Series de Tiempo (1)

Econometría II

Series de Tiempo

Facultad de Economía - UNMSM

Mg. Beatriz Castañeda S.

2010

Mg. Beatriz Castañeda S. 2Econometría II

Una serie de tiempo es una secuencia de datos numéricos, cada uno de los cuales se asocia con un instante específico del tiempo. Podemos citar como ejemplos de series de tiempo al índice mensual de inflación, al tipo de cambio diario, al producto bruto interno trimestral, al índice de desempleo anual, etc. Estas series poseen como característica que los lapsos de tiempo, para la observación cada una de ellas son homogéneos, es decir, la frecuencia de observación es semanal, mensual, trimestral, etc.

20

40

60

80

100

120

140

60 65 70 75 80 85 90 95

IP

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

60 65 70 75 80 85 90 95

D1IP

Indice de Productividad (IP)

Variación del IP respecto al mes anterior

Serie de tiempo


Series de tiempo estacionarias y no estacionarias

Teóricamente una serie de tiempo puede ser vista como una colección de variables aleatorias Yt. Es por este motivo que a una colección de este tipo de datos se le denomina proceso estocástico. Cada una de estas observaciones se asume como una realización del proceso estocástico subyacente. Es una tarea de la teoría económica el desarrollar modelos que capturen el verdadero proceso generador de datos (PGD).

-40

0

40

80

120

160

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

D1PBI

Serie no Estacionaria


Series de tiempo estacionarias

Estacionariedad estricta

Es aquel proceso cuya distribución de probabilidad conjunta es invariante respecto a los desplazamientos en el tiempo, es decir:

kmYYYfYYYf ktmktkttmtt ,),...,,(),...,,( 2121

Si m=1, entonces

)()( 11 ktt YfYf 2

11

11

)()(

)()(

ktt

ktt

YVYV

YEYE

La distribución marginal de yt en cualquier punto del tiempo es la misma, no cambia


Estacionariedad estricta

Si m = j, entonces ),(),( 1111 kjtktjtt YYfYYf

jkjtktjtt YYCYYC ),(),( 1111

La covarianza de variables separadas por j periodos es constante, sin importar en que momento del tiempo se encuentran

A j se denomina autocovarianza a j periodos, ya que indica la covarianza entre

observaciones de la misma serie

Estos resultados nos informan acerca del patrón de comportamiento de la serie

Como E(Yt)= y V(Yt) =2

Nos permite localizar a la serie alrededor de su media con una variabilidad constante (al 95% a ± 2)


La covarianza nos informa cual es el patrón de variación alrededor de su media

)])([(),( jttjttj YYEYYC

Para observaciones separadas por j periodos

0jYt > hay tendencia a que Yt+j >

Yt < hay tendencia a que Yt+j <

0jYt > hay tendencia a que Yt+j <

Yt < hay tendencia a que Yt+j >

La autocovarianza determina la apariencia de la serie, sugiere que el proceso tendrá un patrón general sin importar cuando se observa

Para eliminar el efecto de la unidad de medida, analizamos la autocorrelación, la que nos indicará el patrón de la serie

0)(

),(

j

t

jttj YV

YYC


1

-1

j

j

t

Yt

Correlograma

La definición estricta de estacionariedad es demasiado rigurosa como para que realmente se pueda comprobar en la práctica. La misma implica que la distribución de Yt y de cualquier combinación de éstas, involucrados todos sus momentos, es independiente del tiempo. Si se relaja un poco los supuestos y se limita esta independencia al primer (media) y segundo momento (varianza y autocovarianza), entonces estamos definiendo débilmente la estacionariedad. Este tipo de estacionariedad también es denominado estacionariedad de segundo orden, estacionariedad en sentido amplio, estacionariedad de covarianza.

Estacionariedad débil o de segundo orden


Una serie se define como estacionaria cuando no presenta tendencia y su desarrollo corriente se encuentra alrededor de su media. Cualquier shock que sufra en cualquier momento en el tiempo no tendrá efectos permanentes y sólo la alejará temporalmente de su equilibrio. En caso de que la serie sea no estacionaria, el camino que recorre a través del tiempo está determinado por los shocks que percibe durante su trayectoria y son estos los que determinan íntegramente su recorrido. No presentan una media determinada.

Series estacionarias y no estacionarias


MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS

PGD yt

PGDyt

y , y , j

fac, fap

Datosy1, y2, …., yT

ttt ,,...., 12


MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS

Serie Ruido blanco: tEs la serie perturbación aleatoria, en la que:

0),(;)(;0)( 2 jtttt CVE

t

t

0

Modelos

1. Proceso Media Móvil: MA(q) qtqttttY ....2211

2. Proceso Autorregresivo: AR(p) ptptttt YYYY ....2211

3. Proceso Mixto Autorregresivo de Media Móvil: ARMA(p,q)

qtqtttptpttt YYYY ....... 22112211


Proceso Media Móvil: MA(q)

qtqttttY ....2211 0),(;)(;0)( 2 jtttt CVE ;

Momentos:

)( tYE

)....1(

]....[

])....[()()(

22220

2222222

22211

2

21

2211

q

qtqttt jtitji

qtqttttt

E

EYEYV

)....(

)]....)(....[(

)])([(

1322112

1322112211

11

qq

qtqtttqtqttt

tt

E

YYE


Proceso Media Móvil: MA(q)

;

)....(

)]....)(....[(

)])([(

2423122

2423122211

22

qq

qtqtttqtqttt

tt

E

YYE

)....( 22112

qjqjjjj

Función de autocorrelación

0)(

),(

j

t

jttj YV

YYC

1;0

;....1

....222

2211

21

qjsi

qjsiq

qjqjjj


1. Sea un proceso MA(1): Yt = 3 + t + 0.5 t-1; 2 = 0.09

Luego E(Yt) = 3 ; V(Yt) = 0.09(1+0.52) = 0.1125 = 0

Función de autocorrelación:

4.025.1

5.01

1;0 jsij

j

1

-1

j

Y1 Mean 3.009049 Median 3.022499 Maximum 3.790389 Minimum 2.101897 Std. Dev. 0.337565 Skewness 0.021909 Kurtosis 2.720795

Jarque-Bera 0.329485

Probability 0.84811

Serie autogenerada con números aleatorios de la distribución normal

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Y1


2. Sea un proceso MA(1): Yt = 3 + t - 0.5 t-1; 2 = 0.09

Luego E(Yt) = 3 ; V(Yt) = 0.09(1+0.52) = 0.1125 = 0

Función de autocorrelación:

4.025.1

5.01

1;0 jsij

j

1

-1

j



Jarque-Bera 1.552619 Probability 0.460101

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Y2


3. Sea un proceso MA(2): Yt = 15 + t + 0.7 t-1 - 0.2 t-2 ; 2 = 0.09

E(Yt) = 15

366.053.1

14.07.01

2;0 jsij


0 = 0.09(1+0.72+0.22) = 0.1377

13.053.1

2.02

j

1

-1

j

14.0

14.4

14.8

15.2

15.6

16.0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Y3


Jarque-Bera 1.040289 Probability 0.594435


Proceso Autorregresivo: AR(p)

ptptttt YYYY ....2211 0),(;)(;0)( 2 jtttt CVE ;

Proceso AR(1): 11 ttt YY

ioestacionaresprocesoelsiYEYE tt );()( 11 11

)(

tYE

)(11

~11

1

111

111

tttttttt YYYYY

022

112222

110 111]

~2

~[])

~[( tttt YYEYE

tt

012

111111 ]~~

[]~)

~[(

1

tYYEYYE ttttt

2

2

0

11

;


1121122112 ]~~~

[]~)

~[( ttttttt YYYEYYE

………

11 jj


10

011

2112 1

jjj 111

………

1

-1

j

j

1

-1

j

j


28.8

29.2

29.6

30.0

30.4

30.8

31.2

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Y4

1. Sea un proceso AR(1): Yt = 6 + t + 0.8 Yt-1; 2 = 0.09

308.01

6

1)(

1

tYE 25.08.01

09.0

1 22

2

0

1

Mean 30.04767 Median 30.05618 Maximum 31.15199 Minimum 28.86924

Std. Dev. 0.485857

Skewness 0.114342 Kurtosis 2.556619 Jarque-Bera 1.026640 Probability 0.598505


1

-1

j

j

jj 8.0


2. Sea un proceso AR(1): Yt = 6 + t - 0.8 Yt-1; 2 = 0.09

33.38.01

6

1)(

1

tYE 25.08.01

09.0

1 22

2

0

1


2.4

2.8

3.2

3.6

4.0

4.4

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Y5

Mean 3.335832 Median 3.295432 Maximum 4.361877 Minimum 2.449680 Std. Dev. 0.427777

Skewness 0.215050 Kurtosis 2.519992 Jarque-Bera 1.713500

Probability 0.424540

1

-1

j

j

jj 8.0


Condición de Estacionariedad

11 ttt YY Proceso AR(1):

Operador de rezagos: L

cLcYYLYYLYLY pttp

tttt ;....;;; 22

1

ttYL )1( 1

Para que un proceso AR(1) sea estacionario, es decir, que tenga media, varianza y covarianzas constantes y que no dependan del tiempo, se debe cumplir que:

11 La raíz de la ecuación característica 01 1 Ldebe caer fuera del círculo unitario, es decir

11

1

L

(constante)


11 ttt YY ttYL )1( 1

Reescribimos el modelo AR(1) en su forma MA

Por sustitución

)( 2111 tttt YY

221111 ttt Y

………

NtN

tttt YY 111

.......)1( 22

112

1


11 ttt YY ttYL )1( 1

Reescribimos el modelo AR(1) en su forma MA

)1()1( 11 LLY t

t

Utilizando el polinomio de rezagos

11 .....1)(1

1 33221

01

111

LLLLL i

i

Aplicando en (1) tenemos:

Nttttt YY .......)1( 22

112

1 11

(1)

Un AR(1) es un MA()


Proceso Autorregresivo: AR(2)

2211 tttt YYY

0),(;)(;0)( 2 jtttt CVE

)()()( 2211 ttt YEYEYE 211

)(

tYE


ttYLL )1( 221

Si las raíces de la ecuación característica

toman valores fuera del círculo unitario complejo01)( 221 LLL

Si se cumplen las condiciones de estacionariedad


2211

~~~ tttt YYY

]~~

[]~~

[]~[)]

~~(~[ 221122110 tttttttttt YYEYYEYEYYYE

22112

0

1201221111 )]~~

(~[ tttt YYYE

0211221122 )]~~

(~[ tttt YYYE

Forma un sistema de ecuaciones

22112

0

12011

02112

22112211 )]~~

(~[ jjtttjtj YYYE

……….

Se despeja

)1]()1[(

)1(

221

22

22

0


1211

2112


12213

2211 jjj ……….

Ecuaciones de Yule Walker para 1 y 2 2

11 1

22

2

2 11

1

-1

j

j

1

-1

j

j

1

-1

j

j j

1

-1

j


1. Sea un proceso AR(2): Yt = 6 + t + 0.4 Yt-1 + 0.5Yt-2; 2 = 0.09

605.04.01

6

1)(

21

tYE


1

-1

j

j

333.0)1]()1[(

)1(

221

22

22

0

59.0

59.5

60.0

60.5

61.0

61.5

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Y6

8.05.0

4.0

1 2

11

82.05.05.0

4.0

1

2

22

2

21

728.0)8.0(5.0)82.0(4.03

70.0)82.0(5.0)728.0(4.04

644.0)728.0(5.0)70.0(4.05


0),(;)(;0)( 2 jtttt CVE

ptYE

...1)(

21


ttp

p YLLL )....1( 221

Si las raíces de la ecuación característica

toman valores fuera del círculo unitario complejo0...1 221 p

pLLL

ptptttt YYYY ....2211


pjjjjj ...2211

Si se cumplen las condiciones de estacionariedad

ttYL )(



1231211 ... pp

2122112 ... pj

pppp ....2211

Ecuaciones de Yule Walker

……….

pjjjjj ...2211

1

-1

j

j

1

-1

j

j



Condición de Invertibilidad

La condición de invertibilidad es análoga al concepto de estacionariedad, se aplica a los procesos de media móvil (MA) y está relacionada con la coherencia del modelo para explicar al valor actual de Y en función de su pasado más reciente, cuando reescribimos al modelo en su forma AR

qtqttttY ....2211

Un proceso MA(q) es invertible si las raíces de la ecuación característica

MA(q):

tq

qt LLLY )....1( 221

0....1)( 221 q

qLLLL

toman valores fuera del círculo unitario complejo



11 tttY

Sea el proceso MA(1):

Aplicando y despejando obtenemos

.......)1( 33

22

1132

1 1111 ttttt YYYY

11 .....1)(11 33

122

110

11

LLLL

L i

i

tt LY

L

)1()1(1

11

tt LY )1( 1

Un MA(1) es un AR()



Proceso Mixto autorregresivo de media móvil: ARMA(p,q)

tq

qtp

p LLLYLLL )...1()....1( 221

221

Un proceso ARMA(p,q) es invertible si las raíces de la ecuación característica

0....1 221 q

qLLL toman valores fuera del círculo unitario complejo



Un proceso ARMA(p,q) es estacionario si las raíces de la ecuación característica

toman valores fuera del círculo unitario complejo0...1 221 p

pLLL


Proceso ARMA(1,1)

1111 tttt YY tt LYL )1()1( 11

Modelo en su forma AR() tt LY

L

L

)1()1(

)1(

11

1

011

1

1 )()1()1(

)1()( iLL

L

LL

....)()()(1)( 3

1122

11111 1 LLLL

....)()()(1 311

22111111

11

ttttt YYYY

Modelo en su forma MA() tt L

L

LY

)1(

)1(

)1( 1

1

1

011

1

1 )()1()1(

)1()( iLL

L

LL

....)()()(1)( 3

1122

11111 1 LLLL

....)()()(1 311

22111111

11

tttttY


Proceso ARMA(1,1) 1111 tttt YY

11)(

tYE 1111

~~ tttt YY

22211

2111111

20 1

]~)

~[()

~( tttt YYEYE

t

21011111111 ]

~)

~[()

~~( tttttt YYEYYE

112111122 ]~)

~[()

~~( tttttt YYEYYE

2;]~)

~[()

~~( 111111 jYYEYYE jjttttjttj

21

2111

2

0 1

)21(

2

11112

1

11

))(1(


1121

11111 21

))(1(


2;11 jjj

1

-1

j

j

1

-1

j

j

j

1

-1

j

1

-1

j

j



Proceso Mixto autorregresivo de media móvil: ARMA(p,q)

tq

qtp

p LLLYLLL )...1()....1( 221

221

ptYE

...1)(

21 222

21

221122

12

0 ...1

)2...22...1(

p

hhq

Siendo h = mín(p,q)

En las primeras q autocovarianzas intervienen los coeficientes de la parte AR, de la parte MA y la varianza de las perturbaciones.Para j > q la estructura de la autocovarianza se mantiene según la parte AR

Función de autocorrelación: Si j q intervienen los coeficientes de la parte AR, de la parte MA Si j > q la forma permanente sigue la estructura de un proceso AR(p)


Series estacionarias y no estacionarias

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

PBI

-40

0

40

80

120

160

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

D1PBI

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

LNPBI

-.02

-.01

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

D1LNPBI

-.04

-.03

-.02

-.01

.00

.01

.02

.03

.04

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985

D2LNPBI

No estacionaria en media ni varianzaNo estacionaria en media

Estacionaria en media y varianzaNo estacionaria en media


Transformaciones para alcanzar estacionariedad

1. Serie no estacionaria en media: Transformación diferencia: D= (1-L)

ttd

ttttt

ttttt

YdeddiferenciaYD

diferenciasegundaYDWLWWX

diferenciaprimeraDYYLYYW2

1

1

)1(

)1(

2. Serie no estacionaria en varianza: Transformación logaritmo: Zt = lnYt

3. Serie no estacionaria en media ni en varianza:

Transformación diferencia de los logaritmos o el logaritmo de la diferencia

EviewsutilizandoYDW

YDYLYYW

tt

ttttt

)(log

lnln)1(lnln 1


Proceso ARIMA(p,d,q)

0

21

1

1

jtt

tttt

ttt

ttt

WY

YWWY

YWY

YYWSi

Yt es una serie integrada de sus primeras diferencias, es decir, Yt es I(1)

Si Wt = Dd Yt es un proceso ARMA(p,q): tqtp LWL )()(

entonces Yt es un proceso ARIMA(p,d,q): tqt

dp LYLL )()1)((

(autorregresivo, integrado de media móvil)

tq

qtdp

p LLLYLLLL )...1()1)(....1( 221

221


Formas de un proceso ARIMA(p,d,q)

qtqtttdptdpttt YYYY ....... 2211)(2211

1. Forma ecuación diferencia: Expresa a la variable en función de sus p+d rezagos y de los rezagos de las perturbaciones, se utiliza para obtener predicciones puntuales de Yt+h

tq

qtdp

pt LLLYLLLLYL )...1()1)(....1()( 221

221

2. Forma MA() o forma impulso o innovación aleatoria: Expresa a la variable en función de los rezagos de las perturbaciones, se utiliza para obtener la varianza de los errores y calcular las predicciones interválicas de Yt+h.

ttdp

qttqt

dp L

LL

LYLYLL

)()1)((

)()()1)((

3. Forma AR() o forma invertida: Expresa a la variable en función de sus rezagos y de la perturbación ocurrente, se utiliza para obtener predicciones puntuales de Yt+h.

ttq

dp

ttqtd

p YL

LLYLLYLL

)(

)1)(()()()1)((


Fases de elaboración de un modelo ARIMA

Predicción y cálculo de estadísticas

Datos de la serie

Cálculo de estadísticos de la serie

¿Es la serie estacionaria?

Selección de p,q y decisión sobre la inclusión de

Estimación del modelo

Es adecuado el modelo

¿predice correctamente

Selección de d y

Transformación de la serie

No

No

No

Si

Si

Identificación

Estimación

Validación

Predicción


Proceso No estacionario en media

La no estacionariedad en media puede ocurrir, básicamente, en dos circunstancias:

(i) Cuando la media se comporta como un polinomio de orden d en el tiempo, de forma tal que:

es decir, se observa una tendencia determinística en la serie.

Esta tendencia puede ser removida diferenciando la serie tantas veces como sea el orden del polinomio temporal.


Proceso No estacionario en media

Por ejemplo, en el caso en que d =1

si restamos la tendencia (trabajamos con los errores de una regresión de yt contra una tendencia lineal).

0

10

20

30

40

50

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Y7

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

DY7

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Y7 Residuals

Estacionario pero no invertible


(ii) Cuando se tenga un proceso autorregresivo que no cumpla con las condiciones de estacionariedad: raíces características del polinomio de rezagos no son todas mayores que uno en valor absoluto.

El número de raíces unitarias indica las veces que debe ser diferenciada la serie para tener un proceso estacionario. De esta forma, se conocerá como una serie ARIMA(p,d,q) a aquella que tiene que ser diferenciada d veces antes de poder ser modelada como una serie ARMA(p,q).


Serie camino aleatorio:ttttt YLYY )1(1

Tiene raíz unitaria

t

tt YY

YY

YY

YY

YinicialvalorunAsumamos

10

32103

2102

101

0

.....

tiempodeldependetjt

jtE

tEYV

YYE

j

jt

t

t

tj

t

tt

t

2

11

2

1

2

0

)(

)(

)( 10.5

11.0

11.5

12.0

12.5

13.0

13.5

14.0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Y8

1

-1

j

j


Serie camino aleatorio con tendencia (drift):

ttttt YLYY )1(1

t

tt YtY

YY

YY

YY

YinicialvalorunAsumamos

10

32103

2102

101

0

.....

3

2

tiempodeldependetjt

jtE

tEYV

tYYE

j

jt

t

t

tj

t

tt

t

2

11

2

1

2

0

)(

)(

)(

0

100

200

300

400

500

10 20 30 40 50 60 70 80 90 00

Y9

12;4 01 YYY ttt

1

-1

j

j


Procesos con Raíz unitaria

ttp

ptt uLLLutY )....1(; 221

ttttt YLYY )1(1

ttttt YLYY )1(1

tq

qtdp

p LLLYLLLL )...1()1)(....1( 221

221

1. Camino aleatorio

2. Camino aleatorio con deriva

3. Proceso ARIMA(p,d,q)

Proceso estacionario en tendencia (TS) o con tendencia determinística

Proceso estacionario en diferencia (DS) o con tendencia estocástica

Si t no es estacionariott

pptt uLLLuY )....1(; 2

21

ttp


Si t es estacionario


ttp

ptt uLLLuY )....1(; 221

ttp


Equivalencias

tptpttt YYYY ....* 2211

tptpttt YYYtY ....** 2211

tttt YYY 221121 )1(

Equivale al proceso

1)

2)

Equivale al proceso

tttt uLLuY )1(; 221

tt LLY 1221 )1(

tt LLYLL )1()1( 221

221

Ejemplo

tttt YYY 2211*


Prueba aumentada de raíz unitaria de Dickey -Fuller

Fase de Identificación

I. Análisis de la estacionariedad de la serie

Para analizar si la serie es estacionaria en tendencia o estacionaria en diferencia aplicamos la prueba de raíz unitaria

tptpttt YYYtY ....221110

ttptpptpptpptp

ttttt

ttt

tttt

YYYYY

YYYYY

YYY

YYtYY

11)1()1(

1313232333

121222

111101

....

.......

tptptttt YYYYtY )1(12211110 ....

11

p

i

p

ijji

1

donde:


tptptttt YYYYtY )1(12211110 ....

t

p

iititt YYtY

1

1110

Prueba aumentada de raíz unitaria de Dickey -Fuller

..

..

0:

;00:

..

;0:0:)1

96.1

96.1

0

1

1ˆ

10

ˆ

10

URtieneYSi

URtienenoYSi

HSi

dadoHSi

URtienenoYSi

HH

tT

tT

critTT

STMackTcritT

tMackTcritT

ST

)2 critTTSi


..

..

0:

;00:

..

;0:0:

)2

96.1

96.1

0

0

0ˆ

00

10

10

URtieneYSi

URtienenoYSi

HSi

dadoHSi

URtienenoYSi

HH

YYYEstimar

tT

tT

critTT

STMackTcritT

tMackTcritT

tititt

)3 critTTSi

..

..

;0:0:

)3

10

1

URtieneYSi

URtienenoYSi

HH

YYYEstimar

tMackTcritT

tMackTcritT

tititt


II. Determinación del orden de un proceso MA

Si un proceso es MA(q), según los estudios de Anderson y Bartlet

q

qkskksjj

j

kkjj

jj

rrT

rrC

rT

rVrE

NormalrqjSi

1),(

211

)(;0)(

ˆ

1

1

2

Tkr

j

jj

r

siHrechazaSe

qjparaHH

221

0

10

96.1

10:0: Se analiza la función de autocorrelación: FAC probando las hipótesis


III. Determinación del orden de un proceso AR

Función de autocorrelación parcial (FAP): jj

11:)1( ttt YYAR

2211:)2( tttt YYYAR

ptptttt YYYYpAR ....:)( 2211

1231211 ... pp

2122112 ... pj

pppp ....2211

Ecuaciones de Yule Walker

……….

111 )1( esARde

………222 )2( esARde

ppp espARde )(

11:)1( jj

jAR

2112

1211:)2(

AR

2

1

1

1

2

1

1

1


III. Determinación del orden de un proceso AR

Según los estudios de Quenoulli si un proceso es AR(p)

TVE

NormalpjSi

jjjj

jj

1)ˆ(;0)ˆ(

ˆ

T

siHrechazaSe

pjparaHH

jj

jjjj

2

10:0:

0

10

Se analiza la función de autocorrelación parcial: FAP probando las hipótesis

IV. Determinación del orden de un proceso ARMA

Un proceso ARMA(p,q) tiene función de autocorrelación FAC y FAP con infinitos términos que decaen a cero oscilando en signo en forma sinusoidal, recordando que la parte MA interviene hasta la correlación q, pero luego la FAC sigue la estructura de un AR(p). Se sugiere proponer orden bajo e ir ajustando el modelo con el análisis de los residuos.


Análisis de la validez del modelo

El propósito de esta etapa es analizar si el modelo estimado es adecuado para representar el comportamiento de la serie temporal, es decir, analizar que se cumplan los siguientes requisitos:

1. Los residuos del modelo se aproximan al comportamiento de un ruido blanco.

2. Los coeficientes estimados cumplen con la condición estacionariedad e invertibilidad, según corresponda.

3. Los coeficientes estimados son suficientes para representar a la serie, son estadísticamente significativos y están poco correlacionados.

4. El grado de ajuste es elevado en comparación al de otros modelos alternativos. Analizar los coeficientes de Akaike y Schwarz.


Análisis de los residuos

Media 0: Se aplica una prueba Z para la media de los residuos

Residuos Incorrelacionados: Se analiza la significancia individual de los coeficientes de correlación y se aplica la prueba de correlación serial de Ljung y Box

júnaparaHjH jMj lg,0::0: 1,10

2)(

1

2

)2( qpM

M

jjT

jrTTLBQ

es asintóticamente

De manera complementaria se puede analizar también a la función de autocorrelación FAC y FAP de la serie primera diferencia de los residuos, para la que se espera:

1111

cone

e

ttt

tt

20

5.01

jparar

r

edeFAC

j

t

.....

250.0ˆ

333.0ˆ

5.0ˆ

33

22

11

tedeFAP


Análisis de los residuos

Varianza constante: Se analiza la gráfica de los residuos para apreciar la evolución de la dispersión de los residuos a lo largo del tiempo.También se analiza la significancia indvidual de los coeficientes de correlación y se aplica la prueba de correlación serial de Ljung y Box a la serie de los residuos al cuadrado e2

t

júnaparaHjH jMj lg,0::0: 1,10

2)(

1

2

)2( qpM

M

jjT

jrTTLBQ

es asintóticamente

Con este análisis, en caso de rechazar la H0, se busca de detectar una estructura autorregresiva para la heterocedasticidad

Distribución Normal: Aplicar la prueba de Jarque - Bera


Análisis de los coeficientes

EViews ofrece los coeficientes estimados y las raíces invertidas del polinomio de rezagos

Significancia de los coeficientes :

)ˆ1)....(ˆ1)(ˆ1()ˆ....ˆˆ1( 212

21 LLLLLL pp

p

)ˆ1(...)ˆ1)(ˆ1()ˆ...ˆˆ1( 212

21 LLLLLL qq

q

si existe alguna próxima a 1 se aconseja tomar una diferencia adicional.

Por ser muestra grande, a los coeficientes T se compara con la Normal

Estacionariedad e invertibilidad:

1ˆ iLa raíz invertida debe tener

si existe alguna próxima a 1 indica que hay una sobrediferenciación1ˆ iLa raíz invertida debe tener


Análisis de los coeficientes

Para detectar posible multicolinealidad se analiza la matriz de correlación de los coeficientes estimados, en este caso se sugiere reducir el orden MA o AR, pero cuidando de que la reducción de parámetros no conlleve a residuos autocorrelacionados.

Sobreparametrización:

En un proceso ARMA analizar que las raíces invertidas de la parte AR y MA no sean próximas


Reformulación del modelo

Si no se cumple alguno de los requisitos se debe reformular el modelo.

1. Si una raíz invertidad de la parte AR está próxima a 1 se aconseja tomar una diferencia adicional.

2. Si una raíz invertidad de la parte MA está próxima a 1 indica que se ha tomado más diferencias de las necesarias.

3. Si los residuos del modelo no cumplen con ser incorrelacionados, indican que estos contienen información de la estructura de autocorrelación de la serie, la cual debe ser utilizada para reformular el modelo

tt

tt

ueresiduos

uYL

ˆ

ˆ)ˆ1( 1

Sea el modelo estimado

tt Le )1( 11.

tteL )1( *

12.

Modelo para residuos Modelo reformulado

tt LYL )1()1( 11

ttYLL )1)(1( *1 1


Predicción de un Proceso ARIMA(p,d,q)

qtqtttdptdpttt YYYY ....... 2211)(2211

tqtd

p LYLL )()1)((

Predicción puntual: Se utiliza la forma ecuación diferencia

)(ˆ)/(ˆ hYTYEY ThthT

La predicción de horizonte h se obtiene como el valor esperado condicionado a la información hasta el último periodo de observación

qhydphYYYY dphTdphThThT ;ˆˆ...ˆˆˆˆˆ)(2211

Para las predicciones de horizonte h < q, intervienen los rezagos de las perturbaciones.

Para las predicciones de horizonte h < p+d, intervienen los valores observados de Y hasta el periodo T.


Predicción por intervalo

Se utiliza la forma MA(): .....)( 332211 tttttt LY

hThThT YYe ˆ

.....)....(ˆ11112211 ThThThhThThThT EY

.....ˆˆˆ11 ThThhTY

Error del pronóstico

112211 .... ThhThThThTe

0)( hTeE )....1()( 2222

121 hhTeV

Asumiendo perturbaciones normales los límites de la predicción por intervalo son calculados como:

2222/1 121

....1ˆˆ

hZYL hT


Perfiles de pronóstico

2211 ttttY MA(2):

1211ˆ

TTTY TTY 22ˆ hTY h >2; ;

11 ttt YY

....1 2

211

11

ttttY

AR(1): TT YY 11ˆ

2;ˆˆ11 hYY hThT

....1

ˆ1

21

11 1

TTTY

0111

ˆj

jThj

hTY

h

Y hT

11ˆ

Th

h

j

jhT YY 1

01

ˆ


1111 tttt YY Proceso ARMA(1,1)

....)()()(1 311

22111111

11

tttttY

Forma MA():

.....ˆˆ1

ˆ11

1

ThThhTY

TTT YY 111ˆ

112 TT YY

11ˆˆ

hThT YY

h

Y hT11

ˆ

)( 111

1 hh

Como

Proceso estacionario ARMA(p,q)

.....332211 tttttY

hh 0

h

Y hT ˆ


ttttttt WYYYY 1112111 )1(Proceso ARIMA(1,1,0)

111111ˆ)1(ˆ TTTTTTT WYWYYYY

211112ˆˆˆ)1(ˆ TTTTTT WWYYYY

hTTTThThThT WWWYYYY ˆ...ˆˆˆˆ)1(ˆ212111

……..

01111

ˆj

jTjh

hTW

0 111

11ˆ

jjT

jh

i

iThT hYY

hTY

h

ˆ

11

m

Sigue una tendencia

decae a lineal con pendiente


Series de tiempo estacionales

Tienen un patrón con oscilaciones periódicas, donde el periodo es igual o inferior a un año, en las que el patrón de autocorrelación se observa para las observaciones entre periodo estacional

0

4

8

12

16

20

72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

VENTAS3

0

100

200

300

400

500

600

700

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

PASAJEROS


Modelo AR(1) estacional: ststt YY

0222

0 ])~

[( sstst YE 2

2

0 1 s

stYE

1

)(

,....,,;

;0

32 sssj

sj

sjs ]

~)

~[( jtststj YYE

,..,,;

;0

32 sssj

sjjs

j

1

-1

j

j


Modelo AR(1) estacional:

ststt YY

0

4

8

12

16

20

72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

VENTAS3

,..,,;

;0

32 sssj

sjjs

j 1

-1

j

j


Modelo MA(1) estacional ststtY

)( tYE )1( 220 s

sj

sjs

s

j

;0

;1 2

1

-1

j

j

-10

0

10

20

30

72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04

VENTAS2


Modelos estacionales multiplicativos

La series generadas por modelos ARMA estacionales puros tienen características análogas a los modelos ARMA ordinarios sólo que referidas a los periodos estacionales.

Las series generadas por un modelo ARMA estacional multiplicativo presentan u un patrón con oscilaciones periódicas, en las que el patrón de autocorrelación se observa para las observaciones entre periodo estacional y dentro del periodo estacional.

Modelos estacionales puros

Modelos estacionales multiplicativos

0

100

200

300

400

500

600

700

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92

PASAJEROS

tqs

qsss

stps

pss

ss

s LLLYLLL )...1()....1( 22

22

ts

ts LYL )()(

ts

ts LLYLL )()()()(


Modelo MA(1) SMA(1): Periodo estacional s=12

ttt LLLLLY )1()1)(1( 13121

12121

12121 Es un MA(13) con

restricciones

j

1;0

;....1

....222

2211

21

qjsi

qjsiq

qjqjjj

21

1

1

212

12

1

)1)(1( 212

21

121

j

; j=1

; j=12

; j=11,13

1

-1

j

j1 11 12 13

1

-1

j1 11

12

13

j


Modelo MA(1) SAR(1): Periodo estacional s=12

tt LYL )1()1( 112

12 Es un ARMA(12,1) con restricciones

0.....;1 10322

1

11

0...;;)1( 22151412122

1

1211311

111212 tttt YY

)1(

)1(212

22

0

s

2111121

10122

1212 jj

Resolvemos las ecuaciones de Yule Walker y obtenemos

0...;;)1( 312726

2242

1

21

2523 12

12

…………

1

-1

j

j1 11 12 13

1

-1

j1 11

12

13

j


1. Inspección gráfica de la serie

2. Análisis del correlograma (FAS, FAP)

(i) FAS: velocidad de convergencia. Evidencia de no estacionariedad si la FAS no es convergente.

(ii) FAP: orden del proceso autorregresivo (p).

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

25 50 75 100

Y1

-10

0

10

20

30

40

50

60

25 50 75 100

Y2

0

5

10

15

20

25

30

35

25 50 75 100

Y3

(a) Serie con tendencia determinística (estacionaria en tendencia).

(b) Random walk con drift (estacionaria en diferencias)

(c) Serie con tendencia determinística y quiebre (estacionaria en tendencia).

3. Prueba de Dickey Fuller aumentada (ADF)

Con los elementos determinísticos identificados en 1. y el número de rezagos identificado en 2. (p-1)

Rechazo Ho. Acepto Ho.

Serie no tiene RU. Trabajo con sus niveles luego de removerle la tendencia (si ésta es significativa).

Mejoro especificación de la prueba.

Rechazo Ho. Acepto Ho.

4. Prueba de Zivot & Andrews

Evaluamos la presencia de RU en la fecha más probable de quiebre (en media, tendencia o ambos).

Rechazo Ho.

Serie no tiene RU. Trabajo con sus niveles luego de removerle el quiebre.

Acepto Ho.

Serie tiene RU. Trabajo con su primera diferencia / en niveles es candidata para un análisis de cointegración.

(i) Prueba tiene baja potencia. (ii) Correcta especificación permitirá diferenciar entre (a) y (b) pero no entre (b) y (c).

Diagrama elaborado por Juan F. Castro


FUNCIONES DE AUTOCORRELACION DE PROCESOS ESTACIONARIOS

FAC FAP

AR(1)

1

-1

j

1

-1

j

1

-1

j

1

-1

j

1

-1

j

FAC FAP

1

-1

j

1

-1

j

1

-1

j

MA1)


-1

1

-1

j

1

-1

j

1

-1

j

1

-1

j

1

j

1

-1

j

j

1

-1

1

-1

j

FAC FAP FAC FAP

AR(2)


-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1

-0.5

0

0.5

1

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

-1

-0.5

0

0.5

1

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00


AR(1)FAC FAP FAC FAP

AR(2)FAC FAP FAC FAP


-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00


MA(1)FAC FAP FAC FAP

MA(2)FAC FAP FAC FAP

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1


FUNCIONES DE AUTOCORRELACION MODELO MULTIPLICATIVO

AR(1) SAR(1) S=12

FAC

-1

-0.5

0

0.5

1

FAC

-1

-0.5

0

0.5

1

FAC

-1

-0.5

0

0.5

1

FAC

-1

-0.5

0

0.5

1

Series de Tiempo (1)

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