Ruang Vektor

RUANG VEKTOR

Ruang vektor dan SubruangKombinasi LinierBasis dan DimensiRuang Baris dan Ruang Kolom

Ruang-n Definisi :Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka

tupel-n terurut (ordered-n tuple) adalah urutan n bilangan riil (a1 ,a2 , ...,an)

Himpunan semua tupel-n terurut dinamakan ruang-n ditulis Rn .

Contoh :R2 = {(a1,a2) : a1,a2R }

Ruang VektorMisal V adalah himpunan yang dilengkapi operasi penjumlahan danperkalian dengan skalar. V disebut sebagai ruang vektor jikamemenuhi aksioma aksioma berikut :1. Untuk sembarang skalar , jika u ∈ V maka u ∈ V2. u , v ∈ V , maka u + v ∈ V 3. u + v = v + u ; u,v ∈ V4. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w5. Ada 0 ∈ V sehingga 0 + u = u + 0 untuk semua u ∈ V ,

0 : vektor nol6. Untuk setiap u ∈ V terdapat – u ∈ V sehingga u + (– u ) = 07. k ( u + v ) = k u + k v , k sembarang skalar8. (k + l) u = k u + l u , k dan l skalar9. k( l u ) = ( kl ) u10. 1 u = u

Contoh Ruang Vektor1. V adalah himpunan Rn dengan operasi standar

(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar )

2. V adalah himpunan matriks berukuran mxn dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dg skalar)Notasi: Mmn

Subruang VektorDiketahui V ruang vektor dan U subhimpunan V.U dikatakan subruang dari V jika memenuhi duasyarat berikut :

1. Jika u ,v ∈ U maka u + v ∈ U2. Jika u ∈ U , untuk skalar berlaku u ∈ U

Contoh :a. S = {(x ,y ) : y = 2x }

Apakah S subruang dari R2 ?b. T = { (x,1) : x R }

Apakah T subruang dari R2 ?

Kombinasi LinierVektor v dikatakan merupakan kombinasilinier dari vektor – vektor v1, v2,…,vn bilav bisa dinyatakan sebagai :

v = k1v1 + k2v2+…+ knvn ,k1 ,k2 ,…,kn adalah skalar

ContohDiketahui a = ( 1,2 ) , b = ( –2,–3 ) dan c = ( 1,3 )Apakah c merupakan kombinasi linier dari a dan b ?

Latihan :1. Misal : u=(2,1,4) , v=(1,-1,3) , w=(3,2,5)

Apakah y=(-9,-7,-15) merupakan kombinasi linier dari u,v dan w?

2. Misal : u=(2,4,-2), v = (3,2,1) .Apakah Z = (4,-1,8) merupakan kombinasi linier dari u dan v?

Bebas Linier Vektor – vektor di S dikatakan bebas linier

(linearly independent) jika persamaank1v1 + k2v2 +…+ knvn = 0

hanya memiliki penyelesaiank1= k2 = … = kn = 0

jika ada penyelesaian lain untuk nilaik1, k2,…,kn selain 0 maka dikatakanvektor –vektor di S bergantung linier(linearly dependent)

Contoh1. Tentukan apakah vektor-vektor berikut

membentuk suatu himpunan yang bebas linier?

a. u=( 1,2 ) , v=( 2,2 ) , w=( 1,3 )b. u=(1,1,3), v=(5,-1,2), w=(-3,0,4)c. u=(1,-2,3), v=(5,6,-1), w=(3,2,1)d. u=(4,-1,2), v=(-4,10,2)

S membangun/merentang VDiketahui V ruang vektor dan S = { v1, v2,…, vn}dengan v1, v2,…, vn∈ VS dikatakan membangun/merentang Vbila untuk setiap v ∈ V,v merupakan kombinasi linier dari S ,yaitu :

v = k1v1 + k2 v2+…+ knvn

k1,k2,…,kn adalah skalar

Contoh1. Diketahui v1 =(2,2,2), v2 =(0,0,3), v3 =(0,1,1)

Apakah v1, v2 dan v3 membangun R3 ?2. Diketahui v1=(2,-1,3), v2=(4,1,2), v3=(8,-1,8)

Apakah v1, v2 dan v3 membangun R3 ?3. Diketahui u=(4,-1,2), v=(-4,10,2)

Apakah u dan v membangun R3 ? 4. Diketahui u=(1,0), v=(0,1), w=(2,3)

Apakah u, v dan w membangun R2 ?

BASIS dan DIMENSI

Definisi:Jika V ruang vektor dan S = {v1,v2 , …, vn } himp vektor-vektor pada V, maka S dinamakan basis untuk V jika:

1. S bebas linear2. S merentang V

Contoh Basis standar di R2

v1 =(1,0), v2 =(0,1) Basis standar di R3

i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) Basis standar di Rn

e1 = (1,0,0,…,0), e2 = (0,1,0,…,0),…,en = (0,0,0,..,1)

Latihan:1. Apakah himpunan vektor berikut merupakan basis

untuk R3 ?a. (1,2,1), (2,9,0), (3,3,4)b. (1,1,1), (1,-2,3)c. (1,0,0),(1,1,0), (1,1,1)d. (1,1,2), (1,2,5), (5,3,2)2. Apakah himpunan vektor berikut merupakan basis

untuk R2 ?a. (4,1), (-7,-8)b. (3,9), (-4,-12)

DimensiDimensi dari suatu ruang vektor V yangberdimensi terhingga dinotasikan dengandim(V) didefinisikan sebagai banyaknyavektor-vektor pada suatu basis untuk V.Selain itu didefinisikan ruang vektor nolberdimensi nol.

Latihan 1. Tentukan dimensi dan basis untuk ruang solusi dari sistem

berikut: a. x1 + x2 – x3 = 0 -2x1 –x2 +2x3 = 0 -x1 + x3 = 0b. x1–3x2+x3 = 0 2x1-6x2+2x3 = 0 3x1-9x2+3x3 = 0

c. 2x1+x2+3x3 = 0 x1 +5x3 = 0

x2 + x3 = 0

VEKTOR BARIS dan VEKTOR KOLOM

Definisi:Diberikan

Vektor-vektor baris A: Vektor-vektor kolom A :

mnmm

n

n

mxn

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

),...,,(...

),...,,(),...,,(

21

222212

112111

mnmmm

n

n

aaar

aaaraaar

mn

n

n

mm a

ac

a

ac

a

ac ......,,...,...

1

2

12

2

1

11

1

ContohMisal

Vektor vektor baris : (1,0,3) dan (-1,3,0)

Vektor vektor kolom : , dan

031301

A

11

30

03

RUANG BARIS ,RUANG KOLOM dan Ruang null

Subruang Rn yg direntang oleh vektor-vektor baris dr A dinamakan ruang baris A.

Subruang Rm yg direntang oleh vektor-vektor kolom dr A dinamakan ruang kolom A.

Ruang solusi dari sistem persamaan yang homogen Ax = 0 yang merupakan subruang dari Rn disebut ruang null dari A

Contoh Ruang baris dari A adalah himpunan yang berbentuk : k1( 1,0,3) + k2(-1,2,0)=(k1–k2 ,2k2 ,3k1 )

Ruang kolom dari A adalah himpunan yang berbentuk :

Ruang null dari matriks A adalah himpunan

21

31321 2

303

20

11

kkkk

kkk

Definisi Rank dari suatu matriks A adalah dimensi dari

ruang baris A. Untuk menentukan rank suatu matriks, matriks tersebut direduksi menjadi bentuk eselon baris.

Baris-baris tak nol dari matriks eselon baris akan membentuk basis untuk ruang barisnya.

Nulitas dari suatu matriks A adalah dimensi ruang nul dari A

Latihan:

Vektor-vektor baris A adalah…Vektor-vektor kolom A adalah…Tentukan basis ruang baris dari ATentukan basis ruang kolom dari ATentukan basis ruang null dari A

267445311

A

Latihan

Vektor-vektor baris A adalah…Vektor-vektor kolom A adalah…Tentukan basis ruang baris dari ATentukan basis ruang kolom dari ATentukan basis ruang null dari A

031301

A

TeoremaJika A adalah sebarang matriks, makaruang baris dan ruang kolom Amempunyai dimensi yang sama.

Latihan1. Tentukan basis ruang baris dan basis ruang

kolom dari A dan rank(A)

2. Jika diketahui A dan b sbb. Tentukan apakah SPL Ax=b punya penyelesaian

a. b.

267445311

A

201

,312101211

bA

102

,6431

bA