Slide 1
BAB VI
PENERAPAN DIFFERENSIASI6.1 Persamaan garis singgungBentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan Gambar 6.1.f(x + x) f(x)x=dxydy l1 x x+xxy0 l f(x)Gambar 6.1
Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang menyinggung titik (x,y) pada f(x) adalah
Jika garis tersebut menyinggung titik P(x1,y1) maka kemiringannya adalah
Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x2 + x -3 di titik P(2,3)
Contoh 6.1PenyelesaianKemiringan garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah
Persamaan garis : y = mx + n.
Karena menyinggung titik P(2,3) maka 3 = 5(2) + n n = 7.
Jadi garis singgung yang menyinggung titik P(2,3) adalah
y = 5x 7Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari pembahasan terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling tegak lurus jika perkalian kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus dapat ditulis menjadi,6.2 Persamaan garis normal
dimana m1 adalah kemiringan garis singgung dan m2 adalah kemiringan garis normalnya.Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik (1,6) pada kurva y = 3x2 2x + 5Contoh 6.2Penyelesaian
Jadi,
Contoh 6.3Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t = 2Titik singgung untuk t = 2 adalah (2,12)Penyelesaian
Persamaan garis singgung y = 12x + 36
Besarnya kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipengaruhi seberapa cepatnya perubahan arah dari kurva di titik tersebut. 5.3 Kelengkungan (Curvature)Jika perubahan arah suatu kurva di titik tertentu terjadi secara berangsur-angsur maka harga kelengkungannya besar. Sebaliknya jika perubahan arah kurva terjadi secara mendadak maka kelengkungannya kecil. +xy0Gambar 6.2QPCRRS6.3.1 Jari-jari kelengkungan Jika jarak titik P dan titik Q sangan kecil, maka CP = CQ = R dan panjang busur s 0. Telah diketahui bahwa panjang busur suatu lingkaran yang dibatasi oleh sudut adalah R. Sehingga panjang busur,
Pada Gambar 6.2 dapat dilihat bahwa garis normal CP dan CQ berpotongan di titik C. Panjang busur PQ = s. s y
Gambar 6.3x
Perhatikan Gambar 6.3
Jadi jari-jari kelengkungan di titik (x,y) adalah
Sedangkan jari-jari kelengkungan di titik (x1 ,y1) adalahTentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola xy = 9 di titik (3,3)
Penyelesaian Contoh 6.4
5.3.2 Pusat kelengkungan ( Center of Curvature )yxP(x,y)khCLRx10Gambar 6.4Dari Gambar 6.4 didapat LC = R cos LP = R sin h = x1 LP k = y1 + LC
(6.7)Tentukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 6.4Contoh 6.5Penyelesaian
Jadi pusat kelengkungan adalah Misal terdapat suatu hasil pengukuran seperti yang situnjukkan pada Gambar 6.5. 6.4 Nilai ekstrimPengukuran tersebut dapat berupa pengukuran temperatur, tekanan atau pertumbuhan suatu jenis bakteri terhadap waktu atau pengukuran lainnya. Jika kita perhatikan Gambar 6.5, harga pengukuran meningkat pada [x0 ,x1], menurun pada [x1 ,x2 ] dan seterusnya hinggakonstan pada selang [x6 , x7]Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka : i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) < f(x2) ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) > f(x2) iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap harga x1 dan x2Definisi 6.4.1Definisi 6.4.1Misal suatu fungsi terdefinsi pada selang I. Jika x1 dan x2 adalah dua buah bilangan yang terletak pada selang I, maka : i) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) < f(x2) ii) fungsi f naik pada selang I, jika x1 < x2 menghasilkan f(x1) > f(x2) iii) fungsi f konstan selang I jika f(x1) = f(x2) untuk setiap harga x1 dan x20 x0=a x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 xyGambar 6.5Jika suatu f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f setidak-tidaknya mempunyai satu nilai maksimum dan minimum [a,b].Teorema 5.4.2 18Jika diketahui f(x) = x2 + 5x + 6, tentukan nilai ekstrim f untuk selang-selang berikut a) [-2,0] ; b) (-3, 1) ; c) [-3,-2); d) (-1,1]Contoh 6.6Penyelesaian xxyy02a 031b Pada selang [-2,0]Maksimum =f(0)=6 Minimum = f(-2) = 0 Pada selang (-3,1)Maksimum tidak ada (tak kontinu pada x=-3) Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = 1)xxyy003 2 1 1 c d d) Pada selang (-1,1] Maksimum tidak ada (f tak kontinu pada x=-1) Minimum = f(1) = 12 c) Pada selang [-3,-2) Maksimum =f(-3)=0 Minimum tidak ada (f tak kontinu pada x = -2) Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f mempunyai nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum). Setiap harga f yang mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim lokal. 6.4.1 Nilai Ekstrim LokalJika c adlah bilangan yang terletak dalam daerah definisi(domain) fungsi, maka i) f(c) adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b).
ii) f(c) adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka (a,b) yang mengandung c sedemikian rupa sehingga f(x) f(c) untuk setiap x pada (a,b). Definisi 6.4.3 0 a x b x1 c xyGambar 6.7MinimumlokalMaksimumlokalTeorema 6.4.4
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f(c) = 0.
Teorema 6.4.5
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka (a,b). Suatu fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f(c) ada dan tidak sama dengan 0.
Teorema 6.4.6
Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b]. Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f(c) = 0.
Teorema 6.4.7
Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kritis f, maka f(c)= 0 6.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak
Jika f(c) adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat menyimpulkan bahwa titik (c, f(c)) merupakan titik tertinggi pada garafik f. Sebaliknya f(c) adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik (c,f(c)) merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum dan/atau minimum sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.Teorema 6.4.8
Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c terletak pada S, maka : i) f(c) adalah nilai maksimum mutlak f jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam S. ii) f(c) adalah nilai minimum mutlak f jika f(x) f(c) untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b]:
Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b)
2. Tentukan titik ujung
a) Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik ujungnya adalah a dan b.
b) Jika fungsi f terletak pada selang terbuka (a,b) maka f tidak mempunyai titik ujung.
c) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka (a,b] maka titik ujungnya adalah b.
d) Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b) maka titik ujungnya adalah a.3. Hitung nilai f(c) untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari nomor 1 diatas.
4. Hitung harga f pada setiap titik ujung.
5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 3 dan 4 diatas.Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang terbuka (a,b):
Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 diatas.Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang setengah terbuka [a,b) :
Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(a)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang setengah terbuka (a,b] :
Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka (a,b).
2. Hitung nilai f(c) untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai f(b)
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.Contoh 5.7Jika diketahui f(x) = 2x3 3x2 12x + 10, tentukan nilai maksimum dan minimum f pada selang tertutup [ 4,3]Penyelesaian:Menentukan bilangan kritis (lihat teorema 5.4.7)f(x) = 2x3 3x2 12x + 10 f(x) = 6x2 6x 12 = 06x2 6x 12 = 0 6(x2 x 2) = 0 6(x2)(x+1) = 0x1 = 2 ; x2 = 1f(x1 ) = f(2) = 16 12 24 + 10 = 10 f(x2 ) = f(1) = 2 3 + 12 + 10 = 17Titik ujung : 4 dan 3f( 4) = 64 48 + 48 + 10 = 54f(3) = 54 27 36 + 10 = 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 xGambar 6.8 17 y Jadi : f(2) adalah minimum lokal f(-1) adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak f(-4) adalah minimum mutlakJika terdapat sebuah persamaan lingkaran x2 + y2 = r2, maka persamaan tersebut dapat ditulis menjadi,6.5 Kecekungan dan kecembungan
atauyyxx-r 0 r(a) (b)
-r 0 rxGambar 6.9Jika kita perhatikan Gambar 6.7 (a) maka akan terlihat bahwa garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik selalu berada pada bagian atas kurva pada selang terbuka (r,r). Sedangkan pada Gambar 6.7 (b) garis singgung yang menyinggung kurva selalu berada bagian bawah kurva pada selang terbuka (r,r). Bentuk Gambar 6.7 (a) biasanya disebut cembung keatas atau cekung kebawah dan Gambar 6.7 (b) biasanya disebut cembung kebawah atau cekung keatas.Kurva f dikatakan cembung ke bawah (cekung keatas) pada selang (a,b) jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarang titik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian bawah kurva f. Definisi 6.5.1Sebaliknya kurva f dikatakan cembung keatas (cekung kebawah)jika garis singgung yang menyinggung kurva pada sembarangtitik pada selang (a,b) selalu terletak pada bagian atas kurva f. Kurva f pada Gambar 6.10 cembung keatas pada selang (a,b)dan cembung kebawah pada selang (b,c).cembung keatascembung ke bawahyx0 a b cGambar 6.10Definisi 6.5.2
Jika pada selang (a,b) terdapat sembarang bilangan ril xo dan harga turunan kedua f pada x = xo atau f(xo) < 0 maka kurva f pada selang tersebut cekung kebawah atau cembung keatas. Jika pada selang (a,b) harga f(xo) > 0, maka kurva f pada selang tersebut cekung keatas atau cembung kebawah.Definisi 6.5.3
Misal kurva f mempunyai persamaan y = f(x) dan kontinu di titik x = xo. Jika f(xo) = 0 dan disekitar x = xo berlaku f(x)>0 untuk xxo atau berlaku f(x)xo, maka titik (xo,f(xo)) merupakan titik belok dari kurva tersebut.Contoh 6.8
Tentukan daerah cembung keatas dan cembung kebawah jika diketahui :f(x) = 6 5x + x2.
Penyelesaian :
f(x) = 6 5x + x2 ; f(x) = -5 + 2x ; f(x) = 2Karena f(x) > 0 untuk sembarang bilangan ril xo, maka kurva f cembung kebawah.Contoh 6.9Jika diketahui persamaan f(x) = 2+x+3x2-x3, tentukan daerah pada kurva f yang merupakan daerah cembung kebawah, daerah cembung keatas dan titik belok dari kurva yang dimaksud !
Penyelesaian :
f(x) = 2+x+3x2-x3 f(x) = 1 + 6x 3x2 f(x) = 6 6x
Daerah cembung keatas : f(x) = 6 6x < 0 x>1Daerah cembung kebawah : f(x) = 6 6x > 0 x
