PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN · PDF filePERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN A. Pendahuluan Suatu lingkaran mempunyai tepat satu garis singgung yang melalui

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN

Oleh:

Anang Wibowo, S.Pd

SMA Negeri 1 Ponorogo

Mei 2012


Email : [email protected] Blog : www.matikzone.co.cc – www.matikzone.wordpress.com HP : 08 581 581 81 51 (SMS only)

© Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi materi ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumber URL-nya ya…


A. Pendahuluan Suatu lingkaran mempunyai tepat satu garis singgung yang melalui satu titik pada

lingkaran tersebut, mempunyai dua buah garis singgung dengan gradien yang sama, dan mempunyai dua garis singgung yang dapat ditarik melalui satu titik di luar lingkaran. Setidaknya itulah yang dapat kita tentukan, dan materi inilah yang selama ini diajarkan di SMA/MA kelas XI IPA pada Bab Lingkaran, sub bab Menentukan persamaan garis singung lingkaran. Dengan rincian sebagai berikut: a. Menentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran, b. Menentukan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui, dan c. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran.

Muncul pertanyaan, bagaimanakah dengan persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran, apakah bisa kita tentukan? Mengapa selama ini yang dibahas hanya sebatas menentukan panjang garis singgung sekutu dua lingkaran, yang mana materi ini telah dibahas di tingkat SMP? Berikut adalah pembahasan, bagaimana kita menentukan persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran.

B. Dasar Teori

Garis Singgung Lingkaran Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik dan titik tersebut dinamakan titik singgung lingkaran.

Garis cmxy += menyinggung lingkaran L jika nilai D = 0. Dimana D adalah diskriminan persamaan kuadrat yang diperoleh setelah mensubtitusikan cmxy += ke persamaan lingkaran.

Atau

Garis ax + by + c = 0 menyinggung lingkaran L jika d = r, dengan d adalah jarak titik pusat lingkaran ( )11, yxP terhadap garis singgung ax + by + c = 0 dan r adalah jari-jari

lingkaran, dimana 22

11

ba

cbyaxPQd

+

++==

.

L

ax + by + c = 0

P

Q

r

L cmxy +=

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik Pada Lingkaran

Dari gambar, 1

1

xy

mPQ =

PQ tegak lurus gs, maka

1

11yx

mmm gsgsPQ −=⇒−=

Persamaan garis singgung melalui ( )11 , yxQ adalah:

( )

( )

( ) ( )

21

2111

211

211

1111

11

11

11

yxyyxx

xxxyyy

xxxyyy

xxyx

yy

xxmyy

+=+

+−=−

−−=−

−−=−

−=−

Karena Q(x1, y1) pada lingkaran, maka 221

21 ryx =+ , sehingga persamaan garis

singgungnya adalah:

211 ryyxx =+

Dengan sistem bagi adil, lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− mempunyai persamaan garis

singgung:

( )( ) ( )( ) 211 rbybyaxax =−−+−−

dan untuk lingkaran 022 =++++ CByAxyx mempunyai persamaan garis singgung:

( ) ( ) 022 1111 =++++++ CyyB

xxA

yyxx

Persamaan Garis Singgung Suatu Lingkaran Jika Gradiennya Diketahui

Misalkan persamaan garis singgung lingkaran 222 ryx =+ adalah cmxy += ,

Subtitusi y ke persamaan lingkaran

( )( ) ( ) 021

022222

22222222

=−+++⇒

=−+++⇒=++

rcmcxxm

rcmcxxmxrcmxx

Garis menyinggung lingkaran jika D = b2 – 4ac = 0

Q(x1, y1)

P

r

X

Y

x1

y1

gs

( ) ( )( )

( )( )2

222

2222

2222

22222222

2222

1

1

0

044444

0142

mrc

mrc

rmrc

rmrc

rmrcmccm

rcmmc

+±=⇒

+=⇒

+=⇒

=++−⇒

=++−−⇒

=−+−

Maka persamaan garis singgung lingkaran 222 ryx =+ dengan gradien m adalah:

21 mrmx

cmxy

+±=

+=

Dengan sistem bagi adil, untuk lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− akan diperoleh

persamaan garis singgung:

( ) 21 mraxmby +±−=−

Sehingga gradien garis singgung lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− yang melalui titik

( )11 , yxT di luar lingkaran dapat kita tentukan dengan rumus:

( ) 211 1 mraxmby +±−=−

Langkah- langkah mencari persamaan garis singgung lingkaran adalah:

1. Menentukan gradien garis singgung lingkaran. 2. Gunakan rumus persamaan garis melalui suatu titik, misalnya ( )11 , yxT dan

diketahui gradiennya (m). Persamaannya adalah: ( )11 xxmyy −=− Persamaan Garis Polar/Kutub Dari satu titik di luar lingkaran, dapat ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran tersebut. Garis yang menghubungkan kedua titik singgung disebut garis polar atau garis kutub.

Misal A( )AA yx , maka PGS di titik singgung A adalah 2ryyxx AA =+ …….(1)

B ( )BB yx , maka PGS di titik singgung B adalah 2ryyxx BB =+ …….(2)

( )11, yxT

Garis polar/kutub

g1

g2

A dan B adalah titik singgung, juga titik potong garis polar dengan lingkaran.

A

B

P

Sehingga persamaan garis

AT adalah 211 ryyxx AA =+ ……….(3)

BT adalah 211 ryyxx BB =+ ……….(4)

Kurangkan (3) dengan (4), diperoleh

( ) ( ) ( )( ) 1

111 0

yx

xxyy

yyyxxxBA

BABABA −=

−−

⇒=−+−

Gradien garis AB adalah ( )( ) 1

1

yx

xxyy

BA

BA −=−−

dan garis AB melalui titik A maka persamaan

garis AB adalah

( )

211

1111

11111

1

ryyxx

yyxxyyxx

xxxxyyyyxxyx

yy

AA

AAAA

=+⇒

+=+⇒

+−=−⇒−−=−

Jadi, persamaan garis polar AB pada lingkaran 222 ryx =+ adalah: 211 ryyxx =+

Uuntuk lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− mempunyai persamaan garis polar:

( )( ) ( )( ) 211 rbybyaxax =−−+−−

Dan untuk lingkaran 022 =++++ CByAxyx persamaan garis polarnya adalah:

( ) ( ) 022 1111 =++++++ CyyB

xxA

yyxx

Langkah- langkah mencari persamaan garis singgung lingkaran adalah:

1. Tentukan persamaan garis polarnya. 2. Subtitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran, untuk mencari titik A dan

B sebagai titik singgung lingkaran. 3. Gunakan rumus Persamaan Garis Singgung melalui titik pada lingkaran untuk

mencari persamaan garis singgungnya.

Kedudukan Dua Lingkaran:

Kedudukan dua lingkaran ada lima kemungkinan, yaitu:

a). Saling Asing Luar/ Tidak Berpotongan Luar, jika R + r < PQ

b). Bersinggungan Luar, jika R + r = PQ

c). Bersinggungan Dalam, jika R – r = PQ

d). Saling Asing Dalam / Tidak Berpotongan Dalam, jika R – r > PQ

e). Berpotongan, jika R – r < PQ < R + r

Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu dalam jika kedudukan dua lingkaran tersebut saling asing luar, atau bersinggungan luar. Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu dalam jika PQrR ≤+ .

Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu luar jika kedudukan dua lingkaran tersebut saling asing luar, bersinggungan luar, bersinggungan dalam, atau berpotongan. Dua lingkaran mempunyai garis singgung sekutu luar jika PQrR ≤− .

Titik Bagi Ruas Garis AB Koordinat titik bagi ruas garis AB yaitu titik C, dimana AC : CB = a : b adalah

( )

++

++

=babyay

baxbxa

CyxC ABABCC ,,

Dua Segitiga yang Sebangun Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama. Perhatikan gambar, segitiga ABC sebangun dengan segitiga PQR, maka RCQBPA ∠=∠∠=∠∠=∠ ,, dan

QRBC

PRAC

PQAB ==

A

B

C a

b

r R

P Q r R

P Q r

R

P Q

P Q r

R P

Saling Asing Luar Bersinggungan Luar Bersinggungan Dalam

Saling Asing Dalam Berpotongan

r

R

P Q

C. Persamaan Garis Singgung Sekutu Dua Lingkaran Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran dapat ditentukan dengan

menentukan terlebih dulu titik potong kedua garis singgung, kemudian menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran. Adapun lingkaran yang akan digunakan, bisa memilih lingkaran pertama atau lingkaran kedua. Titik potong kedua garis singgung adalah:

Garis Singgung Sekutu Dalam

Perhatikan gambar di atas!

PBE∆ sebangun dengan QDE∆ , karena 090=∠=∠ QDEPBE dan QEDPEB ∠=∠

(saling bertolak belakang) mengakibatkan DQEBPE ∠=∠ , sehingga

rRQEPEataurR

QDPB

QEPE

:: === .

Titik E adalah titik potong kedua garis singgung, titik E membagi garis PQ dengan perbandingan rREQPE :: =

Maka koordinat titik E adalah

++

++

rRryRy

rRrxRx

E PQPQ ,

P

Q

E R

r

α

β

γ

β

αγ

A

B

C

P

Q

R

R r

P Q

A

B

C

D

g1

g2

E

Garis Singgung Sekutu Luar, jika R > r.

Perhatikan gambar di atas!

PBS∆ sebangun dengan QCS∆ , karena 090=∠=∠ QCSPBS dan QSCPSB ∠=∠ (saling berhimpit) mengakibatkan CQSBPS ∠=∠ , sehingga

rRr

rRQSPQ

rR

QSPQ

rR

QCPB

QSQSPQ

>−

=⇒=+⇒==+

;1

Titik S adalah titik potong kedua garis singgung, yang perupakan perpanjangan garis PQ dengan perbandingan rRrrRQSPQ >−= ;:)(: sehingga

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )rR

yrRyy

yrRyyrR

yryrRRyrrR

yryrRy

danrR

rxRxx

rxRxxrR

rxxrRRxrrRrxxrR

x

diperoleh

rrRryyrR

rrRrxxrR

QyxQ

PQS

PQS

PSQPS

Q

PQS

PQS

PSQPS

Q

PSPSQQ

−−

=⇒

−=−⇒

+−=⇒+−+−

=⇒

−

−=⇒

−=−⇒

+−=⇒+−+−

=⇒

+−+−

+−+−

=

:

,,

Sehingga kita dapatkan koordinat titik S adalah ( )

−−

−−

=rRryRy

rRrxRx

SyxS PQPQSS ,,

P

S

Q R – r

r

A

B

S

D

C

Q P

R r

Dalam menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran kita menggunakan persamaan garis polar atau dengan menentukan gradien garis singgungnya terlebih dulu.

Garis Singgung Sekutu Luar, jika R = r.

Jika R = r (jari-jari kedua lingkaran sama), maka kedua garis singgung sekutu sejajar dan tidak mempunyai titik potong. Kedua garis singgung sejajar dengan garis PQ, yaitu garis

yang menghubungkan kedua pusat lingkaran. Sehingga diperoleh PQ

PQPQgs xx

yymm

−

−== .

Persamaan garis singgung sekutunya kita kita tentukan dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradiennya. Persamaan garis singgung dengan

gradien m untuk lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− adalah ( ) 21 mraxmby +±−=− .

Dua Lingkaran yang Bersinggungan

Titik

++

++

rRryRy

rRrxRx

E PQPQ , pada lingkaran yang bersinggungan luar, merupakan

titik potong kedua lingkaran sekaligus titik singgung dari garis singgung persekutuan

dalam. Titik

−−

−−

rRryRy

rRrxRx

S PQPQ , pada dua lingkaran yang bersinggungan dalam,

juga merupakan titik potong kedua lingkaran sekaligus titik singgung dari garis singgung persekutuan luar. Titik E dan titik S adalah titik singgung sekutu. Sehingga persamaan garis singgung sekutunya dapat ditentukan dengan rumus menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran.

r R P Q

r

R

P Q

Bersinggungan Luar Bersinggungan Dalam

P

Q

g1

g2

r

R= r

S E

D. Soal dan Pembahasannya Pada pembahasan soal di bawah, untuk soal pertama kita akan menentukan

gradien garis singgung terlebih dulu, kemudian mencari persamaan garis singgung sekutunya dengan menggunakan lingkaran pertama, juga dengan lingkaran kedua. Untuk soal kedua kita gunakan kedua cara namun dengan lingkaran yang sama yaitu menggunakan lingkaran pertama. Soal ketiga dan keempat adalah contoh soal dengan karakteristik khusus.

Soal Pertama: Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam ( ) ( ) 1632 22

1 =−+−≡ yxL dan

( ) ( ) 4312 222 =−+−≡ yxL .

Jawab:

( ) ( ) 1632 221 =−+−≡ yxL mempunyai pusat P(2, 3) dan jari-jari R = 4

( ) ( ) 4312 222 =−+−≡ yxL mempunyai pusat Q(12, 3) dan jari-jari r = 2

Hubungan dua lingkaran

( ) ( )PQrRdanPQrR

rRrR

PQ

<−<+

=−=−=+=+

==−+−=

224624

1010033212 22

Maka L1 dan L2 saling asing luar dan mempunyai garis singgung sekutu dalam dan luar.

Diketahui bahwa koordinat titik

++

++

rRryRy

rRrxRx

E PQPQ , , sehingga kita peroleh koordinat

titik E adalah:

=

=

++

++

3,3

266

18,

652

243.23.4

,24

2.212.4EEE

Cara 1: Menggunakan Lingkaran Pertama. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah:

( ) ( ) 22 14231 mxmymRxxmyy PP +±−=−⇒+±−=−

Garis singgung melalui titik

3,

326

E

01443 =−− yx03843 =−+ yx

1L 2L

( )

9400

1616

320

14

14320

0

142326

331423

22

2

2

22

mm

mm

mm

mmmxmy

=+⇒

=+±⇒

+±=⇒

+±

−=−⇒+±−=−

43

169916

144256

400144144

2

2

2

22

±=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

=+⇒

m

m

m

m

mm

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui

3,

326

E adalah:

−=−

326

3 xmy

014434

2643

3

326

43

343

=−−⇒

−=−⇒

−=−⇒=

yx

xy

xymUntuk

038434

2643

3

326

43

343

=−+⇒

+−=−⇒

−−=−⇒−=

yx

xy

xymUntuk

0384301443

2

1

=−+≡•=−−≡•

yxgyxg

Cara 2: Menggunakan Lingkaran Kedua. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L2 adalah:

( ) ( ) 22 121231 mxmymrxxmyy QQ +±−=−⇒+±−=−

Garis singgung melalui titik

3,

326

E

( )

22

22

2

2

22

10036369

10044

310

12

123

100

1212326

3312123

mm

mm

mm

mm

mmmxmy

=+⇒

=+⇒

−=+±⇒

+±−=⇒

+±

−=−⇒+±−=−

Jadi, persamaan garis singgung persekutuan dalam L1 dan L2 adalah:

43

169

916

3664

2

2

2

±=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

m

m

m

m

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui

3,

326

E adalah:

−=−

326

3 xmy

014434

2643

3

326

43

343

=−−⇒

−=−⇒

−=−⇒=

yx

xy

xymUntuk

038434

2643

3

326

43

343

=−+⇒

+−=−⇒

−−=−⇒−=

yx

xy

xymUntuk

0384301443

2

1

=−+≡•=−−≡•

yxgyxg

Soal Kedua: Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran ( ) ( ) 1665 22

1 =−+−≡ yxL dan ( ) ( ) 4415 22

2 =−+−≡ yxL . Jawab:




( ) ( )PQrRdanPQrR

rRrR

PQ

<−<+

=−=−=+=+

=+=−+−=

224624

104410064515 22

Maka L1 dan L2 saling asing luar dan mempunyai garis singgung sekutu dalam dan luar.

Jadi, persamaan garis singgung persekutuan dalam L1 dan L2 adalah:

1L

2L

235 −= xy

2=y

0149125 =−+ yx

Diketahui bahwa koordinat titik

−−

−−

rRryRy

rRrxRx

S PQPQ , , sehingga kita peroleh koordinat

titik S adalah: ( )2,2524

,205

246.24.4

,24

5.215.4SSS =

=

−−

−−

Cara 1: Dengan Menentukan Persamaan garis Polar Persamaan garis polar berdasar titik S(25, 2) pada lingkaran L1 (dipilih L1) adalah: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

235092420016244100201666255252

11

−=⇒=−−⇒=−+−−⇒=−−+−−⇒=−−+−−

xyyx

yxyxrbybyaxax

Subtitusi y ke persamaan L1 ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

51385058513042515013

085030026

016841290252510

1629551665

2

2

22

2222

==⇒

=−−⇒=+−⇒

=+−⇒

=−+−++−⇒

=−+−⇒=−+−

xataux

xxxx

xx

xxxx

xxyx

Subtitusi x ke persamaan garis polar (bukan ke persamaan lingkaran).

( )2,5223252355513126

,1385

13126

13299

13425

231385

51385

2

1

Tyx

Tyx

⇒=−=−⋅=⇒=∗

⇒=−=−⋅=⇒=∗

13126

,1385

1T dan ( )2,52T adalah titik potong garis polar dengan lingkaran yang merupakan

titik singgung pada lingkaran L1. Kita tentukan persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran L1. Persamaan garis singgung melalui ( )11 , yxT pada lingkaran ( ) ( ) 222 rbyax =−+− adalah:

( )( ) ( )( ) 211 rbybyaxax =−−+−−

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

014912505964820020828848100200208648520

01661348

51320

166613

12655

1385

13126

,1385

1

=−+⇒=−+⇒=−−+−+⇒=−−+−⇒

=−−+−⇒

=−

−+−

−⇒

yxyx

yxyx

yx

yxT

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )

284

0162440166450166625552,51

=⇒−=−⇒

=−+−⇒=−−−−⇒=−−+−−⇒

yy

yyx

yxT

Jadi, persamaan garis singgung persekutuan luar L1 dan L2 adalah:

20149125 ==−+ ydanyx Cara 2: Dengan Menentukan Gradien Garis Singgung. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m pada L1 adalah (dipilih L1):

( ) ( ) 22 14561 mxmymRxxmyy PP +±−=−⇒+±−=− Garis singgung melalui titik ( )2,25S

( ) ( )

( )

125

2410

0

0102401024

110251

151

151

14204

14525621456

2

22

2

2

2

22

−=−==⇒

=+⇒=+⇒

++=+⇒

+=+±⇒

+±=−⇒

+±=−⇒

+±−=−⇒+±−=−

mataum

mmmm

mmm

mm

mm

mm

mmmxmy

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui ( )2,25S adalah: ( )252 −=− xmy

( )

202

25020

=⇒=−⇒

−=−⇒=

yy

xymUntuk

( )

0149125

1255241212

125125

2

25125

2125

=−+⇒

+−=−⇒

+−=−⇒

−−=−⇒−=

yx

xy

xy

xymUntuk


01491252 =−+= yxdany

Soal Ketiga:

Tentukan persamaan garis singgung persekutuan luar lingkaran

( ) ( ) 524 221 =−+−≡ yxL dan 5

56

512 22

2 =

++

−≡ yxL .

Jawab:


556

512 22

2 =

++

−≡ yxL mempunyai pusat

−

56

,5

12Q dan jari- jari r = 5


rRPQrRrR

rR

PQ

+<<−<<

=−=−

==+=+

===+=

−−+

−=

47,479,10

055

47,45255

79,15

1625320

25256

2564

256

45

12 22

Maka L1 dan L2 berpotontan di dua titik, tidak mempunyai garis singgung sekutu dalam, hanya mempunyai garis singgung sekutu luar.

Untuk R = r (jari- jari kedua lingkaran sama, yaitu 5 ), kedua garis singgung sejajar PQ.

2816

585

16

45

12

256

==−

−=

−

−−=

−

−==

PQ

PQPQgs xx

yymm

Garis singgung L1 merupakan garis singgung L2.

Persamaan garis singgung ( ) ( ) 524 221 =−+−≡ yxL (dipilih L1) dengan gradien 2

adalah:

( )

12112562

5822215422 2

−=−=⇒±−=⇒

±−+=⇒+±−=−

xyatauxyxy

xyxy


12 −= xy dan 112 −= xy .

Soal Keempat:

Tentukan persamaan garis singgung persekutuan dalam antara lingkaran

( ) ( ) 911 221 =−+−≡ yxL dan ( ) ( ) 416 22

2 =−+−≡ yxL .

Jawab:




( ) ( )

PQrRPQrR

rRrR

PQ

<−=+

=−=−=+=+

==−+−=

123523

5251116 22

Maka L1 dan L2 bersinggungan luar, mempunyai satu garis singgung sekutu dalam dan dua garis singgung sekutu luar.

P

Q

112 −= xy12 −= xy

( ) ( ) 524 221 =−+−≡ yxL

556

512 22

2 =

++

−≡ yxL

Cara 1:

021 =−≡ LLPGS

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

−

===−+−+−

=−−−=−+−

=−+−

440105351212

561416

911

22

22

22

22

xx

xxxx

xxyx

yx

Cara 2:

Titik singgung sekutu dua lingkaran adalah =

++

++

rRryRy

rRrxRx

E PQPQ ,

( )1,42323

,23218

EE =

++

++

E(4, 1) adalah titik pada kedua lingkaran, maka persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan rumus persamaan garis singgung melalui titik pada lingkaran. Kita cari menggunakan lingkaran pertama.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

4123

933

91391111142

11

=⇒=⇒=−⇒=−⇒=−−+−−⇒=−−+−−

xx

x

xyxrbybyaxax

Jadi persamaan garis singgung sekutu dalam L1 dan L2 adalah x = 4.

E. Kesimpulan Persamaan garis singgung sekutu dua lingkaran dapat ditentukan dengan

menentukan koordinat titik potong kedua garis singgung, kemudian menentukan persamaan garis singgung sekutunya dengan cara “Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran”. Jika jari-jari kedua lingkaran sama, maka persamaan garis singgung sekutu luar ditentukan dengan persamaan garis singgung lingkaran jika diketahui gradiennya, dengan gradien garis singgung sama dengan gradien garis PQ. Pada dua lingkaran yang bersinggungan luar dan bersinggungan dalam, ditemukan titik singgung sekutu, sehingga persamaan garis singgung dapat ditentukan dengan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik pada lingkaran.

Menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran

bisa menggunakan persamaan garis polar atau dengan menentukan gradien garis singgung terlebih dulu. Dipilih cara mana yang lebih mudah. Karena terdapat dua buah lingkaran, maka dapat dipilih salah satu lingkaran untuk menentukan persamaan garis singgung sekutunya.

F. Bahan Bacaan

Agus, Nuniek Avianti. 2007. Mudah Belajar Matematika 2: untuk kelas VIII SMP/MTs. Jakarta. BSE Depdiknas.

Departemen Matematika Technos. –tanpa tahun-. Teori Ringkas Matematika. Surabaya. Litbang LP3T Technos.

Hamiyah, Nur. 2009. Panduan Lengkap Pintar Matematika (Bilingual). Jakarta. Cerdas Pustaka Publisher.

Kangenan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika XI SMA/MA Program IPA. Jakarta. Grafindo Media Pratama.

Kishan, Hari. 2006. Coordinate Geometry of Two Dimensions. New Delhi. Atlantic Publisher and Distributors. (PDF File)

Negoro, ST. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta. Ghalia Indonesia.

Noormandiri, BK. 2004. Matematika SMA/MA kelas XI Program IPA. Bandung. Erlangga.

No Name. Golden Co-ordinate Geometry. Laxmi Publications (P) Ltd. (PDF File)

G. Aplikasi Pendukung

• Microsoft Office Word 2007 • Goegebra Portable 4.2 / Geogebra Setup 3.0 (http://www.geogebra.org)

Lampiran:

Tabel Banyak Garis Singgung Persekutuan (GSP) Dua Lingkaran

No Hubungan 2 Lingkaran

Banyak GSP Cara menentukan PGSP

Dalam Luar Dalam Luar 1

Saling Asing Luar

2

2

Menentukan titik potong kedua Garis Singgung kemudian mencari PGS melalui titik di luar lingkaran. Titik potong:

++

++

rRryRy

rRrxRx

E PQPQ ,

Dengan: L1: Pusat P , jari-jari R L2: Pusat Q, jari-jari r

Menentukan titik potong kedua Garis Singgung kemudian mencari PGS melalui titik di luar lingkaran. Titik potong:

−−

−−

rRryRy

rRrxRx

S PQPQ ,

Jika jari-jari lingkaran sama

mk PQ

PQPQgs xx

yymm

−

−==

PGS ditentukan dengan rumus PGS jika diketahui gradiennya.

2

Bersinggungan Luar

1

2

Cara 1: 021 =−≡ LLPGS

Cara 2: Menentukan titik singgung sekutu

++

++

rRryRy

rRrxRx

E PQPQ , ,

kemudian gunakan PGS melalui titik pada lingkaran.

-- Sda --

3

Berpotongan

0

2

-

-- Sda --

4

Bersinggungan Dalam

0

1

-

Cara 1: 021 =−≡ LLPGS

Cara 2: Menentukan titik singgung sekutu

−−

−−

rRryRy

rRrxRx

S PQPQ , ,

kemudian gunakan PGS melalui titik pada lingkaran.

5

Saling Asing Dalam

0

0

-

-

S

E

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN · PDF filePERSAMAAN GARIS SINGGUNG SEKUTU DUA LINGKARAN A. Pendahuluan Suatu lingkaran mempunyai tepat satu garis singgung yang melalui

Documents