Uslov ravnoteže sistema spregova sila: Ako je suma momenata jednaka nuli, tada isčezava rezultanta sprega sila i nema obrtnog djelovanja na tijelo. Uslov ravnoteže za grupu spregova time glasi

0R iM M= =∑

.

U slučaju da spregovi sila djeluju u jednoj ravnini, tada vrijedi skalarni zapis izraza.

EKVIVALENTNOST SPREGOVA

Za dva sprega kažemo da su ekvivalentni ako proizvode isto dejstvo na tijelo, tj. što znači da se jedan od njih može zamijeniti drugim.

Ukoliko se ograničimo na spregove sila u jednoj ravni, oni su ekvivalentni ukoliko imaju isti intenzitet i isti smjer. To znači da možemo mijenjati vrijednost intenziteta sile ili veličinu kraka sprega, a da intenzitet sprega pri tome ostane isti:

1 1 2 2M F d F d= ⋅ = ⋅

Sl. 28 Ekvivalentni spregovi

21

Page 22: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

REDUKCIJA SILE NA TAČKU

Pod redukcijom sile na datu tačku podrazumijeva se paralelno prenošenje sile u datu tačku.

Djelovanje sile na kruto tijelo neće se promijeniti ako je pomaknemo paralelno u drugu tačku i dodamo spreg sila, čiji je moment jednak momentu sile za tu tačku.

Znači, silu F

možemo prenijeti u datu tačku O, a da se pri tome mehaničko dejstvo sile na tijelo ne bi promijenilo, trebamo dodati spreg čiji je moment jednak momentu sile F

za datu tačku O.

Ovaj postupak naziva se redukcija sile na tačku.

Sl.29 Redukcija sile na tačku O

Postupak je sljedeći, slika 29: Sila F

, napadnog pravca f, treba biti paralelno pomjerena na napadni pravac f’ kroz tačku 0, na rastojanju h u odnosu na prvobitni napadni pravac . Ako uzduž pravca f’ dodamo dvije uravnotežene sile intenziteta F , tada jedna novododata sila sa prvobitnom silom F

na rastojanju h gradi spreg sila, čije se djelovanje opisuje momentom

intenziteta OM Fh= i odgovarajućim smjerom obrtanja. Dakle, sili F

na normalnom rastojanju h od tačke 0 su ekvivalentni sila F

kroz tačku 0 i moment intenziteta OM Fh= .

REDUKCIJA PROIZVOLJNOG SISTAM SILA NA TAČKU

(svođenje sistema sila na prostiji oblik)

Sistem prostornih sila (opšti sistem sila) može se, takođe, redukovati na jednu tačku.

Ako se sve sile nekog sistema redukuju na proizvoljnu tačku A, tada u njoj djeluju sistem ekvivalentnih vektora sila F

i spregova sila momenata iM

, slika 30 . Vektorski zbir svih sila F

naziva se glavni vektor sistema sila RF

, a vektorski zbir svih momenata spregova sila iM

naziva se glavni moment RM

sistema sila za tačku A.

Važi da je: R iF F=∑

, R iM M=∑

.

Treba naglasiti da glavni vektor sistema sila RF

nije isto što i rezultanta sistema sila 1F

, 2F

,.., nF

, jer njeno dejstvo nije ekvivalentno ovom sistemu.

Pri promjeni redukcione tačke, glavni vektor RF

ostaje isti, ali se mijenjaju moment zadatih sila (zbog promjene kraka sile u odnosu na redukcionu tačku) pa se time mijenja i glavni moment

RM

. Stoga, pri redukciji zadatog sistema sila, uvijek treba uz oznaku za glavni moment naznačiti o kojoj se redukcionoj tački radi, npr. ( )A

RM

.

22

Page 23: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.30 Redukcija opšteg sistema sila na tačku A: glavni vektor sistema i glavni moment sistema

Na osnovu redukovanog sistema sila na neku tačku, možemo izvesti zaključak o tome kakvo kretanje ili mirovanje tijela će izazvati dati sistem sila:

1) Ako je 0RF ≠

, ( ) 0ARM =

- tijelo vrši samo translatorno kretanje u pravcu glavnog vektora

RF

2) Ako je 0RF =

, ( ) 0ARM ≠

- tijelo vrši samo rotaciju oko ose koja je kolinearne sa pravcem vektora ( )A

RM

3) Ako je 0RF =

, ( ) 0ARM =

- ravnoteža tijela, nema kretanja

4) Ako je 0RF ≠

, ( ) 0ARM ≠

- složeno kretanje tijela (translacija +rotacija)

RAVNOTEŽA PROIZVOLJNOG SISTEMA SILA

Da bi proizvoljni prostorni sistem sila bio u ravnoteži potrebno je i dovoljno da su glavni vektor i glavni moment sistema jednaki nuli:

0R iF F= =∑

, 0R iM M= =∑

S obzirom da glavni vektor i glavni moment sistema možemo prestaviti preko njihovih komponenata u pravcima koordinatnih osa x,y,z, mogu se iskazati i analitički uslovi ravnoteže:

0iX =∑ , 0iY =∑ , 0iZ =∑

0ixM =∑ , 0iyM =∑ , 0izM =∑

Broj od šest skalarnih uslova ravnoteže odgovara broju od šest stepeni slobode ili mogućnosti kretanja krutog tijela u prostoru: to su tri translacije u pravcu osa x, y i z i tri rotacije oko osa x, y i z.

Izbor referentne tačke proizvoljan je za uslov ravnoteže momenata.

Ako sve sile djeluju u jednoj ravnini, tada uslovi ravnoteže imaju oblik:

0iX =∑ , 0iY =∑ , 0OM =∑

23

Page 24: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Moguće je koristiti i druge oblike uslova ravnoteže, uz uslov da budu međusobno nezavisni. Tako npr, ako izaberemo tri nekolinerane tačke A, B, C u ravni dejstva sila, vrijedi:

0AM =∑ , 0BM =∑ , 0CM =∑ .

Sl. 31 Uslovi ravnoteža sila koje dejstvuju u ravni

RAVNOTEŽA SISTEMA TIJELA

Sistem tijela predstavlja skup tijela koja međusobno djeluju jedna na drugo, tako da ravnoteža jednog tijela zavisi od dejstva ostalih.

Ravnoteža sistema tijela može se izučavati na dva načina:

1. Posmatranjem sistema kao cjeline,

2. Rastavljanjem sistema i izučavanjem ravnoteže svakog tijela posebno.

Sl. 32 Primjer sistema tijela

U prvom slučaju u jednačine ravnoteže ulaze sve spoljašnje sile sistema (težine, reakcije veza, i dr). Na slici 32 je prikazano da sistem kojeg čine greda AB i konzola CD ne rastavljamo, samo ih oslobađamo spoljašnjih veza. Tako, u jednačine ravnoteže ovog sistema ulaze spoljašnje sile: težine, kao aktivne sile, i reakcije oslonca A i uklještenja D. Pošto se radi o ravanskom sistemu sila, postavljaju se tri uslova ravnoteže:

0i A DX X X= − =∑ ,

3 0i A DY Y Y G= + − =∑ ,

(2 cos ) sin (1 cos ) 2 cos 0A D D DM Y l X l M G l G lα α α α= ⋅ + + ⋅ − − ⋅ + − ⋅ =∑

24

Page 25: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

U ovim jednačinama figuriše pet nepoznatih veličina: AX , AY , DX , DY , DM , koje ne mogu biti određene iz tri jednačine ravnoteže. Zbog toga je neophodno još jednačina, koje se dobiju rastavljanjem sistema.

U drugom slučaju, kada rastavljamo sistem, osim spoljašnjih sila moraju se uzeti u obzir i unutrašnje rekacije veza (koje potiču od tijela koja se nalaze unutar sistema). Na pokazanom primjeru vidi se da su greda AB i konzola CD rastavljene, slika 33, a djelovanje jedne na drugu zamijenjeno je unutrašnjim reakcijama veze, CN

i '

CN

, koje su istog intenziteta ali suprotnog smjera, tj. '

C CN N= −

(četvrti aksiom statike).

Sl.33 Sistem tijela rastavljen; prikaz unutrašnjih reakcija veza

Jednačine ravnoteže postavljaju se posebno za svaki element sistema.

Za gredu AB jednačine ravnoteže su:

sin 0i A CX X N α= − =∑

cos 2 0i A CY Y N Gα= + − =∑

2 cos 0A CM N l Gl α= − =∑

Za konzolu CD jednačine ravnoteže su:

sin 0i D CX X N α= − + =∑

cos 0i D CY Y N α= − =∑

cos 02D C DlM N l G Mα= + − =∑

U sistemu ovih šest jednačina figuriše šest nepoznatih: AX , AY , DX , DY , DM , CN (uzeto je u obzir da je '

C CN N= ), što znači da je ovaj zadatak statički određen. Rješenja su:

sin 2AX G α= , 22 sinAY G α= , 2 cosCN G α=

sin 2DX G α= , 2(1 2cos )DY G α= + , 2(1 4cos )2D

GlM α= + .

25

Page 26: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

TRENJE

Dodirne površine tijela u stvarnosti nisu glatke nego su hrapave, što znači da se pri međusobnom pomicanju dva tijela koja se dodiruju javlja otpor nazvan trenje. U zavisnosti od karaktera kretanja tijela u dodiru, razlikujemo trenje klizanja i trenje kotrljanja.

TRENJE KLIZANJA

Kada jedno tijelo težine G

kliže, ili teži da kliže, po drugom tijelu hrapave površine pod djelovanjem neke sile F

, na mjestu dodira djeluje normalna sila N

(kao kod idealno glatke

površine), ali i sila otpora koju zovemo sila trenja klizanja. Sila trenja klizanja nastaje kao posljedica hrapavosti dodirnih površina između tijela i međumolekularnih (adhezionih) sila.

Sl. 34 Ukupna reakcija hrapave veze wF

Sila trenja, Fµ

, leži u tangencijalnoj ravni dodirnih površina i ima smjer suprotan od smjera u

kome sile teže da tijelo pokrenu (ako se tijelo kreće, sila trenja djeluje u smjeru suprotnom od smjera kretanja tijela). Dakle, sila trenja se suprotstavlja kretanju i predstavlja poseban oblik veze. Ukupna reakcija hrapave veze, wF

, je vektorski zbir normalne reakcije i sile trenja:

wF N Fµ= +

Eksperimenti pokazuju da u mirovanju tijela, kada je sila F

dovoljno mala, vrijedi izraz (Kulonov zakon):

stF Nµ µ=

gdje je: maxF Fµ µ= - sila statičkog trenja (najveća sila koja se pojavljuje neposredno prije početka klizanja), stµ - koeficijent statičkog trenja ili koeficijent trenja mirovanja.

Ako sila F

postane dovoljno velika da savlada otpor podloge, nastupa klizanje tijela, i silu zovemo sila trenja klizanja. Pri kretanju tijela, izraz za silu trenja dobija oblik:

F Nµ µ=

gje je µ -kinematički ili dinamički koeficijent trenja (ili samo -koeficijent trenja klizanja).

Ako postoji ravnoteža tijela (mirovanje), sila trenja je manja od maksimalne sile trenja. U trenutku kada počinje klizanje jednog tijela po drugom sila trenja je postigla maksimalnu vrijednost.

26

Page 27: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.35 Sila statičkog trenja i sila trenja klizanja

U statici se obično ispituju ovi granični uslovi ravnoteže – ravnoteže kada počinje klizanje.

Koeficijent trenja µ je bezdimnezionalni broj, određuje se eksperimentalno, zavisi od vrste materijala od kojih su tijela koja se dodiruju, hrapavosti dodirnih površina, temperature tijela i drugif faktora, ali ne zavisi od veličine dodirnih površina. Koeficijent trenja klizanja uvijek je nešto manji od koeficijenta trenja mirovanja, stµ µ> .

Ugao trenja

Ukupna reakcija hrapave površine je sila wF

, i sa normalom na površinu zaklapa ugao ϕ - ugao trenja. Slijedi:

F NtgN Nµ µϕ µ= = = .

Ugao trenja je najveći u graničnom slučaju kada je maxF Fµ µ= , odnosno u trenutku kada započinje klizanje tijela. Vrijednost ugla trenja u graničnom slučaju, 0ϕ , je

max0

stst

F NtgN Nµ µ

ϕ µ= = = .

Sl.36 Ugao trenja

Trene klizanja užeta

Trenje klizanja javlja se i pri dodiru savitljivog tijela, npr. užeta s valjkastim krutim tijelom. Zbog trenja, sile 1S i 2S , koje zatežu krajeve užeta, nisu jednake. Za smjer kretanja užeta kao na slici, vrijedi Ojlerova formula:

2 1S S eµα=

gdje je: e -baza prirodnog logaritma (2,718…), µ -koeficijent trenja (na dodiru savitljivog tijela i krutog tijela), α -obuhvatni ugao užeta [rad].

U idealnom slučaju, kada trenja nema ( 0µ = ), vrijedi da je 1S = 2S .

max stF Nµ µ= F Nµ µ=

27

Page 28: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.37 Trenje užeta

TRENJE KOTRLJANJA

To je otpor koji nastaje pri kotrljanju cilindričnog tijela po hrapavoj podlozi. Ako na takvo tijelo, poluprečnika R, djeluje sila F

, podloga se lokalno deformiše zbog težine G

tijela. Stoga je

reakcija wF

podloge na tijelo pomaknuta u tačku B, za veličinu ε , koja se naziva koeficijent trenja kotrljanja ili krak trenja kotrljanja. Ovaj koeficijent ima dimenziju dužine [m], a zavisi od svojstava materijala i stanja dodirnih površina.

Sl.38 Trenje kotrljanja

Proizvod normalne rekacije N i kraka trenja kotrljanja naziva se moment trenja kotrljanja,

trM Nε= .

Tijelo će biti u mirovanju sve dok je moment sila za obrtnu tačku (tačku dodira) manji od momenta otpora - momenta trenja kotrljanja, tj. sve dok je

F R N ε⋅ ≤ ⋅ .

Odavde je , za N G= , tijelo u mirovanju sve dok je sila F

koja dejstvuje na tijelo:

F GRε

≤ .

Da bi nastupilo kotrljanje tijela bez klizanja, sila trenja kotrljanja mora biti manja od sile statičkog trenja klizanja , tj.:

G GRε µ< ili

Rε µ< .

Ovaj uslov je gotovo uvijek u praksi ispunjen, što znači da je trenje kotrljanja znatno manje od trenja klizanja.

28

Page 29: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

TEŽIŠTE

SREDIŠTE – CENTAR SISTEMA PARALELNIH SILA

Vezani sistem paralelnih sila je takav sistem kod kojeg svaka sila djeluje na određenu tačku tijela, tj. vezana je za tačku, a sistem ima osobinu da ostaje uvijek paralelan (promjena pravca jedne sile znači istovremenu i istu promjenu pravca ostalih sila).

Ovakav sistem se svodi na rezultantu, koja je opet vezana za određenu tačku, tj. njena napadna linija uvijek prolazi kroz istu tačku – središte vezanog sistema sila.

Rezultanta sistema je R iF F=∑

, a njen intenzitet je R iF F=∑ .

Sl. 39 Središte sistema paralelnih sila

Položaj napadne tačke rezultante, tj. središte C sistema, može se odrediti primjenom Varinjonove teoreme o momentu rezultante sistema sila, npr. za osu y:

1 1 2 2 ...R C n n i iF x F x F x F x F x⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅∑

Ovakva jednačina može se napisati za ose x i z, a iz datih jednačina slijede izrazi za koordinate središta C vezanog sistema paralelnih sila:

i iC

R

F xx

F⋅

= ∑ , i iC

R

F yy

F⋅

= ∑ , i iC

R

F zz

F⋅

= ∑ .

Primjer vezanog sistem paralelnih sila je sila teže, odnosno težina G

tijela.

TEŽIŠTE TIJELA PROIZVOLJNOG OBLIKA

Posmatrajmo tijelo proizvoljnog oblika u polju zemljine teže. Ako tijelo podjelimo na veliki, ali konačan broj dijelova n, onda na svaki djelić tijela djeluje privlačna sila Zemlje, koja predstavlja njegovu težinu iG∆

(i = 1, 2, ... , n). Rezultanta takvog sistema vezanih paralelnih sila je težina

tijela G

, čija je veličina: iG G= ∆∑

.

Napadna linija težine prolazi kroz težište tijela C, kojeg nazivamo hvatište težine. Njegov položaj s obzirom na tijelo ostaje uvijek nepromijenjen bez obzira na položaj tijela u prostoru. Može se se reći da je težište tijela je ona tačka C u kojoj je koncentrisana cjelokupna težina tijela, koja je u stvarnosti raspodijeljena po čitavom volumenu tijela, bez promjene statičkog djelovanja.

29

Page 30: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.40 Težište tijela proizvoljnog oblika

Koordinate težišta tijela u odnosu na koordinatni system Oxy određuje se iz jednačina:

i iC

G xx

G∆ ⋅

= ∑ , i iC

G yy

G∆ ⋅

= ∑ , i iC

G zz

G∆ ⋅

= ∑ .

U ovim jednačinama su ix , iy , iz , koordinate i -tog djelića tijela.

Kod homogenog tijela gustina materijala jednaka je za sve njegove djeliće, tj. constρ = . Kako je težina tijela G mg= , a masa tijela je m Vρ= , važi da je G mg Vgρ= = , pa slijede koordinate težišta volumena:

i iC

V xx

V⋅

= ∑ , i iC

V yy

V⋅

= ∑ , i iC

V zz

V⋅

= ∑

gdje je iV volume (zapremina) i -tog djelića tijela, a ukupni volumen tijela je iV V=∑ .

Težište ploče: Ako je jedna dimenzija tijela mala u odnosu na ostale dvije, radi se o površini (npr. tanka ploča). Ukoliko smatramo da je masa raspoređena po površini A ploče, onda je m Aρ= i G mg Agρ= = , pa su koordinate težišta površine:

i iC

A xx

A⋅

= ∑ , i iC

A yy

A⋅

= ∑ , i iC

A zz

A⋅

= ∑

gdje je iA površina i -tog djelića tijela, a ukupna površina ploče je iA A=∑ .

Sl.41 Težište ploče

Veličine koje figurišu u gornjim jednačinama, x i iS A x= ⋅∑ , y i iS A y= ⋅∑ , z i iS A z= ⋅∑ , nazivaju se statički moment površine za ose x, y, z. Jedinica statičkog momenta površine je [m3]. Jednačine težišta ploče mogu se napisati i kao:

xC

SxA

= , yC

Sy

A= , z

CSzA

= .

30

Page 31: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Težište linije: Ako su dvije dimenzije tijela zanemarljive, tijelo prelazi u liniju (npr. štap). Koordinate težišta linije u ravnini glase:

i iC

l xx

l⋅

= ∑ , i iC

l yy

l⋅

= ∑ , i iC

l zz

l⋅

= ∑

gdje je il dužina i -tog djelića tijela (linije), a ukupna dužina tijela je il l=∑ .

Sl.42 Težište linije

Prema tome, težišta homogenih tijela određuju se kao težišta volumena, površina i linija, a zavise samo od geometrijskih svojstava tijela.

Svi gornji izrazi su približni. Tačni izrazi dobiju se ako se uzme da tijelo ima beskonačno mnogo djelića i razmotri granični slučaj. Kako je sumiranje beskonačno malih veličina zapravo integraljenje, u svim izrazima znak sume ( ∑ ) treba zamijeniti znakom integrala ( ∫ ), npr.

težište tijela:

1C

V

x xdVV

= ∫ , 1C

V

y ydVV

= ∫ , 1C

V

z zdVV

= ∫ ,

gdje je dV volumen beskonačno malog djelića tijela, a ukupni volumen (zapremina) tijela je V dV= ∫ .

Ovakvi izrazi vrijede u opštem slučaju, dakle i za nehomogena tijela.

Postupak traženja položaja težišta tijela može se znatno pojednostaviti ako je tijelo simetrično, zatim pogodnim izborom koordinatnog sistema, te odgovarajućom zamišljenom podjelom tijela na jednostavnije dijelove.

Kod simetričnih tijela težište se uvijek nalazi u ravnini, na osi ili u tački simetrije.

31

Page 32: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

II DIO

OTPORNOST MATERIJALA

32

Page 33: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

UVOD U OTPORNOST MATERIJALA

Osnovni pojmovi

U Statici se proučava ravnoteža apsolutno krutih tijela (zanemaruju se deformacije). U otpornosti materijala tijelo smatramo čvrstim, tj. deformabilnim.

Svako čvrsto tijelo pod djelovanjem vanjskog opterećenja mijenja svoj oblik i volumen, a u njemu se pojavljuju unutrašnje sile. Promjena oblika i volumena tijela naziva se deformacija, a specifično opterećenje tijela izazvano njegovim unutrašnjim silama predstavlja napon.

Nakon rasterećenja deformacije mogu nestati (elastične deformacije) ili ostati trajne (plastične deformacije).

Analizom naponskom stanja i deformacija elastičnih tijela kao elemenata tehničkih konstrukcija, bavi se otpornost materijala (teorija elastičnosti, elastostatika, nauka o čvrstoći).

Osnovni zadaci Otpornosti materijala su proučavanje čvrstoće, krutosti i stabilnosti konstrukcija, kroz procedure njihovog dimenzionisanja, pri čemu se moraju biti ispunjeni zahtjevi sigurnosti i ekonomičnosti.

Dimenzionisanje podrazumijeva određivanje takvih dimenzija konstrukcije tako da ona sa dovoljnom sigurnošću može da nosi dato opterećenje. Pri tome se teži da materijal bude što bolje iskorišten, tj. da se koristi onoliko materijala koliko je upravo neophodno da se zadovolje željeni kriterijumi sigurnosti.

Čvrstoća konstrukcije je njezina sposobnost da prenese opterećenje bez loma, trajnih deformacija ili oštećenja (pukotina).

Krutost konstrukcije podrazumijeva njezinu otpornost prema deformiranju.

Stabilnost jest sposobnost konstrukcije da zadrži početni ravnotežni oblik.

Pri analizi konstrukcija, uvode se određene pretpostavke koje pojednostavljuju rješavanje i osiguravaju inženjersku točnost (greška manja od 5%). Najvažnije pretpostavke su: homogenost (iste mehaničke osobine u svim tačkama) i izotropnost materijala (iste mehaničke osobine u svim pravcima), te male deformacije (u odnosu na veličinu tijela).

Kakve će deformacije čvrstog tijela nastupiti pod uticajem vanjskih sila, zavisi od vrste opterećenja. To se može pokazati na primjeru štapa kao najvažnijeg i najjednostavnijeg konstrukcionog elementa.

33

Page 34: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

OSNOVNE VRSTE OPTEREĆENJA I NAPONSKIH STANJA

Sl.43 Osnovne vrste opterećenja

Aksijalno opterećenje: Sile djeluju uzduž ose štapa, tako da njegovo opterećenje može biti istezanje, što izaziva produljenje štapa, slika a, ili sabijanje (pritisak), koje proizvodi skraćenje štapa, slika b.

Smicanje: Sile djeluju u ravnini poprečnog presjeka štapa i nastoje izazvati klizanje jednog njegovog dijela u odnosu na drugi, slika c.

Uvijanje (torzija): Štap je opterećen spregovima sila koji leže u ravnini njegovog poprečnog presjeka, slika d.

Savijanje: Ovakvo opterećenje štapa može nastupiti djelovanjem spregovima sila, slika e, ili silama u ravnini koja prolazi kroz njegovu osu, slika f. U prvom se slučaju radi o čistom savijanju, dok drugi slučaj predstavlja savijanje silama.

Izvijanje: Vitki štap (dug i tanak štap) aksijalno je opterećen na pritisak, i kada sila prijeđe određenu graničnu vrijednost, dovodi do iskrivljenja ose štapa, tj. do njegovog bočnog izvijanja, slika g. Izvijanje je, zapravo, gubitak elastične stabilnosti štapa.

Za prikazana opterećenja, biće navedeni izrazi za određivanje naprezanja i deformacija.

NAPONI I DEFORMACIJE

NAPON

Ako na neko tijelo djeluju vanjske sile, one nastoje da približe ili razdvoje pojedine čestice tijela, čemu se suprotstavljaju unutrašnje sile koje djeluju među česticama.

Pretpostavimo da se tijelo pod djelovanjem vanjskih sila iF

(i= 1, 2,..., n) nalazi u ravnoteži. Ovo znači da je uspostavljena ravnoteža između vanjskih i unutrašnjih sila i da je deformisanje završeno.

34

Page 35: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Ukoliko tijelo presječemo zamišljenom ravninom, u zamišljenom presjeku tijela djeluju unutrašnje sile, koje predstavljaju uticaj odstranjenog dijela tijela. Mjera intenziteta ovih sila naziva se napon, i podrazumijeva veličinu unutrašnje sile svedenu na jedinicu površine.

Sl.44 Napon na presječnoj površini

U nekoj tački O presjeka, napon se definiše vektorom p :

dFpdA

=

gdje je: dF

- elementarna unutrašnja sila, dA - elementarna površina presjeka oko tačke O.

Jedinica za napon je paskal [Pa = N/m2].

U opštem slučaju, vektor napona p može se razložiti na normalni i tangencijalni pravac, i tako dobiti:

- normali napon σ (okomito na presjek - pravac normale n ),

- tangencijalni napon τ (leži u ravnini presjeka - pravac tangente t

),

a ukupni napon je

p σ τ= + .

Naprezanje materijala, ili opterećenje mehaničkim silama, u posmatranoj tački definisano je skupom vektora napona p za sve moguće pravce n . Naponsko stanje tijela definisano je vektorskim poljem (skupom vektora p ) u svim tačkama tijela.

DEFORMACIJA

Deformacija u nekoj tački tijela je mjera deformisanosti tijela u odnosu na neutralno stanje, i opisuje se promjenom elementarnih dužina i uglova u okolini date tačke. Razlikuju se dvije vrste deformacija:

- Longitudinalna (dužinska) - deformacija promjene dužine, slika 45a

- Smicajna (ugaona)-deformacija promjene oblika, slika 45b,c

Sl.45 a) Longitudinalna deformacij; b,c) smicajna deformacija

35

Page 36: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Longitudinalna, ili normalna deformacija, ε , u datom pravcu u tački A elementa L∆ , predstavlja relativnu promjenu dužine linijskog elementa, tj. odnos produženja i prvobitne dužine elementa:

( )d LL

ε ∆=

∆.

Smicajna deformacija , γ , je karkateristika promjene oblika tijela u posmatranoj tački. Definiše se kao promjena pravog ugla između elemenata koji su prije deformisanja materijala bili međusobno okomiti (promjena pravog ugla između dva okomita pravca kroz tačku A). Za prikazane pravce x i y, smicajna deforamcija je:

xyγ α β= +

ili za bilo koja dva međusobno okomita pravca:

2xyπγ θ= −

Deformacije su bezdimenzionalne veličine. Longitudinalnu deformaciju ε izaziva normalni napon σ , a ugaonu deformaciju γ izaziva tangencijalno naprezanje τ . U tehničkoj praksi deformacije su vrlo male, reda veličine 10-3 i manje.

Može se reći da je poznato stanje deformisanosti tijela ako su poznate deformacije u svim tačakama tijela, tj. ako je poznato polje deformacije.

HUKOV ZAKON

Međusobna zavisnost između napona i deformacija svakog čvrstog tijela zavisi od fizičko-mehaničkih svojstava materijala od kojeg je tijelo izgrađeno, a utvrđuje se eksperimentalno. Rezultati eksperimenta najčešće se prikazuju dijagramom, slika 46, u kojem se daje zavisnost napona o deformaciji, tj.: σ - ε ili τ - γ . Prema obliku dobijenih dijagrama, tehnički materijali se dijele na krte i elastične.

Tijelo od krtog materijala (npr. kaljeni čelik, sivi liv, beton itd.) prije loma dobija male elastične deformacije ( elε ), za razliku od tijela izgrađenog od rastezljivog materijala (npr. meki čelik, bakar, bronca itd.), koje nakon početnih elastičnih deformacija pokazuje sposobnost znatnih plastičnih deformacija ( plε ) prije loma.

Sl.46 Dijagram napon-deformacija

36

Page 37: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Važne tačke na dijagramu s odgovarajućim naponima su:

P → Pσ – granica proporcionalnosti (do te tačke zavisnost napona i deformacije je linearna, a deformacije su elastične); u neposrednoj blizine ove tačke je granica elastičnosti E, a ukoliko napon ne pređe veličinu Eσ (napon na granici elastičnosti), onda pri rasterećenju, deformacije materijala potpuno nestaju;

T → Tσ – granica tečenja (od te tačke započinju velike deformacije, tzv. tečenje materijala, pri čemu su takve deformacije plastične);

M→ Mσ - granica čvrstoće, jačina materijala (najveće naprezanje koje materijal može podnijeti prije loma).

Prema tome, pri malim elastičnim deformacijama (do tačke P), postoji proporcionalnost između naprezanja i deformacija, tj.:

Eσ ε= ili Gτ γ= .

Ovi izrazi predstavljaju Hukov zakon, a u njima je: E - Jangov modul elastičnosti [Pa], G – modul smicanja [Pa]. To su konstantne veličine za određeni materijal. Npr. za većinu čelika vrijedi: E = 210 GPa i G = 80 GPa. Jangov modul elastičnosti, E , predstavlja napon koji uzrokuje jediničnu deformaciju, 1ε = .

Hukov zakon je osnovni zakon nauke o čvrstoći, jer sva dobijena rješenja vrijede samo u njegovim granicama, tj. do granice proporcionalnosti.

Da bi konstrukcija u radu bila sigurna (bez loma ili trajnih deformacija), njeno najveće naprezanja mora biti manje od nekog dopuštenog naprezanja, koje se definiše kao:

Md

σσν

= - dopušteni napon za krte materijale

Td

σσν

= - dopušteni napon za elastične materijale,

gdje je ν -stepen sigurnosti (ν >1).

Vrijednost koeficijenta ν kreće se u granicama od 3 do 12, što zavisi od namjene konstrukcije, poznavanja stvarnih osobina materijala i sigurnosti u obuhvatanju svih uticaja koji se mogu javiti u toku eksploatacije konstrukcije.

Sl.47 Dopušteni napon u dijagramu napon-deforamcija

37

Page 38: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

AKSIJALNO OPTEREĆENJE

Razmotrimo štap proizvoljnog poprečnog presjeka površine A, koji je na krajevima opterećen silama F, koje djeluju duž njegove ose z. U nekom poprečnom presjeku štapa, pojavljuju se unutrašnje sile koje su paralelne njegovoj osi. Njihova rezultanta je uzdužna sila N. To znači da se u svakoj točki presjeka pojavljuje samo normalno naprezanje σ.

Sl.48 Aksijalno opterećen štap; normalni napon u presjeku štapa

Na svakoj elementarnoj površini dA djeluje normalna unutrašnja sila dN dAσ= ⋅ . Uslov ravnoteže dijela štapa glasi:

0Z =∑ 0N F− = N F= A

dA Fσ ⋅ =∫

Kako je raspodjela napona po presjeku jednolika, tj. constσ = , slijedi:

A

dA Fσ =∫ ili A Fσ ⋅ =

tako da je normalni napon u nekom poprečnom presjeku aksijalno opterećene grede:

FA

σ = .

U slučaju opterećenja štapa na zatezanje (N > 0), napon je pozitivan (σ > 0), a kod opterećenja na pritisak (N < 0), napon je negativan (σ < 0).

Aksijalno opterećenje štapa dužine l , uzrokuje promjenu njegove dužine za l∆ . Pri opterećenju na zatezanje je l∆ > 0 (izduženje) , a pri opterećenju na pritisak l∆ < 0 (skraćenje).

Sl.49 Uzdužna deformacija štapa

Uzimajući u obzir Hukov zakon, dužinska deformacija (relativno izduženje) štapa iznosi:

38

Page 39: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

ll E

σε ∆= = .

Ako se u ovaj izraz uvrsti vrijednost aksijalnog napona, FA

σ = , dobije se apsolutno izduženje

štapa:

F llEA

∆ = .

Veličina EA naziva se aksijalna krutost štapa (krutost pri istezanju) i predstavlja mjeru otpora štapa deformisanju u pravcu njegove podužne ose.

U slučaju da se poprečni presjek štapa i/ili njegovo opterećenje mijenjaju skokovito, tada ukupno izduženje štapa iznosi:

1

ni i

i i i

F llE A=

∆ =∑

Sl.50 Štap promjenljivog poprečnog presjeka; temperaturno opterećenje

gdje je: il – dužina i -tog dijela štapa na kojem je iF const= i i iE A const= .

Promjena dužine štapa može nastati i zbog promjene njegove temperature za t∆ , i iznosi:

l l tα∆ = ∆

gdje je: α - koeficijent linearnog širenja [K-1], predstavlja povećanje jedinice dužine pri promjeni temperature za 1oK.

Sl.51 Temperaturno opterećenje štapa

Pri tome je linearna toplotna deformacija štapa:

tl t

lε α∆= = ∆ .

Ako je promjena dužine štapa spriječena, npr. zbog nepomičnih i krutih stijenki između kojih je štap učvršćen, tada se pojavljuje toplotno naprezanje:

t t E E tσ ε α= = ∆ .

39

Page 40: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Naprezanje u štapu je pritisno ( tσ < 0) ako se temperatura povisi ( t∆ > 0). Pri smanjenju temperature ( t∆ < 0), u štapu se pojavljuje naprezanje na istezanje( tσ >0).

Dimenzionisanje štapova ili njihova provjera za zadato opterećenje, izvodi se prema jednačinama:

1. Uslov čvrstoće maxmax d

FA

σ σ= ≤

2. Uslov krutosti max dε ε≤ .

U ovim izrazima indeks max označava najveće, a indeks d dopuštene vrijednosti.

SMICANJE

Ako na štap djeluju dvije bliske sile u pravcu okomitom na osu štapa, one nastoje da pomaknu dijelove štapa u poprečnom presjeku. Takvo opterećenje se naziva čisto smicanje, jer se uticaj savijanja izazvan spregom sila ( M F e= ⋅ ) zbog male udaljenosti sila ( e <<), može zanemariti. Prema tome, u svakoj tački poprečnog presjeka štapa pojavljuje se samo tangencijalni napron τ .

Sl.52 Opterećenje štapa na smicanje; Tangencijalni napon u presjeku

Na svakoj elementarnoj površini dA presjeka štapa, djeluje tangencijalna unutrašnja sila dF dAτ= ⋅ . Njihova rezultanta je poprečna sila Q . Uslov ravnoteže dijela štapa glasi:

0Y =∑ → 0Q F− = → A

dA Fτ =∫

Iako je rasporedjela tangencijalnog napona τ neravnomjerna po presjeku, u praksi se uzima da je constτ = , pa iz gornjeg izraza slijedi da je tangencijalni napon:

FA

τ = ili QA

τ = .

Ovaj izraz je približan, a koristi se kod dimenzionisanje ili kod provjere čvrstoće konstrukcionih elemenata izloženih čistom smicanju.

40

Page 41: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Uslov čvrstoće glasi:

dτ τ≤

gdje je dτ -dozvoljeni napon na smicanje. Uobičajeno je da se u praksi dozvoljeni napon na smicanje računa na osnovu dozvoljenog napona na zatezanjekorišćenjem približne veze:

(0,75 0,8)d dτ σ= − .

Hukov zakon pri smicanju glasi:

Gτ γ=

gdje je G -modul klizanja (za većinu čelika iznosi G =0,81⋅10-4 kN/cm2), γ -ugaona deforamcija.

Pri smicanju, kvadratni oblik napregnutog elementa zbog djelovanja tangencijalnog naprona τ poprima oblik romba, pa iz Hukovog zakona slijedi da je ugaona deformacija:

Gτγ = .

Sl.53 Smicajna (ugaona) deformacija

Pomjeranje stranice DC izvršeno je za veličinu ' 'DD CC= , klizanjem stranice DC paralelno strani AB , slika 53. Ovako opisana deformacija zove se deformacija smicanja, a odsječak

'DD predstavlja apsolutno smicanje ravni DCGF u odnosu na ravan ABEH , koje označavamo sa Sm ,

' 'Sm DD CC= = - apsolutno smicanje

Veličina apsolutnog smicanja Sm zavisi od rastojanja h između ravni smicanja, tako da za karakteristiku deformacije smicanja koristimo relativno smicanje:

'sm DDtg

h ADγ = = .

Kako je pri malim deformacijama γ mala veličina, to je tgγ γ= , tj. ugao smicanja:

smh

γ = [rad].

U tehničkoj praksi brojni su primjeri opterećenja konstrukcijskih elemenata na čisto smicanje. Tipičan primjer je spoj dijelova konstrukcija ostvaren zakovicama. Poprečni presjek zakovice

41

Page 42: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

(crtkano označen) opterećen je na smicanje i u njemu se pojavljuju tangencijalni naponi. Tijelo zakovice biće prerezano u tom presjeku, ako sila F

bude dovoljno velika.

Sl.54 Opterećenje zakovice na smicanje

Uslov čvrstoće na smicanje zakovice je:

dFA

τ τ= ≤

gdje je 2

4dA π

= - površina smicanja. Ako je spoj ostvaren sa n zakovica, tada je ukupna površina

smicanja n A⋅ .

UVIJANJE

Uvijanje štapa izazivaju momenti uvijanja (torzije) tM koji djeluju u ravnini njegovog poprečnog presjeka. Kako su u praksi najčešći štapovi kružnog poprečnog presjeka, može se uzeti da se pri uvijanju poprečni presjeci ne deformišu već se zakreću kao krute figure oko ose štapa z. To znači da se u tim presjecima pojavljuju samo tangencijalni naponi τ . Prikažimo štap koji je ukliješten na jednom kraju, a na drugom opterećen vanjskim momentom uvijanja tM . Eksperimenti pokazuju da se svaka izvodnica štapa nakon deformiranja zakreće za konstantan ugao γ , koji predstavlja ugaonu deformaciju (ugao smicanja).

Sl.55 Štap opterećen na uvijanje

Kvadrat na površini štapa poprima oblik romba, što znači da je izložen smicanju tangencijalnim naponima τ . Međusobno zakretanje krajnjih poprečnih presjeka štapa, opisuje ugao uvijanja ϕ .

42

Page 43: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Iz geometrijske analize slike 55 slijedi da je ugao smicanja:

rγ ϑ=

gdje je ddzϕϑ = - relativni ugao uvijanja (analogan sa ε kod aksijalnog opterećenja štapa).

Hukov zakon pri uvijanju glasi

G Grτ γ ϑ= = .

Iz izraza za ugao smicanja i Hukovog zakona, vidi se da deformacija γ i napon τ rastu sa porastom veličine r , tj. pri povećanju od vrijednosti nula u osi štapa (gdje je 0r = ) , do maksimalne vrijednosti na površini štapa (gdje je r R= ).

Sl.56 Tangencijalni napon na presječnoj površini štapa

Na svaku elementarnu površinu štapa dA djeluje unutrašnja sila dF dAτ= ⋅ , pa uslov ravnoteže jednog dijela štapa glasi:

0zM =∑ → 0tA

r dA Mτ⋅ − =∫

Uvrštavanjem napona G Grτ γ ϑ= = , dobije se:

tA

r G r dA Mϑ =∫ → 2t

A

G r dA Mϑ =∫

Veličina 2p

A

r dA I=∫ je polarni moment inercije površine presjeka štapa.

Sada je relativni ugao uvijanja:

t

p

MGI

ϑ =

gdje se veličina pGI naziva krutost na uvijanje (torzijska krutost).

Tangencijalni napon je:

t

p

M rI

τ = ,

Za maxr r R= = (površina štapa), slijedi veličina maksimalnog napona:

max maxt t t

p p p

M M Mr RI I W

τ = = =

gdje je: pp

IW

R= - polarni otporni moment presjeka štapa.

43

Page 44: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Na slici 57 je prikazana raspodjela napona u poprečnom presjeku štapa: a) kružni presjek, b) prstenasti presjek.

Sl.57 Raspodjela napona u poprečnom presjeku štapa

Ugao uvijanja je:

t

p

M llGI

ϕ ϑ= ⋅ = [rad].

U slučaju da se poprečni presjek štapa i/ili njegovo opterećenje mijenjaju skokovito, slika 58, vrijedi:

ti i

i pi

M lG I

ϕ =∑

gdje je: il - dužina i -tog dijela štapa, na kojem je tiM const= i i piG I const= .

Sl.58 Štap promjenljivog poprečnog presjeka

Dimenzioniranje ili provjera štapova opterećenih na uvijanje, provodi se na osnovu:

1. Uslov čvrstoće:

maxt

dp

MW

τ τ= ≤

gdje je dτ - dozvoljeni tangencijalni napon.

2. Uslov krutosti:

maxt

dp

MGI

ϑ ϑ= ≤

gdje je dϑ - dozvoljeni relativni ugao uvijanja [rad/m].

44

Page 45: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

SAVIJANJE

Štap je opterećen na savijanje kada vanjsko opterećenje djeluje u ravnini koja prolazi kroz njegovu uzdužnu osu z. Konstrukcijski element oblika štapa oslonjen o podlogu i opterećen na savijanje naziva se greda. Pri djelovanju opterećenja greda poprima zakrivljeni oblik.

Sl.59 Štap (greda) opterećen na savijanje

Ako u ravnini opterećenja djeluju samo spregovi sila, greda je opterećena na čisto savijanje. U slučaju da u ravnini djeluju i sile, radi se o savijanju silama. Razmotrimo najčešći slučaj čistog savijanja grede, kada su težišne ose x i y poprečnog presjeka, ujedno i ose simetrije grede, slika 60. Ravnina yz je ravnina opterećenja. Greda je na svojim krajevima opterećena spregovima sila momenta M .

Sl.60 Greda opterećena spregovima

Pod djelovanjem opterećenja greda se deformiše, a njena uzdužna osa prelazi u zakrivljenu liniju koja se naziva elastična linija. U ovom slučaju elastična linija ima oblik kružnog luka (poluprečnik zakrivljenosti constρ = ). Ako su deformacije male, može se pretpostaviti da poprečni presjeci grede ostaju ravni i okomiti na elastičnu liniju i nakon deformisanja. Pri tom se uzdužna vlakna na gornjoj strani grede skraćuju a na donjoj produžuju. Vlakna koja ne mijenjaju svoju dužinu leže u neutralnoj liniji, koja u poprečnom presjeku grede daje neutralnu osu (n-n). Ona se poklapa sa osom x.

Prema tome, u poprečnom presjeku grede postoje samo normalna naprezanja σ u pravcu ose grede.

45

Page 46: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Razmotrimo jedan deformisani element grede između dva bliska poprečna presjeka koja međusobno zatvaraju ugao dα .

Sl. 61 Deformacija pri savijanju

Vlakno dužine dz , na udaljenosti y od neutralne linije, produžuje se za dz∆ usljed normalnog naprezanja σ . Uzdužna deformacija toga vlakna, prema definiciji je:

dz yd ydz d

αερ α ρ

∆= = =

Prema Hukovom zakonu, napon σ iznosi:

EE yσ ερ

= =

Jednčina ravnoteže elementa grede glasi:

0xM =∑ → 0A

M dA yσ− ⋅ =∫

Uvrštavanjem napona σ iz Hukovog zakona dobije se:

A

E y dA y Mρ

⋅ =∫ → 2

A

E y dA Mρ

=∫

Veličina 2x

A

y dA I=∫ je aksijalni moment inercije poprečnog presjeka grede s obzirom na osu x

(neutralna osa).

Iz prethodnog izraza slijedi zakrivljenost elastične linije:

1

x

MEIρ

=

Veličina xEI naziva se krutost na savijanje.

Ukoliko uvrstimo izraz za zakrivljenost elastične linije u izraz za napon, dobije se:

x

M yI

σ =

Pomoću ovog izraza moguće je odrediti napon u bilo kojoj tački presjeka grede. Može se zaključiti da je raspodjela normalnog napona σ linearna po visini poprečnog presjeka. U

46

Page 47: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

tačkama neutralne ose ( 0y = ), napona nema, dok se najveći naponi pojavljuju u tačkama presjeka koje su najudaljenije od neutralne ose ( maxy y= ).

Maksimalni napon ima veličinu:

max maxx x

M MyI W

σ = =

gdje je max

xx

IWy

= aksijalni moment otpora površine oko ose x.

Raspodjela normalnih napona u poprečnom presjeku prikazana je slici 62:

Sl.62 Raspodjela napona u poprečnom presjeku grede

Kod savijanja silama, u poprečnom presjeku grede pojavljuje se i tangencijalni napon τ izazvan poprečnom silom Q . Međutim, on je u pravilu mnogo manji od normalnog napona σ , pa ga nećemo određivati.

Uslov čvrstoće na savijanje glasi:

maxmax d

x

MW

σ σ= ≤

gdje je: maxM - maksimalni moment savijanja u opasnom presjeku grede, dσ - dopušteno naprezanje na savijanje.

Elastična linija predstavlja mjeru deformacije štapa pri savijanju. Poznavanje njezinog oblika važno je pri ispitivanju krutosti ovako opterećenih konstrukcijskih elemenata.

Sl.63 Elastična linija

Jednačina elastične linije u opštem slučaju ima oblik ( )y y z= . Vertikalno pomijeranje težišta T presjeka grede u nekoj tački naziva se progib f , a ugao zakreta tangente t na elastičnu liniju

47

Page 48: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

naziva se nagib ϕ . Podaci o elastičnim linijama za različito opterećene grede, mogu se naći u tehničkim priručnicima.

Kao primjer, prikažimo konzolu dužine l koja je na slobodnom kraju opterećena silom F .

Sl.64 Konzola opterećena na savijanje

IZVIJANJE

Kod štapova opterećenih na pritisak, koji imaju relativno veliku dužinu u odnosu na dimenzije poprečnog presjeka (tzv. vitki štapovi), može doći do savijanja u stranu, odnosno izvijanja. Takvo krivljenje štapa izazvano je aksijalnom a ne poprečnom silom i predstavlja gubitak stabilnosti oblika. Gubitak stabilnosti i pored ispunjenih uslova čvrstoće i krutosti, neizbježno vodi do loma štapa. To znači da sigurnost konstrukcijskog elementa čiji deformisani ravnotežni oblik nije stabilan, zapravo i ne postoji.

Prema tome, osim čvrstoće i krutosti konstrukcije, prvorazredno značenje ima i pitanje njezine stabilnosti. Ovo je posebno izraženo u savremenim konstrukcijama, gdje se do minimuma smanjuju poprečne dimenzije zbog upotrebe otpornijih materijala i nastojanja da se težina što više smanji.

Sl.65 Štap opterećen na izvijanje

Najmanja sila pri kojoj se štap izvija, naziva se kritična sila krF , a njena veličina definisana je Ojlerovim izrazom:

2min

2kro

E IFl

π=

gdje je: minI - minimalni aksijalni moment inercije presjeka štapa (izvijanje se uvijek odvija oko ose presjeka za koju je krutost štapa najmanja, odnosno za koju je aksijalni moment inercije najmanji), ol - slobodna dužina izvijanja.

48

Page 49: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Na slici 66 su prikazani osnovni oblici i slobodne dužine izvijanja za različite načine učvršćenja štapa.

Sl.66 Neki oblici izvijanja štapa

U trenutku izvijanja štapa, kritični napon iznosi: 2

2kr

krF EA

πσλ

= =

gdje je: min

oli

λ = - bezdimenzionalna karakteristika štapa koja se naziva vitkost štapa,

minmin

IiA

= - minimalni poluprečnik inercije presjeka štapa.

Izrazi za kritičnu silu i kritični napon važe samo u elastičnom području, tj. za naprezanja kr pσ σ≤ ,gdje je pσ napon na granici proporcionalnosti, odnosno za vitkosti pλ λ> , gdje je

pp

Eλσ

= granična vitkost (npr. za čelik 100pλ ≈ ).

Sl.67 Granična vitkost štapa

Pri provjeri stabilnosti oblika, mora se voditi računa da štap ima izvjesnu sigurnost protiv izvijanja, što znači da napon mora biti manji od dopuštene vrijednosti, tj:

krd S

σσ σ≤ =

gdje je: S – koeficijent sigurnosti (stabilnosti). On zavisi od materijala, vitkosti i drugih faktora (npr. za čelik vrijedi S = 1,5 ÷ 3 i više).

49

Page 50: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

III DIO KINEMATIKA

50

Page 51: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

UVOD U KINEMATIKU

Kinematika je dio teorijske mehanike u kome se proučavaju mehanička kretanja tijela ne uzimajući u obzir njihovu masu i sile koje dejstvuju na njih. U kinematici se proučavaju geometrijska svojstva kretanja tijela, te se kinamtika naziva još i geometrijom kretanja.

Pod mehaničkim kretanjem podrazumijeva se promjena položaja koju tokom vremena jedno materijalno tijelo vrši u odnosu na drugo materijalno tijelo. Mehaničko kretanje tijela je moguće proučiti samo ako postoji drugo tijelo (posmatrač) u odnosu na koje vršimo upoređivanje, tzv. referentno tijelo. Pri proučavanju kretanja u kinematičkom smislu, referentno tijelo se uvijek može smatrati nepokretnim. Kada analitički opisujemo položaj tijela, referentno tijelo (posmatrača) predstavljamo tačkom O, a prostor u odnosu na koji se tijelo kreće prikazujemo prostornim koordinatnim sistemom (referentnim sistemom), npr. Dekartovim koordinatnim sistemom sa početkom u tački O.

Sl.68 Promjena položaja tijela u prostoru

Kretanje tačke ili tijela u odnosu na apsolutno nepokretni sistem referencije naziva se apsolutno kretanje. Kretanje tačke ili tijela u odnosu drugo pokretno tijelo naziva se relativno kretanje.

Kretanje tijela se vrši tokom vremena u prostoru, te stoga kinematika uvodi u analizu dvije veličine: dužinu (L) i vrijeme (t), a njihove osnovne jedinice su metar i sekunda.

Vrijeme u klasičnoj mehanici je pozitivna skalarna veličina koja se neprekidno mijenja i uzima se za nezavisno promjenljivu veličinu, koju obilježavamo sa t. Sve ostale veličine u kinematici se posmatraju kao funkcije vremena. Prilikom mjerenja vremena uvodimo pojam početnog trenutka vremena, određenog trenutka vremena i intervala vremena.

Početni ternutak vremena naziva se trenutak od kada počinjemo da mjerimo vrijeme, tj. od kada počinjemo da posmatramo kretanje. Obično se usvaja da je početni trenutak vremena (t0=0). Vrijeme neprestano teče i argument (t), u funkciji koga definišemo sve kinematičke veličine, je pozitivna rastuća veličina.

Određeni trenutak vremena (t) definiše se brojem sekundi koji su protekli od početnog trenutka vremena.

Interval vremena ∆t=t2−t1 naziva se vrijeme koje protekne između dvije određene pojave, tj. razlika između bilo koja dva trenutka vremena.

51

Page 52: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

U kinematici se proučava kretanje krutih tijela, tj. tijela koja ne mijenjaju svoj oblik (nepromjenljiv razmak između bilo koje dvije tačke tijela). Kretanje nekog tijela poznajemo ako poznajemo položaj svake tačke tog tijela u toku vremena kretanja. Zbog toga je potrebno prvo proučiti kretanje tačke, a zatim tijela. Stoga se i kinemtika može podijeliti na:

1. Kinematku tačke 2. Kinematku krutog tijela

Tačka u kinematičkom smislu je geometrijska tačka koja mijenja položaj u prostoru u toku vremena. Tačka može biti uočena tačka nekog tijela, npr. M1,M2, ... ili to može biti tijelo zanemarljivo malih dimenzija.

KINEMATIKA TAČKE

OSNOVNI ZADATAK KINEMATIKE TAČKE

U kinematici tačke rješavaju se dva osnovna problema: • Ustanovljavanje analitičkih postupaka za definisanje kretanja tačke u odnosu na utvrđeni

sistem referencije; • Određivanje, na osnovu zadatog zakona kretanja, svih kinematičkih karakteristika

kretanja tačke u koje spadaju: trajektorija tačke, brzina i ubrzanje tačke.

Zavisnost između proizvoljnog položaja tačke u prostoru i vremena određuje zakon kretanja tačke, pa je osnovni zadatak kinematike tačke proučavanje zakona kretanje tačke.

Putanja ili trajektorija tačke je zamišljena neprekidna linija koju opisuje pokretna tačka M u prostoru. Dio putanje između dva uzastopna polođaja tačke M naziva se pređeni put. Jednačinu putanje tačke moguće je odrediti eliminisanjem vremena (parametra t ) iz zakona kretanja tačke.

Zavisno od oblika putanje tačke, razlikuje se pravolinijsko i krivolinijsko kretanje tačke.

Proučavanje kretanja tačke vrši se u odnosu na uslovno apsoplutno nepokretni sistem referencije. Za definisanje proizvoljnog krivolinijskog kretanja tačke u prostoru najčešće se primjenjuju sljedeće tri postupka:

1. Vektorski 2. Analitički (koordinatni) 3. Prirodni

52

Page 53: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

VEKTORSKI POSTUPAK ODREĐIVANJA

PROIZVOLJNOG KRIVOLINIJSKOG KRETANJA TAČKE

Sl.69 Vektor položaja tačke M

Položaj tačke M koja se kreće potpuno je određen vektrom položaja r , čiji je početak u nekoj nepokretnoj tački O, a kraj u pokretnoj tački M. Pošto tačka M mijenja položaj u odnosu na tačku O tokom vremena, mijenja se i vektor položaja r po intenzitetu, pravcu i smjeru. Prema tome, vektor položaja r predstavlja vektorsku funkciju vremena t :

( )r r t=

koja se zove zakon kretanja tačke u vektorskom obliku ili konačna jednačina krivolinijskog kretanja tačke u vektroskom obliku. Vektor položaja r mora biti neprekidna funkcija vremena, jednoznačna i dva puta diferencijabilna.

Putanja tačke dobije se konstrukcijom geometrijskih mjesta krajeva vektora položaja r i naziva se hodograf vektora položaja r .

ANALITIČKI (KOORDINATNI) POSTUPAK ODREĐIVANJA KRETANJA TAČKE

a) Dekartov pravougli koordinatni sistem

Vektor položaja r tačke M može se predstaviti u obliku

( ) ( ) ( ) ( )r r t x t i y t j z t k= = + +

gdje su i

, j

i k

jedinični vektori osa x , y i z . Vektorskoj funkciji r odgovaraju tri skalarne funkcije

( ) ( ) ( ), ,x x t y y t z z t= = =

koje se zovu zakon kretanja ili konačne jednačine krivolinijskog kretanja tačke u Dekartovim koordinatama.

Eliminacijom parametra t iz jednačina kretanja dobija se jednačina linije putanje tačke.

53

Page 54: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

b) Polarno cilindrični koordinatni sistem. Polarne koordinate

Sl.70 Polarno-cilindrične koordinate; polarne koordinate

Položaj tačke M određen je pomoću koordinata

( ), ( ), ( )r r t t z z tϕ ϕ= = =

koje se zovu zakon kretanja ili konačne jednačine krivolinijskog kretanja tačke u polarno cilindričnim koordinatama. Rastojanje 'OM r= je polarno rastojanje i naziva se poteg, a ϕ je polarni ugao. Ako se tačka M kreće u ravni xOy , onda je položaj tačke određen koordinatama

( ), ( )r r t tϕ ϕ= =

koje se nazivaju zakon kretanja ili konačne jednačine krivolinijskog kretanja tačke u polarnim koordinatatama, i dobiju se za z=0.

PRIRODNI POSTUPAK ODREĐIVANJA KRETANJA TAČKE

Ako je poznata putanja (linija putanje tačke - hodograf vektora položaja tačke), onda je položaj tačke M potpuno određen lučnom (krivolinijskom) koordinatom s . Na putanji se uoči nepokretna tačka A, koja se uzme za referentnu tačku, i jedan smjer se usvoji kao pozitivan a drugi kao negativan. Orijentisani luk s tada jednoznačno određuje položaj tačke M na putanji. Ako se tačka kreće duž krive, onda se koordinata s mijenja tokom vremena, tj.

( )s s t= .

Ova jednačina naziva se konačna jednačina kretanja tačke po putanji ili zakon kretanja tačke po putanji.

Sl.71 Kretanje tačke po putanji - prirodni postupak

54

Page 55: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

BRZINA TAČKE

Vektor brzine tačke karakteriše promjenu vektora položaja u svakom trenutku vremena.

Sl.72 Određivanje vektora brzine tačke

Pojam brzine tačke biće objašnjen sljedećim razmatranjem. Posmatrajmo dva položaja tačke na putanji, M i M1, koji odgovaraju vremenskim trenucima t i 1t t t= + ∆ . Veličina t∆ je konačni vremenski interval u kome tačka pređe iz položaja M u položaj M1, a vektor položaja se promjeni za r∆ . Ova veličina naziva se vektorski priraštaj vektora položaja r pokretne tačke.

Vektor srednje brzine tačke je definisan količnikom:

( ) ( )1

sr

r t t r trvt t t

+ ∆ −∆= =∆ −

Vektor srednje brzine ima isti pravac i smjer kao vektor r∆ , tj. usmjeren je u smjeru kretanja tačke.

Srednja brzina tačke u nekom intervalu vremena karakteriše promejnu vektora položaja posmatranu za interval kao cjelinu, tako da na osnovu srednje brzine ne možemo ništa zaključiti o načinu promjene položaja tačke unutar intervala t∆ . Ukoliko je interval t∆ manji , utoliko srednja brzina precizinije pokazuje promjenu položaja tačke u toku vremena.

Vektor brzine tačke v u datom trenutku vremena t je veličina kojoj teži vektor srednje brzine tačke kada interval vremena teži t∆ nuli, tj. jednak je prvom izvodu vektora položaja tačke po vremenu

0 0lim limsrt t

r drv v rt dt∆ → ∆ →

∆= = = =

Daćemo fizičko tumačenje ovoj definiciji brzine: Pošto je vektor srv usmjeren duž vektora pomjeranja r∆ , to kada interval 0t∆ → onda i 0r∆ →

, tj. tačka M1 postaje beskonačno bliska

tački M, odnosno u graničnom slučaju poklapa se sa tačkom M. Pravac vektora r∆ teži pravcu luka dsT dr=

u tački M, tj. teži pravcu tangente T

na putanju u tački M.

Iz ovog slijedi: Vektor brzine v tačke u datom trenutku vremena ima pravac tangente na trajektoriju u odgovrajućoj tački , a usmjeren je u smjeru kretanja tačke.

Vektor brzine tačke pri proizvoljnom kretanju karakteriše tokom vremena promjenu vektora položaja tačke po intenzitetu, pravcu i smjeru.

55

Page 56: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Intenzitet vektora brzine jednak je intenzitetu prvog izvoda vektora položaja po vremenu

drvdt

=

a nije jednak

d rv

dt≠

.

(Pri kretanju tačke po kružnoj putanji je intenzitet vektora položaja constr =

, pa je 0=dtrd

.

Međutim, kako se mijenja pravac i smjer vektora položaja onda je brzina tačke različita od nule. )

Ako se tačka kreće tako da se vektor brzine mijenja po pravcu, onda tačka vrši krivolinijsko kretanje, a ako je vektro brzine tokom vremena konstantnog pravca, onda tačka vrši pravolinijsko kretanje.

Ako se tačka kreće tako da je vektor brzine konstantnog intenziteta, za takvo kretanje kažemo da je ravnomjerno kretanje. U suprotnom je kretanje promjenljivo.

Dimenzija brzine je

[ ] [ ][ ]

1dužinav LT

vrijeme−= =

U tehničkom sistemu mjera dimenzija brzine je metar u sekundi ms

.

UBRZANJE TAČKE

Vektor ubrzanja tačke karakteriše promjenu vektora brzine tačke u svakom trenutku.

Neka se u trenutku t tačka nalazi u položaju M određenim vektorom položaja r∆ i neka ima brzinu v , a u trenutku 1t t t= + ∆ tačka je u položaju M1 i ima brzinu 1v v v= + ∆

. Ovo znači da je u vremenskom intervalu t∆ vektor brzine tačke dobio vektorski priraštaj v∆ , koji karakteriše promjenu vektora brzine po pravcu i intenzitetu. Ako u tačku M prenesemo paralelno vektor brzine 1v i konstruišemo paralelogram u kojem je vektor 1v dijagonala, onda je jedna stranica vektorski priraštaj v∆ brzine v . Dijeljenjem vektora v∆ sa intervalom vremena t∆ , dobićemo srednje ubrzanje za interval vremena t∆ :

( ) ( )1

sr

v t t v tvat t t

+ ∆ −∆= =∆ −

Vektor srednjeg ubrzanja tačke utoliko tačnije odražava promjenu vektora brzine ukoliko je manji interval vremna t∆ .

56

Page 57: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.73 Određivanje vektora ubrzanja tačke

Vektor ubrzanja tačke u datom trenutku vremena dobijemo za granični slučaj, kada 0t∆ → ,

0 0lim limsrt t

v dva a vt dt∆ → ∆ →

∆= = = =

Kako je vektor brzine tačke jednak izvodu po vremenu vektora položaja tačke, može se napisati da je:

2

2

dv d dr d ra rdt dt dt dt

= = = =

Vektor ubrzanja tačke u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora brzine tačke po vremenu, ili drugom izvodu vektora položaja tačke po vremenu.

U opštem slučaju krivolinijskog kretanja tačke vektor ubrzanja karakteriše promjenu vektora brzine tačke tokom vremena po intenzitetu, pravcu i smjeru. Iz ovog slijedi da je ubrzanje tačke jednako nuli samo kada je brzina tačke tokom vremena konstantna po pravcu i intenzitetu, tj. u slučaju ravnomjernog pravolinijskog kretanja.

Intenzitet vektora ubrzanja jednak je intenzitetu vektora brzine po vremenu

dvadt

=

, a nije jednak d v

adt

.

(Primjer krivolinijskog kretanja kada je vektor brzine konstantan po intenzitetu a ne i po poravcu)

Dimenzija ubrzanja je

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]

22 2, .

brzina dužina ma LTvrijeme svrijeme

− = = =

57

Page 58: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

BRZINA I UBRZANJE TAČKE U DEKARTOVIM KOORDINATAMA

Sl.74 Brina tačke u Dekartovom koordinatnom sistemu

( )dr d dx dy dzv xi yj zk i j k xi yj zkdt dt dt dt dt

= = + + = + + = + +

Izvodi po vremenu jediničnih vektora jednaki su nuli.

Intenzitet brzine je:

2 2 2v v x y z= = + +

Analogno se može izvesti i ubrzanje u Dekartovim koordinatama:

( )dv d dx dy dza xi yj zk i j k xi yj zkdt dt dt dt dt

= = + + = + + = + +

Intenzitet ubrzanja je:

2 2 2a a x y z= = + +

.

58

Page 59: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

BRZINA I UBRZANJE TAČKE U PRIRODNIM KOORDINATAMA

U nekim slučajevima zgodno je prostorno kretanje tačke opisati pomoću koordinatnog sistema smještenog u tački P koji se kreće po putanji zajedno sa tačkom. To je tzv. prirodni koordinatni sistem koji ima ortogonalne jedinične vektore:

te - u smjeru tangente,

ne - u smjeru glavne normale,

be - u smjeru binormale.

Jedinični vektori u ovom redosljedu određuju desni koordinatni sistem. Tangenta i glavna normala određuju ravninu (oskulatornu ravan) u kojoj je i trenutna zakrivljenost krive. Jedinični vektor glavne normale ne uvijek je usmjeren ka lokalnom središtu (centru) zakrivljenosti. Putanja tačke u položaju P ima lokalnu zakrivljenost ρ , koju nazivamo poluprečnik krivine putanje u tački. Često se ovaj poluprečnik zakrivljenosti označava i sa kR .

Položaj tačke na putanji određen je dužinom luka s (podsjetimo, ( )s s t= je zakon kretanja tačke po putu), a vektor položaja tačke P je u tom slučaju ( )( )r r s t=

.

Sl.75 Definisanje kretanja tačke pomoću prirodnih koordinata

Brzina tačke je po definiciji promjena vektora položaja u datom trenutku vremena

dr dr dsvdt ds dt

= = ⋅

Priraštaj vektora položaja, dr , ima pravac tangente na putanju tačke i za beskonačno male pomake tačke vrijedi da je dr ds=

, tako da je:

t tdr dr e ds e= ⋅ = ⋅

⇒ tdr eds

=

Vektor brzine tačke sada je:

t tdr ds dsv e seds dt dt

= ⋅ = =

59

Page 60: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Intenzitet vektora brzine je

dsv v sdt

= = =

.

Ako je poznat intenzitet brzine tačke, moguće je odrediti krivolinijsku koordinatu s iz

( )0

0

t

t

s v t dt s= +∫ .

Ubrzanje tačke definiše promjenu brzine u određenom trenutku vremena

( ) tt t

dedv d dva ve e vdt dt dt dt

= = = +

.

Kako jedinični vektor te mijenja svoj pravac tokom vremena ( kreće se zajedno sa tačkom, tj. prirodne koordinate kreću se zajedno sa tačkom), vrijedi da je:

tn n

de s ve edt ρ ρ

= =

.

Vektor ubrzanja tačke sada je 2

t n t n t ndv v dv va e v e e e a adt dtρ ρ

= + = + = + .

Ubrzanje tačke određeno je vektorskim zbirom dviju komponenata od kojih je jedna usmejrena duž tangente na putanju tačke, a druga duž glavne normale i uvijek ima smjer prema središtu zakrivljenosti (usmjerena u konkavnu stranu putanje ka centru krivine).

Intenzitet vektora ubrzanja je

2 2t na a a= + .

Komponenta ubrzanja usmjerena duž tangente naziva se tangencijalno (tangentno) ubrzanje tačke i ima intenzitet

2

2tdv d sa sdt dt

= = =

a komponenta usmjerena duž normale naziva se normalno ubrzanje i ima intenzitet 2 2

nv saρ ρ

= =

.

Tangencijalno ubrzanje karakteriše promjenu brzine tačke po intenzitetu, a normalno ubrzanje karakteriše promjenu pravca vektora brzine.

Vektor ubrzanja tačke leži u ravni vektora te i ne , tj. u oskulatornoj ravni.

60

Page 61: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Poseban slučaj kretanja tačke po kružnoj putanji

Sl.76 Brzina i ubzanje tačke koja se kreće po kružnici

Pri kretanju tačke po kružnici dužina luka s kojeg opiše pokretna tačka može se iskazati proizvodom poluprečnika r kružnice i ugla ϕ koji je u opštem slučaju funkcija vremena t ,

( )tϕ ϕ= ,

s rϕ=

Kako je poluprečnik zakrivljenosti kružnice r constρ = = , onda je intenzitet brzine tačke

( ) ϕ=ϕ

=ϕ=== rdtdrr

dtd

dtdssv .

Vektor ubrzanje tačke 2

2t n t n t n

sa a a se e r e r er

ϕ ϕ= + = + = +

.

Intenziteti tangentne i normalne komponente ubrzanja su 2

t na r a rϕ ϕ= = .

NEKI PRIMJERI PRAVOLINIJSKOG I KRIVOLINIJSKOG KRETANJA TAČKE

a) Ravnomjerno (jednoliko) kretanje tačke

61

Page 62: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

b) Ravnomjerno promjenljivo - ubrzano - kretanje tačke (ubrzanje 0⟩=dtdva )

c) Ravnomjerno promjenljivo – usporeno - kretanje tačke (ubrzanje 0⟨=dtdva )

d) Kružno kretanje tačke

e) Harmonijsko kretanje tačke

62

Page 63: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

KINEMATIKA KRUTOG TIJELA

ODREĐIVANJE POLOŽAJA KRUTOG TIJELA U PROSTORU

Pod krutim tijelom u mehanici se podrazumijeva tijelo koje ne mijenja svoj geometrijski oblik.

Pod položajem krutog tijela u prostoru podrazumijeva se položaj svih tačaka tijela u odnosu na utvrđeni sistem referencije. S obzirom da su kod krutog tijela uzajamna rastojanja tačaka nepromjenljiva , moguće je položaj bilo koje tačke krutog tijela pri njegovom kretanju jednoznačno odrediti ako je poznato odstojanje te tačke od ostalih tačaka tijela.

Iz geometrije je poznato da je položaj krutog tijela u prostoru određen položajima tri nekolinearne tačke tog tijela. Pri kretanju krutog tijela, položaj svih tačaka tijela u odnosu na tačke A, B i C jednoznačno je određen i stoga je za definisanje položaja krutog tijela u prostoru dovoljno da se zna položaj tri nekolinearne tačke A, B i C tijela. Odavde slijedi da ako je poznat položaj tri nekolinearne tačke krutog tijela, onda je moguće odrediti položaj ma koje tačke tijela za vrijeme kretanje tijela u prostoru.

Položaj slobodnog krutog tijela pri kretanju u prostoru u odnosu na proizvoljni sistem referencije određen je sa šest nezavisnih parametara (svakoj tački odgovaraju tri nezavisna parametra-koordinate; od devet parametara koji definišu položaj tri tačke treba oduzeti tri jednačine veze između tih tačaka-rastojanja između tačaka koja su nepromjenljiva; na taj način ostaje šest nezavisnih parametara).

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 21

2 2 2 22

2 2 2 23

B A B A B A

C B C B C B

C A C A C A

x x y y z z l

x x y y z z l

x x y y z z l

− + − + − =

− + − + − =

− + − + − =

Sl.77 Definisanje položaja tijela u prostoru

Ako se uoči bilo koja tačka M krutog tijela, njene koordinate takođe moraju zadovoljiti ovakve jednačine, kojim se izražava nepromjenljivost rastojanja tačke M od tačaka A,B i C.

Broj nezavisnih parametara, pomoću kojih se može jednoznačno odrediti položaj krutog tijela u prostoru u odnosu na proizvoljno izabrani sistem referencije, naziva se broj stepeni slobode krutog tijela.

Broj stepeni slobode krutog tijela ili tačke označava broj nezavisnih kretanja koje tijelo ili tačka može da izvodi u prostoru.

Tačka ima tri stepena slobode, jer njen položaj pri kretanju u prostoru određuju tri nezavisne koordinate: x, y i z. Slobodno kruto tijelo u prostoru ima šest stepeni slobode kretanja, jer ga određuje šest nezavisnih parametara. To znači da može da izvodi šest nezavisnih kretanja: tri translatorna pomjeranja u pravcu tri ose i tri obrtanja oko tri međusobno upravne ose.

63

Page 64: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Položaj krutog tijela u prostoru može biti određen preko nezavisnih parametara koje nazivamo generalisane (opšte) koordinate. Generalisane koordinate tijela ili tačke su nezavisni parametri pomoću kojih se može jednoznačno odrediti položaj tijela u svakom trenutku vremena u odnosu na izabrani sistem referncije.

Osnovna kretanja krutog tijela su translatorno i obrtno kretanje. Iz ovih osnovnih kretanja sastoje se sva ostala kretanja djelimično vezanih (neslobodnih) krutih tijela.

Izvršeno je klasificiranje kretanja krutog tijela na:

1) Translatorno kretanje 2) Obrtanje oko nepokretne ose 3) Ravno kretanje 4) Obrtanje oko nepokretne tačke 5) Opšte kretanje 6) Složeno kretanje

Sl.78 Klasificiranje kretanja krutog tijela

Translatorni dio kretanja definiše se zakonima kretanja neke uočene tačke tijela (pol na slici označen sa A), a obrtni dio kretanja se definiše uglovima obrtanja oko osa. Na slici su prikazani primjeri kretanja krutog tijela i odgovarajući broj koordinata koje definišu broj stepeni slobode kretanja za dati tip kretanja tijela: a) ravno kretanje krutog tijela, b) sferno kretanje krutog tijela, c) obrtanje tijela oko nepokretne ose, d) translatorno kretanje krutog tijela.

Osnovni zadaci kinematike krutog tijela analogni su zadacima kinematike tačke:

1) Utvrđivanje matematičkih metoda za definisanje položaja krutog tijela pri kretanju u prostoru u odnosu na izabrani sistem referencije

2) Određivanje kinematičkih karakteristika krutog tijela kao cjeline i svake tačke tijela posebno na osnovu poznatih jednačina kretanja tijela.

64

Page 65: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

TRANSLATORNO KRETANJE KRUTOG TIJELA

Translatorno kretanje krutog tijela je takvo kretanja pri kojem se prava ili duž nepromjenljivo vezana sa tijelom pomjera zajedno sa njim tako da uvijek ostaje samoj sebi paralelna.

Putanje svih tačaka su istovjetne (identične) linije, samo međusobno pomjerene u prostoru.

Sl.79 Translacija krutog tijela

Ako je poznat početni položaj tijela onda se cjelokupno kretanje tijela mođe izučiti preko kretanja samo jedna tačke-pola. Ako se zna poloažaj tačke A u svakom trenutku vremena, položaj bilo koje tačke, npr.B, određuje se pomoću vektora

B Ar r ρ= +

gdje je vektor položaja ABρ = konstantnog intenziteta i pravca.

Brzina tačke B je

( )B AB A

dr drd dv rdt dt dt dt

ρρ= = + = +

Kako je vektor položaja ABρ = konstantnog intenziteta i pravca, slijedi da je 0d

dtρ=

, pa je

B Adr drdt dt

=

⇒ B Av v= .

Diferenciranjem brzine po vremenu dobije se

B Adv dvdt dt

=

⇒ B Aa a= .

Prema tome, pri translatornom kretanju krutog tijela sve tačke tijela se kreću na isti način, imaju iste putanje, vektore brzina i vektore ubrzanja.

Translatorno kretanje tijela u potpunosti je određeno kretanjem samo jedne, proizvoljne njegove tačke.

U zavisnosti od oblika putanje tačke translacija može biti pravolinijska i krivolinijska.

65

Page 66: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

OBRTANJE (ROTACIJA) KRUTOG TIJELA OKO NEPOKRETNE OSE

Obrtanje krutog tijela oko nepokretne ose je takvo kretanje tijela pri kome bilo koje dvije tačke tijela ostaju za vrijeme kretanja nepokretne.

Sl.80 Rotacija tijela oko nepokretne ose

Nepokretne su i sve ostale tačke koje se nalaze na pravoj liniji koja prolazi kroz te dvije tačke i koja se naziva obrtna osa. Sve ostale tačke tijela opisuju kružne putanje koje leže u ravnima okomitim na obrtnu osu i čiji su centri na obrtnoj osi

Položaj tijela pri obrtanju određen je uglom obrtanja ϕ, koji se mjeri od referentne vertikalne nepokretne ravni I i koji se neprekidno mijenja tokom vremena.

Zakon obrtanja tijela oko nepokretne ose iskazuje jednačina

( )tϕ ϕ= .

Položaj krutog tijela kao cjeline pri obrtanju oko nepokretne ose određen je sa jednim nezavisnim parametrom, uglom obrtanja, tako da tijelo ima jedan stepen slobode kretanja.

UGAONA BRZINA I UGAONO UBRZANJE TIJELA

Kinematičke karakteristike tijela kao cjeline pri njegovom obrtanju oko nepokretne ose su ugaona brzina ω i ugaono ubrzanje ε.

Srednja ugaona brzina je definisana za interval vremena ∆t=t2-t1 sa

( ) ( )2 1

2 1sr

t tt t t

ϕ ϕϕω−∆

= =∆ −

66

Page 67: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

dok je ugaona brzina tijela u datom trenutku vremenat veličina kojoj teži srednja ugaona brzina kada interval vremena teži nuli:

0lim

t

dt dtϕ ϕω ϕ

∆ →

∆= = =

Ugaona brzina ω krutog tijela koje se obrće oko nepokretne ose jednaka je po intenzitetu prvom izvodu ugla obrtanja po vremenu.

Dimenzija ugaone brzine je

[ ] [ ][ ]

11ugao radijan svrijeme sekund s

ω −= = = =

Srednje ugaono ubrzanje je definisano za interval vremena ∆t=t2-t1 sa

( ) ( )2 1

2 1sr

t tt t t

ω ωωε−∆

= =∆ −

dok je ugaono ubrzanje tijela u datom trenutku vremenat veličina kojoj teži srednje ugaono ubrzanje kada interval vremena teži nuli:

0lim

t

dt dtω ωε ω

∆ →

∆= = =

∆ , ili

2

2

d ddt dtω ϕε ϕ= = =

Ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose u datom trenutku vremena po intenzitetu je jednako prvom izvodu po vremenu ugaone brzine ili drugom izvodu po vremenu ugla obrtanja tijela.

Dimenzija ugaonog ubrzanja je

[ ] [ ][ ]

22

ugaona brzina radijan svrijeme s

ε −= = =

Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tijela koje se obrće oko nepokretne ose jesu vektorske veličine.

Pravac vektora ugaone brzine ω određen je pravcem nepokreten (obrtne) ose. Vektor ω je usmjeren duž obrtne ose u onu stranu iz koje se vidi obrtanje krutog tijela u smjeru suprotnom od obrtanja kazaljke na satu. Ako je ω ϕ= >0, onda je obrtanja pozitivno, tj.obrtanje se vrši u smjeru suprotnom od obrtanja kazaljke na satu. Ako je ω ϕ= <0, onda je obrtanja negativno, tj.obrtanje se vrši u smjeru obrtanja kazaljke na satu.

Vektor ugaonog ubrzanja ε takođe je usmjeren duž obrtne ose. Ako je ε ω= >0, vektori ω i ε imaju isti smjer. Ako je ε ω= <0, vektori ω i ε imaju različit smjer.

67

Page 68: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

BRZINE TAČAKA TIJELA KOJE SE OBRĆE OKO NEPOKRETNE OSE

(Pogledati kinematiku tačke, kretanje tačke definisano prirodnim postupkom - specijalni slučaj kretanja tačke po kružnoj putanji.)

Pri rotaciji tijela oko nepokretne ose sve tačke tijela opisuju kružne putanje, koje leže u ravninama okomitim na osu rotacije. Radijalni pravci svih tačaka tijela prelaze u jednakom vremenu jednak uglao ϕ .

Ako se uoči proizvoljna tačka na rastojanju r od obrtne ose (r je poluprečnik kružne putanje te tačke), tada se zakon kretanja tačke po kružnoj putanji može iskazati izrazom ( )s r tϕ= , a intenzitet brzine tačke određen je sa

( )ds d dv r r r rdt dt dt

ϕϕ ϕ ω= = = = = .

Sl.81 Vektor brzine tačke M tijela koje rotira oko nepokretne ose

Brzina tačke M tijela određena ovim izrazom naziva se obimna (obrtna) ili linearna brzina tačke.

Ugaona brzina ω je kinematička karakteristika tijela kao cjeline (jednaka za sve tačke tijela), pa su brzine pojedinih tačaka tijela pri obrtanju oko nepokretne ose proporcionalne rastojanjima tih tačaka od nepokretne ose.

Tačke tijela koje leže na nepokretnoj osi su nepokretne, tj. brzine su im jednake nuli.

68

Page 69: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

UBRZANJA TAČAKA TIJELA KOJE SE OBRĆE OKO NEPOKRETNE OSE

(Pogledati kinematiku tačke, kretanje tačke definisano prirodnim postupkom-specijalni slučaj kretanja tačke po kružnoj putanji.)

Ukupno ubrzanje neke tačke M tijela koj se obrće oko nepokretne ose može se razložiti na tangentnu i normalnu komponentu.

2 2 2 4T Na a a r ε ω= + = +

( )2

2

2 2 22 2

T

Nk

dv d d da r r r r rdt dt dt dtv ra r rR r

ω ϕω ϕ ε

ϕ ϕ ω

= = = = = =

= = = =

Sl.82 Vektor ubrzanja tačke M tijela koje rotira oko nepokretne ose

Na sljedećim slikama prikazani su slučajevi: a) ubrzanog obrtanja, b) usporenog obrtanja tijela oko nepokretne ose.

Sl.83 Brzina i ubrzanje tačke pri: a)ubrzanom kretanju, b) usporenom kretanju

69

Page 70: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

RAVNO KRETANJE KRUTOG TIJELA

JEDNAČINE RAVNOG KRETANJA KRUTOG TIJELA

Ravno kretanje krutog tijela je takvo kretanje pri kome se sve tačke tijela kreću paralelno prema nekoj nepokretnoj ravni Π, odnosno kada su vektori brzina svih tačaka tijela paralelni prema nekoj nepokretnoj ravni Π.

Sl.84 Ravno kretanje krutog tijela; koordinate koje određuju položaj tijela

Sve tačke tijela koje leže na pravoj M1MM2 koja je upravna na nepokretnoj ravni Π kreću se na isti način, tj. imaju jednake trajektorije , brzine i ubrzanja. Zbog toga je dovoljno proučiti kretanje presjeka S tog tijela u ravni xOy koja je paralelna sa nepokretnom ravni Π. Presjek S zovemo ravna figura.

Položaj presjeka S u ravni xOy je u potpunosti određen ako se zna položaj dvIju tačaka, A(xA,yA) i B(xB,yB), tog presjeka u odnosu na Dekartov sistem referencije. Pošto je rastojanje između tačaka A i B nepromjenljivo, tj.

( ) ( )2 2 2B A B Ax x y y l− + − =

to su od četiri koordinate tačaka A i B samo tri nezavisne, a četvrta se određuje iz prethodne jednačine.

Ravno kretanje tijela određeno je sa tri nezavisna parametra (koordinate), što znači da tijelo ima tri stepena slobode, tj. može da izvodi tri nezavisna kretanja: dvije translacije duž osa x i y i jednu rotaciju oko ose upravne na ravan presjeka S (ravne figure).

Konačne jednačine ravnog kretanja krutog tijela su

( ) ( ) ( ), ,A A A Ax x t y y t tϕ ϕ= = =

Prve dvije jednačine određuju translatorno kretanje tijela (translacija pola A), a treća jednačina određuje obrtanje tijela oko ose koja prolazi kroz proizvoljno izabran pol (pol A) u ravni figure S a upravna je na ravan figure.

70

Page 71: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

RAZLAGANJE RAVNOG KRETANJA KRUTOG TIJELA NA TRANSLATORNO I OBRTNO KRETANJE

Pri prelasku ravne figure S iz jednog u drugi položaj (iz položaja I u položaj II), možemo ravno kretanje razložiti na translatorno i obrtno kretanje: figuru najprije pomjerimo translatorno tako da se tačka A (pol) poklopi sa tačkom A1, a potom izvršimo rotaciju figure za ugao ϕ oko ose koja prolazi kroz tačku A1 (obrtanje oko pola).

Sl.85 Razlaganje ravnog kretanja na translatorno i obrtno kretanje

Kinematičke karakteristike tijela kao cjeline pri ravnom kretanju tijela su:

• vektor brzine Av pola A i vektor ubrzanja Aa pola A pri translatornom kretanju ravne figure;

• vektor ugaone brzine rkω i vektor ugaonog ubrzanja rkε obrtanja tijela oko ose koja prolazi kroz pol A (ugaona brzina i ugaono ubrzanje ravnog kretanja).

Sa promjenom pola ravne figure mijenjaju se kinematičke karakteristike translatornog kretanja tijela, dok ugaone karakteristike koje karakterišu obrtno kretanje ostaju nepromjenjene (ne zavise od izbora pola).

BRZINA TAČKE TIJELA KOJE VRŠI RAVNO KRETANJE

Brzina proizvoljne tačke M ravne figure određena je sa

( ) AM AM A A M

dr drd dv r v vdt dt dt dt

ρρ= = + = + = +

Veličina AM

d vdtρ=

je brzina koju tačka M ima usljed obrtanja ravne figure S oko ose koja prolazi

kroz pol A a upravna je na ravan figure S, i ova brzina se naziva obrtna brzina tačke M u odnosu na pol A.

Intenzitet vektora AMv obrtne brzine tačke M u odnosu na pol A je:

AM rk rkv AMω ρ ω= = ,

a pravac vektora obrtne brzine AMv je okomit na vektor AMρ =

.

Intenzitet obrtne brzine neke tačke tijela je srazmjeran rastojanju te tačke od usvojenog pola, a smjer vektora brzine zavisi od smjera ugaone brzine ravnog kretanja.

71

Page 72: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.86 Vektor brzine tačke M krutog tijela koje se ravno kreće

TEOREMA O PROJEKCIJAMA VEKTORA BRZINA TAČAKA RAVNE FIGURE

Projekcije brzina dviju tačaka ravne figure, A Bv i v , na pravu koja spaja te dvije tačke, jednake su jedna drugoj.

Brzina tačke B određena je izrazom A

B A Bv v v= +

Projektovanjem ove jednačine na pravac prave AB, uzimajući u obzir da je A

Bv AB⊥ , dobije se izraz

cos cosB Av vβ α=

koji potvrđuje teoremu.

Sl.87 Teorema o projekcijama brzina

TRENUTNI POL BRZINA RAVNE FIGURE

Pri ravnom kretanju krutog tijela u svakom trenutku vremena postoji u ravni figure (S) jedna tačka čija je brzina jednaka nuli i ta se tačka naziva trenutni pol brzina ravne figure S.

Neka su u trenutku t brzine tačaka A i B, A Bv i v , pri čemu vektori brzina nisu međusobno

paralelni. Tačka Pv ravne figure (S) koja je određena presjekom pravih 1AA i 1BB , pri čemu su ove prave upravne na vektore brzina A Bv i v respektivno, ima u datom trenutku t brzinu jednaku nuli 0Pvv =

i to je trenutni pol brzina ravne figure (S) za dati trenutak t.

72

Page 73: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.88 Određivanje trenutnog pola brzina

Pri kretanju ravne figure (S) položaj trenutnog pola brzina Pv se stalno mijenja i svakom trenutku vremena odgovara poseban položaj pola brzina ravne figure (S) , pa se stoga naziva trenutni pol brzina.

Određivanje brzina tačaka ravne figure pomoću trenutnog pola brzina

Brzina bilo koje tačke ravne figure (S) u datom trenutku vremena jednaka je obrtnoj brzini tačke koju ona ima pri obrtanju ravne figure (S) oko ose koja prolazi kroz trenutni pol brzina Pv, a upravna je na ravan figure.

Iz definicije brzine proizvoljne tačke ravne figure, ukoliko se za pol uzme trenutni pol brzina, slijedi

,Pv PvA Pv A B Pv Bv v v v v v= + = +

Kako je 0Pvv = , slijedi da je ,Pv Pv

A A B Bv v v v= = , a intenziteti ovih brzina su određeni izrazima

,A v rk B v rkv AP v BPω ω= = .

Intenzitet brzine bilo koje tačke ravne figure (S) jednak je proizvodu iz rastojanja tačke od trenutnog pola brzina (trenutnog poluprečnika obrtanja) i ugaone brzine ravnog kretanja krutog tijela.

Trenutna vrijednost ugaone brzine obrtanja ravne figure (S) određena je sa

CA B Mrk

v v v v

vv v vAP BP CP MP

ω = = = = = .

Sl.89 Neki primjeri određivanje trenutnog pola brzina ravne figure

73

Page 74: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

UBRZANJA TAČAKA KRUTOG TIJELA KOJE VRŠI RAVNO KRETANJE

Sl.90 Vektor ubrzanja tačke M pri ravnom kretanju tijela

Ubrzanje proizvoljne tačke M ravne figure (S) dobićemo diferenciranjem po vremenu vektora brzine te tačke

( )A

AM A MM A M

dv dv dvda v vdt dt dt dt

= = + = +

2 22 2

2 2 2 2( ) AM AM A A M

d r d rd da r a adt dt dt dt

ρρ= = + = + = +

.

Ubrzanje AMa je ubrzanje tačke M koje ona ima usljed obrtanja ravne figure (S) oko ose koja

prolazi kroz pol A a upravna je na ravan figure (S), i naziva se obrtno ubrzanje tačke M oko pola A.

Ubrzanje bilo koje tačke M ravne figure (S) jednako je vektorskom (geometrijskom) zbiru ubrzanja tačke A koja je uzeta za pol i obrtnog ubrzanja tačke M oko pola A pri njenom obrtanju sa telom oko ose koja prolazi kroz pola A a upravna je na ravan figure (S).

Pošto se pri obrtnom kretanju ravne figure (S) tačka M kreće po kružnoj putanji, čiji se centar nalazi u polu A koji tada smatramo da miruje, to se obrtno ubrzanje A

Ma tačke M može izraziti u obliku vektorskog zbira dvije komponente ubrzanja: jedne usmjerene duž normale, a druge usmjerene duž tangente na kružnu putanju, tj.

A A AM MN MTa a a= +

Komponenta AMNa naziva se obrtno normalno ubrzanje tačke M oko pola A, a komponenta

AMTa naziva se obrtno tangentno ubrzanje tačke M oko pola A.

Vektor obrtnog tangentnog ubrzanja, AMTa , usmjeren je po tangenti na kružnu putanju pri

obrtnom kretanju tačke M, tj. uvijek je okomit na vektor AM

( MTa AM⊥ ) i ima smjer obrtanja

koji odgovara smjeru ugaonog ubrzanja ravnog kretanja.

Vektor obrtnog normalnog ubrzanja tačke M oko pola A usmjeren je po normali na kružnu putanju pri obrtnom kretanju tačke M, tj. ima pravac na vektora MA

( MNa MA

) i smjer od

tačke M ka polu A.

74

Page 75: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Intenziteti ovih komponenata su 2

MN rk

MT rk

a AM

a AM

ω

ε

=

=

tako da je intenzitet obrtnog ubrzanja AMa

( ) ( )2 2 4 2A A AM MN MT rk rka a a AM ω ε= + = +

a ugao koji vektor AMa gradi sa vektorom AM

određen je sa

2 2

AMT rk rkAMN rk rk

atg arc tg

aε ε

α αω ω

= = ⇒ = .

SLOŽENO KRETANJE TAČKE

RELATIVNO, PRENOSNO I APSOLUTNO KRETANJE TAČKE

Sl.91 Složeno kretanje tačke

Neka se tačka M kreće po tijelu za koje je čvrsto vezan sistem referencije Oξηζ i neka se istovremeno tijelo proizvoljno kreće u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz , tj. pokretni sistem referencije Oξηζ kreće se na proizvoljan način u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz.

Kretanje tačke M u odnosu na pokretni sistem referencije Oξηζ (pokretno tijelo) naziva se relativno kretanje tačke.

Kretanje tačke M u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz (nepokretno tijelo) naziva se apsolutno kretanje tačke ili složeno kretanje tačke.

Kretanje pokretnog sistema referencije Oξηζ (pokretno tijelo) u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz (nepokretno tijelo) naziva se prenosno kretanje.

75

Page 76: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

U vezi sa složenim kretanjem tačke uvodi se pojam apsolutne, relativne i prenosne brzine tačke i pojam apsolutnog, relativnog i prenosnog ubrzanja tačke.

Apsolutna brzina v i apsolutno ubrzanje a tačke M su brzina i ubrzanje koje tačke M ima pri kretanju u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz.

Relativna brzina rv i relativno ubrzanje ra tačke M su brzina i ubrzanje koje tačke M ima pri razmatranjuu kretanja tačke u odnosu na pokretni sistem referencije Oξηζ.

Prenosna brzina pv i prenosno ubrzanje pa tačke M su apsolutna brzina i apsolutno ubrzanje

one tačke pokretnog tijela za koje je čvrsto vezan pokretni sistem referencije Oξηζ sa kojom se u datom trenutku vremena poklapa pokretna tačka M.

APSOLUTNA BRZINA TAČKE

Položaj tačke M u odnosu na nepokretni sistem referencije O1xyz određen je vektorom položaja:

M O M Or r r e e eξ η ζρ ξ η ζ= + = + + +

gdje je: Or - vektor položaja tačke O (ishodišta pokretnog sistema referencije) u odnosu na O1

- vektor položa tačke M u odnosu na tačku O (relativni položaj tačke M)

ξ, η, ζ - projekcije vektora Mρ

u pravcu koordinatnih osa pokretnog sistema

, ,e e eξ η ζ - jedinični vektori koordinatnih osa pokretnog referentnog sistema,

pri čemu su promjenljive ne samo veličine Or i ξ, η, ζ, već i jedinični vektori , ,e e eξ η ζ

koji mijenjaju pravac prilikom obrtanja pokretnog sistema referencije oko pola O.

Apsolutna brzina tačke M jednaka je prvom izvodu po vremenu vektora položaja Mr tačke M:

OM MM

drdr dv vdt dt dt

ρ= = = +

Nakon nalaženja derivacija po vremenu vektora Or i Mρ

, apsolutna brzina tačke je:

p rv v v= +

gdje je: pv - prenosna brzina tačke (prenosna brzina tačke M predstavlja brzinu tačke M pod pretpostavkom da tačka M ne vrši relativno kretanje u odnosu na pokretno tijelo -pokretni sistem referencije, već je tačka čvrsto vezana za pokretno tijelo i kreće se zajedno sa njim u odnosu na nepokretni sistem referencije).

rv - relativna brzina tačke (predstavlja brzinu tačke M pod pretpostavkom da se mijenjaju samo relativne koordinate , ,ξ η ζ , dok ostali vektori ostaju konstantni, tj. pretpostavlja se da pokretni sistem referencije uslovno miruje)

Apsolutna brzina tačke pri njenom složenom kretanju jednaka je vektorskom zbiru prenosne i relativne brzine.

76

Page 77: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

APSOLUTNO UBRZANJE TAČKE

Apsolutno ubrzanje tačke M pri složenom kretanju tačke određeno je prvim izvodom po vremenu vektora apsolutne brzine tačke M, te nakon određivanja derivacija po vremenu svih komponenata brzine dobije se:

( )p r p r cordv da v v a a adt dt

= = + = + +

gdje je: pa - prenosno ubrzanje tačke (prenosno ubrzanje tačke M može se odrediti ako zamislimo da tačka M ne vrši relativno kretanje, već je čvrsto vezana za pokretno tijelo, tako da su relativna brzina i relativno ubrzanje jednaki nuli)

ra - relativno ubrzanje tačke (ono karakteriše promjenu relativne brzine rv pod pretpostavkom da pokretni sistem referencije miruje)

cora - Koriolisovo ubrzanje ( ovo ubrzanje definisano je sa 2cor p ra vω= × , tj, dvostrukim

vektorskim proizvodom vektora ugaone brzine prenosnog kretanja i vektore relativne brzine tačke; intenzitet ovog ubrzanja je ( )2 sin ,cor p r p ra v vω ω=

).

Apsolutno ubrzanje tačke pri njenom složenom kretnaju jednako je vektorskom zbiru prenosnog, relativnog i Koriolisovog ubrzanja.

Sl.93 Koriolisovo ubrzanje

Pošto u opštem slučaju vektori prenosnog, relativnog i Koriolisovog ubrzanja nisu međusobno upravni, intenzitet apsolutnog ubrzanja tačke M moguće je odrediti ako se nađu projektcije vektora apsolutnog ubrzanja na tri upravne ose

x px rx corx

y py ry cory

z pz rz corz

a a a aa a a aa a a a

= + +

= + +

= + +

pa je tada

2 2 2x y za a a a= + + .

77

Page 78: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

IV DIO DINAMIKA

78

Page 79: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

UVOD U DINAMIKU

OSNOVNI POJMOVI I ZAKONI DINAMIKE Dinamika je dio teorijske mehanike u kojem se izučavaju zakoni kretanja meterijalnih tijela pod dejstvom sila. Dinamiku možemo podijeliti na:

• Dinamiku materijalne tačke (Ako se dimanzije tijela pri kretanju mogu zanemariti, onda kažemo da je u pitanju materijalna tačka, koja se razlikuje od geometrijske tačke time što ima konačnu masu.)

• Dinamiku sistema materijalnih tačaka i krutog tijela (Pod materijalnim sistemom podrazumijeva se sistem materijalnih tačaka, koje zahvaljujući postojanju veza između tačaka ne mogu da se kreću nezavisno jedna od druge. Ako su mase u nekom dijelu prostora neprekidno raspoređene, tada tačaka ima beskonačno mnogo i sistem obrazuje neprekidnu sredinu, a oblast prostora ispunjena neprekidno raspoređenom masom predstavlja metrijalno tijelo. Kruto tijelo je ono koje pod dejstvom sila ne mijenja svoj oblik i dimenzije.)

Osnovni zakoni dinamike:

Formulisao ih je Njutn 1687. godine u svom djelu „Matematički osnovi prirodne filozofije“ i ti zakoni su nazvani Njutnovi zakoni ili zakoni kretanja. Njutnovi zakoni su objektivni zakoni prirode, ustanovljeni na osnovu opažanja i eksperimenata.

Prvi Njutnov zakon - zakon inercije: Materijalna tačka (tijelo) ostaje u stanju mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja, dok pod djelovanjem sile ne bude prinuđena da to svoje stanje promjeni. Ovim se definiše inertnost tijela. Ako se tijelo ne kreće ravnomjerno i pravolinijski, onda se ono nalazi pod dejstvom drugih materijalnih tijela, a ovo dejstvo u mehanici predstavlja silu. Količinska mjera mehaničkog uzajamnog dejstva materijalnih tijela naziva se sila. Ipak, kao mjera mehaničkog kretanja uzima se količina kretanja, tj. proizvod vektora brzine i mase tijela, K mv=

. I Njutnov zakon može se iskazati i na ovaj način:

Ako na materijalnu tačku ne djeluje nikakva sila onda je količina kretanja te materijalne tačke konstanta, K mv const= =

, tj. tačka se kreće konstantnom brzinom.

Drugi Njutnov zakon - osnovni zakon dinamike:

a) Brzina promjene količine kretanja materijalne tačke (tijela) jednaka je po intenzitetu, pravcu i smjeru sili koja dejstvuje na materijalnu tačku ( tijelo).

( )dK d mv Fdt dt

= =

.

Ovaj zakon Njutn je iskazao jednačinom: ( ) ( )0 0m v v F t t− = − .

Ojler je dijeljenjem jednačine sa ( )0t t− i prelaženjem na graničnu vrijednost dobio

0

0

lim v vm ma Ft t−

= =−

i iskazao II Njutnov zakon u obliku: b) Promjena kretanja proporcionalna je sili i vrši se u pravcu sile, tj. intenzitet sile koja

dejstvuje na meterijalnu tačku srazmjeran je masi i intenzitetu njenog ubrzanja, dok se pravac i smjer sile i ubrzanja poklapaju

( )d mv Fdt

= odnosno ma F=

79

Page 80: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl. 94 Promjena kretanje tačke u pravcu djelovanja sile

Ova jednačina je na snazi samo u odnosu na inercijalni sistem referencije, tj. koordinatni sistem koji je nepokretan ili se pomjera translatorno konstantnom brzinom (koordinatni početak vrši jednoliko pravolinijsko kretanje).

Treći Njutnov zakon - zakon dejstva i protivdejstva (zakon o jednakosti akcije i reakcije): Dejstvu (akciji) uvijek je jednako protivdejstvo (reakcija), ili dva tijela dejstvuju jedno na drugu silama istih intenziteta i pravaca a suprotnih smjerova.

Pored ovih osnovnih zakona, u dinamici se koristi i sve što je o pojmu sile uvedeno u statici (npr. paralelogram sila, princip veza, oslobađanje od veza).

DINAMIKA MATERIJALNE TAČKE

Pod materijalnom tačkom podrazumijevamo materijalno tijelo određene konačne mase a malih dimenzija, tako da se može smatrati da je cjelokupna masa koncentrisana u jednoj geometrijskoj tački.

Problemi koje rješava dinamika mogu se podijeliti na dva osnovna zadatka dinamike:

• Prvi zadatak dinamike: Odrediti kolike sile dejstvuju na tačku ako je poznato njeno kretanje. Rješenje ovog pitanja proizilazi direktno iz II Njutnovog zakona, tj. ako je poznat zakon kretanja meterijalne tačke, treba odrediti sile koje proizvode to kretanje.

• Drugi zadatak dinamike: Odrediti kakvo je kretanje tačke ako su poznate sile koje dejstvuju na tačku. Ovaj zadatak rješava se integraljenjem diferencijalnih jednačina kretanja, tj. ako su poznate sile koje dejstvuju na metrijalnu tačku, kretanje tačke se odredi integraljenjem diferencijalnih jednačina kretanja. U tehnici se uglavnom rješava ovo drugo pitanje, koje se naziva i osnovni zadatak dinamike.

ZAKON KRETANJA ( )r r t=

1. ZADATAK deriviranje

2. ZADATAK integraljenje

SILA Diferencijalna jednačina

kretanja F mr=

80

Page 81: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Zadatak dinamike tačke je postavljanje diferencijalnih jednačina kretanja i njihovo integraljenje. Diferencijalne jednačine kretanja materijale tačke izvode se iz osnovnog zakona dinamke - II Njutnovog zakona.

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE KRETANJA SLOBODNE MATERIJALNE TAČKE

Posmatramo kretanje slobodne materijalne tačke M mase m, na koju dejstvuje sistem sila 1 2, ,..., nF F F

. Ako je položaj materijalne tačke M u odnosu na inercijalni sistem referencije

određen vektorom položaja r onda drugi zakon dinamike glasi

1

n

ii

ma F=

=∑ odnosno ( )

2

2 , ,d rm F r v tdt

= .

Ova jednačina predstavlja diferencijalnu jednačinu kretanja tačke u vektorskom obliku.

Sila F

, odnosno sile iF

, u opštem slučaju, zavisi od položaja tačke, njene brzine i vremena.

Jednačinu je moguće projektovati na ose utvrđenog sistema referencije i tada se dobijaju razni oblici skalarnih diferencijalnih jednačina kretanja materijalne tačke.

a) Dekartov koordinatni sistem

( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,mx X x y z x y z t my Y x y z x y z t mz Z x y z x y z t= = =

U ovim jednačinama su , ,x y z projekcije vektora ubrzanja a tačke na ose Dekartovog

sistema referencije, a , ,X Y Z su projekcije rezultujuće sile F

koja dejstvuje na tačku na ose Dekartovog sistema referencije Oxyz.

b) Prirodne koordinate

;t t n nma F ma F= = . Komponente ubrzanja su:

2 2 2

2 ;t nk k

dv d s v sa s adt dt R R

= = = = =

,

Tako da su diferencijalne jednačine kretanja:

2 2

2 ;t nk

d s vm F m Fdt R

= = .

Primjer: Kosi hitac

Odrediti zakon kretanja materijalne tačke mase m kojoj je u početnom trenutku 0 0t = saopštena početna brzina 0v pod uglom α u odnosu na horizontalu. Zanemariti otpor vazduha pri kretanju tačke.

81

Page 82: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Rješenje:

1. Usvajamo Dekartov koordinatni sistem i početak sistema postavljamo u početni položaj tačke. Tačka se kreće u ravnini xOz , tako da prikazujemo koordinatni sistem u ovoj ravni.

2. Crtamo materijalnu tačku u proizvoljnom položaju na putanji i prikazujemo sile koje dejstvuju na tačku tokom kretanja. U ovom slučaju na materijalnu tačku dejstvuje samo sila teže G

.

3. Polazeći od II Njutnovog zakona 1

n

ii

ma F=

=∑ , pišemo vektorsku jednačinu

ma G=

I projektujemo je na koordinatne ose, čim dobijamo diferencijalne jednačine kretanja tačke

0 0mx xmz G mg z g

= ⇒ == − = − ⇒ = −

4. Integraljenjem ovih jednačina dva puta dobijemo opšta rješenja u kojim figurišu integracione konstante

1 1 22

3 3 42

x C x C t Ctz gt C z g C t C

= = +

= − + = − + +

5. Integracione konstante odredimo iz početnih uslova kretanja, tj. položaja tačke ( )0 00, 0x z= = i brzine tačke ( )0 0 0 0cos , sinx v z vα α= = u početnom trenutku 0 0t = . Uvrštavanjem ovih početnih uslova u opšta rješenja definišemo vrijednost integracionih konstanti:

0 0 1 0

0 2

0 0 3 0

0 4

cos cos0 0

sin sin0 0

x v C vx Cz v C vz C

α α

α α

= ⇒ == ⇒ == ⇒ == ⇒ =

6. Sada izračunate konstante uvrstimo u opšta rješenja diferencijalnih jednačine kretanja tačke i dobijemo jednačine koje predstavljaju zakon brzine materijalne tačke i zakon kretanja materijalne tačke:

Zakon brzine tačke: 0 0cos sinx v z gt vα α= = − +

Zakon kretanja tačke: 2

0 0cos sin2tx v t z g v tα α= ⋅ = − + ⋅

82

Page 83: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

7. Eliminacijom vremena t iz zakona kretanja određujemo jednačinu putanje tačke: 2

2 20 0cos 2 cos

x g xt z x tgv v

αα α

= ⇒ = − ⋅ + ⋅

Očigledno da je putanja tačke parabola.

8. Domet tačke jeste koordinata Dx onog položaja „D“ na horizontalnoj ravni gdje će pokretna tačka pasti po završenom slobodnom kretanju. Odredimo ga iz uslova da je koordinata 0Dz = . Ako stavimo u zakonu kretanja da je 0Dz = onda možemo odrediti trenutak vremena Dt kojem odgovara ova vrijednost koordinate z . To je vrijeme koje je potrebno tački da pređe putanju od početnog položaja do konačnog položaja kada udara u horizontalnu podlogu, tj. ukupno vrijeme leta tačke iznosi

02 sinD

vtg

α= .

Domet tačke je : ( )20 sin 2

D Dvx x t

= = .

Kako je ( )sin 2 sin 2 sin 22πα π α α = − = −

, proizilazi da se za jednu početnu brzinu i

dvije vrijednosti ugla ',2πα α α α = −

dobije isti domet (položeni i strmi kosi hitac).

Maksimalni domet imamo za 045α = i iznosi 20

maxDvxg

= .

9. Maksimalna visina hica, tj. maksimalna visina penjanja materijalne tačke odgovrara položaju tjemena parabole. Odredi se iz uslova da je tangenta na putanju tačke u tjemenu parabole horizontalna, tj. paralelna osi x. Kako je vektor brzine tačke određen pravcem tangente na putanju, to znači da materijalna tačke u najvišem položaju na putanji ima samo horizontalnu komponentu brzine, tj. xv v=

, dok je 0zv z= = . Upravo

iz ovog uslova, 0zv z= = , odredimo trenutak vremena 0 sinh

vtgα

= u kojem se

pokretna tačka nalazi u tjemenu parabole.

Maksimalna visina hica je : ( )2 20 sin

2h hvz z t

= = .

Zbog simetričnosti putanje tačke je 2D

hxx = . Visina kosog hica zavisi samo od

z komponente početne brzine, tj. 0 0 sinz v α= .

83

Page 84: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

OPŠTI ZAKONI DINAMIKE MATERIJALNE TAČKE

Da bi se izučavanje kretanja materijalne tačke pojednostavilo i da bi se u pojedinim tehničkim problemima odredile samo određene veličine, kao npr. brzina u određenom položaju ili brzina u određenom vremenskom intervalu, a da se pri tome problem kretanja ne proučava u cjelini, izvedeni su opšti zakoni dinamike tačke. Njihovom primjenom izbjegava se integraljenje diferencijalnih jednačina kretanja.

Opšti zakoni povezuju osnovne dinamičke veličine koje karakterišu kretanje (kinetičku energiju, količinu kretanja, moment količine kretanja) sa veličinama koje karakterišu djelovanje sila (rad sile, impuls sile, moment sile). U opšte zakone dinamike spadaju: zakon o promjeni kinetičke energije, zakon o promjeni količin ekretanja, zakon o promjeni momenta količine kretanja.

RAD SILE

Sl.94 Određivanje elementarnog rada sile

Neka se materijalna tačka na koju dejstvuje sila pomjera duž putanje s . Ako u beskonačno malom intervalu vremena tačka izvrši elementarno pomjeranje dr , onda je elementarni rad dA sile F

na elementarnom pomjeranju dr određen skalarnim proizvodom:

dA F dr= ⋅

Ako vektor sile i vektor elementarnog pomjeranja tačke prikažemo preko njihovih komponenata u pravcu osa dekartovog koordinatnog sistema, onda daobijamo analitički izraz za elemetarni rad sile:

( ) ( )dA F dr Xi Yj Zk dxi dyj dzk Xdx Ydy Zdz= ⋅ = + + ⋅ + + = + + .

Ako je materijalna tačka izvršila konačno pomjeranje po odsječku svoje putanje između tačaka M1 i M2, onda je odgovarajući rad sile na pređenom putu:

( )2

1 2

1

,

M

M MM

A Xdx Ydy Zdz= + +∫ .

Da bi se mogao izračunati ovaj integral neophodno je da sila i pomjeranje zavise od jedne iste promjenljive. Najjednostavnije je izračunati rad kada je sila konstantnog intenziteta u toku

84

Page 85: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

pomjeranja ili kada zavisi od položaja tačke. Ako sile zavise od vremena ili brzine tačke, onda je neophodno poznavati i zakon kretanja tačke.

Ako vektor elementarnog pomjeranja iskažemo kao tdr dse= , gdje je te jedinični vektor

tangente na putanju tačke u datom položaju, onda je elementarni rad sile

( )cos ,t t tdA F dse Fds F e F ds= ⋅ = =

gdje je tF projekcija sile na pravac tangnente na putanju u datom položaju.

Odavde se vidi da rad na elementarnom pomjeranju ds vrši samo tangentna komponenta sile tF , dok je rad normalne komponente sile jednak nuli, jer je ona upravna na pravac vektora

brzine tačke, tj. na vektoru pomjeranja tačke tdr dse= .

Očigledno je da rad zavisi od sile i pomjeranja, kao i ugla između njih, tako da može biti pozitivan, negativan i jednak nuli.

Rad sile na konačnom pomjeranju tačke od položaja M1 do M2 je:

( )2

1 2

1

, cos ,M

M M tM

A Fds F e= ∫

.

Jedinica za rad sile je džul [J]. Džul je rad koji izvrši sila od 1 N kada se njena napadna tačka pomjeri za 1 m u smjeru dejstva sile, tj. džul je jednak njutnmetru [Nm], odnosno vatsekundi [Ws].

Pri pravolinijskom pomjeranju tačke M rad sile F

konstantnog intenziteta i pravca određen je skalarnim proizvodom vektora sile i vektora pomjeranja napadne tačke te sile:

( )cos ,A F u Fu F u= ⋅ =

Ako je ugao α oštar, rad sile je pozitivan, a ako je ugao α tup rad sile je negativan. Kada je α=900 rad sile je jednak nuli.

Ako na tačku dejstvuje sistem sila konstantnog intenziteta i pravca, onda je rad tih sila na pravolinijskom pomjeranju u :

1 21

...n

n ii

A A A A A=

= + + + =∑

Rad rezultanete sile na konačnom pomjeranju u jednak je algebarskom zbiru radova komponentnih sila na tom istom pomjeranju.

( )1 2 1 21

.. ..n

r n n ii

A F u F F F u F u F u F u F u=

= ⋅ = + + + ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅∑

85

Page 86: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

SNAGA - EFEKAT RADA

Pod snagom se podrazumijeva veličina koja karakteriše rad sile u jedinici vremena. Snaga P sile koja dejstvuje u beskonačno malom intervalu vremena dt je

dA F drP F v Xx Yy Zzdt dt

⋅= = = ⋅ = + +

Ako se rad tokom vremena t vrši ravnomjerno, onda je snaga APt

= . Jedinica za snagu je vat

[W].

KINETIČKA I POTENCIJALNA ENERGIJA

KINETIČA ENERGIJA. ZAKON O PROMJENI KINETIČKE ENERGIJE

Polazeći od Njutnove jednačine 1

n

ii

ma F=

=∑ , njenim projektovanjem na pravac tangente na

putanju tačke dobijamo:

( )cos ,t i i t itdvma m F F e Fdt

= = =∑ ∑

,

itdv dsm Fds dt

=∑

itdvmv Fds

=∑

itmvdv F ds=∑ .

Sl.95 Projekcija sile F

na tangentu

Pošto je m const= , lijeva strana jednačine se može napisati kao 212

d mv

, što predstavlja

diferencijal kinetičke energije tačke, tj. kdE .

Kinetička energije tačke jednaka je polovini proizvoda mase tačke i kvadrata njene brzine:

212kE mv= .

U izrazu itmvdv F ds=∑ , desna strana predstavlja zbir elementarnih radova sila koje dejstvuju na tačku. Ova jednačina se može napisati kao:

k idE dA=∑ .

Ova jednačina izražava zakon o promjeni kinetičke energije materijalne tačke u diferencijalnom obliku: Priraštaj kinetičke energije na elementarnom pomjeranju materijalne tačke jednak je algebarskom zbiru radova svih sila koje dejstvuju na tačku na tom pomjeranju.

86

Page 87: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Integraljenjem jednačine između dva konačna različita položaja tačke M1 i M2

( )2 2

1 1

cos ,v M

i i tv M

m vdv F ds F e=∑∫ ∫

dobija se

2 22 1

1,22 2 imv mv A− =∑ odnosno 2 1 1,2k k iE E A− =∑ .

Ova jednačina izražava zakon o promjeni kinetičke energije matrijalne tačke u konačnom ili integralnom obliku: Promjena kinetičke energije materijalne tačke pri pomjeranju tačke između dva položaja, jednaka je zbiru radova svih sila koje dejstvuju na tačku pri tom pomjeranju.

Jedinica za kinetičku energiju je ista kao za rad sile, tj. džul [J].

POTENCIJALNA ENERGIJA

Zakon o promjeni kinetičke energije omogućava jednostavno rješavanje dinamičkih problema u slučaju da sila zavisi samo od položaja tačke na putanji, tj. ako je ( ), ,F F x y z= . Takve sile nazivaju se konzervativne sile i za njih vrijedi:

pdA dE= −

gdje je: ( ), ,p pE E x y z= - potencijalna energija.

Potencijalna energija je skalarna veličina i predstavlja energiju položaja, a jedinica za potencijalnu energiju je džul [J = Nm].

Integriranjem izraza pdA dE= − između dva konačna različita položaja tačke M1 i M2 na putanji, dobije se:

2

1 2

1

1 2

M

M M p p pM

A dE E E= − = −∫

Potencijalna energija u nekom položaju tačke izračunava se iz rada sile: Potencijalna energija materijalne tačke u bilo kojem njenom položaju jednaka je radu koji izvrše konzervativne sile, koje dejstvuju na tačku, pri pomjeranju tačke iz datog u nulti položaj. Pri tome se nulti položaj u kojem je Ep =0, određuje dogovorno.

Sile koje imaju osobinu da im rad ne zavisi od dužine puta i oblika trajektorije nazivaju se konzervativne sile (npr. sila teže, elastična sila opruge, itd.). Rad konzervativne sile ne zavisi od oblika putanje tačke, već samo od položaja njenih krajnjih tačaka 1 i 2 na putanji, slika 96.

Sl.96 Rad konzervativne sile ne zavisi od oblika i dužine putanje

To ne vrijedi za nekonzervativne sile (npr. trenje, otpor sredine itd.), koje nemaju potencijalnu energiju.

87

Page 88: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Rad sile teže:

Sl.97 Rad sile teže

Neka se tačka M pod dejstvom sile teže G

pomjeri po nekoj krivoj iz položaja ( )0 0 0 0, ,M x y z u

položaj ( )1 1 1 1, ,M x y z . S obzirom da sila G

ima projekciju samo u pravcu z-ose, rad sile teže pri tom pomjeranju je

( ) ( ) ( )1 1

0 1

0 0

, 1 0 0 1

M z

M MM z

A Xdx Ydy Zdz Gdz G z z G z z= + + = − = − − = −∫ ∫

Rad sile teže jednak je proizvodu iz intenziteta sile i odgovarajućeg vertikalnog pomjeranja h njene napadne tačke. Rad je pozitivan ako početni položaj M0 iznad konačnog položaja M1 napadne tačke sile, a negativan ako je položaj M0 ispod konačnog položaja M1 tačke.

A Gh= ±

Rad sile teže ne zavisi od od dužine puta niti od oblika trajektorije napadne tačke sile već zavisi samo od normalnog rastojanja između horizontalnih ravni koje prolaze kroz početni i krajnji položaj tačke. Sila teže je konzervativna sila.

Rad sile elastičnosti (sile u opruzi):

Sl.98 Rad sile u opruzi

Neka je tačka M vezana oprugom krutosti c koja je drugim krajem vezana za nepokretnu ravan. Ako tačku M izvedemo iz ravnotežnog položaja, ona će pod dejstvom sile uspostavljanja cF

vršiti pravolinijsko kretanje. Ako je x veličina deformacije opruge, onda je projekcija sile u opruzi na Ox - osu cxF cx= − , a rad sile na konačnom pomjeranju 0M M je određen izrazom:

( )0 0 0

22 2

0,1 02 2

xM x

cxM x x

x cA F dx c xdx c x x= = − = − = −∫ ∫

88

Page 89: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

U ovom izrazu 0x je početna deformacija opruge (deformacija opruge u početnom položaju tačke), a x je krajnja deformacija opruge (deformacija opruge u krajnjem položaju tačke).

Ako nema početne deforamcije, 0 0x = , onda je rad sile u opruzi na nekom konačnom pomjeranju x :

20,1

12

A cx= − .

Rad sile u opruzi cF

ne zavisi od oblika trajektorije već samo od početnog i krajnjeg položaja tačke, tako da je sila elastičnosti takođe konzervativna sila.

ZAKON ODRŽANJA MEHANIČKE ENERGIJE

Zakon o promjeni kinetičke energije može se napisati kao:

2 1 1,2 1 2k k i p pE E A E E− = = −∑

1 1 2 2k p k pE E E E const+ = + =

Ovim je iskazan zakon održanja mehaničke energije: Ako sile koje dejstvuju na tačku imaju potencijal (konzervativne sile) onda je zbir kinetičke i potencijalne energije konstantan.

Drugim riječima, mehanička energija (kinetička i potencijalna) konzervativnog sistema u svakom položaju tačke ostaje konstantna.

S obzirom da smo prethodno definisali rad nekih konzervativnih sila, sada te sile možemo iskazati i preko potencijala:

a) potencijal težine G

na udaljenosti z od površine zemlje naziva se gravitacioni potencijal, pE Gz=

b) potencijal sile u opruzi, ako je opruga rastegnuta za iznos x (odnosno ϕ kod

torzione opruge) je 212pE cx= .

Suprotno od težine i sile u opruzi, sila trenja nema potencijal, tj. sila trenja nije konzervativna. To znači da njen rad zavisi od puta, a usljed sile trenja mehanička energija se pretvara u toplotu. Takve sile nazivamo disipativne sile (sile koje troše energiju).

U sistemima u kojima se pojavljuju takve sile ne vrijedi zakon održanja mehaničke energije, već se mora primijeniti zakon o promjeni kinetičke energije i pri izračunavanju rada sila potrebno je izračunati rad disipativne sile.

89

Page 90: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

OSCILACIJE TAČKE

OSNOVNI POJMOVI

Oscilatorno kretanje je periodično kretanje tijela oko nekog ravnotežnog položaja. Tijelo se kreće po istoj putanji ali neprekidno prolazi, iz dva različita smjera, kroz jednu tačku koja predstavlja položaj ravnotežne. Osim termina oscilacija, u tehničkoj praksi koristi se i termin vibracija. Vibracija u opštem smislu predstavlja oscilatorno kretanje mehaničkog sistema pri čemu su pomjeranja tačaka sistema mala u poređenju sa dimenzijama samog sistema. Primjeri oscilatornog kretanja su: ljuljanje na ljuljaški, kretanje klatna sata, vibriranje žica žičanih muzičkih instrumenata, itd. Oscilacije tijela mogu da se vrše po pravoj liniji (npr. teg okačen o oprugu) ili po kružnom luku (kuglica okačena o tanak konac).

Sl. 99 Primjer pravolinijskih oscilacija tačke i oscilacija po kružnom luku

Harmonijske oscilacije vrše se pod djelovanjem harmonijske sile. Harmonijska sila je sila čiji je intenzitet proporcionalan elongaciji (to je rastojanju tijela od ravnotežnog položaja) i usmjerena je uvijek ka ravnotežnom položaju, tj. smjer djelovanja sile je takav da uvijek nastoji tijelo vratiti u ravnotežni položaj. Razmotrimo mehanički sistem koji se sastoji od tijela mase m vezanog za kraj opruge krutosti c , koje može da se kreće bez trenja po horizontali, slika 100.

Sl.100 Harmonijske oscilacije tačke po horizontalnoj podlozi

90

Page 91: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Kada opruga nije ni istegnuta ni sabijena, telo je u položaju odredjenim sa 0x = , koji se naziva položajem ravnoteže sistema. Iz iskustva je poznato da kada se tijelo izvede iz ovog položaja, počinje da osciluje oko njega. Ukoliko otklon tijela iz ravnotežnog položaja označimo sa x (elongacija), onda sila koja djeluje na tijelo, cF

, teži da ga vrati u ravnotežni položaj. Projekcija

ove sile na pravac kretanja tijela je cF cx= − .

Ova sila se zove sila elastičnosti opruge, sila uspostavljanja ili restituciona sila, jer je uvijek usmjerena ka ravnotežnom položaju, odnosno uvijek je suprotnog smjera od smjera pomijeranja tijela. Pod djelovanjem ove sile tijelo vrši tzv. slobodne oscilacije.

Osim slobodnih oscilacija, postoje i prinudne oscilacije. To su oscilacije koje nastaju pod djelovanjem poremećajne, odnosno prinudne periodične sile, koja nastaje kao posljedica neuravnoteženosti dijelova mašina, odnosno dejstvom promjenljivog magnetnog polja, itd.

Ukoliko se u razmatranju oscilatornog kretanja zamenare sile otpora onda imamo slučaj slobodnih neprigušenih oscilacija i prinudnih neprigušenih oscilacija. Međutim, ukoliko pored restitucione sile i poremećajne sile na tijelo dejstvuje i sila otpora, onda imamo slučaj slobodnih prigušenih oscilacija i prinudnih prigušenih oscilacija.

SLOBODNE NEPRIGUŠENE OSCILACIJE TAČKE

Problem slobodnih oscilacija bez prigušenja može se analizirati na primjeru vertikalnog harmonijskog oscilatora, slika 101.

Sl.101 Model slobodnih oscilacija bez prigušenja

Odgovarajuća diferencijalna jednačina kretanja u pravsu ose z je

mz cz= − ⇒ 0cz zm

+ = .

Ako uvedemo oznaku 2 cm

ω = , diferencijalna jednačina slobodnih oscilacija je:

2 0z zω+ = .

Opšte rješenje ove homogene linearne diferencijalne jednačine je harmonijska funkcija oblika:

( )1 2 0( ) sin cos coszz t C t C t A tω ω ω ϕ= + = +

Ovo je zakon slobodnih oscilacija tačke (određuje elongaciju tijela u datom trenutku vremena t ), gdje je:

91

Page 92: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

zA - amplituda oscilovanja, to je maksimalni otklon (elongacija) tačke od ravnotežnog položaja,

ω - kružna frekvencija slobodnih oscilacija iskazana u [rad/s] ili [s-1]

0ϕ - početna faza kretanja [rad]

( )0tω ϕ+ - faza kretanja,

1C , 2C - integracione konstante koje zavise od početnih uslova kretanja.

Zakon slobodnih oscilacija, tj. zavisnost elongacije tijela koje vrši prosto harmonijsko oscilovanje od vremena, data je na slici 102.

Sl.102 Zavisnost elongacije tijela od vremena

Bitne karakteristike harmonijskog kretanja su period i frekvencija oscilovanja.

Period oscilovanja, T , je vrijeme potrebno tački da prođe jedan pun ciklus kretanja. Iskazuje se u sekundama i određuje se iz:

2T πω

=

Frekvencija oscilovanja predstavlja broj oscilacija koje telo napravi u jedinici vremena. Iskazuje se u hercima [Hz] ili [s-1], a određuje se kao recipročna vrijednost perioda:

12

fT

ωπ

= = .

Linearna brzina i ubrzanje tačke koja vrši slobodne harmonijske oscilacije dobiju se diferenciranjem po vremenu zakona oscilovanja (elongacije):

0 0sin( ) sin( )z vdzv z A t A tdt

ω ω ϕ ω ϕ= = = − + = − +

20 0cos( ) cos( )z a

dza z A t A tdt

ω ω ϕ ω ϕ= = = − + = − +

U ovim izrazima su amplitude brzine i ubrzanje iskazane preko amplitude elongacije:

v zA Aω= 2

a z vA A Aω ω= = .

Na slici 103 su prikazane zavisnosti elognacije, brzine i ubrzanja, respektivno. Sa slike se vidi da se faza brzine razlikuje od faze elongacije za 2

π radijana, odnosno, tamo gde z ima

maksimum ili minimum, brzina je nula. Takodje, tamo gde je elongacija nula, brzina je maksimalna. Osim toga se vidi da je faza ubrzanja pomjerena za π radijana u odnosu na fazu elongacije, što znači da tamo gde z ima maksimum i ubrzanje ima maksimalnu vrednost ali suprotnog predznaka u odnosu na znak elongacije.

92

Page 93: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Sl.103 Elongacija, brzina i ubrzanje kod slobodnih neprigušenih harmonijskih oscilacija

SLOBODNE PRIGUŠENE OSCILACIJE Oscilatorno kretanje koje je prethodno razmatrano se odvija u idealnim sistemima, bez trenja, i jednom kada bi bilo uspostavljeno u sistemu, odvijalo bi se trajno. U realnim sistemima, čije se kretanje odvija nekoj sredini (vazduh, voda, idr.), potrebno je uzeti u obzir dejstvo okoline na kretanje tijela. Sila kojom sredina djeluje na tijelo u kretanju zavisi od osobina sredine (gustine, viskoznosti, ...), od oblika tijela koje se kreće i njegove brzine. Stoga će opisivanje oscilovanja biti realnije kada se osim restitucione sile uzme u obzir i sila otpora sredine. Posljedica njenog postojanja je da se oscilovanje usporava sa vremenom jer se ukupna mehanička energija sistema troši na savladavanje otpora sredine. Usljed toga će se energija smanjivati sa vremenom a oscilacije priguštivati pa se ovaj (realan) tip oscilovanja naziva prigušeno oscilovanje. Uzima se da je sila otpora proporcionalna prvom stepenu brzine tijela, wF bv= −

, i uvijek je

usmjerena suprotno od smjera kretanja tijela (suprotstavlja se kretanju tijela). Ovdje je b koeficijent proporcionalnosti izmedju sile otpora sredine i brzine kretanje tijela. Model slobodnih prigušenih oscilacija dat je na slici 104.

Sl.104 Model slobodnih prigušenih oscilacija

93

Page 94: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Odgovarajuća diferencijalna jednačina slobodnih prigušenih oscilacija tačke u pravsu ose z je:

z cz bz= − − ⇒ 0b cz z zm m

+ + = ⇒ 22 0z z zδ ω+ + =

čije rješenje zavisi od oblika korijena tzv. karakteristične jednačine:

( )21,2 1λ ω ξ ξ= − + −

gdje su : 2 cm

ω = , 2bm

δ = , 2

bcm

δξω

= = .

Veličina δ naziva se koeficijent prigušenja, a veličina ξ je bezdimenzioni koeficijent.

Opšte rješenje diferencijalne jednačine predstavlja zakon slobodnih prigušenih oscilacija tačke: 1 2

1 2( ) t tz t C e C eλ λ= + .

Oscilatorno kretanje opisano ovim zakonom može biti periodično (imati harmonijski karakter) ili aperiodično, što zavisi od korijena 1,2λ karkateristične jednačine,tj. od odnosa veličina δ i ω :

• δ ω< - ovo je slučaj tzv. malog prigušenja. Korijeni 1,2λ karakteristične jednačine su konjugovano kompleksni. Nastaje slaba oscilacija sa opadajućim harmonijskim kretanjem, opisanim zakonom:

( ) cos( )tz t Re ptδ α−= +

gdje je 2 2p ω δ= − - kružna frekvencija slobodnih prigušenih oscilacija, a amplituda tRe δ− ima opadajući karakter:

Sl.105 Zavisnost elongacije od vremena za slučaj malog prigušenja

• δ ω= - ovo je slučaj tzv. graničnog prigušenja. Korijeni 1,2λ karakteristične su realni i jednaki. Nastaje aperiodično kretanje.

• δ ω> - ovo je slučaj tzv. velikog prigušenja. Korijeni 1,2λ karakteristične su realni i različiti. Nastaje jaka oscilacija sa aperiodičnim kretanjem:

Sl.106 Zavisnost elongacije od vremena za slučaj velikog i graničnog prigušenja

94

Page 95: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

PRINUDNE OSCILACIJE

Ukoliko na tijelo, osim restitucione sile, djeluje i prinudna (poremećajna) sila koja ima harmonijski karakter, 0 0( ) cos( )F t F t θ= Ω − , tijelo će vršiti prinudne oscilacije. Model mehaničkog sistema sa prinudnim neprigušenim oscilacijama predstavljen je slikom 107.

Sl.107 Model prinudnih neprigušenih oscilacija

Diferencijalna jednačina prinudnih neprigušenih oscilacija ima oblik:

0 0cos( )mz cz F t θ= − + Ω − ⇒ 00cos( )Fcz z t

m mθ+ = Ω − ⇒ 2

0cos( )z z h tω θ+ = Ω −

gdje je: 0F - amplitude poremećajne sile

Ω - kružna frekvencija poremećajne sile

0θ - početna faza poremećajne sile

cm

ω = - kružna frekvencija slobodnih (sopstvenih) oscilacija

Ako se pogleda diferencijalna jednačina prinudnih oscilacija, očigledno je da je lijevi dio jednačine upravo isti kao kod slobodnih oscilacija tačke, dok desni dio jednačine predstavlja harmonijsku funkciju. Ovo je nehomogena diferencijalna jednačinu sa konstantnim koeficijentima, čije je opšte rješenje zbir rješenja odgovarajuće homogene jednačine i tzv. partikularnog rješenja:

( ) ( ) ( )H Pz t z t z t= + .

Kinematička jednačina prinudnih oscilacija opisuje zbir slobodne i prinudne oscilacije kružnih

frekvencija ω i Ω , odnosno perioda 2sT π

ω= i 2

pT π=Ω

:

1 2 3 0( ) ( ) ( ) ( sin cos ) cos( )H Pz t z t z t C t C t C tω ω θ= + = + + Ω −

0 02 2( ) cos( ) cos( )hz t C t tω ϕ θω

= − + Ω −−Ω

.

Ovaj zakon kretanja (elongacija) izveden je pod pretpostavkom da se zanemaruju otpori kretanja. Ipak, u relanim uslovima usljed postojanja otpora, slobodne oscilacije se vrlo brzo prigušuju i nemaju većeg uticaja na rezultujuće kretanje. Primaran značaj imaju prinudne oscilacije koje se i pri postojanju otpora ne prigušuju.

95

Page 96: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Ako je ω >Ω , amplituda 2 2

hω −Ω

prinudne oscilacije je pozitivna, a faza prinudne oscilacije

jednaka je fazi prinudne sile, tako da zakon prinudnog oscilovanja ima fomu, tj.:

02 2( ) cos( )Phz t t θ

ω= Ω −

−Ω

Ako je ω <Ω , amplituda 2 2

hω −Ω

prinudne oscilacije je negativna, a faza prinudne oscilacije

u odnosu na fazu prinudne sile se uvećava za π , tako da je :

0 02 2 2 2( ) cos( ) cos( )Ph hz t t tθ θ π

ω ω= − Ω − = Ω − +

−Ω Ω −.

Prema tome, znak amplitude i faza prinudne oscilacije zavisi od odnosa kružnih frekvencija slobodnih oscilacija i prinudne sile, koji se naziva koeficijent poremećaja:

ψωΩ

= .

Promjena amplitude prinudnih oscilacija u zavisnosti od koeficijenta poremećaja može se opisati preko dinamičkog faktora pojačavanja, dη , koji predstavlja odnos amplituda prinudnih oscilacija pri dinamičkom i statičkom dejstvu poremećajne sile:

2

11

dd

st

zz

ηψ

= =−

Sl.108 Zavisnost dinamičkog faktora pojačavanja od koeficijenta poremećaja

Prema dijagramu, kada je ω >Ω , dinamički factor pojačavanja može se smanjiti najviše do jedinice (amplituda prinudnih oscilacija pri dinamičkom dejstvu poremećajne sile može se smanjiti najviše do amplitude prinudnih oscilacija pri statičkom djelovanju poremećajne sile).

Kada je ω =Ω , dinamički faktor pojačavanja postaje beskonačan, dη = ∞ , i tada su amplitude prinudnih oscilacija beskonačno velike. Ova pojava naziva se rezonancija.

96

Page 97: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

Kada je ω <Ω , koeficijent 0dη → , pa se u ovoj oblasti može postići da amplituda prinudnih oscilacija pri dinamičkom dejstvu poremećajne sile teži nuli.

REZONANCIJA

Pojava rezonancije nastupa kada je kružna frekvencija slobodnih oscilacija jednaka kružnoj frekvenciji poremećajne sile, ω =Ω . Teorijski, rezonancija ima za posljedicu beskonačno veliku

amplitudu prinudne oscilacije, što ne odgovara obliku amplitude 3 2 2

hCω

=−Ω

. Amplituda

prinudne oscilacije za slučaj rezonancije je linearna funkcija vremena , 2h tω

± , a prinudna

oscilacija je opisana sa:

0cos ( )2 2Phz t t πθω

= Ω − −

Faza prinudnih oscilacija, 0( )2

t πθ Ω − − , u slučaju rezonancije zaostaje za fazom prinudne sile,

0( )t θΩ − , za 2π .

Grafik prinudnih oscilacija za slučaj rezonancije dat je na slici 109.

Sl.109 Rezonantni režim oscilovanja

Rezonantno oscilovanje za relani mehanički sistem predstavlja režim nestacionarnog kretanja, kojeg treba izbjegavati zbog razornog dejstva rezonancije na sistem. Ukoliko ovakav režim kretanja nije moguće u potpunosti izbjeći, treba nastojati da vrijeme zadržavanja sistema u ovakvom nestacionarnom režimu rada bude što kraće.

97

Page 98: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

LITERATURA

[1] D.Blagojević: Statika - separati predavanja i vježbi, Mašinski fakultet Banja Luka, 2006.

[2] Ž. Babić, D. Blagojević: Statika - zbirka zadataka, Mašinski fakultet Banja Luka, 2002.

[3] D. Gross, idr: Technische Mechanik 1 - Statik, Springer, 2009.

[4] D. Gross, idr: Engineering mechanics 3 - Dynamics, Springer, 2011.

[5] D. Goluboivć, M.Kojić, K. Premović: Tehnička mehanika – opšti kurs (Statika, Otpornost materijala, Kinematika, Dinamika), Tehnički fakultet Čačak, 1988.

[6] L. Rusov: Statika, Kinamatika , Dinamika, Naučna knjiga Beograd, 1988.

[7] S. M. Targ: Teorijska mehanika – kratki kurs, Građevinska knjiga Beograd, 1985.

[8] Z. Kulenović: Tehnička mehanika, Pomorski fakultet Split, 2007.

[9] N. Naerlović-Veljković: Mehanika 2, Naučna knjiga Beograd, 1992.god.

98

Page 99: UNIVERZITET U BANJOJ LUCI TEHNOLOŠKI FAKULTET GODINA/PREDMETI... · Nastavno gradivo predmeta Tehnička mehanika obuhvata četiri oblasti mehanike: ... mehanika fluida) Mehanika

99