Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Persamaan Garis Singgung pada Kurva

Matematika Kelas XI IPA/IPS Semester II

Oleh : Ali Sahadi, S.PdSMA Muhammadiyah 1 Sukoharjo

Standar KompetensiMenggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Kompetensi DasarMenyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya

Indikator1. Menentukan gradien dari suatu garis singgung pada kurva.

2. Menentukan persamaan garis singgung pada kurva

Tujuan Pembelajaran1. Siswa dapat menentukan gradien garis singgung pada kurva.

2. Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung pada kurva

Materi Prasyarat

1. Nilai Fungsi

2. Turunan Fungsi

SOAL PRE-TES

1. Diketahui fungsi f(x) =

573 2 xx

Tentukan nilai fungsi untuk x = 1 ?

2. Apabila turunan pertama dari f(x) adalah f ‘ (x), tentukan f ‘ (x) dari f(x) = 695 23 xxx

3. Tentukan nilai f ’(2) dari fungsi f(x) = 2564 23 xxx

Jawaban Soal pre-tes

1. f(x) =

573 2 xx f( 1 ) =

51.71.3 2

= 3 – 7 + 5 = 1

695 23 xxx 2. f( x ) = f ‘ ( x ) =

092.53 1213 xx9103 2 xx2564 23 xxx3. f( x ) =

F ‘( x ) = 51212 2 xx

F ‘( 2 ) = 295244852.122.12 2

Materi Pembelajaran1. Gradien garis Singgung Pada kurva

Perhatikan gambar di bawah ini!g

g'

Apabila garis g memotong kurva y = f(x) di titik P dan Q maka gradien garis singgungnya adalah

PQ= h

xfhxf

PR

QR )()(

Bila h mendekati nol, maka garis g bergeser menjadi g I. Dan garis g I menyinggung satu titik di titik P, yang di sebut dengan gradien garis singgung di titik P.

Kalau gradien di simbolkan dengan m, maka pernyataan tersebut dapat dirumuskan menjadi :

m = h

xfhxfhx

)()(lim

Bentuk limit tersebut tak lain adalah turunan pertama dari suatu fungsi di titik [ x , f(x) ].

Jadi m = f ‘ (x) = y ‘ Apabila diketahui x = a, maka m = f ‘ (a)

Contoh 1. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x)= x3-3x dititik ( 2, 2 ) !

Penyelesaian.

Gradien = m = f ‘ (x) = 3x2 – 3

dititik ( 2, 2 ) berarti x = 2 Sehingga m = 3.22 – 3

= 12 -3 = 9

Jadi gradien garis singgung kurva f(x) = x3-3x dititik ( 2, 2 ) adalah m = 9

f(x) = x3-3x

f ‘ (x) = 3x2-3

Pada suatu sistem koordinat ( x , y ), x biasa di sebut dengan absis dan y biasa di sebut dengan ordinat. Sehingga apabila suatu titik diketahui absisnya p maka titik tersebut mempunyai nilai x = p dan apab ila suatu titik diketahui ordinatnya q, maka titik tersebut mempunyai nilai y = f(x) = q.

Contoh 2. Tentukan gradien garis singgung kurva y= 3x2 + 5x - 3 dititik yang berabsis 4!

Penyelesaian.

Gradien = m = y ‘ = 6x + 5

dititik yang berabsis 4 berarti x = 4

Sehingga m = 6.4 + 5

= 24 + 5 = 29

Jadi gradien garis singgung kurva f(x) = 3x2 + 5x -3 dititik yang berbasis 4 adalah m = 29

y = 3x2 +5x - 3

y ‘ = 6x + 5

Contoh 3. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x)= 2x2 - 4x + 2 dititik yang berordinat 2!

Penyelesaian.

Gradien = m = f ‘ (x) = 4x - 4 dititik yang berordinat 2 berarti f(x) = 2

Untuk x = 0 m = 4.0 - 4 = - 4

Jadi gradien garis singgung kurva f(x) = 2x2 - 4x + 2 dititik yang berordinat 2 adalah m = -4 atau m = 4

f(x) = 2x2 -4x + 2

f ‘(x) = 4x -4

2 = 2x2 -4x + 2 2x2 -4x = 0 2x(x -2) = 0 x = 0 atau x =2

Untuk x = 2 m = 4.2 - 4 = 4

Hal-hal yang berhubungan dengan gradien adalah sebagai berikut:

2. Dua garis g1 dan g2 saling sejajar apabila gradiennya sama atau m1 = m2

3. Dua garis g1 dan g2 saling tegak lurus apabila m1 . m2 = -1

1. Apabila diketahui persamaan garis y = ax + b, maka gradiennya adalah m = a

4. Apabila diketahui suatu garis membentuk sudut dengan sumbu X positif maka gradiennya adalah m = tan

Contoh 4. Tentukan gradien suatu garis yang tegak lurus dengan garis y = 3x + 5!

Penyelesaian.

Jadi gradien suatu garis yang tegak lurus dengan garis y = 3x + 5 adalah m =

Garis y = 3x + 5 mempunyai gradien m1 = 3 Syarat 2 garis saling tegak lurus adalah m1 . m2 = -1 3 . m2 = -1

m2 = 3

1

3

1

2. Persamaan Garis Singgung (PGS) pada kurva

Persamaan garis singgung pada kurva yang melalui sebuah titik (x1, y1) dengan gradien m adalah

y – y1 = m(x – x1)

Pada dasarnya persamaan garis singgung mempunyai 2 komponen yaitu titik singgung (x1,

y1)

dan gradien m.

Sehingga apabila titik singgung dan gradiennya belum diketahui, maka harus dicari terlebih dahulu.

Contoh 5. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x)= x3 - 5x2 + 7 dititik (-1, 4) !

Penyelesaian.

Sehingga PGS dengan yang melalui titik (-1 , 4) dengan gradien m = 13 adalah

Titik singgungnya sudah diketahui yaitu (-1, 4) namun gradiennya belum .Untuk mencari gradien, gunakan cara-cara di atas.

f(x)= x3 - 5x2 + 7 f ‘(x)= 3x2 - 10x m = f ‘(x)= 3x2 - 10x untuk x = -1 m = f ‘(-1)= 3(-1)2 - 10(-1) = 3 + 10

m = 13

y – y1 = m(x – x1)

y – 4= 13(x – (-1))y = 13x + 13 + 4y = 13x + 17

Jadi PGS dengan yang melalui titik (-1 , 4) dengan gradien m = 13 adalah y = 13x + 17

Contoh 6. Tentukan persamaan garis singgung kurva y= 4x3 - 13x2 + 4x - 3 dititik yang berabsis 1 !

Penyelesaian.

Sehingga PGS dengan yang melalui titik (1 , -8) dengan gradien m = -10 adalah

Gradiennya belum diketahui sedangkan titik singgungnya baru diketahui absisnya x = 1.

m = y’ = 12x2 - 26x +4 untuk x = 1 m = y ‘= 12.12 - 26.1 + 4

= 12 – 26 + 4 m = - 10

y – y1 = m(x – x1)

y – (-8)= -10(x – 1)y = -10x + 10 -8y = -10x + 2

Jadi PGS dengan yang melalui titik (1 , -8) dengan gradien m = -10 adalah y = -10x + 2

y= 4x3 - 13x2 + 4x - 3

Untuk x = 1 y= 4.13 - 13.12 + 4.1 – 3 = -8 sehingga titik singgungnya (1, -8)

y= 4x3 - 13x2 + 4x – 3 y ‘ = 12x2 – 26x + 4

Contoh 7. Carilah persamaan garis singgung pada y = x2 + 4x + 5 yang tegak lurus dengan garis x + 4y – 1 = 0 !

Penyelesaian. Gradiendan titik singgungnya belum diketahui, untuk mencarinya gunakan syarat 2 garis saling tegak lurus.

x + 4y – 1 = 0 y = 14

1 x

mempunyai gradien m1 = 4

1

Syarat 2 garis saling tegak lurus adalah m1 . m2 = -11.

4

12 m

m2 = 4 Berarti PGS mempunyai gradien m = 4

y = x2 + 4x + 5 y ‘ = 2x + 4

m = y ‘ = 2x + 4 m = 4 2x + 4 = 4

2x = 0 x = 0

x = 0 y = x2 + 4x + 5 = 02 + 4.0 + 5 y = 5

Berarti titik singgungnya ( 0, 5)Sehingga PGS dengan yang melalui titik (0 , 5) dengan gradien m = 4 adalah y – y1 = m(x – x1)

y – 5 = 4(x – 0) y = 4x + 5

Jadi PGS persamaan garis singgung pada y = x2 + 4x - 5

yang tegak lurus dengan garis x + 4y – 1 = 0 adalah y = 4x + 5

Lembar Kerja SiswaDiskusikan dan selesaikan masalah-masalah di bawah ini dengan teman semeja Anda!

1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = 5x2 + 6x – 8 di titik ( 3, 55 ) !

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x3 – 3x2 + 6x yang sejajar dengan garis y = 3x + 4 !

3. Carilah persamaan garis singgung pada parabola y = 3x2 + 4x -5 yang membentuk sudut 45o !

4. Diketahui kurva y = x3 + 2px2 + q. Garis singgung y = -5x -1 menyingung kurva dititik dengan absis -1. Carilah nilai p !

SOAL POST-TEST

Selesaikan soal-soal dibawah ini!

1. Tentukan gradien pada kurva y = 2x2 – 4x + 6 di titik yang berabsis 2

2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 + 2x-5 di titik dengan absis 1 !

Waktu : 10 Menit

TUGAS RUMAH

Selesaikan soal-soal dibawah ini!

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x2 – 4x + 4 yang tegak lurus dengan garis y = 2x + 5 !

2. Tentukan PGS pada kurva y = x3 – 3x2 yang sejajar dengan garis y = -3x

Catatan : Kumpulkan tugas tersebut besok hari Kamis, 24 Mei 2012

3. Diketahui titik A pada kurva y = 2x2 – 3x + 1 sehingga garis singgung di titik A membentuk sudut 45o dengan sumbu x. Tentukan titik A tersebut !

Materi tersebut di atas dapat Anda download di weblog : http://alisahadi.wordpress.com

Sekian. Terima Kasih