Series de Tiempo Inei

DIREC

U1

Resumen Aplicativo sobre Econometra de Series de

Tiempo

CION NACIONAL DE CUENTAS NACIONALES

nidad de Metodologa

Lima, Octubre del 2001

Elaborado por: B. Econ. Johann Pal Lastra Chacn

2Presentacin

La Direccin Nacional de Cuentas Nacionales (DNCN) del Instituto Nacional de Estadsticae Informtica (INEI) a travs de la Unidad de Metodologa pone a disposicin, el documento"Resumen Aplicativo sobre Econometra de Series de Tiempo" , el cual constituye un documentoque resume y aplica el temario de Econometra de Series de Tiempo incluidos en el libroEconometra de Damodar-Gujarati, con importantes agregados provenientes de anotaciones delas clases dictadas por profesores de la Universidad del Pacfico en el curso de post-grado

La Unidad de Metodologa de la DNCN preparo este documento con la finalidad deimplementar las Cuentas Nacionales Trimestrales que inicialmente estaba como funcin de estaDireccin Nacional, sin embargo es oportuno presentarlo para contribuir al conocimiento de laInstitucin y de otros usuarios externos.

Es importante resaltar que este documento no abunda en detalles tericos, sino que en

forma prctica e intuitiva invita al lector a que repase sus conocimientos bsicos de laEconometra moderna de Series de Tiempo, como son el modelo ARIMA, VAR, la cointegracin yel modelo de correccin de errores. Se usa datos econmicos de los Estados Unidos y datos del PBIperuano.

En cada acpite se seala el concepto de cada tpico, se explica brevemente la metodologaoperativa y se obtienen resultados, los cuales van acompaados de grficos y cuadros estadsticosque ayudan a comprender la intuicin detrs de cada concepto .

El primer captulo trata sobre la forma en que se operan las diversas pruebas deestacionariedad / raz unitaria para saber si una serie tiene un comportamiento en media yvarianza estables, que ayuden a la prediccin usando modelos univariantes con las pruebasgrficas, correlogramas y la Prueba de Dickey-Fuller ADF principalmente. De otro lado, se presentael caso de cointegracin entre dos variables, Gasto de Consumo Personal e Ingreso PersonalDisponible usando la metodologa de Engle-Granger, para la estimacin de la relacin de LargoPlazo y del vector de correccin de errores de Corto Plazo en pos de la convergencia a Largo Plazo

El segundo captulo trata sobre la aplicacin de la metodologa de Box-Jenkins conmodelos ARIMA (sin considerar filtros de tendencia ni de estacionalidad) y VectoresAutoregresivos para realizar predicciones ex-ante coherentes. Para el primer caso se visualizan las

3etapas de Identificacin del orden p,d,q de la serie , Estimacin de los Parmetros y laComprobacin del Diagnstico para obtener un modelo ARIMA que se ajuste razonablemente biena los datos. Para el caso VAR se manejan conceptos como el Test LR de seleccin de rezagos ,criterio de causalidad estadstico a lo Granger vs Teora Econmica Monetarista, Funcionesimpulso-respuesta para predecir el periodo donde una economa se reactiva ,y la descomposicin devarianza .

En el ANEXO y a modo de tercer captulo se aplica la metodologa de Box-Jenkins parausar un modelo ARIMA bsico que se ajuste bien a los datos del PBI peruano anual 1950-2000,para realizar prediccin al ao 2001. Aqu de nuevo, se detalla la metodologa desarrollada en formadidctica e intuitiva .

Finalmente , la DNCN del INEI agradece al Ph.D. Eduardo Morn Pastor y al Ma. LuisMesas Changa , catedrticos distinguidos de la Universidad del Pacfico y UNI respectivamenteque ayudaron con sus valiosas sugerencias a mejorar el contenido de este documento de trabajo. Ascomo agradecemos el inters de los usuarios que deseen refrescar estos temas, esperando que esteResumen Aplicativo sobre Econometra de Series de Tiempo contribuya al conocimiento cientficode la institucin1 .

1 Se encuentra en revisin y saldr proximamente la Gua Metodolgica para el Clculo de los Multiplicadores

de la Economa peruana ao 1994 .

4RESUMEN APLICATIVO SOBREECONOMETRIA DE SERIES DE TIEMPO

INDICEPRESENTACION ...................................................................................................................................2

CAPITULO IESTACIONARIEDAD, RACES UNITARIAS Y COINTEGRACIN .........................................6

1. Pruebas de Estacionariedad de Series de Tiempo .............................................................81.1.Correlograma del PBI........................................................................................81.2. Prueba Q de Box-Pierce de Hiptesis Conjunta y LB de Ljung-Box.................91.3. Prueba de Raz Unitaria sobre Estacionariedad .............................................10 1.3.1. Prueba simple .........................................................................................10 1.3.2. Prueba DF y ADF de Dickey Fuller ......................................................10 1.3.3. Aplicacin del ADF secuencial .............................................................13

2. Pruebas de Cointegracin ............................................................................................142.1. La Regresin Espurea.......................................................................................142.2. Prueba de Cointegracin ..................................................................................15 2.2.1. Probando que ambas series son I(1) .......................................................15 2.2.2. Prueba Engle-Granger EG y el MCE .....................................................17 2.2.3. Prueba DWRC de Durbin-Watson ........................................................21

CAPITULO II :PRONOSTICO CON LOS MODELOS ARIMA Y VAR ................................................................22

1. Pasos segn Metodologa de Box-Jenkins...................................................................231.1. Identificacin....................................................................................................231.2. Estimacin ........................................................................................................241.3. Verificacin del diagnostico.............................................................................24

a) Significancia individual ...............................................................................25b).Estadstico LB de Ljung-Box ......................................................................25

1.4. Pronostico.........................................................................................................26

2. Tcnica de Vectores Autoregresivos (VAR) .................................................................272.1. Estimacin VAR...............................................................................................27

A. Discusin de la eleccin de variables usando Teora Macroeconmica .....35B. Test LR de seleccin de rezagos .................................................................36

*. Orden de exogeneidad Econmico vs Granger...............................37C. Comentario tcnico acerca de cuando se debiera esperar la reactivacineconmica (Funciones Impulso-Respuesta, Descomposicin de Varianza.......... 38

2.2. Prediccin VAR ...............................................................................................39CONCLUSIONES .................................................................................................42

5ANEXOS

1. APLICACIN AL PBI PERUANO (1950-2000) ..........................................................................431.1 Modelacin de la serie como un ARMA.....................................................................44

* Aplicacin de Metodologa Box-Jenkins .............................................................45Etapa 1: Identificacin.....................................................................................45Etapa 2: Estimacin de los coeficientes ARMA(p,q) ......................................46Etapa 3 : Comprobacin del diagnstico .........................................................47

1.2 Raz Unitaria o Estacionariedad con Quiebre Estructural ? ...................................48A) Test de Dickey-Fuller.........................................................................................48B) Test de Zivot-Andrews .......................................................................................49* Conclusin parcial ................................................................................................50

1.3. Pronstico ARIMA para el PBI del ao 2001 ............................................................51Conclusin acerca de la modelacin ARIMA .........................................................52

ApndicePrograma para la aplicacin recursiva del Test de Zivot-Andrews.........................53

6RESUMEN APLICATIVO SOBRE ECONOMETRIADE SERIES DE TIEMPO

CAP I. ESTACIONARIEDAD, RAICES UNITARIAS Y COINTEGRACION

A continuacin se har un resumen de los captulos 21 y 22 del libro Econometra de Damodar

Gujarati (con algunos agregados) sobre Econometra de Series de Tiempo a modo de introduccin. Se definircada concepto , se mencionan los pasos a seguir, y al mismo tiempo se aplicarn las diversas pruebas y

modelos economtricos a la economa estadounidense respecto a las variables PBI , Ingreso PersonalDisponible y Gasto de Consumo Personal reales para el periodo 1970-I a 1991-IV.

DATOS EMPLEADOS :Trimestre PBI GCP IPD1970:01 2872.8 1800.5 1990.61970:02 2860.3 1807.5 2020.11970:03 2896.6 1824.7 2045.31970:04 2873.7 1821.2 2045.21971:01 2942.9 1849.9 2073.91971:02 2947.4 1863.5 20981971:03 2966.0 1876.9 2106.61971:04 2980.8 1904.6 2121.11972:01 3037.3 1929.3 2129.71972:02 3089.7 1963.3 2149.11972:03 3125.8 1989.1 2193.91972:04 3175.5 2032.1 22721973:01 3253.3 2063.9 2300.71973:02 3267.6 2062 2315.21973:03 3264.3 2073.7 2337.91973:04 3289.1 2067.4 2382.71974:01 3259.4 2050.8 2334.71974:02 3267.6 2059 2304.51974:03 3239.1 2065.5 23151974:04 3226.4 2039.9 2313.71975:01 3154.0 2051.8 2282.51975:02: 3190.4 2086.9 2390.31975:03 3249.9 2114.4 2354.41975:04 3292.5 2137 2389.41976:01 3356.7 2179.3 2424.51976:02 3369.2 2194.7 2434.91976:03 3381.0 2213 2444.71976:04 3416.3 2242 2459.51977:01 3446.4 2271.3 24631977:02 3525.0 2280.8 2490.31977:03 3574.4 2302.6 25411977:04 3567.2 2331.6 2556.21978:01 3591.8 2347.1 2587.31978:02 3707.0 2394 2631.91978:03 3735.6 2404.5 2653.21978:04 3779.6 2421.6 2680.91979:01 3780.8 2437.9 2699.21979:02 3784.3 2435.4 2697.61979:03 3807.5 2454.7 2715.31979:04 3814.6 2465.4 2728.11980:01 3830.8 2464.6 2742.9

71980:02 3732.6 2414.2 26921980:03 3733.5 2440.3 2722.51980:04 3808.5 2469.2 27771981:01 3860.5 2475.5 2783.71981:02 3844.4 2476.1 2776.71981:03 3864.5 2487.4 2814.11981:04 3803.1 2468.6 2808.81982:01 3756.1 2484 27951982:02 3771.1 2488.9 2824.81982:03 3754.4 2502.5 28291982:04 3759.6 2539.3 2832.61983:01 3783.5 2556.5 2843.61983:02 3886.5 2604 28671983:03 3944.4 2639 29031983:04 4012.1 2678.2 2960.61984:01 4089.5 2703.8 3033.21984:02 4144.0 2741.1 3065.91984:03 4166.4 2754.6 3102.71984:04 4194.2 2784.8 3118.51985:01 4221.8 2824.9 3123.61985:02 4254.8 2849.7 3189.61985:03 4309.0 2893.3 3156.51985:04 4333.5 2895.3 3178.71986:01 4390.5 2922.4 3227.51986:02 4387.7 2947.9 3281.41986:03 4412.6 2993.7 3272.61986:04 4427.1 3012.5 3266.21987:01 4460.0 3011.5 3295.21987:02 4515.3 3046.8 3241.71987:03 4559.3 3075.8 3285.71987:04 4625.5 3074.6 3335.81988:01 4655.3 3128.2 3380.11988:02 4704.8 3147.8 3386.31988:03 4734.5 3170.6 3407.51988:04 4779.7 3202.9 3443.11989:01 4809.8 3200.9 3473.91989:02 4832.4 3208.6 3450.91989:03 4845.6 3241.1 3466.91989:04 4859.7 3241.6 34931990:01 4880.8 3258.8 3531.41990:02 4900.3 3258.6 3545.31990:03 4903.3 3281.2 35471990:04 4855.1 3251.8 3529.51991:01 4824.0 3241.1 3514.81991:02 4840.7 3252.4 3537.41991:03 4862.7 3271.2 3539.91991:04 4868.0 3271.1 3547.5

Donde :PBI : Producto Bruto Interno de Estados Unidos en miles de millones de dlares de 1987GCP : Gasto de Consumo Privado USA en miles de millones de dlares de 1987IPD : Ingreso Personal Disponible USA en miles de millones de dlares de 1987Fuente : Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina de Anlisis Econmico, BusinessStatistics, 1963-1991, junio de 1992

1. PRUEBAS DE ESTACIONARIEDAD DE SERIES DE TIEMPOSERIE DE TIEMPO ESTACIONARIADefinicin: Una serie de tiempo es estacionaria- en sentido dbil- cuando los momentos de primer y segundoorden de dicho proceso estocastico son invariantes en el tiempo ( es decir, su media, varianza y covarianza) ,sin importar el momento en el cual se midan .

1.1. CORRELOGRAMA DEL PBI DE 1970-1 A 1991-4Es un grafico que permite identificar el orden ARMA(p,q) de la serie de tiempo bajo anlisis.Muestra

la estructura autoregresiva frente a cada rezago k (AR) , y de media mviles (MA). Nos da informacin deprimera mano para sospechar si la serie es o no estacionaria . El Correlograma grafica k frente a cada rezago

k con un intervalo de confianza del 95%.Si la FAS converge a cero la serie ser estacionaria .

* Funcin de Autocorrelacin simple (FAS) y Funcin de Autocorrelacin Parcial (FAP):FAS : es el conjunto de pares ordenados donde el rango es el tiempo (k) y el dominio est formadopor todas las autocorrelaciones simples de ese orden k.(pk). Muestra el orden MA de la serie

Donde k = Cov (Yt , Y t-k ) / Var (Yt) Var (Yt-k)

FAP :Muestra el orden AR de las serie, tomando la forma Yt = 1 Y t-1 + ... + t-k Yt-k + tDonde t-k es el coeficiente de autocorrelaci parcial, corregido por la presencia de rezagosintermedios para obtener el efecto neto de Yt

CORRELOGRAMA D

H0 : ki =0 (presenta ruido blanco2 con Distribucin normal coH1 : pki 0 (coeficiente de autocorrelacin muestral no es pura

2 Un proceso ruido blanco es aquel que cumple con la definicin d

esperanza es cero y sus autocovarianzas son nulas. Su pasado no tn8

sobre Yt-k .

E PBIUSA

n media 0 y varianza 1/ n )mente aleatorio)

bil de estacionariedad con la salvedad de que suiene ninguna trascendencia para explicarlo .

9Intervalo de confianza al 95% para la hiptesis nula :

1.96 (1 / n ) = 1.96 (1/ 88) = (-0.2089 , 0.2089)

Conclusin : todos los coeficientes pk hasta el rezago 23 son estadsticamente significativos de maneraindividual (observando el FAS), es decir, significativamente distintos de cero (no son aleatorios) porque noestn dentro del intervalo de confianza al 95%.La FAS tiene una memoria larga y se desvanece recin en el rezago 23, mientras que slo el coeficienteuno de la FAP es significativo. El proceso aparenta ser un AR(1), pero la FAS a partir del rezago 45 vuelvea ser significativo indicando que la serie no es estacionaria. Es as que el efecto de un shock sobre lavariable la puede afectar permanentemente pudiendo tener una raz unitaria .

1.2. Prueba Q de hiptesis conjunta :

Q = n pk2 = sigue distribucin aprox. X 2 con m g.l.Sean las hiptesis :H0 : todos los pk son simultneamente cero (serie de tiempo puramente aleatoria)H1 : no todos los pk son simultneamente cero

Q calc = 88 (9.014043 ) = 793.235784

Conclusin : como Q calc excede ampliamente al Q critico (37.6525 al = 5%) , se rechaza la hiptesis nulade que todos los pk son iguales a cero .

1.3. LB de Ljung Box

LB = n (n+2) pk2 sigue distribucin aprox. X 2 con m g.l. n-k

Conclusin : como el valor ji calculado para 25 rezagos (891.62) esta muy por encima del ji tabular (37.6525y su probabilidad asociada es cercana a cero) al =5%, se rechaza tambin la hiptesis nula de que todos loscoeficientes de autocorrelacin son cero .No son ruido blanco.

m

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1.3. PRUEBA DE RAIZ UNITARIA SOBRE ESTACIONARIEDAD :1.3.1. Prueba simple de Raz Unitaria :

Definicin : Existe raz unitaria literalmente cuando se demuestra que =1 en la regresin

Yt = Yt-1 + et , sealando una situacin de no estacionariedad .LS // Dependent Variable is PBIDate: 05/23/01 Time: 11:48Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

PBI(-1) 0.998629 0.006272 159.2 0C 28.2154 24.48302 1.152 0.2524

R-squared 0.996658 Mean dependent var 3876.787Adjusted R-squared 0.996619 S.D. dependent var 624.6297S.E. of regression 36.32009 Akaike info criterion 7.207462Sum squared resid 112127.7 Schwarz criterion 7.26415Log likelihood -434.9723 F-statistic 25351.07Durbin-Watson stat 1.363688 Prob(F-statistic) 0

H0 : p =1 (existe raz unitaria)H1 : p 1 (SI hay estacionariedad)t = p* - p = 0.998629 1 = -0.21859056 ee(p) 0.006272

Como t calc < t tabla3 al =5% (1.98) , se acepta la hiptesis nula siendo por tanto la serie de PBI noestacionaria. Es decir, p es estadsticamente igual a 1 (existe el problema de raz unitaria) .

1.3.2. Prueba de Dickey-Fuller (DF) sobre Raz Unitaria para el PBIConcepto : consiste en probar si = 0 y as notar la presencia de no estacionariedad .

Forma Funcional a) En Yt = 1 + Yt-1 + tH0 : = 0 (existe presencia de raz unitaria en el PBI)

Regla de decisin : Si la prueba [p/ee(p)] calculada excede a los crticos o tabulados de MacKinnon,rechazar la hiptesis nula de presencia de raz unitaria.

3 Es importante anotar que la prueba t aplicada al testeo de raz unitaria est sesgado al rechazo de la hiptesis nula, ya que

la varianza del estadstico esta subestimada lo que lleva a una sobreestimacion del valor t

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ADF Test Statistic -0.218526 1% Critical Value* -3.5064 5% Critical Value -2.8947 10% Critical Value -2.5842

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(PBI)Method: Least SquaresDate: 11/05/01 Time: 09:38Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.PBI(-1) -0.001371 0.006272 -0.218526 0.8275

C 28.21540 24.48302 1.152448 0.2524R-squared 0.000561 Mean dependent var 22.93333Adjusted R-squared -0.011197 S.D. dependent var 36.11845S.E. of regression 36.32009 Akaike info criterion 10.04534Sum squared resid 112127.7 Schwarz criterion 10.10203Log likelihood -434.9723 F-statistic 0.047754Durbin-Watson stat 1.363688 Prob(F-statistic) 0.827543

D (PBI) = 28.2154 0.001371 PBIt-1 (1.152448) (0.218526)r2 0.000561 d = 1.363688

Donde : D (PBI) = PBI t PBI t-1Y los estadsticos t crticos de MacKinnon al 1%,5%,10% son 3.5064 , -2.8947 , -2.5842.

Conclusin : como calculado no supera al t critico queda claro que se acepta la hiptesis nula de raz

unitaria en la serie de tiempo PBI (0.218526 < 2.8947 al = 5%).

Forma Funcional b) En Yt = 1 + 2 t + Yt-1 + tNota : t es la variable de tendencia (tiempo) que toma valores desde 1 hasta n=88Asumiremos tendenciadeterminstica en la data. .

H0 : = 0 (hay presencia de raz unitaria en el PBI)

Regla de decisin : Si la prueba [p/ee(p)] calculada excede a los crticos o tabulados de MacKinnon,rechazar la hiptesis nula (no se tiene evidencia para aceptar la presencia de raz unitaria).


*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(PBI)Method: Least SquaresDate: 11/05/01 Time: 09:45Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

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Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.PBI(-1) -0.060879 0.037270 -1.633467 0.1061

C 191.9032 103.9511 1.846091 0.0684@TREND(1970:1) 1.492043 0.921383 1.619351 0.1091

R-squared 0.030817 Mean dependent var 22.93333Adjusted R-squared 0.007741 S.D. dependent var 36.11845S.E. of regression 35.97837 Akaike info criterion 10.03759Sum squared resid 108733.2 Schwarz criterion 10.12262Log likelihood -433.6350 F-statistic 1.335482Durbin-Watson stat 1.325718 Prob(F-statistic) 0.268558

D PBI = 191.9032 + 1.492043 t - 0.060879 PBIt-1 (1.846091) (1.619351) (1.633467)r2 0.030817 d = 1.325718

Donde : D (PBI) = PBI t PBI t-1Y los estadsticos t criticos de MacKinnon al 1%,5%,10% son 4.0673 , -3.4620 , -3.1570 .

Conclusin : como t () calculado no excede al t critico tambin se acepta la hiptesis nula de noestacionariedad en la serie de tiempo del PBI (1.633467 < 3.4620 al = 5%).

Forma Funcional c) En Yt = 1 + 2 t + Yt-1 + Y t-1 + tNota : Esta es la prueba Dickey-Fuller aumentada (ADF) aplicable especialmente si el residual estaautocorrelacionado , donde PBI t-1 equivale en el ejemplo a PBIt-1 PBIt-2 .H0 : = 0 (existe presenta de raz unitaria )H1 : 0 (SI hay estacionariedad en el PBI)

Regla de decisin : Si la prueba t [p/ee(p)] calculada excede a los crticos o tabulados de MacKinnon,rechazar la hiptesis nula de presencia de raz unitaria .



Augmented Dickey-Fuller Test EquationLS // Dependent Variable is D(PBI)Date: 05/25/01 Time: 10:21Sample(adjusted): 1970:3 1991:4Included observations: 86 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

PBI(-1) -0.079065 0.03575 -2.211623 0.0298D(PBI(-1)) 0.35017 0.10293 3.402035 0.001C 236.1714 99.2416 2.379762 0.0196@TREND(1970:1) 1.902912 0.885366 2.149294 0.0346

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D (PBI) = 236.1714 + 1.902912 t - 0.079065 PBIt-1 + 0.35017 D PBIt-1 (2.379762) (2.149294) (2.211623) (3.402035)r2 0.14896 d = 2.080729

Donde : D PBI t-1 = PBI t-1 PBI t-2

Y los estadsticos t crticos de MacKinnon al 1%,5%,10% son 4.0673 , -3.4620 , -3.1570 .

Conclusin : como t () calculado no excede al t critico tambin se acepta la hiptesis nula de noestacionariedad en la serie de tiempo del PBI (1.633467 < 3.4620 al = 5%).Existe el problema de razunitaria. Ntese que la ecuacin incluye un rezago, porque el correlograma FAP de la serie as lo sugiere.

1.3.3.

APLICACIN DEL ADF SECUENCIAL4:A continuacin encontraremos la mejor especificacin ADF de la serie del PBI, utilizando un mtodo

deductivo (yendo de lo general a lo particular). Es decir, partiremos de un modelo completo que incluya unrezago, intercepto y la variable de tendencia (prueba ADF completa); si se verifica que no hay estacionariedady que el coeficiente de tendencia no es significativo, luego se proceder a eliminar la tendencia quedando unmodelo solo con intercepto, o al final un modelo sin elementos determinsticos que presente o no raz unitaria.

El resultado de este proceso iterativo es el siguiente :

ADF Test Statistic 3.459921 1% Critical Value* -2.5899 5% Critical Value -1.9439 10% Critical Value -1.6177


Augmented Dickey-Fuller Test EquationLS // Dependent Variable is D(PBI)Date: 08/28/01 Time: 10:19Sample(adjusted): 1970:3 1991:4Included observations: 86 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.PBI(-1) 0.003934 0.001137 3.459921 0.0009D(PBI(-1)) 0.321117 0.103844 3.092305 0.0027


4 Este acpite no est incluido en el libro de Gujarati, est en base al Cap. 10 del libro Econometra

Aplicada de los autores Juan F. Castro y Roddy Rivas-Llosa que esquematizaron el procedimiento de WalterEnders.

14

Es decir, hemos obtenido un modelo sin componentes determinsticos y con un rezago, que no

presenta raz unitaria ya que el ADF statistic es mayor al Mac-Kinnon Crtico al =5% . Es decir, bajo estaforma la serie del PBI es estacionaria y el anlisis de regresin clsico es vlido. Aunque esta afirmacin es

cuestionable ya que la presencia de D(PBI(-1)) indica que la serie est fuertemente correlacionada con suprimera diferencia .

Pero para continuar con el anlisis de Damodar Gujarati (Cap 22) se supondr que el PBI de losEEUU no es estacionario en niveles, ya que al considerar la presencia de intercepto y de la tendencia y sin

rezagos ello se verifica. Tal como veremos ms adelante, el modelo completo si es estacionario en primeras

diferencias, lo que lo hace I(1), y as ser posible modelar y hacer la prediccin ARIMA.

15

2. PRUEBAS DE COINTEGRACION :2.1. Concepto de Regresin Espurea .-Es el tipo de regresin donde la no estacionariedad de las series involucradas sesga los resultados hacia la

aceptacin de una relacin cuando en realidad sta no existe. Es decir, el alto R2 observado entre dos series

de tiempo involucradas se puede deber a las tendencias comunes (movimientos sostenidos hacia arriba ohacia abajo) y no a la verdadera relacin entre las dos.

Obsrvese las tendencias crecientes de las series de Ingreso Personal Disponible (IPD) y Gasto deConsumo Personal (GCP) para USA 1970-1991 trimestral .

Regresin entre GCP y el IPD:LS // Dependent Variable is GCPDate: 05/28/01 Time: 12:34Sample: 1970:1 1991:4Included observations: 88Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -171.4412 22.91725 -7.48088 0IPD 0.96725 0.008069 119.8712 0

R-squared 0.994051 Mean dependent var 2537.042Adjusted R-squared 0.993981 S.D. dependent var 463.1134S.E. of regression 35.92827 Akaike info criterion 7.185514Sum squared resid 111012.3 Schwarz criterion 7.241817Log likelihood -439.0292 F-statistic 14369.1Durbin-Watson stat 0.531629 Prob(F-statistic) 0

GCP = -171.4412 + 0.9672 IPDt (-7.4809) (119.8712)R2=0.994051 d = 0.531629

Comentario : El r cuadrado (coeficiente de determinacin) es bastante alto y el valor t de la pendientedel IPD tambin . Estos resultados se ven aparentemente fabulosos, pero el d de Durbin Watson es bajo(lo que denota autocorrelacin serial positiva de orden uno entre las perturbaciones).

Regla practica para sospechar que la regresin es espurea : R2 > d (s se cumple).

Para que ambas series cointegren hacia el equilibrio de Largo Plazo, ambas deben ser I(d) del mismoorden y sus residuos equilibradores de Corto Plazo deben ser estacionarios o I(0) .

1500

2000

2500

3000

3500

4000

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

GCP IPD

16

2.2. Pruebas de COINTEGRACION .-2.2.1. Probemos la estacionariedad de las series y sepamos si ambas son Integradas del mismo orden :

Para la serie de tiempo GCP (Gasto de Consumo Personal)H0 : = 0 (hay raz unitaria en el GCP)H1 : 0 (no hay raz unitaria en el GCP) Regla de decisin : Si la prueba t [p/ee(p)] calculada excede a los valores crticos de MacKinnon, se tieneevidencia para rechazar la hiptesis nula de raz unitaria.


*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(GCP)Method: Least SquaresDate: 10/12/01 Time: 09:13Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.GCP(-1) -0.044464 0.032312 -1.376068 0.1725

C 94.19111 56.24138 1.674765 0.0977@TREND(1970:1) 0.798720 0.587106 1.360435 0.1773

R-squared 0.022053 Mean dependent var 16.90345Adjusted R-squared -0.001232 S.D. dependent var 18.29021S.E. of regression 18.30147 Akaike info criterion 8.685714Sum squared resid 28135.27 Schwarz criterion 8.770745Log likelihood -374.8285 F-statistic 0.947106Durbin-Watson stat 1.595415 Prob(F-statistic) 0.391964

Conclusin : como el ADF calculado esta por debajo del Mac Kinnon critico se acepta la hiptesis nula depresencia de raz unitaria en la serie de tiempo del GCP (-1.376068 < 3.4614 al = 5%).

Cabe sealar que en primeras diferencias la serie del GCP si es estacionaria ( = 1%,5%,10%)de acuerdo a la Prueba de Dickey-Fuller. La especificacin contiene intercepto porque la media de la serie

diferenciada es diferente de cero:

-60

-40

-20

0

20

40

60

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

D (GC P) 0

2

4

6

8

10

12

14

-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 30 40 50

Se r ie s : D (G C P)Sa mp le 1 9 7 0 :2 1 9 9 1 :4O b s e r v a tio n s 8 7

Me a n 1 6 .9 0 3 4 5Me d ia n 1 7 .2 0 0 0 0Ma x imu m 5 3 .6 0 0 0 0M in imu m - 5 0 .4 0 0 0 0Std . D e v . 1 8 .2 9 0 2 1Sk e w n e s s - 0 .7 5 8 7 9 9Ku r to s is 4 .2 7 9 5 3 8

J a r q u e - Be r a 1 4 .2 8 3 6 6Pr o b a b ility 0 .0 0 0 7 9 1

17

ADF Test Statistic -7.615082 1% Critical Value* -3.5073D(GCP) 5% Critical Value -2.8951

10% Critical Value -2.5844*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Como se ve, el ADF calculado supera al Mac Kinnon critico, rechazndose la H0 de raz unitaria.

Ahora verificaremos que la serie IPD (Ingreso Personal Disponible) es tambin I(1):Bajo la hiptesis :H0 : = 0 (hay raz unitaria en el IPD)



Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(IPD)Method: Least SquaresDate: 10/12/01 Time: 09:02Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.IPD(-1) -0.156942 0.060636 -2.588254 0.0114

C 329.5080 119.6902 2.753007 0.0072@TREND(1970:1) 2.875152 1.136078 2.530769 0.0132


Como el ADF calculado (-2.5882541) es menor al Mac Kinnon critico al nivel de significancia del5%, se concluye que la serie de tiempo IPD tampoco es estacionaria en niveles. Presenta raz unitaria.

Pero al igual que la serie anterior, el IPD tambin es I(1) :

-100

-50

0

50

100

150

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

D ( IPD )0

2

4

6

8

10

12

14

- 50 - 40 - 30 - 20 - 10 0 10 20 30 40 50

Se r ie s : D (G C P)Sa mp le 1 97 0 :2 1 9 9 1 :4O b s e rv a tion s 87

Me a n 1 6 .9 0 3 45Me d ia n 1 7 .2 0 0 00Ma x imu m 5 3 .6 0 0 00Min imu m -5 0 .4 0 0 00Std . D e v . 1 8 .2 9 0 21Sk ew n es s -0 .7 5 8 7 99Ku r to s is 4 .2 7 9 5 38

J a r q u e- Be r a 1 4 .2 8 3 66Pro b a b ility 0 .0 0 0 7 91

18

ADF Test Statistic -9.636167 1% Critical Value* -3.5073D(IPD) 5% Critical Value -2.8951

10% Critical Value -2.5844*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

. La especificacin contiene intercepto porque la media de la serie diferenciada es diferente de cero.

Como se ve, el ADF calculado supera al Mac Kinnon critico, rechazndose la H0 de raz unitaria.

CONCLUSION :Cuando se efecto la regresin de GCP sobre IPD se efectu una regresin de una serie de tiempo noestacionaria sobre otra igualmente no estacionaria en niveles, por lo que la inferencia con las pruebas t

y F estndar no serian validos. En este sentido, la regresin entre GCP y IPD podra ser ESPUREA sisus errores son I(1) . El alto coeficiente de determinacin pudo deberse a la presencia de la tendencia comnen ellas y no a la verdadera relacin entre las dos. Esto amerita hacer una prueba de COINTEGRACION para

apreciar si existe una relacin estable de largo plazo. Ya se demostr que ambas series son I(1), faltaverificar que sus errores sean I(0) para aplicar el Modelo de Correccin de Errores.

2.2.2. Prueba de ENGLE-GRANGER (EG) .-Concepto.- Estimar la relacin de Largo Plazo verificando que los residuos sean estacionarios I(0); luegoincorporar a los errores como una variable explicativa al Corto Plazo para modelar el Modelo de Correccinde Errores MCE.

Relacin de Largo Plazo (de equilibrio) entre el Gasto de Consumo Personal y el IngresoPersonal Disponible de los EEUU 1970:1-1991:4

Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresDate: 10/12/01 Time: 09:40Sample: 1970:1 1991:4Included observations: 88

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -171.4412 22.91725 -7.480880 0.0000

IPD 0.967250 0.008069 119.8712 0.0000R-squared 0.994051 Mean dependent var 2537.042Adjusted R-squared 0.993981 S.D. dependent var 463.1134S.E. of regression 35.92827 Akaike info criterion 10.02339Sum squared resid 111012.3 Schwarz criterion 10.07969Log likelihood -439.0292 F-statistic 14369.10Durbin-Watson stat 0.531629 Prob(F-statistic) 0.000000

Verifiquemos que los residuos sean I(0) , para que puedan corregir el desequilibrio del CortoPlazo en pos de la convergencia de Largo Plazo.

- 100

-50

0

50

100

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

R E SID

0

2

4

6

8

10

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

Se r ie s : R ESIDSa mp le 1 9 7 0 :1 1 9 9 1 :4O b s e rv a tio n s 8 8

Me a n - 1 .9 4 E- 1 3Me d ia n 5 .6 4 7 3 8 5Ma x imu m 8 2 .7 0 7 2 4Min imu m -7 6 .7 7 0 2 9Std . D e v . 3 5 .7 2 1 1 9Sk e w n e s s -0 .3 2 5 1 7 1Ku r to s is 2 .6 4 8 6 5 7

J a rq u e - Be ra 2 .0 0 3 4 1 8Pro b a b ility 0 .3 6 7 2 5 1

19

Sean las hiptesis :

H0 : Residuos tienen raz unitaria, son no estacionarios( no hay cointegracin entre GCP y IPD )H1 : Errores si son estacionarios (SI hay cointegracin)


*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(ERROR)Method: Least SquaresDate: 10/12/01 Time: 10:00Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.ERROR(-1) -0.275357 0.073267 -3.758250 0.0003

C -0.441396 2.615711 -0.168748 0.8664R-squared 0.142492 Mean dependent var -0.405877Adjusted R-squared 0.132404 S.D. dependent var 26.19315S.E. of regression 24.39757 Akaike info criterion 9.249564Sum squared resid 50595.53 Schwarz criterion 9.306252Log likelihood -400.3561 F-statistic 14.12444Durbin-Watson stat 2.278168 Prob(F-statistic) 0.000313

Donde ERROR es una serie creada con los residuales de la ecuacin de cointegracin entre GCP y IPD .

La especificacin contiene intercepto y no tendencia porque as se desprende del grfico de lneas.Como el estimador MCO es superconsistente minimiza la varianza, entonces utilizar los valores crticos de

ADF resultaran sesgados a rechazar la hiptesis nula de la existencia de raz unitaria. Por ello es preferible

utilizar los valores crticos de Engle y Yoo:

0.01 0.05 0.10

ADF -3.77 -3.17 -2.84

Como el ADF calculado excede a los valores crticos de Engle y Yoo al =5% se concluye que losresiduos son estacionarios y que por lo mismo, entre el Gasto de Consumo Personal y el IngresoPersonal Disponible existe COINTEGRACION (relacin de equilibrio o ESTABLE de Largo Plazo), apesar de no ser estacionarias individualmente . Sus errores son I(0). MODELO DE CORRECCION DE ERRORES (MCE) .-

Concepto :Se trata de corregir el desequilibrio de Corto Plazo entre el Consumo y el Ingreso, usando altermino de error para atar el comportamiento de corto plazo del GCP con su valor de Largo Plazo.

a) De acuerdo a Gujarati (Modelo simple)LS // Dependent Variable is GCP-GCP(-1)Date: 05/29/01 Time: 17:18Sample(adjusted): 1970:2 1991:4Included observations: 87 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 11.69183 2.195675 5.324936 0

20

IPD-IPD(-1) 0.290602 0.06966 4.171715 0.0001ERROR(-1) -0.086706 0.05418 -1.600311 0.1133


D (GCP) = 11.69183 + 0.290602 D (IPD) - 0.086706 t-1 t (5.3249) (4.1717) (-1.6003)R2 = 0.1717 d = 1.9233

Lo anterior muestra que alrededor del 9% de la discrepancia entre el valor del GCP actual y el valor delargo plazo o de equilibrio es eliminado o corregido cada trimestre . Aunque la significancia estadistica deesta pendiente no es clara puesto que recin es significativo al nivel de 10%.

b) Aplicando Vector de Correccin de ErroresDate: 10/12/01 Time: 10:49 Sample(adjusted): 1970:3 1991:3 Included observations: 85 after adjusting endpoints Standard errors & t-statistics in parentheses

Cointegrating Eq: CointEq1GCP(-1) 1.000000IPD(-1) -0.970074

(0.00938)(-103.452)

C 180.2247Error Correction: D(GCP) D(IPD)

CointEq1 -0.042578 0.478420 (0.07701) (0.09929)(-0.55292) (4.81843)

D(GCP(-1)) 0.146138 0.373693 (0.12449) (0.16052) (1.17385) (2.32800)

D(IPD(-1)) 0.060889 -0.021921 (0.08217) (0.10594) (0.74104) (-0.20691)

C 13.67961 11.48990 (2.80840) (3.62109) (4.87096) (3.17305)

RESID(1) 0.060739 -0.386097 (0.07252) (0.09351) (0.83751) (-4.12896)

R-squared 0.052256 0.331130 Adj. R-squared 0.004868 0.297686

21

Sum sq. resids 26891.31 44706.67 S.E. equation 18.33416 23.63966 Log likelihood -365.2783 -386.8819 Akaike AIC 8.712431 9.220751 Schwarz SC 8.856117 9.364436 Mean dependent 17.22000 17.88000 S.D. dependent 18.37895 28.20821 Determinant Residual Covariance 127426.0 Log Likelihood -740.8194 Akaike Information Criteria 17.71340 Schwarz Criteria 18.05824

Se estimaron dos modelos de Correccin de Errores (ecuaciones de Corto Plazo) de la forma : GCP = 1 GCP t-1 + 2 IPD t-1 + 1 t-1 + vt IPD = 1 IPD t-1 + 2 GCP t-1 + 2 t-1 + tDonde v , son errores ruido blanco

Que contienen un rezago de cada variable y del error de equilibrio con intercepto5. El coeficientedel residuo que est en la ecuacin del Ingreso es estadsticamente diferente de cero, lo que quiere decir quehay un vector vlido de cointegracin. La correccin de shocks de Corto Plazo se da por el lado del Ingreso.

La serie de residuos est dada por : t = GCP(-1) 0.970074 IPD(-1) + 180.2247

*Anlisis de la Velocidad de Ajuste de 1 y 2 :El Ingreso responde con mayor intensidad que el Consumo : el Consumo se ajusta hacia el alza en

0.060739 (6%) y el Ingreso se ajusta hacia la baja en 0.386097 (38%) por trimestre.Esto cumple con lo esperado a priori ya que si se ve el Grfico de lneas la serie del Ingreso est por

encima que la del Consumo, obedeciendo a que en promedio el incremento de un dlar en el Ingreso origina

un incremento menos que proporcional en el Consumo .Por lo mismo, el Consumo se ajusta al alza menosrpido que la cada en el Ingreso porque 1 < 2 en valores absolutos .

2.2.3. Prueba de Durbin-Watson sobre la regresin de Cointegracin (DWRC) .-Se utiliza la prueba d cuyos valores crticos de Sargan y Bhargava son al 1%, 5% y 10% de 0.511,

0.386 y 0.322.H0 : d=0 (No hay cointegracin entre GCP y IPD)H1 : d 0 (SI hay cointegracin)Como el d de la regresin Consumo-Ingreso es de 0.5316, y supera a todos los valores d crticos, sugiere queGCP e IPD estn cointegrados , es decir, hay una relacin de equilibrio de largo plazo entre las dos series.

5 La estimacin MCE se hizo asumiendo tendencia determinstica en la data, lo cual es coherente con el line

graph

22

CAP 2:PRONOSTICOS CON LOS MODELOS ARIMA Y VAR

Un modelo ARIMA es un Proceso autoregresivo integrado de media mvil (p,d,q) usado para realizarpredicciones con series estacionarias , conteniendo un proceso autoregresivo de orden p o AR(p) , procesode Media Mvil MA(q) e Integrado de orden d6 . Un modelo es ARMA si el ARIMA es de orden (p,0,q), esdecir las series de tiempo no han sido diferenciadas para ser estacionarias.

Resultados de Regresin que prueba la estacionariedad del PBI en primera diferencia , I(0)ADF Test Statistic -6.672742 1% Critical Value* -3.5073

5% Critical Value -2.8951 10% Critical Value -2.5844

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(PBI,2)Method: Least SquaresDate: 10/22/01 Time: 23:25Sample(adjusted): 1970:3 1991:4Included observations: 86 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.D(PBI(-1)) -0.688569 0.103191 -6.672742 0.0000

C 16.13934 4.421924 3.649846 0.0005R-squared 0.346433 Mean dependent var 0.206977Adjusted R-squared 0.338653 S.D. dependent var 42.44210S.E. of regression 34.51531 Akaike info criterion 9.943664Sum squared resid 100069.7 Schwarz criterion 10.00074Log likelihood -425.5776 F-statistic 44.52548Durbin-Watson stat 2.030780 Prob(F-statistic) 0.000000

H0 : Existe raz unitaria en el D(PBI) ( = 0)H1 : No existe raz unitaria (si hay estacionariedad , 0 )

Las primeras diferencias del PBI lo vuelven estacionario en vista que su estadstico calculado es de

6. 672742 que excede al valor critico de 2.8951 al nivel de significancia del 5% .

-100

-50

0

50

100

150

70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90

D(PBI)

0

5

10

15

20

-80 -40 0 40 80 120

Series: D(PBI)Sample 1970:2 1991:4Observations 87

Mean 22.93333Median 23.90000Maximum 115.2000Minimum -98.20000Std. Dev. 36.11845Skewness -0.526798Kurtosis 4.235835

Jarque-Bera 9.560401Probability 0.008394

6 Integrar una serie significa diferenciar la serie original un determinado numero de veces hasta hacerla

estacionaria. As, una serie I(0) significa que no hubo necesidad de diferenciarla para que fuera estacionaria.I(1) significa que fue diferenciada una vez (Ejem: primeras diferencias del PBI). As una serie de tiempo es diferenciada dveces o I(d)

23

La media de la serie diferenciada es distinta de cero (ver histograma) por lo que la especificacinARIMA debe contener intercepto pero no tendencia (ver grfico de lneas).El desarrollo corriente de D(PBI)se da alrededor de su media indicando su estacionariedad.

1. PASOS SEGN METODOLOGIA DE BOX-JENKINS :1.1. IDENTIFICACION

CORRELOGRAMA Y CORRELOGRAMA PARCIAL PARA EL PBI EN PRIMERAS DIFERENCIAS,ESTADOS UNIDOS, 1970-1 A 1991-4

El correlograma parcial para las primeras diferencias del PBI nos muestra que las autocorrelaciones

parciales que estn en los rezago 1,8 y 12 son estadsticamente significativos (las barras caen fuera delintervalo punteado al nivel de confianza de 95% que est entre 0.2089 y 0.2089). Si el coeficiente decorrelacin parcial fuera significativo solamente en el rezago 1, se pudo haber identificado la serie como un

modelo AR(1). Por consiguiente estaramos probablemente ante un modelo que tiene como mximo unproceso AR(12).

24

1.2 ESTIMACION DEL MODELO ARIMADe acuerdo al correlograma parcial podramos modelar un ARIMA AR(1), AR(8) , AR(12).

Y*t = 0 + 1 Y*t-1 + 8Y*t-8 + 12Y*t-12Nota : Y*t significa sus primeras diferencias .

LS // Dependent Variable is D(PBI)Date: 06/05/01 Time: 17:58Sample(adjusted): 1973:2 1991:4Included observations: 75 after adjusting endpointsConvergence achieved after 3 iterationsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 23.04238 3.067247 7.512396 0.0000AR(1) 0.336308 0.099906 3.366228 0.0012AR(8) -0.269822 0.102759 -2.625767 0.0106AR(12) -0.273064 0.099692 -2.739082 0.0078


Estimacin :

D(PBI) = 23.04238 + 0.336308 AR(1) - 0.269822 AR(8) - 0.273064 AR(12)o

Y*t = 23.04238 + 0.336308Y*t-1 - 0.336308Y*t-8 - 0.273064Y*t-12ee 2.9774 0.0987 0.1016 0.0986t 7.5124 3.3662 -2.6258 -2.7391R2 = 0.2774 d= 1.7977

El valor del estadstico Durbin-Watson indica que no hay autocorrelacin serial en las perturbaciones ,adems que las pendientes son significativas en base a la prueba t .

1.3. VERIFICACION DEL DIAGNOSTICO .-Una forma de probar que el modelo ARIMA antes efectuado se ajusta razonablemente a la

informacin es obtener la ACF y PACF de estos residuales hasta el rezago 25. Si se comprueba que estos

residuales son ruido blanco , es decir, puramente aleatorios (con media cero, varianza constante 2 ,noautocorrelacionados) en base a los correlogramas y LB de Ljung Box, no seria necesario buscar otro modeloARIMA .

25

A) Significancia individual.-Considerando las hiptesis :

H0 : pki =0 (presenta ruido blanco con Distribucin normal de media 0 y varianza 1/n )H1 : pki 0 (coeficiente de autocorrelacin muestral no es puramente aleatorio)Intervalo de confianza al 95% para la hiptesis nula : 1.96 (1 / n ) = 1.96 (1/ 75) = (-0.2263,0.2263)

Conclusin : todos los coeficientes pk no son estadsticamente significativos de manera individual, es decir,son significativamente iguales a cero (aleatorios) porque estn dentro del intervalo de confianza al 95%. Portanto ,el correlograma de los residuales del modelo ARIMA (segn autocorrelaciones simples y lasautocorrelaciones parciales) demuestra que individualmente no son estadisticamente significativos. Losresiduales son puramente aleatorios.

B) Estadstico LB de Ljung Box

LB = n (n+2) pk2 sigue distribucin aprox. X 2 con m g.l. n-k

Conclusin : como el valor ji calculado (15.270) esta por debajo del ji tabular (37.6525) al =5%, se aceptatambin la hiptesis nula de que todos los coeficientes de autocorrelacin son cero para 17 rezagos. Adems

obsrvese que la probabilidad asociada al estadstico 0.360 es mayor a , ratificando la aceptacin de la

hiptesis que los residuales son puramente aleatorios ..

As, al haber hecho estas pruebas de autocorrelacin de residuales , encontramos que estos son ruido blanco

(puramente aleatorios) , y no es necesario buscar otro modelo ARIMA. El ajuste es bueno para laprediccin.

m

26

1.4. PRONOSTICO .-Se desea pronosticar el PBI de EEUU para un periodo siguiente (1992-1 primer trimestre de 1992),

ya que la realizacin comprende entre 1970-1 a 1991-4. Previamente hay que deshacer la transformacin deprimeras diferencias que se utilizo al estimar el modelo ARIMA para obtener prediccin en niveles.

Paso 1) Deshacemos el modelo ARIMA usado :Y*t = 0 + 1 Y*t-1 + 8Y*t-8 + 12Y*t-12D(PBI) = 23.04238 + 0.336308 AR(1) - 0.269822 AR(8) - 0.273064 AR(12)Y*t = 23.04238 + 0.336308Y*t-1 - 0.336308Y*t-8 - 0.273064Y*t-12

Paso 2) Quedando as :Y1992-I Y 1991-IV = 0 + 1[Y 1991-IV Y 1991-III ] + 8 [ Y 1989-IV Y 1989-III ] + 12 [Y 1988-IV Y 1988-III ] + 1992-IY1992-I = 0 + 1[Y 1991-IV Y 1991-III ] + Y1991-IV + 8 [ Y 1989-IV Y 1989-III ] + 12 [Y 1988-IV Y 1988-III ] + 1992-IY1992-I = 0 + (1+1)Y 1991-IV 1Y 1991-III + 8 Y 1989-IV 8Y 1989-III + 12 Y 1988-IV 12 Y 1988-III + 1992-I

Paso 3) Reemplazamos valores del modelo ARIMA usado anteriormente :Y1992-I = 23.04238 + (0.336308+1)Y 1991-IV 0.336308Y 1991-III - 0.269822 Y 1989-IV + 0.269822Y 1989-III -0.273064 Y 1988-IV + 0.273064 Y 1988-III

Y1992-I = 4876.7 miles de millones de dlares .

Este es el valor estimado de acuerdo al modelo ARIMA para el primer trimestre de 1992. Siendo elPBI observado para ese periodo de 4873.7, lo que signific una sobreestimacin de US$ 3 miles de millones .

27

2. TECNICA DE VECTORES AUTORREGRESIVOS (VAR)

Esta popular tcnica de estimacin y prediccin de series de tiempo consiste en que cada variable

dependiente es explicada por sus valores rezagados o pasados, y por los valores rezagados de todas lasdems variables endgenas ( o explicativas) en el modelo. Usualmente todas las variables son exgenas eneste sistema .

Pasos de la metodologa :

2.1. ESTIMACION VARCaso practico.-El presidente de esta economa le pide que evale la posibilidad de generar una reactivacin en la economa a

travs de un impulso monetario. Para esto le da informacin sobre 4 variables (PBI, DINERO, INTERES,PRECIOS) . La informacin va desde 1959 hasta 1997.Estime un VAR con las variables que usted considere adecuadas. Discuta su eleccin. Encuentre utilizando el

test de seleccin de rezagos, el nmero de rezagos ptimo para dicha estimacin.

Comente sobre cundo debera esperar una reactivacin de la economa. Sea preciso en sus afirmaciones yutilice sus estimaciones para reforzar sus argumentos.

A. Discutir la eleccin de las variables que se consideran adecuadas.B. Usar el test de seleccin de rezagos para encontrar el nmero de rezagos ptimoC. Comentar sobre cuando se debera esperar una reactivacin de la economa.

DATOS EMPLEADOS :Mes DINERO INTERES PBI PRECIOS

1959:01:00 NA NA NA NA1959:02:00 0,003482 -0,125000 0,019258 0,0000001959:03:00 0,005200 0,140000 0,013532 0,0000001959:04:00 0,003107 0,108000 0,021277 0,0031501959:05:00 0,007213 -0,109000 0,015666 0,0000001959:06:00 0,006481 0,396000 0,000000 -0,0031501959:07:00 0,003733 -0,004000 -0,023592 0,0000001959:08:00 0,004057 0,115000 -0,035091 -0,0031601959:09:00 0,001012 0,640000 0,000000 0,0031601959:10:00 -0,000674 0,119000 -0,008276 -0,0031601959:11:00 0,002022 0,092000 0,005525 -0,0031701959:12:00 0,002353 0,363000 0,061435 0,0000001960:01:00 0,001342 -0,136000 0,025577 0,0031701960:02:00 0,000670 -0,482000 -0,010152 0,0000001960:03:00 0,003346 -0,515000 -0,007682 0,0063091960:04:00 0,002002 -0,195000 -0,007742 0,0000001960:05:00 0,002995 0,148000 -0,002594 -0,0031501960:06:00 0,004642 -0,751000 -0,010444 0,0000001960:07:00 0,005937 -0,245000 -0,005263 0,0000001960:08:00 0,009165 -0,110000 0,000000 -0,0031601960:09:00 0,004876 0,203000 -0,010610 0,0000001960:10:00 0,003560 -0,063000 -0,002670 0,0031601960:11:00 0,004513 -0,042000 -0,013459 0,0000001960:12:00 0,004813 -0,112000 -0,019152 0,000000

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Mes DINERO INTERES PBI PRECIOS1961:01:00 0,005427 0,030000 0,002759 0,0031501961:02:00 0,007612 0,106000 -0,002759 0,0000001961:03:00 0,005671 0,012000 0,005510 0,0000001961:04:00 0,005014 -0,093000 0,021740 -0,0063091961:05:00 0,007164 -0,039000 0,013351 -0,0031701961:06:00 0,006496 0,071000 0,015790 -0,0063691961:07:00 0,004001 -0,091000 0,010390 0,0063691961:08:00 0,006124 0,134000 0,010283 0,0000001961:09:00 0,005783 -0,098000 -0,002561 0,0000001961:10:00 0,004844 0,046000 0,020305 0,0000001961:11:00 0,006922 0,108000 0,014963 0,0000001961:12:00 0,006279 0,159000 0,007398 0,0031701962:01:00 0,005944 0,129000 -0,007398 0,0031601962:02:00 0,007674 0,006000 0,017178 0,0000001962:03:00 0,008782 -0,033000 0,004854 0,0000001962:04:00 0,006971 0,016000 0,002418 -0,0031601962:05:00 0,005484 -0,041000 -0,002418 -0,0031701962:06:00 0,005454 0,025000 -0,002424 0,0000001962:07:00 0,004285 0,226000 0,009662 0,0031701962:08:00 0,005685 -0,108000 0,002401 0,0000001962:09:00 0,005935 -0,045000 0,004785 0,0094491962:10:00 0,006460 -0,041000 0,002384 -0,0062891962:11:00 0,007252 0,052000 0,004751 0,0000001962:12:00 0,008028 0,053000 0,000000 -0,0031601963:01:00 0,006869 0,058000 0,007084 0,0000001963:02:00 0,007366 0,002000 0,009368 -0,0031701963:03:00 0,007582 -0,019000 0,006969 0,0000001963:04:00 0,006989 0,012000 0,009217 -0,0031801963:05:00 0,007207 0,011000 0,011403 0,0031801963:06:00 0,006363 0,075000 0,004525 0,0031701963:07:00 0,007110 0,148000 -0,004525 0,0031601963:08:00 0,006539 0,177000 0,002265 -0,0031601963:09:00 0,006237 0,059000 0,009009 0,0000001963:10:00 0,005941 0,074000 0,006704 0,0000001963:11:00 0,008207 0,069000 0,004444 0,0031601963:12:00 0,004587 0,001000 0,000000 -0,0031601964:01:00 0,004819 0,006000 0,008830 0,0063091964:02:00 0,006054 0,003000 0,006572 -0,0063091964:03:00 0,005518 0,021000 0,000000 0,0000001964:04:00 0,004741 -0,069000 0,015168 0,0000001964:05:00 0,006204 -0,002000 0,006431 -0,0031701964:06:00 0,007149 -0,004000 0,002135 0,0000001964:07:00 0,007342 0,001000 0,006376 0,0031701964:08:00 0,008015 0,027000 0,006336 0,0000001964:09:00 0,008431 0,021000 0,004202 0,0031601964:10:00 0,005263 0,048000 -0,014784 0,0000001964:11:00 0,006896 0,049000 0,031416 0,0000001964:12:00 0,006613 0,232000 0,012295 0,0000001965:01:00 0,006336 -0,028000 0,010132 0,0031501965:02:00 0,006761 0,101000 0,006030 0,0031401965:03:00 0,006485 0,013000 0,013931 0,0000001965:04:00 0,005066 -0,010000 0,003945 0,0031301965:05:00 0,004126 -0,037000 0,007843 0,0031201965:06:00 0,006611 -0,085000 0,007782 0,0093021965:07:00 0,006342 0,021000 0,009643 0,000000

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Mes DINERO INTERES PBI PRECIOS1988:07:00 0,003625 0,230000 0,005733 0,0065091988:08:00 0,001284 0,290000 0,005681 0,0009261988:09:00 0,001620 0,210000 -0,004974 0,0009251988:10:00 0,003366 0,110000 0,002957 0,0009251988:11:00 0,004693 0,340000 0,005746 0,0009241988:12:00 0,002672 0,410000 0,006344 0,0064431989:01:00 0,001167 0,200000 0,003476 0,0136681989:02:00 0,000300 0,190000 -0,004549 0,0027111989:03:00 0,002362 0,350000 0,008582 0,0062981989:04:00 0,002456 -0,130000 -0,000009 0,0071491989:05:00 0,001656 -0,300000 -0,003452 0,0079821989:06:00 0,005149 -0,179999 -0,003210 -0,0026541989:07:00 0,008295 -0,300000 -0,009959 -0,0008861989:08:00 0,006963 -0,010000 0,005105 -0,0071171989:09:00 0,006142 -0,190000 -0,004441 0,0035651989:10:00 0,007033 -0,130000 -0,003689 0,0035521989:11:00 0,006062 0,060000 0,003509 -0,0008871989:12:00 0,006341 -0,010000 0,006650 0,0026581990:01:00 0,003785 0,000000 -0,005114 0,0166741990:02:00 0,003803 0,120000 0,005406 -0,0043611990:03:00 0,003663 0,110000 0,003124 -0,0017501990:04:00 0,004055 -0,090000 -0,006609 -0,0008761990:05:00 -0,000560 0,000000 0,007135 0,0043731990:06:00 0,004382 -0,040000 0,001783 -0,0026211990:07:00 0,002756 -0,080000 -0,001661 0,0017481990:08:00 0,005520 -0,220000 0,002869 0,0173161990:09:00 0,004357 -0,060000 0,000159 0,0161771990:10:00 0,000857 -0,190000 -0,004626 0,0200681990:11:00 0,001131 -0,120000 -0,012826 -0,0058121990:12:00 0,002929 -0,260000 -0,004095 -0,0117251991:01:00 0,004256 -0,510000 -0,005381 0,0025241991:02:00 0,005355 -0,350000 -0,010227 -0,0152421991:03:00 0,005507 -0,040000 -0,008166 -0,0085691991:04:00 0,002607 -0,240000 0,002876 -0,0017231991:05:00 0,002780 -0,160000 0,007706 0,0043011991:06:00 0,003486 0,090000 0,011056 -0,0008591991:07:00 0,000624 -0,020000 0,001791 -0,0025811991:08:00 -0,000238 -0,190000 0,002533 0,0008611991:09:00 -0,000089 -0,140000 0,008450 -0,0008611991:10:00 0,001218 -0,220000 0,000984 0,0025811991:11:00 0,002640 -0,430000 -0,001363 0,0000001991:12:00 0,002308 -0,480000 -0,005012 -0,0043051992:01:00 0,002420 -0,280000 -0,001285 -0,0025921992:02:00 0,005820 0,000000 0,006430 0,0034541992:03:00 0,000937 0,210000 0,008653 0,0008621992:04:00 -0,000586 -0,240000 0,006698 0,0017211992:05:00 -0,000322 -0,150000 0,004975 0,0077091992:06:00 -0,001819 0,040000 -0,002712 0,0068031992:07:00 0,000176 -0,420000 0,008364 -0,0008481992:08:00 0,002024 -0,140000 -0,001893 -0,0016981992:09:00 0,002546 -0,170000 0,001976 0,0025461992:10:00 0,003967 -0,130000 0,006738 0,0008471992:11:00 0,001106 0,300000 0,006038 -0,0025431992:12:00 -0,000145 0,110000 0,001792 -0,0016991993:01:00 -0,000611 -0,190000 0,003122 0,003396

35

Mes DINERO INTERES PBI PRECIOS1993:02:00 -0,002097 -0,110000 0,004097 0,0033841993:03:00 -0,000554 0,020000 0,000334 0,0025311993:04:00 0,000991 -0,080000 0,002262 0,0050421993:05:00 0,006884 0,070000 -0,004692 0,0033471993:06:00 0,001446 0,140000 0,001717 -0,0016721993:07:00 -0,000145 -0,050000 0,005725 -0,0025141993:08:00 0,001213 0,000000 0,000206 -0,0042031993:09:00 0,001904 -0,090000 0,007047 0,0000001993:10:00 0,001641 0,080000 0,000757 0,0033641993:11:00 0,003275 0,080000 0,007019 -0,0008401993:12:00 0,002034 -0,040000 0,009277 -0,0033671994:01:00 0,001401 -0,060000 0,003786 0,0042071994:02:00 0,000486 0,190000 0,007790 0,0016781994:03:00 0,001655 0,310000 0,008322 0,0033471994:04:00 0,001994 0,220000 0,003455 0,0000001994:05:00 -0,000541 0,450000 0,005267 0,0016691994:06:00 -0,003137 -0,010000 0,005392 0,0049921994:07:00 0,002112 0,210000 0,002292 0,0016581994:08:00 -0,001112 0,110000 0,004787 0,0041341994:09:00 -0,000086 0,140000 0,001118 -0,0016521994:10:00 0,000028 0,320000 0,006955 -0,0008271994:11:00 0,000827 0,290000 0,005324 0,0049501994:12:00 0,000741 0,390000 0,007851 0,0032871995:01:00 0,001367 0,170000 0,002729 0,0081701995:02:00 -0,000028 -0,010000 -0,000788 0,0048701995:03:00 0,001422 -0,070000 0,001379 0,0032341995:04:00 0,002866 -0,060000 -0,004111 0,0056341995:05:00 0,004044 0,030000 -0,000404 0,0024051995:06:00 0,008570 -0,200000 0,000503 0,0031971995:07:00 0,005246 -0,030000 0,000823 0,0000001995:08:00 0,005524 -0,060000 0,009828 -0,0015971995:09:00 0,003620 -0,150000 0,000815 0,0007991995:10:00 0,001929 0,040000 -0,004898 0,0007981995:11:00 0,002969 0,050000 0,003268 0,0007981995:12:00 0,004573 -0,190000 0,001630 0,0023891996:01:00 0,004008 -0,140000 -0,002446 0,0031771996:02:00 0,004155 -0,150000 0,011364 -0,0015871996:03:00 0,009198 0,090000 -0,004044 0,0039641996:04:00 0,000966 0,030000 0,008875 0,0086651996:05:00 NA NA NA NA1996:06:00 NA NA NA NA1996:07:00 NA NA NA NA1996:08:00 NA NA NA NA1996:09:00 NA NA NA NA1996:10:00 NA NA NA NA1996:11:00 NA NA NA NA1996:12:00 NA NA NA NA1997:01:00 NA NA NA NA1997:02:00 NA NA NA NA1997:03:00 NA NA NA NA

Fuente : Universidad del Pacfico, Recoleccin de datos econmicos peruanos que estn en primerasdiferencias .

A .Discutir la eleccin de las variables que se consideran adecuadas.Se eligen las variables Dinero, Tasa de Inters, PBI y Precios conforme a la Teora Econmica

Monetarista, porque conforman un sistema de series de tiempo interrelacionados: un impulso monetario

tiene impacto sobre el Producto Nominal al Corto Plazo, mientras que a Largo Plazo slo se traduce en

incremento en el nivel de los Precios. Segn M. Friedman la inflacin no es ms que un fenmeno monetario.Fig 3.1. Equilibrio en el mercado monetario Fig.3.2. Equilibrio segn modelo IS-LM

Fig 3.3. Equilibrio en el mercado Oferta Agregada-Demanda Agregada

Lgica econmica detallada: Un impulso monetario (como reduccin de la tasa de encaje queincremente la disponibilidad de prstamos de los bancos hacia las empresas o personas y estimule a los

agentes a realizar mayores transacciones y acelerar la economa) desplaza la recta Ms hacia Ms logrando quela tasa de inters se reduzca y se incrementen los saldos reales (Ver fig 3.1).

Esto hace que segn fig 3.2 la curva LM se desplace hacia la derecha, y manteniendo constante los

elementos de la IS, el PBI se incremente. A su vez, en mercado OA-DA (Fig 3.3) el desplazamiento de la

r

M/P0

Ms Ms

Md

M/P0 M/P1

r0

r1

r

Y0

LM LM

IS

Y0 Y1

r0

r1

P

Y0

OA

DA

Y0 Y1

P1

P0 DAcurva de DA hacia arriba (Shock de Demandaconstante la OA ).

Finalmente segn la Poltica MonetarMs (M) origina

ia Expans/P) rel un incremento en el nivel de precios (mantenie

iva sta es la secuencia causal : Y P 36

ndo

37

B . Usar el test LR de seleccin de rezagos para encontrar el nmero de rezagos ptimoPrevia comprobacin de la estacionariedad de c/u de las 4 variables (las cuales ya haban sido

diferenciadas una vez) con los grficos de lneas y el Test de Dickey Fuller ADF , se empez a usar el test LRcon T1/3 rezagos , es decir, con 447 1/3 = 8 rezagos .

Luego de un proceso iterativo el resultado final del test LR fue el siguiente :

Considerando las hiptesis H0 : Modelo VAR tiene 4 rezagosH1 : Modelo VAR tiene 3 rezagos

LR = ( T- C) [ Ln R - Ln NR ] con distribucin 2 con q g.l.Donde : T es el nmero de observaciones ; C es el nmero de parmetros , R y NR son el determinante de

la covarianza de los residuales del modelo restringido y no restringido respectivamente; q es # ecuaciones2 x #

rezagos de la hiptesis nula de la hiptesis alternativa .

LR = (447 20 ) ( Ln 2.59E-15 Ln 2.47E-15 ) sigue distribucin 2 con 16 g.lLR calc = 20.26 p-value = 0.2087

En resumen, como p > , (= 5%) se acept la hiptesis nula de que el nmero de rezagos ptimopara la estimacin VAR es de cuatro.

* Orden de exogeneidad .-Los resultados del Test de Causalidad de Granger con 4 rezagos es:

PRECIOS PBI INTERES DINERO

Que establece una causalidad estadstica lineal, pero cuando se observan los grficos de dispersinentre cada par de variables stos se parecen a una nube de puntos, por lo que la eleccin del orden de

exogeneidad bajo este test es relativo .

Y es justamente el orden inverso del criterio econmico ya establecido anteriormente , el cual es:DINERO INTERES PBI PRECIOS

Siendo finalmente ste el orden de exogeneidad que se usar para las Funciones Impulso-Respuesta y Descomposicin de Varianza. As, el DINERO ser la variable ms exgena pues puede sercontrolado por el hacedor de poltica y sus shocks presentes y pasados podrn afectar al resto de variables. En

contraste, PRECIOS es la ms endgena porque slo sus shocks pasados afectan al PBI.

Los resultados de la Prueba de No Causalidad Granger ya mencionada fueron :

38

C . Comentario tcnico sobre cuando se debera esperar una reactivacin de la economa.Fig. 3.4 Funciones Impulso-Respuesta

Vemos de la Fig .3.4 que shocks en la cantidad de dinero afectan positivamente al PBI , mientras queshocks en tasa de inters y precios lo afectan negativamente (tal como se esperaba a priori), siendo el periodo5 donde todos los shocks lo afectan simultneamente de manera significativa, y es el periodo 14 donde elefecto de todos estos shocks sobre el PBI se disipa dando un primer indicio que a partir de este periodo

debiera esperarse una reactivacin de la economa .

-0 .00 2

0 .00 0

0 .00 2

0 .00 4

0 .00 6

0 .00 8

0 .01 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4

Response of P BI to DINERO

-0.00 2

0 .00 0

0 .00 2

0 .00 4

0 .00 6

0 .00 8

0 .01 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4

Response of PB I to INTERES

-0.00 2

0 .00 0

0 .00 2

0 .00 4

0 .00 6

0 .00 8

0 .01 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4

Response of P BI to PB I

-0 .00 2

0 .00 0

0 .00 2

0 .00 4

0 .00 6

0 .00 8

0 .01 0

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4

Response of PB I to PRECIOS

R e s p o n s e to O n e S.D . In n o v a tio n s 2 S.E.

39

Fig 3.5 Func. Imp-Respuesta combinada Fig 3.6. Descomposicin de Varianza del PBI

De la fig 3.5 se desprende que siguiendo el orden de exogeneidad econmico ya establecido, larespuesta del PBI frente a shocks propios y shocks en las otras 3 variables hace que a mediados del periodo14 (en 3 aos o 14 trimestres) se debiera esperar la reactivacin econmica porque los shocks en todas lasvariables del sistema se disipa. Esto quiere decir que a partir de este periodo puede haber impulso pero norespuesta: el PBI ya asimil los efectos de los shocks pasados y presentes del DINERO, INTERES y sobre smismo, as como de los shocks pasados en PRECIOS, estando ya en condiciones para reactivarse .

Finalmente, de la Fig 3.6 y Cuadro 3.7 se observa que en el periodo 14 las causas internas al PBIafectan su varianza en cerca del 87%, en tanto que las causas externas relacionadas con el Dinero y tasa de

inters apenas lo afectan en 9% .

Cuadro 3.7. Descomposicin de Varianza del PBIPeriodo S.E. DINERO INTERES PBI PRECIOS

1 0.002199 0.004522 3.686889 96.30859 0.000000 2 0.002770 0.004113 5.485141 94.14977 0.360975 3 0.002966 0.013076 6.321875 93.27832 0.386727 4 0.003119 0.381359 6.220842 92.91835 0.479451 5 0.003247 1.220004 6.242286 90.63147 1.906240 6 0.003330 1.744572 6.304403 89.41289 2.538138 7 0.003383 2.117559 6.369168 88.40800 3.105269 8 0.003420 2.423484 6.391530 87.62612 3.558863 9 0.003445 2.598789 6.459367 87.24601 3.695835 10 0.003462 2.684412 6.510590 87.03168 3.773314 11 0.003473 2.734631 6.533417 86.92931 3.802643 12 0.003480 2.760062 6.548425 86.88176 3.809758 13 0.003486 2.772190 6.554400 86.86184 3.811569 14 0.003489 2.778781 6.556699 86.85330

3.811222 15 0.003492 2.782127 6.557754 86.84911 3.811006

Ordering: DINERO INTERES PBI PRECIOS

-0.002

0.000

0.002

0.004

0.006

0.008

2 4 6 8 10 12 14

DINE ROINT E RE S

P B IP RE CIOS

R e s p o n s e o f P B I t o O n e S . D . In n o v a t io n s

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

D IN E R OIN T E R E S

P B IP R E C IO S

V arianc e D ec om pos it ion o f PB I

40

2.2. PREDICCION CON VARUsamos el valor de los estadsticos calculados por el modelo VAR :

Date: 09/23/01 Time: 00:08 Sample(adjusted): 1959:06 1996:04 Included observations: 443 after adjusting endpoints Standard errors & t-statistics in parentheses

DINERO INTERES PBI PRECIOSDINERO(-1) 0.638093 44.89871 0.072043 0.155401

(0.04973) (10.9110) (0.18214) (0.13792) (12.8323) (4.11499) (0.39554) (1.12677)

DINERO(-2) -0.015727 -42.84454 -0.055892 0.022079 (0.06093) (13.3687) (0.22316) (0.16898)(-0.25813) (-3.20483) (-0.25045) (0.13066)

DINERO(-3) 0.160265 14.04781 0.171045 -0.141097 (0.06166) (13.5294) (0.22585) (0.17101) (2.59924) (1.03832) (0.75735) (-0.82506)

DINERO(-4) 0.020250 -5.192771 0.177769 0.153393 (0.05001) (10.9736) (0.18318) (0.13871) (0.40491) (-0.47320) (0.97045) (1.10586)

INTERES(-1) -0.001422 0.318849 0.001552 -0.000280 (0.00023) (0.05064) (0.00085) (0.00064)(-6.15932) (6.29626) (1.83602) (-0.43767)

INTERES(-2) 0.000109 -0.212603 0.000504 0.000545 (0.00025) (0.05404) (0.00090) (0.00068) (0.44289) (-3.93404) (0.55863) (0.79740)

INTERES(-3) -0.000112 -0.031709 -0.000554 -0.000789 (0.00025) (0.05386) (0.00090) (0.00068)(-0.45530) (-0.58874) (-0.61580) (-1.15897)

INTERES(-4) 0.000113 -0.021006 6.03E-05 0.001254 (0.00022) (0.04933) (0.00082) (0.00062) (0.50438) (-0.42585) (0.07327) (2.01118)

PBI(-1) 0.017359 6.145028 0.296361 0.022001 (0.01341) (2.94319) (0.04913) (0.03720) (1.29416) (2.08788) (6.03211) (0.59139)

PBI(-2) -0.028088 5.357879 0.025784 0.025010 (0.01395) (3.06204) (0.05111) (0.03870)(-2.01274) (1.74977) (0.50443) (0.64617)

PBI(-3) 0.001526 -0.281651 0.053547 -0.001786 (0.01400) (3.07253) (0.05129) (0.03884) (0.10899) (-0.09167) (1.04400) (-0.04598)

PBI(-4) -0.013736 -2.004256 -0.040321 -0.009605 (0.01319) (2.89422) (0.04831) (0.03658)(-1.04139) (-0.69250) (-0.83458) (-0.26256)

PRECIOS(-1) -0.015298 13.43482 0.084371 0.213252 (0.01750) (3.84086) (0.06412) (0.04855)

41

(-0.87397) (3.49787) (1.31592) (4.39249)PRECIOS(-2) 0.011588 -1.325973 -0.036483 0.177772

(0.01780) (3.90485) (0.06518) (0.04936) (0.65113) (-0.33957) (-0.55970) (3.60168)

PRECIOS(-3) 0.000677 6.735882 -0.080804 0.174501 (0.01779) (3.90352) (0.06516) (0.04934) (0.03806) (1.72559) (-1.24006) (3.53661)

PRECIOS(-4) 0.010273 -6.773450 -0.168964 -0.048835 (0.01779) (3.90273) (0.06515) (0.04933) (0.57758) (-1.73557) (-2.59353) (-0.98995)

C 0.001171 -0.120944 0.000273 0.000333 (0.00025) (0.05437) (0.00091) (0.00069) (4.72598) (-2.22458) (0.30120) (0.48519)

R-squared 0.603577 0.209100 0.193773 0.181664 Adj. R-squared 0.588688 0.179395 0.163493 0.150929 Sum sq. resids 0.002142 103.1499 0.028743 0.016481 S.E. equation 0.002243 0.492073 0.008214 0.006220 Log likelihood 2082.437 -305.7786 1507.318 1630.518 Akaike AIC -9.324773 1.457240 -6.728296 -7.284506 Schwarz SC -9.167684 1.614329 -6.571206 -7.127417 Mean dependent 0.005748 0.004828 0.002643 0.003135 S.D. dependent 0.003497 0.543203 0.008981 0.006750 Determinant Residual Covariance 2.47E-15 Log Likelihood 4935.410 Akaike Information Criteria -21.97476 Schwarz Criteria -21.34640

PREDICCION PARA EL VALOR DEL PBI mes mayo de 1996:Reemplazar los valores correspondientes a :

PBI 1996-5 = + DINERO1996-4 + DINERO1996-3 + DINERO1996-2+ DINERO1996-1+ INTERES1996-4+INTERES1996-3+ INTERES1996-2+ INTERES1996-1 + PBI1996-4+ PBI1996-3 +PBI1996-2+ PBI1996-1+

PRECIOS1996-4+ PRECIOS1996-3+ PRECIOS1996-2 +PRECIOS1996-1

PBI1996-5 = 0,000273+(0,072043*0,000966-0,055892*0,009198+ 0,171045*0,004155+0,177769*0,004008)+(0,001552*0,03+0,000504*0,09-0,000554*-0,15+0,0000603*-0,14) + (0,296361*0,008875+0,025784*-0,004044+0,053547*0,011364-0,040321*-0,002446) + (0,084371*0,008665-0,036483*0,003964-0,080804*-0,001587-0,168964*0,003177)

PBI1996-5 = 0,00482923Asi, el valor predicho VAR del PBI para el mes de mayo del ao 1996 es de 0.00482923 (recurdese

que esta cifra representa una variacin entre mayo y abril puesto que como se dijo la data ya fue diferenciada).

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CONCLUSIONES

1. El presente trabajo debe considerarse de carcter introductorio y prctico. Resume y aplica el contenidode los captulos 21 y 22 del libro "Econometra" (Damodar Gujarati) referente a Econometra de Series deTiempo con importantes agregados. Principalmente considera test de estacionariedad-Raiz unitaria, as

como aplicacin de modelos de estimacin-prediccin ARIMA , VAR.y de Correccin de Errores MCE.

2. La importancia del modelo ARIMA (Autoregresivo Integrado de Media Mvil) radica en que permitepredecir valores para series de tiempo ESTACIONARIAS. Si la serie es no estacionaria, debediferenciarse (INTEGRARLA) cuantas veces sea necesario hasta convertirla en ESTACIONARIA (conmedia, varianza y covarianzas que se mantengan en el tiempo)

3. Las pruebas de estacionariedad usadas en el trabajo son:a) Grfico de lneas y correlograma (que verifica la estacionariedad de la serie ,y si los shocks que

afectan a la serie lo hacen en forma permanente o se diluyen rpido respectivamente), estadstico Qde Box-Pierce y estadstico de Ljung-box.

b) De Raz Unitaria (situacin de no estacionariedad): con prueba DF o ADF de Dickey-Fuller, o si laes serie estacionaria con quiebre (ver Test de Zivot-Andrews en el Anexo Aplicativo al PBIPERU).

c) De Cointegracin (situacin de equilibrio de Largo Plazo entre dos o ms series, cuyo desequilibriode Corto Plazo es corregido con la inclusin del error estacionario en el modelo de Correccin de

Errores MCE (Metodologa de Engle Granger ) ; y Prueba Durbin-Watson DWRC. , tratando deevitar situaciones de Regresin Espuria (resultados estadsticos engaosos que no expresan laverdadera relacin entre variables, sino que puede reflejar nicamente la tendencia comn en ellas).

4. La metodologa Box-Jenkins en la estimacin del modelo ARIMA de orden (p, d, q) sigue los sgte.Pasos:

a) IDENTIFICACION :investigar cuales son los posibles rdenes AR o MA de la serie usando elCorrelograma (Funcin FAP y FAS respectivamente.

b) ESTIMACION : en base a la informacin del Correlograma disear un modelo ARIMA para suestimacin.(con coeficientes estadistcamente significativos, criterio Akaike, Schwarz, y otros).

c) VERIFICACION : comprobar que los residuales del modelo ARIMA son ruido blanco (es decir,puramente aleatorios con media cero, varianza homoscedastica y no autocorrelacionados).

d) PRONOSTICO : Deshacer la transformacin de la serie ARIMA para predecir futuros valores.

5. Una metodologa alternativa de estimacin y prediccin es VAR (Vectores Autoregresivos). Debedemostrarse previamente que las series interrrelacionadas sean estacionarias , luego modelar el VAR

usando un nmero de rezagos coherente con el Test LR empezando por T1/3 lags, estimar las Funciones

Impulso-Respuesta y Descomposicin de Varianza usando un orden de exogeneidad. Alternativamenteusar este modelo con fines predictivos.

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ANEXOS(Aplicacin al PBI del Per)

I) EL PBI PERUANO con ao base 1994 (1950-2000)Datos empleados :

Ao PBI Ao PBI1950 21527 1981 959411951 23241 1982 959321952 24523 1983 845111953 26023 1984 880981954 27142 1985 899391955 28656 1986 985771956 29951 1987 1074551957 32222 1988 980141958 32436 1989 861741959 33764 1990 816211960 37533 1991 837601961 40024 1992 834011962 44055 1993 873751963 46275 1994 985771964 49176 1995 1070251965 51712 1996 1096831966 56170 1997 1170831967 58634 1998 1165951968 59436 1999 1182091969 62033 2000 1212671970 620581971 653171972 675931973 715301974 784141975 818931976 832571977 833481978 824931979 866081980 91188

Fuente : Los datos son valores a precios constante de 1994 en millones de nuevos soles Aos 1950-90 : PBI deflactado de esta forma: PBI 90 = PBI 91 / IVF 91-90

El IVF 91-90 es con ao base 1979 Aos 1991-2000 : DNCN-INEI ,Agregados Macroeconomicos de la Oferta y Demanda Global 1991-

99, Lima-Julio 2001

1.1. Modelacin de la serie como un ARMA .-* Producto Bruto Interno (PBI peruano) en nivelesFig. 1.1 Grfico de lneas Fig. 1.2 Histograma del PBI

Observando la figura 1.1, en niveles el PBI anual (de toda la muestra 1950-2000) no es una serieestacionaria en media porque posee una tendencia , lo cual puede responder a la normal evolucin de esta

variable macroeconmica .Tambin debe presentar intercepto la modelacin ARMA puesto que la media de la

serie es muy diferente de cero (ver estadsticas mean del histograma).

Fig. 1.3 Correlograma del PBI en niveles:

Se prueba la hiptesis para las autocorrelaciones simples :H0 : pki =0 (presenta ruido blanco con Distribucin normal con medH1 : pki 0 (coeficiente de autocorrelacin muestral no es puramenIntervalo de confianza al 95% para la hiptesis nula : 1.96 (1 / n ) = 1.96 (1/ 51) = (-0.2745 , 0.2745) . As, los reza

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 0

Series de Tiempo Inei

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