Persamaan Garis Singgung pada Kurva Titik P(x,y) adalah sembarang titik pada kurva y= f(x) sehingga P dapat dituliskan sebagai P(x, f(x)). P(X,f (X)) f(x+h )- f(x) h Q(x+h,f (x+h)) x x+h l g Perhatikan gambar di samping Gradien garis l adalah m Q = = =
h. Q(x+h,f(x+h)). f(x+h)-f(x). g. P(X,f(X)). x+h. x. l. Persamaan Garis Singgung pada Kurva. Perhatikan gambar di samping Gradien garis l adalah m Q = = =. Titik P(x,y) adalah sembarang titik pada kurva y= f(x) sehingga P dapat dituliskan sebagai P(x, f(x)). - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Persamaan Garis Singgung pada Kurva
Titik P(x,y) adalah sembarang titik pada kurva y= f(x) sehingga P dapat dituliskan sebagai P(x, f(x)).
P(X,f(X))
f(x+h)-f(x)
h Q(x+h,f(x+h))
x x+hl
g
Perhatikan gambar di samping Gradien garis l adalah
mQ = =
=
=
Jika h→0 maka g menjadi garis singgung pada kurva dititik P. Maka gradien garis singgungnya adalah
Persamaan garis singgung pada kurva di titik dengan gradien m dimana
Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik P (x, f(x)) pada kurva adalah
Contoh
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (1, 4) jika f '(x) = 3x2 + 6x
Jawab
f(x) = yf(1) = 4
f '(x) = 3x2 + 6x f '(1) = 3 . 1 + 6 . 1 = 9
Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah
y – 4 = 9 (x – 1) y = 9x – 5.
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3
Jawab
4x + y = 3y= -4x + 3m2= -4
y = 3 + 2x – x2
f’(x) = -2x + 2
m1 = m2
-2x+2 = -4 -2x = -6 x = 3
x = 3f(x) = 3 + 2(3) – (3)2
f(x) = 0 y = 0
Persamaan garis singgung yang sejajar terhadap garis 4x + y = 3 adalah
y – 0 = -4 (x – 3) y = -4x + 12
1. Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4) a. Tentukan gradien garis singgung di titik A b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dengan f(x) = 2x3 yang tegak lurus terhadap garis y = –
LATIHAN SOAL
Jawaban no 1
1. Diketahui y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4)
y = f(x) = x2 – 3x + 4 f’(x)= 2x – 3
a. Gradien di titik A (3,4)m = f’(x) = 2x – 3
= 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3
b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4) y – y1 = m (x – x1) y – 4 = 3 (x – 3 ) y – 4 = 3x – 9 y = 3x – 5
Jawaban no 2
y = 2x3 tegak lurus terhadap garis y = – maka m1. m2 = -1(– ) . m2 = -1 m2 = 24 f’(x1) = 24
y = 2x3
f '(x) = 6x2
f '(x1) = 6x12
24 = 6x12
4 = x12
X1= ± 2.
Untuk x1 = 2, f (x) = 2x3
f (x1) = 2(23) = 16
Untuk x1 = - 2, f (x) = 2x3
f (x1) = 2((-2)3) = - 16
Persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis y = – adalah
y – f(x1) = f '(x1) (x – x1) y – 16 = 24 (x – 2) y = 24x – 32
y – f(x1) = f '(x1) (x – x1) y – (-16) = 24 (x – (-2)) y + 16 = 24 (x + 2) y = 24x + 32
1. Syarat fungsi naik dalam suatu interval tertentu yaitu jika seiring pertambahan nilai x ke kanan, maka nilai f(x) semakin bertambah atau f ‘(x)>0.
x2 > x1 f(x2) > f(x1)
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
1x 2x
y=f(x)
)f(x1 )f(x2
Fungsi Naik
(a)
2. Syarat fungsi turun yaitu jika seiring pertambahan nilai x kekanan, maka nilai f(x) semakin berkurang atau f ‘(x)<0
x2 > x1 f(x2) < f(x1)1x
y=f(x)
2x
)f(x1 )f(x2
Fungsi Turun
(b)
Contoh Soal
1. Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan:a. Fungsi naikb. Fungsi turun
Jawab:
f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4f’(x) = 3x2 + 18x + 15
Syarat fungsi naik f’(x) > 0 3x2 + 18x + 15 > 0 x2 + 6x + 5 > 0 (x+1) (x+5) > 0 Harga batas x = -1 , x = -5 Jadi fungsi naik pada interval x < 5 atau x > -1
Nilai Stationer
Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping. Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.
Jenis-Jenis Stasioner
1. Nilai stasioner maksimum
Pada : x < a diperoleh f’(x) > a x = a diperoleh f’(x) = a x > a diperoleh f’(x) < a Fungsi yang demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.
2. Nilai stasioner belok
a. Nilai stasioner di titik B
Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0 x = b diperoleh f’(x) = 0 x > b diperoleh f’(x) < 0 Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok.
b. Nilai Stasioner di titik D
Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0 x = d diperoleh f’ (x) = d x > d diperoleh f’ (x) > d Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d)) disebut titik belok.
3. Nilai stasioner minimum
Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0 x = e diperoleh f’(x) = 0 x > e diperoleh f’(x) > 0 Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e)) disebut titik balik minimum.
Contoh
1. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x
Cara menggambar grafik fungsi aljabar suku banyak adalah sebagaiberikut:
1. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat.2. Tentukan titik-titik stationer dan jenis-jenisnya.3. Tentukan beberapa titik pada kurva.4. Gambarlah kurva.
Gambarlah grafik Jawab
Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.a. titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0y
Dalam soal ini titik potong sumbu x sukar ditentukan
b. titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0y y y = -5titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -5)
Langkah 2 : Menentukan titik stationer dan jenisnya.Dari y Maka Nilai stationer dicapai jika f’(x) = 0, sehingga :Untuk = 0 (x - 3)(x - 4) = 0 x1 = 3 atau x2 = 4
Untuk x1 = 3 f(x) f(x) =
Untuk x2 = 4f(x) f(x) =
f(x) naik jika f’(x) > 0, maka :x2 - 7x +12 > 0(x - 3)(x - 4) > 0x < 3 atau x > 4f(x) turun jika f’(x) < 0, maka :
x2 - 7x +12 < 0(x - 3)(x - 4) < 03 < x < 4
Langkah 3 : Ambil beberapa titik tertentu
1 2 3 4 5
Langkah 4 : Gambarlah grafiknya
Buatlah grafiknya dari persamaan y = f(x) = 3x – x3
LATIHAN SOAL
Jawab:i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0. y = 0 = 3x – x3
0 = x (3 – x2) 0 = x (1 - x ) (1 + x)
ii. memotong sumbu y, jika x = 0 y = 3x – x3
y = 3.0 - 03
y = 0 Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0 f’ (x) = 3 – 3x2
= (1 - x 2) = 3 (1 – x) (1 + x) x = 1, x = -1
untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2 x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2
nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2)