Ruang Vektor

MATRIKS

Ruang Vektor 16

RUANG VEKTORVektor adalah suatu himpunan berurutan yang terdiri dari sejumlah elemen yang mempunyai urutan tertentu. Elemen dari vektor disebut komponen vektor. Banyaknya komponen dari suatu vektor menunjukkan dimensi dari vektor tersebut.

Jenis Vektor Vektor baris berdimensi n adalah vektor yang n buah komponennya dituliskan dalam satu baris dan diberi tanda kurung atau dituliskan dalam bentuk matriks berordo 1xn.

Vektor kolom berdimensi n adalah vektor yang n buah komponennya dituliskan dalam satu kolom dan diberi tanda kurung atau dituliskan dalam bentuk matriks berordo nx1.Notasi Vektor Suatu vektor bisa dinotasikan (dilambangkan) dengan huruf (huruf kecil atau besar) yang dicetak tebal atau huruf dengan tanda anak panah diatasnya. Urutan dari komponen vektor dinyatakan dengan indeks berurut.

Contoh :

Vektor baris :

a = = = = = vektor baris berdimensi 2v = = = vektor baris berdimensi nVektor kolom :

b = = = = = = aT = vektor kolom berdimensi 2w = = = = vT = T vektor kolom berdimensi nALJABAR VEKTOR Kesamaan 2 Vektor :

Dua vektor dan dikatakan sama, ditulis = , jika kedua vektor sejenis (vektor baris atau kolom), dimensinya sama dan komponen yang seindeks sama, yaitu ai = bi

Contoh :

= akan dipenuhi jika a = 2 dan b = 5, dan = (karena tidak sejenis) Penjumlahan Vektor :

Penjumlahan 2 vektor dan bisa dilakukan jika dan sejenis (vektor baris atau kolom) dan sedimensi, ditulis + = , dengan adalah vektor yang komponennya sama dengan jumlah komponen vektor dan yang seindeks, atau ci = ai + biContoh :

Jika a = = dan b = = , maka : a + b =

Jika u = = dan v = =

maka : u + v =

Penjumlahan vektor memenuhi hukum komutatif : + = +

Vektor Nol (Null Vector)Vektor nol ditulis dengan atau adalah vektor yang semua komponennya nol.

Contoh :

Vektor baris =

Vektor kolom =

Vektor nol merupakan elemen netral terhadap operasi penjumlahan vektor, sehingga untuk sembarang vektor , berlaku : + = + =

Invers Additive atau Negasi Vektor

Invers additive atau negasi dari vektor , ditulis adalah vektor yang komponennya sama dengan negatifnya komponen vektor .Contoh :

Jika = , maka : =

Jika = maka : =

Untuk sembarang vektor , berlaku : + (-) =

Pengurangan VektorPengurangan vektor dengan vektor adalah penjumlahan vektor dengan negasi dari vektor , atau = + ( ) , dengan syarat kedua vektor harus sejenis dan sedimensi.Jika = , maka ci = ai bi

Contoh :

Jika = dan = , maka : =

Jika = dan = , maka : = =

Skalar

Skalar adalah vektor yang terdiri dari satu komponen yang berupa bilangan. Setiap bilangan adalah skalar.

Contoh :

[ 5 ] = 5 ; [ 0 ] = 0 ; [ 1 ] = 1

Perkalian Vektor dengan Skalar (Hasil Kali Numeris / Aljabar).

Hasil kali vektor dengan skalar k adalah vektor yang komponennya k kali komponen vektor , yaitu :

k = [ ka1 ka2 kam ]

m =

Negasi dari vektor = -1 () yaitu hasil kali vektor dengan skalar k = -1 Ketergantungan Linier (Linear Dependence)Dua vektor dan dikatakan saling tergantung secara linier (linearly dependent) jika vektor bisa dinyatakan dalam sekian kali vektor atau sebaliknya. Jadi jika = m atau m + n = 0, dengan m, n 0 maka dan dikatakan saling tergantung secara linier.

Jika tidak, maka dan dikatakan tidak saling tergantung secara linier (linearly independent).

Vektor , dan dikatakan saling tergantung secara linier jika salah satu vektornya bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dua vektor lainnya, yaitu :

= m + n atau = m + n atau = m + n atau m1 + m2 + m3 = 0 dengan m1, m2, m3 tidak semuanya nolSecara umum, n buah vektor , , , , dengan dimensi yang sama dikatakan saling tergantung secara linier (linearly dependent) jika salah satu vektornya bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari (n-1) vektor lainnya, atau

jika terdapat skalar m1 , m2 , . , mn yang tidak semuanya nol, sedemikian sehingga :

m1 + m2 + m3 + + mn-1 + mn = 0

Sebaliknya, n buah vektor , , , , dengan dimensi yang sama dikatakan tidak saling tergantung secara linier (linearly independent) jika salah satu vektornya tidak bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari (n-1) vektor lainnya, atau persamaan : m1 + m2 + m3 + + mn-1 + mn = 0

hanya dipenuhi jika skalar m1 , m2 , . , mn semuanya nolContoh :

1. = , = dan = ,

Karena = = 2 + = 2 + maka , dan dikatakan saling tergantung secara linier (linearly dependent)

Atau :

Bentuk persamaan : m1 + m2 + m3 = m1 + m2 + m3 = 0

berarti :

3m1 + m2 + 7m3 = 0 (x2) 6m1 + 2m2 + 14m3 = 0

4m1 + 2m2 + 10m3 = 0 4m1 + 2m2 + 10m3 = 0 - 2m1 + 4m3 = 0

m1 = -2m3 -6m3 + m2 + 7m3 = 0 m2 = -m3 Misalkan : m3 = 1 maka m1 = -2 dan m2 = -1

Jadi terdapat m1 = -2 , m2 = -1 dan m3 = 1 , sehingga : m1 + m2 + m3 = 0

Maka , dan saling tergantung secara linier (linearly dependent) 2. = dan = ,

Bentuk persamaan : m + n = m + n = 0

Maka :2m + 5n = 0 -2n + 5n = 0 3n = 0 n = 0

m + n = 0 m = -n m = 0

4m + 2n = 0 - 4n + 2n = 0 -2n = 0 n = 0

Persamaan : m + n = 0 , hanya dipenuhi jika m = 0 dan n = 0

Sehingga dan tidak saling tergantung secara linier (linearly independent).

3. Tunjukkan apakah vektor-vektor : = , = , = , =

saling tergantung secara linier (linearly dependent).

Bentuk persamaan :

m1 + m2 + m3 + m4 = m1 + m2 + m3 + m4 = 0

Maka :

(1) 3m1 + m2 + 7m3 - m4 = 0

(2)4m1 + 2m2 + 10m3 - 3m4 = 0

EMBED Equation.3 = diselesaikan dengan eliminasi Gauss

= =

Substitusi mundur :

3m1 + m2 + 7m3 - m4 = 0

2m2 + 2m3 - 5m4 = 0 2m2 =-2m3 + 5m4 m2 = - m3 + 5/2 m4

3m1 = + m3 5/2 m4 7m3 + m4 = - 6m3 3/2 m4 m1 = - 2 m3 1/2 m4

Jika : m4 = 0 dan m3 = 1 , maka m1 = -2 dan m2 = -1

Terdapat m1 , m2 , m3 , m4 yang tidak semua nol sedemikian sehingga : m1 + m2 + m3 + m4 = 0 . Jadi vektor-vektor , , , saling tergantung secara linier (linearly dependent).

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang komponen ke-i nya 1 dan komponen lainnya 0.

Contoh : Untuk vektor berdimensi 3 ;

= atau

= atau

= atau

RUANG VEKTOR

Ruang vektor dimensi-n ditulis Rn(F) atau disingkat Rn adalah himpunan seluruh vektor berdimensi n atau yang memenuhi sifat :

1. Untuk sembarang vektor , Rn , maka :

a. + = Rn Sifat tertutup (closed)

b. + = + Sifat komutatif

c. ( + ) + = + ( + ) Sifat asosiatif

d. Terdapat vektor

EMBED Equation.3 Rn, sedemikian hingga + = + = , untuk setiap Rn

e. Untuk setiap Rn, mempunyai invers additive = - Rn , sehingga :

+ (- ) =

2. Untuk sembarang skalar a , b R (bilangan riil) dan vektor , Rn , maka :

a. a Rn dan kombinasi linier dari vektor , juga Rnb. (a + b) = a + b Sifat distributif terhadap perkalian dengan skalarc. a ( + ) = a + a Sifat distributif terhadap perkalian dengan skalard. (ab) = a (b) e. 1() = Jika n = 2 , dikatakan ruang vektor dimensi 2 atau R2 atau secara geometri bisa digambarkan dalam bidang koordinat XOY

Jika n = 3 , dikatakan ruang vektor dimensi 3 atau R3 atau secara geometri bisa digambarkan dalam ruang koordinat XYZ

Basis Ruang Vektor RnVektor-vektor , , , , dalam ruang vektor Rn dikatakan merupakan basis dari Rn, jika :a. Setiap vektor dalam Rn bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor , , , , dan

b. , , , , saling tidak bergantung secara linier (linearly independent).

Contoh :

Vektor satuan = , = , = di R3, merupakan basis di ruang vektor R3 , karena ketiganya saling tidak bergantung secara linier dan sembarang vektor di R3 selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ketiga vektor basis tersebut.

Misalnya = = 3 + 4 + 2

Geometri Ruang Vektor Dimensi Dua (R2) dan Dimensi Tiga (R3)Vektor berdimensi 2 dan 3 secara fisis banyak digunakan dalam geometri maupun fisika. Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar (magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan gerak dari suatu obyek, kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain sebagainya. Sementara besaran yang hanya mempunyai besar (magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan aplikasinya, baik dalam bidang (R2) maupun ruang (R3). Secara fisis penyajian sebuah vektor biasa digambarkan sebagai segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :

B

=

= =

A=titik pangkal (initial point)

B=titik ujung (terminal point)

APanjang vektor = = : menyatakan besarnya vektor atau panjangnya vektor

dan tanda panah dalam menyatakan arah vektor .Vektor Satuan (Unit Vector) dari Vektor (= )Vektor satuan dari vektor adalah vektor yang sejajar dan arahnya sama dengan vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

= vektor satuan dari vektor ; sehingga =

Aljabar Vektor Dalam R2 dan R3 Vektor nol (null vector)

Ditulis adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit). Digambarkan dengan sebuah titik.

Kesamaan 2 vektor

Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang sama.

=

Kesejajaran 2 vektorDua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar, arahnya bisa sama atau berlawanan.

Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel.

// //

Penjumlahan vektor

Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran genjang atau aturan segi banyak (poligon)

Misalnya :

a.

Maka =+ , bisa digambarkan sebagai berikut :

atau =+

=+

Aturan poligon Aturan Jajaran Genjang

b.

Maka = + + + + , dengan aturan poligon bisa digambarkan sebagai

berikut :

= ++++

Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan. Penggandaan vektor dengan skalar

Jika m = besaran skalar

dan = vektor yang panjangnya || ; maka :

m = vektor yang panjangnya m kali panjangnya dan arahnya sama dengan vektor jika m positif, atau berlawanan dengan arah vektor jika m negatif Contoh :

2 -3

Pengurangan vektor

Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari vektor yang mengurangi

Jadi:

-

- = -

Jika = maka

TEOREMA DASAR DALAM RUANG VEKTOR R2 DAN R3 Setiap vektor pada bidang (R2) dapat ditulis secara tunggal sebagai kombinasi linier sembarang 2 vektor dan yang tidak paralel dan bukan vektor nol.

Atau : = dengan m, n adalah skalar yang tunggal

Bukti :

paralel dengan sehingga =

= +

paralel dengan sehingga =

Dalam hal ini m, n adalah skalar yang tunggal. Karena jika tidak tunggal maka akan bisa ditulis sebagai berikut :

= m1 + n1 = m2 + n2

(m1 - m2) + (n1 - n2 ) = 0

Karena dan bukan vektor nol dan tidak paralel maka,

m1 - m2 = 0 m1 = m2

n1 - n2 = 0 n1 = n2 Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R3), sehingga untuk sembarang vektor di R3 , dapat ditulis :

= m1 + m2 + m3

dengan , dan adalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektor nol dan tidak sebidang. z

P3 = + P = +

= + +

O P2 y = m1 + m2 + m3

P1 P x

Dua vektor dan dikatakan saling bergantung secara linier (linearly dependent) jika terdapat skalar m dan n yang tidak semua nol dan m+ n = 0

Kejadian ini tidak akan terjadi jika :

dan merupakan vektor nol atau dan tidak paralel (sejajar)Contoh :

Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan 1/2 dari panjang sisi ketiga tersebut. M titik tengah

N titik tengah

=

sehingga dan panjang = panjang

VEKTOR BASIS SATUAN Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R2 dan pilih dua vektor satuan :

i = atau [1 0 ] dan j = atau [ 0 1 ] sebagai vektor basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x dan y positif dan berpangkal di titik 0.

Y

(0,1) j

0 i (1,0) Xmaka vektor i dan j disebut dengan vektor-vektor basis satuan di R2. Dikatakan sebagai vektor basis, karena untuk sembarang vektor di R2 akan selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut.Di R3 : sebagai vektor basis yang sejajar dan searah dengan sumbu z dinyatakan dengan vektor k. z

k i j y

x Sehingga : i = atau [ 1 0 0 ] ; j = atau [ 0 1 0 ] ; k = atau [ 0 0 1 ] merupakan vektor-vektor basis satuan di R3VEKTOR POSISIa.Vektor Posisi dalam R2

Jika i dan j adalah vektor-vektor basis satuan di R2 yaitu vektor satuan yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu X dan sumbu Y dan berpangkal di titik 0 dalam R2.

Maka sembarang vektor dari titik 0 ke titik P(x,y) dalam bidang XOY selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis i dan j. Y ry j = y j P(x,y)

j 0 i rx i = x i XSehingga : = = rx i + ry j = atau [ rx ry ]

= = x i + y j = atau [ x y ]

Dalam hal ini :

rx i = = x i = dan ry j = = y j = disebut vektor-vektor komponen dari

rx = x disebut komponen vektor pada sumbu X (proyeksi ke sumbu X)

ry = y disebut komponen vektor pada sumbu Y (proyeksi ke sumbu Y)

Vektor = xi + yj = disebut vektor posisi titik P, karena komponen-komponen-nya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P terhadap titik 0.

Panjang dari = =

Contoh :

Y 4 3

O 2 5 X

= = [ 5 3 ] = 5 i + 3 j

= = [ 2 4 ] = 2 i + 4 jb. Vektor Posisi dalam R3 :

Vektor-vektor basis dalam R3 adalah vektor-vektor satuan i , j dan k yang masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z positif dan berpangkal di titik 0. .

= x i + y j + z k = atau [ x y z ] merupakan vektor posisi dari titik P(x,y,z)

dengan : x = proyeksi ke sumbu X

y = proyeksi ke sumbu Y

z = proyeksi ke sumbu Z

Panjang dari = =

Secara umum untuk sembarang vektor = Ax i + Ay j + Az k = [Ax Ay Az] dalam R3, berlaku :

Panjang Vektor satuan

Dengan :

Ax, Ay; Az disebut bilangan arah vektor

Sudut-sudut yang dibentuk vektor terhadap sumbu x, y, z positif disebut arah vektor

Cosinus sudut-sudut tersebut disebut cosinus arah.

dengan:

MENYATAKAN SUATU VEKTOR DALAM SISTEM KOORDINAT TEGAK Z

= x1i + y1j +z1k

= x2i + y2j + z2k O Y X =

= (x2i + y2j + z2k) (x1i + y1j + z1k) = (x2 x1)i + (y2 y1)j + (z2 z1)k = (x2 x1)i + (y2 y1)j + (z2 z1)kSembarang vektor dalam sistem koordinat bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis yang komponen-komponennya adalah komponen vektor posisi titik ujung dikurangi komponen vektor posisi titik pangkalnya.

= panjang vektor

SOAL-SOAL

1.Tentukan vektor satuan yang sejajar dengan jumlah (resultan) dari vektor-vektor

= 2i + 4j 5k

=i + 2j + 3k

2.Tunjukkan bahwa vektor-vektor :

= 3i + 2j + k

= i + 3j + 5k

= 2i j 4k ;akan membentuk sebuah segitiga3. Ambil sembarang segi 4 ABCD

Titik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi AB; BC; CD dan DA

Buktikan bahwa PQRS menyusun suatu jajaran genjang.

(Cukup dengan membuktikan bahwa = atau = )

PERKALIAN ANTAR VEKTORa. Hasil Kali Skalar (Dot product / Scalar Product)Ditulis:

; ( = sudut antara vektor dan

Proyeksi pada

Proyeksi pada

Sifat Hasil Kali Skalar :

1.

2.

3.

4.

Dalam R3 :

karena // maka

k

karena ( maka

j i XJadi, jika : = Axi + Ay j + Azk dan

= Bxi + By j + Bzk , maka : = AxBx + AyBy + AzBz

Sudut Antara 2 Vektor :

Karena

cos ( =

= arc cos

Contoh :

= 3i + 6j + 9k ;

= -2i + 3j + k ;

= 3(-2) + (6)(3) + (9(1) = 21

; Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

Dua vektor dan saling tegak lurus atau ( (yaitu cos ( = 0), jika

= 0 atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0

Dua vektor dan saling paralel jika komponen-komponennya sebanding atau

jika :

Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha

Dalam fisika, usaha = gaya jarak perpindahan

Jika vektor gaya dan vektor jarak perpindahan tidak sejajar, maka : Usaha = besarnya komponen gaya yang sejajar dengan arah perpindahan x besarnya jarak

=

=

komponen vektor gaya yang sejajar dengan jarak perpindahan

CONTOH : Diketahui :

= 2i + 2j 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)

Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya

Jawab:

= (21)i + (40)j + (21)k = 2i + 4j + kW = (2i + 2j 4k ) (2i + 4j + k) = 4 + 8 4 = 8 satuan usahab. Hasil Kali Vektor (Cross Product / Vector Product )Ditulis : hasilnya berupa vektor

dengan

Arah dari ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan.Sifat Hasil Kali Vektor :

1.

= () anti komutatif

2. (k) = k() =

3. () = () + ()

() = () + ()Dalam R3

Z = 0 dengan cara yang sama

i i = j j = k k = 0

k

j Y i

X sehingga : i j = k ; j k = i ; k i = j

j i = -k ; k j = -i;i k = -j

Jika :

= Ax i + Ay j + Az k

=Bx i + By j + Bz k maka :

=(Ax i + Ay j + Azk) (Bx i + By j + Bzk)

=(AyBz AzBy) i (AxBz AzBx) j + (AxBy AyBx) k atau :

=

dan

CONTOH :

=2i j + k

=i 3j + 4k

= 22 + (-1)2 + 12 = 6

= 12 + (-3)2 + 42 = 26 ; = 2(1) + (-1)(-3) + 1(4) = 9 = = = - i 7j 5k = = = = = =

Aplikasi dari Hasil Kali Vektor

Menghitung Torsi / Momen

Dalam mekanika, momen atau torsi dari gaya terhadap titik Q didefinisikan

sebagai : dengan

d = jarak (dalam arah () antara titik Q ke garis gaya

d Q

Jika: =adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik sembarang pada garis gaya

Maka d =

; ( = sudut antara dengan dan

Jika , maka = = vektor momen dari gaya terhadap titik Q

CONTOH :

Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O

Jawab :

= (4 2) i + (2 1) j + 0k = 2i 3j + 0k

= (2 0) i + (1 0) j + 0k = 2i + j + 0k

m =

c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product)

Jika :

= Ax i + Ay j + Az k

= Bx i + By j + Bz k

= Cx i + Cy j + Cz k

=

= = ( disebut hasil kali skalar tripel, karena hasilnya merupakan skalar.

Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat :

1.

sehingga:

Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya, letak tanda x dan nya tidak mempengaruhi hasilnya.

Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah.

Sehingga:

2.Hasil kali skalar tripel: bila dan hanya bila sebidang.

Bukti :

a.

( sebidang

Jika maka atau salah satu dari vektor nol

Berarti:

i. Apabila salah satu dari vektor nol, maka pasti

sebidang

ii. Apabila maka bisa diletakkan sebidang dengan

sehingga sebidang

b.Jika sebidang (

Jika sebidang, maka sehingga

Arti Geometris Dari

Diberikan vektor G F

=

= C E

= B D O A

= luas jajaran genjang OADB

= =

= tinggi di atas bidang OADB

Jadi = volume bidang enam (paralel epipedum) OADB CEFG yang

disusun oleh

Catatan :

Luas jajaran genjang OABC =

= =

CONTOH :Buktikan bahwa

Bukti :

Misalkan

Maka : = volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u

Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut sebidang sehingga : = 0d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product)

Hasil kali vektor tripel adalah :

;

Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurungnya ditukar.

Misalkan :

(i i) j = 0 j = 0 i (i j) = i k = j

Sifat Hasil Kali Vektor Triple :

1.

(

2.

=

=

CONTOH :1. Jika: = 2i + 2j k

=i - j + k

= 3i + j 2k Hitung : ;

Jawab :

a. = = i 3 j 4k

= = 10i 10j + 10k Atau :

= = (6 + 2 + 2)(i - j + k) (3 -1 -2)( 2i + 2j k)

= 10 (i - j + k) = 10i 10j + 10k b. ==

= =

Atau :

= = (6 + 2 + 2)(i - j + k) (2 2 1)(3i + j 2k) = 10 (i - j + k) + (3i + j 2k) =

2.Buktikan :

Bukti :

Misalkan

Maka = =

=

=

=

=

PENGGUNAAN VEKTOR DALAM GEOMETRIa.Persamaan Garis

Dalam R3 :

Andaikan sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan sebuah vektor = Ai + Bj + Ck. Maka merupakan tempat kedudukan semua titik P(x,y,z) sedemikian hingga sejajar dengan

Jadi titik P(x,y,z) terletak pada garis bila dan hanya bila = dengan t adalah suatu skalar.

Atau :

(x x1)i + (y y1) j + (z z1) k =t (Ai + Bj + Ck) = t Ai + t Bj + t CkIni berarti :

Persamaan parameter garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan paralel dengan vektor .

Atau:

t =

Persamaan standard garis yang melalui titik (x1, y1, z1) dan paralel dengan

Dalam hal ini = Ai+ Bj + Ck disebut vektor arah garis , dan A, B, C merupakan bilangan arah garis.

Jika salah satu dari A, B dan C nol

Misalkan A = 0 maka x x1 = 0 x = x1Persamaan standardnya ditulis : ; dan x = x1CONTOH :Tentukan persamaan garis melalui titik A ( 5,4,1) dan titik B (3, 1, 6)

(Vektor arah garis = = 2i 3j + 5kMisalkan titik sembarang pada garis adalah P(x,y,z) dan titik tertentu yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka

Persamaan standard garis :

Atau :

( 3x 2y 7 = 0

( Persamaan standard garis :

( 5y 3z 17 = 0

Persamaan parameter garis :

b.Persamaan Bidang

Vektor ( bidang W sehingga disebut Vektor Normal dari bidang WJika = Ai + Bj + Ck

= (x x1) i + (y y1) j + (z z1) k ( terletak pada bidang W

Sehingga ( (

Atau :

( Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang = Ai+Bj + CkCONTOH :1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3, 2,1) ; Q(4,1, 5) ; R(2, 4, 3). (

( Persamaan bidang:

A(x x1) + B(y y1) + C(z z1) = 0

10 (x 3) 6 (y 2) + 1( z 1) = 0

10x 6y + z + 41 = 0 Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai :

dengan = Ai + Bj + Ck2.Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2) ; tegak lurus pada bidang U = 2x + 3y + z = 8 dan tegak lurus pada bidang V = x y + 3z = 0

(U : 2x + 3y + z = 8 (

= 2i + 3 j + k

V : x y + 3z = 0 (

= i j + 3kDicari bidang W yang ( bidang U dan V, berarti ( dan

Atau

Persamaan bidang W :

10(x 4) 5(y 1) 5(z + 2) = 0

10x 5y 5z 45 = 0

2x y z = 9c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang

Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan persamaan bidang

V:Ax+ By + Cz + D = 0

( Normal bidang = Ai + Bj + Ck

Jika A ( 0 ( Titik terletak pada bidang tersebut.

P(r,s,t)

( = sudut antara dan

sehingga

sehingga :

atau

Jarak titik P(r,s,t) ke bidang : Ax+By + Cz + D = 0 CONTOH : Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2) ; B = (6,4,3) ; C = (0,5,1)

( = -2i + j + k

= 4i + k

Normal bidang =

Persamaan bidang ABC : (x 0) + 2 (y 5) + 4 (z 1) = 0

x + 2y + 4z 14 = 0

Jarak titik P(5, 5, 4) ke bidang : x + 2y + 4z 14 = 0 adalah : =

d.Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang

Diberikan bidang v dengan normal

Diberikan bidang w dengan normal

(W V)

Jika bidang V dan W berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan ( dengan maupun

Sehingga jika vektor arah garis tersebut , maka

CONTOH :Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang

2x + y 2z = 5 dan 3x 6y 2z = 7

(V = 2x + y 2z = 5

( Nv = 2i + j 2kW = 3x + 6y 2z = 5

( Nw = 3i + 6j 2kVektor arah garis:

Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang :(i)2x + y + 2z = 5

(ii)3x 6y 2z = 7

x + 7y = 2Misalkan diambil : y = 0 ( x = 2 x = 2

(i). 2(2) + 0 2z = 5 2z = 5 4 z = Jadi titik (2, 0, - ) terletak pada garis potong 2 bidang.

Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :

e.Sudut Antara Garis dan Bidang

Jika :

v)

= =

sin ( = sin (90 ()

= =

Sehingga sudut antara garis dengan vektor arah dengan bidang V dengan normal bidang adalah

C

N

M

A

B

Y

X

Z

Azk

Ax i

Ay j

EMBED Equation.3

0

EMBED Equation.3

Q(-D/A,0,0)

P1 (x1, y1, z1)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

P2 (x2, y2, z2)

Q(2, 4)

P(5, 3)

Dalam R2 :

Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m

maka vektor arah garis = i + mj

Z

Y

X

0

EMBED Equation.3

j

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

i

k

Z

X

Y

z

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

x

y

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

P(x,y,z)

P1(x1,y1,z1)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

A(x x1) + B(y y1) + C(z z1) = 0

Ax + By + Cz + D = 0

P(x,y,z)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

@by:MurtiAstuti

_1209432631.unknown

_1209475842.unknown

_1209485004.unknown

_1209602882.unknown

_1366607002.unknown

_1399096763.unknown

_1399773180.unknown

_1399788923.unknown

_1399788953.unknown

_1399788981.unknown

_1399788996.unknown

_1399788966.unknown

_1399788937.unknown

_1399773350.unknown

_1399773463.unknown

_1399773685.unknown

_1399773389.unknown

_1399773181.unknown

_1399772863.unknown

_1399772878.unknown

_1399773179.unknown

_1399773161.unknown

_1399772873.unknown

_1399183347.unknown

_1399772841.unknown

_1399097012.unknown

_1398574331.unknown

_1398578458.unknown

_1399095968.unknown

_1398574349.unknown

_1366704339.unknown

_1397862987.unknown

_1397863016.unknown

_1397863026.unknown

_1397863006.unknown

_1397862927.unknown

_1366703720.unknown

_1366703727.unknown

_1366609212.unknown

_1209657929.unknown

_1209659395.unknown

_1366606970.unknown

_1366606984.unknown

_1366606930.unknown

_1209659301.unknown

_1209659355.unknown

_1209657945.unknown

_1209603960.unknown

_1209604335.unknown

_1209657892.unknown

_1209657903.unknown

_1209604351.unknown

_1209603980.unknown

_1209603235.unknown

_1209603260.unknown

_1209602942.unknown

_1209602983.unknown

_1209603106.unknown

_1209602918.unknown

_1209516915.unknown

_1209517603.unknown

_1209519997.unknown

_1209520629.unknown

_1209602316.unknown

_1209520001.unknown

_1209518268.unknown

_1209519738.unknown

_1209519799.unknown

_1209517619.unknown

_1209517500.unknown

_1209517567.unknown

_1209517591.unknown

_1209517543.unknown

_1209517547.unknown

_1209517124.unknown

_1209517469.unknown

_1209517263.unknown

_1209516994.unknown

_1209516427.unknown

_1209516603.unknown

_1209516857.unknown

_1209516572.unknown

_1209485191.unknown

_1209485206.unknown

_1209485142.unknown

_1209478490.unknown

_1209479690.unknown

_1209480781.unknown

_1209482831.unknown

_1209483328.unknown

_1209484077.unknown

_1209484115.unknown

_1209484144.unknown

_1209484711.unknown

_1209484184.unknown

_1209484136.unknown

_1209484092.unknown

_1209483845.unknown

_1209484028.unknown

_1209484074.unknown

_1209483819.unknown

_1209483226.unknown

_1209483232.unknown

_1209483013.unknown

_1209481846.unknown

_1209482131.unknown

_1209482256.unknown

_1209482092.unknown

_1209481493.unknown

_1209481551.unknown

_1209481412.unknown

_1209481413.unknown

_1209481410.unknown

_1209481411.unknown

_1209480798.unknown

_1209479993.unknown

_1209480131.unknown

_1209480244.unknown

_1209480008.unknown

_1209479777.unknown

_1209479979.unknown

_1209479707.unknown

_1209478580.unknown

_1209478990.unknown

_1209479303.unknown

_1209479482.unknown

_1209479568.unknown

_1209479333.unknown

_1209479261.unknown

_1209478646.unknown

_1209478840.unknown

_1209478584.unknown

_1209478514.unknown

_1209478570.unknown

_1209478517.unknown

_1209478501.unknown

_1209478506.unknown

_1209478510.unknown

_1209478495.unknown

_1209476716.unknown

_1209477566.unknown

_1209477724.unknown

_1209477882.unknown

_1209477896.unknown

_1209477737.unknown

_1209477715.unknown

_1209477719.unknown

_1209477692.unknown

_1209477194.unknown

_1209477520.unknown

_1209477524.unknown

_1209477360.unknown

_1209476731.unknown

_1209476951.unknown

_1209476723.unknown

_1209476129.unknown

_1209476200.unknown

_1209476633.unknown

_1209476704.unknown

_1209476710.unknown

_1209476494.unknown

_1209476138.unknown

_1209476149.unknown

_1209476177.unknown

_1209476142.unknown

_1209476133.unknown

_1209475891.unknown

_1209475940.unknown

_1209476121.unknown

_1209476123.unknown

_1209475973.unknown

_1209475895.unknown

_1209475876.unknown

_1209475886.unknown

_1209475864.unknown

_1209472965.unknown

_1209475493.unknown

_1209475670.unknown

_1209475771.unknown

_1209475814.unknown

_1209475819.unknown

_1209475808.unknown

_1209475709.unknown

_1209475757.unknown

_1209475676.unknown

_1209475619.unknown

_1209475650.unknown

_1209475653.unknown

_1209475633.unknown

_1209475568.unknown

_1209475612.unknown

_1209475557.unknown

_1209474835.unknown

_1209475165.unknown

_1209475276.unknown

_1209475281.unknown

_1209475263.unknown

_1209474897.unknown

_1209474940.unknown

_1209475005.unknown

_1209474947.unknown

_1209474925.unknown

_1209474862.unknown

_1209473274.unknown

_1209473308.unknown

_1209474418.unknown

_1209474767.unknown

_1209473294.unknown

_1209473211.unknown

_1209473256.unknown

_1209473031.unknown

_1209435677.unknown

_1209438059.unknown

_1209438469.unknown

_1209472495.unknown

_1209472916.unknown

_1209472931.unknown

_1209472547.unknown

_1209438831.unknown

_1209439051.unknown

_1209472236.unknown

_1209472249.unknown

_1209439055.unknown

_1209439060.unknown

_1209439023.unknown

_1209439027.unknown

_1209438836.unknown

_1209438558.unknown

_1209438828.unknown

_1209438490.unknown

_1209438120.unknown

_1209438130.unknown

_1209438364.unknown

_1209438126.unknown

_1209438067.unknown

_1209438116.unknown

_1209438063.unknown

_1209437634.unknown

_1209437787.unknown

_1209437831.unknown

_1209438051.unknown

_1209437699.unknown

_1209435909.unknown

_1209435986.unknown

_1209436518.unknown

_1209435929.unknown

_1209435939.unknown

_1209435919.unknown

_1209435732.unknown

_1209435889.unknown

_1209435899.unknown

_1209435680.unknown

_1209433391.unknown

_1209435335.unknown

_1209435593.unknown

_1209435603.unknown

_1209435637.unknown

_1209435596.unknown

_1209435492.unknown

_1209435005.unknown

_1209435036.unknown

_1209433696.unknown

_1209432669.unknown

_1209433337.unknown

_1209433361.unknown

_1209432674.unknown

_1209432659.unknown

_1209432665.unknown

_1209432635.unknown

_1209432639.unknown

_1209220380.unknown

_1209431262.unknown

_1209432537.unknown

_1209432604.unknown

_1209432608.unknown

_1209432626.unknown

_1209432613.unknown

_1209432582.unknown

_1209432588.unknown

_1209432592.unknown

_1209432542.unknown

_1209432496.unknown

_1209432524.unknown

_1209432530.unknown

_1209432507.unknown

_1209432500.unknown

_1209432474.unknown

_1209432480.unknown

_1209432486.unknown

_1209432441.unknown

_1209221814.unknown

_1209222305.unknown

_1209222475.unknown

_1209223332.unknown

_1209223586.unknown

_1209223587.unknown

_1209223408.unknown

_1209223336.unknown

_1209223291.unknown

_1209223306.unknown

_1209223328.unknown

_1209223323.unknown

_1209223301.unknown

_1209223296.unknown

_1209223027.unknown

_1209223277.unknown

_1209222398.unknown

_1209222417.unknown

_1209222456.unknown

_1209222371.unknown

_1209222362.unknown

_1209221943.unknown

_1209222177.unknown

_1209222252.unknown

_1209222257.unknown

_1209222229.unknown

_1209222134.unknown

_1209222054.unknown

_1209221836.unknown

_1209221872.unknown

_1209221818.unknown

_1209221382.unknown

_1209221521.unknown

_1209221805.unknown

_1209221809.unknown

_1209221582.unknown

_1209221390.unknown

_1209221455.unknown

_1209221386.unknown

_1209221274.unknown

_1209221364.unknown

_1209221378.unknown

_1209221282.unknown

_1209220826.unknown

_1209221269.unknown

_1209220404.unknown

_1205804048.unknown

_1206484200.unknown

_1206485192.unknown

_1209174581.unknown

_1209220281.unknown

_1209220361.unknown

_1209220370.unknown

_1209220289.unknown

_1209176110.unknown

_1209176431.unknown

_1209176702.unknown

_1209177278.unknown

_1209177863.unknown

_1209179043.unknown

_1209179409.unknown

_1209179421.unknown

_1209179741.unknown

_1209179746.unknown

_1209179426.unknown

_1209179413.unknown

_1209179333.unknown

_1209179001.unknown

_1209179038.unknown

_1209178798.unknown

_1209177850.unknown

_1209177855.unknown

_1209177349.unknown

_1209176909.unknown

_1209176971.unknown

_1209177241.unknown

_1209176957.unknown

_1209176889.unknown

_1209176900.unknown

_1209176705.unknown

_1209176591.unknown

_1209176684.unknown

_1209176689.unknown

_1209176697.unknown

_1209176680.unknown

_1209176463.unknown

_1209176473.unknown

_1209176440.unknown

_1209176354.unknown

_1209176374.unknown

_1209176422.unknown

_1209176426.unknown

_1209176411.unknown

_1209176416.unknown

_1209176406.unknown

_1209176365.unknown

_1209176369.unknown

_1209176359.unknown

_1209176323.unknown

_1209176333.unknown

_1209176349.unknown

_1209176328.unknown

_1209176129.unknown

_1209176266.unknown

_1209176288.unknown

_1209176289.unknown

_1209176274.unknown

_1209176230.unknown

_1209176256.unknown

_1209176134.unknown

_1209176125.unknown

_1209176114.unknown

_1209176032.unknown

_1209176068.unknown

_1209176092.unknown

_1209176102.unknown

_1209176099.unknown

_1209176078.unknown

_1209176084.unknown

_1209176042.unknown

_1209176048.unknown

_1209176037.unknown

_1209175850.unknown

_1209175860.unknown

_1209176027.unknown

_1209175855.unknown

_1209174958.unknown

_1209175838.unknown

_1209174592.unknown

_1206486215.unknown

_1209120814.unknown

_1209125561.unknown

_1209127234.unknown

_1209174434.unknown

_1209174450.unknown

_1209174460.unknown

_1209127539.unknown

_1209127744.unknown

_1209127849.unknown

_1209127590.unknown

_1209127315.unknown

_1209127521.unknown

_1209126695.unknown

_1209126967.unknown

_1209127190.unknown

_1209126974.unknown

_1209126962.unknown

_1209125585.unknown

_1209122208.unknown

_1209124547.unknown

_1209125547.unknown

_1209125379.unknown

_1209122290.unknown

_1209120884.unknown

_1209120902.unknown

_1209120927.unknown

_1209120948.unknown

_1209120895.unknown

_1209120842.unknown

_1208485049.unknown

_1209074594.unknown

_1209119305.unknown

_1209119838.unknown

_1209120787.unknown

_1209119697.unknown

_1209076689.unknown

_1209118407.unknown

_1209119114.unknown

_1209119192.unknown

_1209119202.unknown

_1209119178.unknown

_1209077155.unknown

_1209077199.unknown

_1209077578.unknown

_1209077630.unknown

_1209118370.unknown

_1209077600.unknown

_1209077544.unknown

_1209077404.unknown

_1209077182.unknown

_1209077035.unknown

_1209077068.unknown

_1209076924.unknown

_1209077007.unknown

_1209076778.unknown

_1209076633.unknown

_1209076661.unknown

_1209076666.unknown

_1209076677.unknown

_1209076656.unknown

_1209076577.unknown

_1209076619.unknown

_1209074640.unknown

_1209074603.unknown

_1209072957.unknown

_1209073797.unknown

_1209074484.unknown

_1209074495.unknown

_1209074303.unknown

_1209073474.unknown

_1209073585.unknown

_1209073449.unknown

_1209073089.unknown

_1208485080.unknown

_1206827546.unknown

_1208310705.unknown

_1208484997.unknown

_1208484895.unknown

_1208484943.unknown

_1208484969.unknown

_1208484918.unknown

_1208311057.unknown

_1208310756.unknown

_1206827653.unknown

_1206827781.unknown

_1206827654.unknown

_1206827623.unknown

_1206827599.unknown

_1206749175.unknown

_1206749266.unknown

_1206749771.unknown

_1206749789.unknown

_1206749885.unknown

_1206749889.unknown

_1206749795.unknown

_1206749781.unknown

_1206749739.unknown

_1206749753.unknown

_1206749742.unknown

_1206749296.unknown

_1206749243.unknown

_1206749256.unknown

_1206749260.unknown

_1206749247.unknown

_1206749226.unknown

_1206749236.unknown

_1206749200.unknown

_1206749213.unknown

_1206749181.unknown

_1206749063.unknown

_1206749156.unknown

_1206749164.unknown

_1206749169.unknown

_1206749161.unknown

_1206749075.unknown

_1206749112.unknown

_1206749071.unknown

_1206748949.unknown

_1206748985.unknown

_1206749044.unknown

_1206748959.unknown

_1206748839.unknown

_1206748934.unknown

_1206748944.unknown

_1206748940.unknown

_1206748842.unknown

_1206748817.unknown

_1206748835.unknown

_1206748821.unknown

_1206748480.unknown

_1206748797.unknown

_1206584054.unknown

_1206486869.unknown

_1206488406.unknown

_1206488490.unknown

_1206488529.unknown

_1206487269.unknown

_1206486223.unknown

_1206486097.unknown

_1206486155.unknown

_1206486183.unknown

_1206485202.unknown

_1206485248.unknown

_1206486072.unknown

_1206484875.unknown

_1206484936.unknown

_1206485139.unknown

_1206485151.unknown

_1206484540.unknown

_1206484267.unknown

_1206484296.unknown

_1206484234.unknown

_1205804502.unknown

_1206395390.unknown

_1206395417.unknown

_1206395450.unknown

_1206395451.unknown

_1206484025.unknown

_1205804648.unknown

_1205804546.unknown

_1205804430.unknown

_1205804455.unknown

_1205804471.unknown

_1205804160.unknown

_1205804401.unknown

_1122481857.unknown

_1123656481.unknown

_1123665558.unknown

_1123679663.unknown

_1205804024.unknown

_1123667281.unknown

_1123667368.unknown

_1123666388.unknown

_1123658093.unknown

_1122482026.unknown

_1122482854.unknown

_1122484884.unknown

_1122485224.unknown

_1122485248.unknown

_1122484916.unknown

_1122482879.unknown

_1122482050.unknown

_1122481979.unknown

_1122481992.unknown

_1122481897.unknown

_1122312506.unknown

_1122389055.unknown

_1122481843.unknown

_1122477901.unknown

_1122316258.unknown

_1120467680.unknown

_1120497198.unknown

_377313507.unknown

_1120463368.unknown

_377313446.unknown