3 Ruang Vektor

8/18/2019 3 Ruang Vektor

1/41

RUANG VEKTOR Trihastuti Agustinah.


2/41

Vektor pada Rn

• Definisi Ruang-n

– Himpunan seuruh tupe-n dari !iangan rea

• Notasi" Rn

– n # $ pasangan terurut%

– n # & tripe terurut

– n # ' satu !iangan rea (notasi" R' atau R)

• $ interpretasi geometris tripe terurut (a'*a$*a&)"

– Titik: a'*a$*a& se!agai koordinat

– Vektor: a'*a$*a& se!agai komponen +ektor


3/41

,nterpretasi tripe terurut


4/41

Operasi standar

• Dua +ektor u#(u'* u$** un) dan v#(v'* v$** vn) pada

Rn

– Sama u#v% u'# v'* u$# v$* * un# vn

– Jumlah" uv # (u'v'* u$v$* * unvn)

– Perkalian skalar" k u#(ku'* ku$** kun)

• Vektor no

Notasi" 0

0 # (/*/* */)


5/41

0ifat-sifat aritmatika

• 1ika u#(u'* u$** un)* v#(v'* v$** vn) pada Rn

– Negatif" -u # (-u'* -u$** -un)

– 0eisih" v- u # v (- u) atau v- u # (v'-u'* v$-u$* * vn-un)

• Teorema" (k *l " skaar)

v u # u v k (l u) # (kl ) u

u (v2) # (u v) 2 k (u v) # k u k v

u 0 # 0 u # u (k l ) u # k ul u

u (- u)# 0 u - u # 0 'u # u


6/41

Ruang n-Eu3idean

• 4isa u#(u'* u$** un)* v#(v'* v$** vn)* w#(w'* w$** wn)

adaah +ektor pada Rn dan k skaar

• Hasikai-daam (inner-produ3t) Eu3idean"

uv # (u'v' u$v$ unvn)

• 5 sifat penting inner produ3t

uv = vu

(u+v)w = uw + vw (k u)v = k (uv)

vv 6 0* vv # 0 7ika dan han8a 7ika (iff) v # 0


7/41

9ontoh '

• Dapatkan hasikai-daam Eu3idean dari +ektor"

u # (-'* &* :* ;) dan v # (:* -5* ;* /)

uv # (-')(:) (&)(-5) (:)(;) (;)(/) # '<

• 9ara penghitungan hasikai-daam sama dengan perkaian

aritmatika !iasa

(&u$v)(5uv) # (&u)(5uv) ($v)(5uv)

# (&u)(5u) (&u)v ($v)(5u) ($v)v

# '$(uu) ''(uv) $(vv)


8/41

Norm dan 7arak

• Definisi norm atau pan7ang Eu3idean untuk +ektor

u#(u'* u$** un)"

• Definisi 7arak (distan3e) antara titik u#(u'* u$** un)

dan v#(v'* v$** vn)"

$$$$'$')( nuuu +++=⋅=

uuu

$$$$

$'' )()()()*( nn vuvuvud −++−+−=−= vuvu


9/41

=ertidaksamaan 9au3h8-03h2ar>

• Vektor u#(u'* u$** un)* v#(v'* v$** vn) pada Rn

• =ertidaksamaan 9au3h8-03h2ar>"

atau

vuvu ≤⋅

nnvuvuvu +++

$$''

$'$$$

$'

$'$$$

$' )()( nn vvvuuu ++++++≤


10/41

0ifat-sifat norm dan 7arak

• 1ika u dan v adaah +ektor dan k skaar ??u?? 6 /

??u?? # / iff u #/

??k u?? # ?k ? ??u??

perkaian +ektor dgn skaar mengaikan pan7ang dr +ektor

se!esar k

??u v?? @ ??u????v??

7umah dua sisi segitiga e!ih ke3i atau sama dengan sisi ketiga

dr segitiga terse!ut

u

k u

v

u

u + v


11/41

Vektor ortogona

• Dua +ektor u dan v adaah ortogona iff

uv#/

• Vektor u* v dan uv mem!entuk sisi-sisi segitiga

u

vu v

• Teorema =h8tagoras

??uv??$#??u??$??v??$


12/41

Ruang Vektor Rea

• Definisi ruang +ektor V "

– himpunan o!7ek di mana dua operasi !erikut

didefinisikan pada V

• 7umah dari pasangan o!7ek daam V • perkaian o!7ek dengan skaar

• 1ika aksioma aksioma untuk ruang +ektor terpenuhi

oeh seuruh o!7ek u*v*w daam V dan skaar k dan l *maka

• V dise!ut ruang +ektor

• o!7ek daam V dise!ut +ektor.


13/41

Aksioma-aksioma

• 1ika u dan v adaah o!7ek daam V * maka u v 7uga o!7ekdaam V – u v # v u

– u (v w) # (u v) w

• O!7ek 0 daam V dise!ut +ektor no untuk V – 0u#u 0#u untuk semua u daam V

• Untuk tiap u daam V * o!7ek u daam V dise!ut negatif dari u – u (- u) # (- u) u # 0

• 1ika k adaah skaar se!arang dan u adaah o!7ek daam V *maka k u 7uga daam V – k (u v) # k u k v

– k (l u) # (kl ) u

– 'u # u


14/41

Bukti

=

$$$'

'$''

uu

uuu•

4isa

=

$$$'

'$''

vv

vvv

++

++=

+

=+

$$$$$'$'

'$'$''''

$$$'

'$''

$$$'

'$''

vuvu

vuvu

vv

vv

uu

uuvu

=

=

$$$'

'$''

$$$'

'$''

kuku

kuku

uu

uuk k u

uu0 =

=

+

=+

$$$'

'$''

$$$'

'$''

//

//

uu

uu

uu

uu

0uu =

=

−−

−−+

=−+

//

//)(

$$$'

'$''

$$$'

'$''

uu

uu

uu

uu


15/41

0u!spa3e (su!ruang)

• Definisi"

– 0u!set W dari ruang +ektor V dise!ut su!spa3e dari V 7ika

W merupakan ruang +ektor 8ang di!entuk dari operasi

pen7umahan dan perkaian daam V

• Bia W adaah himpunan 8ang terdiri dari satu +ektor

atau e!ih dari ruang +ektor V * maka W su!spa3e dari

V iff

– 1ika u dan v +ektor daam W * maka uv 7uga daam W

– 1ika k se!arang skaar dan u adaah se!arang +ektor daam

W * maka k u 7uga daam W


16/41

9ontoh'" su!ruang

• Garis meauiorigin adaahsu!ruang u

vu + v

W

W u

k u

• Vektor uv dan k u teretak pada

!idang 8ang sama dengan u dan v

W adaah su!ruang dari R&u

vu + v

W

k u


17/41

0u!ruang dari R$ dan R&

• 0u!ruang dari R$

C0

Garis meaui origin

R$

• Subruang dari R 3

C0

Garis meaui origin

Bidang meaui origin

R&

• Tiap ruang +ektor tak-no V minima terdiri dari $

su!ruang"

– 0u!ruang V

–Vektor no daam V su!ruang nol (>ero su!spa3e)


18/41

Kom!inasi inear dari +ektor

• Untuk r # '"

w # k 'v'

Kom!inasi inear +ektor tungga v'

• Vektor w adaah kom!inasi inear dari v'* v$*…* vr dan k '*k $* …* k r 7ika

r r k k k vvvw +++= $$''

• Vektor v#(a*b*c)" kom!inasi inear dari +ektor !asis

standar

k jiv cbacbacba ++=++== )'*/*/()/*'*/()/*/*'()**(


19/41

9ontoh $

• w kom!inasi inear dari u dan v !ia

w # k 'u k $v

(*$*;) # k '('*$*-') k $(F*5*$)

(*$*;) # k 'Fk $* $k '5k $* -k '$k $

k ' Fk $ # % $k ' 5k $ # $% -k ' $k $ # ; k '#-&% k $#$

Maka w # -&u $v

• Vektor u # ('*$*-') dan v # (F*5*$)Tun7ukkan !ah2a

w#(*$*;)" kom!inasi inear dari u dan v

w´#(5*-'*


20/41

Rentangan (spanning)

• 1ika v'* v$*…* vr adaah +ektor daam ruang +ektor V *

maka

– Himpunan W dari seuruh kom!inasi inear v'* v$*…* vr

adaah su!ruang V

– W adaah su!ruang terke3i daam V 8ang !erisi v'*v$*…* vr

• 1ika S # Cv'* v$*…* vr adaah himpunan +ektor daam

ruang +ektor V * maka – 0u!ruang W dari seuruh kom!inasi inear v'* v$*…* vr

dise!ut ruang 8ang direntang oeh +ektor terse!ut

– W # span (S ) atau W # span Cv'* v$*…* vr


21/41

• 1ika v'dan v$ adaah +ektor di R& dengan titik a2a

pada origin – 0panCv'* v$ 8ang !erisi seuruh kom!inasi inear k 'v'

k $v$" !idang meaui origin 8ang ditentukan oeh v' dan v$

• 1ika v merupakan +ektor di R$

atau R&

– 0panCv 8ang !erupa seuruh perkaian k v" garis 8ang

ditentukan oeh v

v'k 'v'

k 'v' k $v$k $v$

v$

y

z

x

spanCv'* v$

v

k v

spanCv

y

z

x


22/41

9ontoh &

• Tentukan +ektor semu b#(b'*b$*b&) se!agai kom!inasi inear

b # k 'v' k $v$ k &v&

(b'*b$*b&) # k '('*'*$) k $('*/*')k &($*'*&)

k ' k $ $k & # b'

k ' k & # b$

$k ' k $ &k & # b&

0istem inear konsisten iff matriks koefisien A dapat diin+erskan

det( A)#/ A ti!ak !a"at !iinverskan

v'# v$ dan v& tidak dapat merentang pada R&

• Tun7ukkan !ah2a v' # ('*'*$)* v$ # ('*/*')* v& # ($*'*&)

merentang ruang +ektor pada R&

=⇒

&'$

'/'

$''

A


23/41

• Himpunan +ektor S # Cv'* v$* …* vr

• =ersamaan +ektor

k 'v' k $v$ … k r vr # 0

• 1ika han8a ada satu solusi

– k '# /# k $ # /# …* k r # /

– S adaah himpunan bebas linier (inear8 independent)

• 1ika ada sousi 8ang ain

– S dise!ut himpunan tak!e!as inear

Ke!e!asan inear


24/41

9ontoh 5

• =ersamaan +ektor daam komponen

k 'v' k $v$ k &v& # 0k '('* -$*&) k $(:*F* -')k &(&*$*')#(/*/*/)

(k ':k $&k &* $k 'Fk $$k &* &k ' k $ k &) # (/*/*/)

• =ersamaan untuk tiap komponen

k ' :k $ &k & # /

$k ' Fk $ $k & # /

&k ' k $ k & # /

• Tun7ukkan !ah2a v' # ('* -$*&)* v$ # (:*F*-')* v& # (&*$*')

mem!entuk himpunan !e!as inear atau tak !e!as inear


25/41

9ontoh 5 (3ont.)

• 0ousi sistem

k '# t $% k $ # -t $% k & # t

•0ousi nontri+ia

• v'* v$ dan v&" himpunan tak!e!as inear

• Eksistensi sousi nontri+ia

Determinan matriks koefisien sama dengan no

4atrik ts! tidak dapat diin+erskan


26/41

,nterpretasi geometri dari ke!e!asan inear

y

z

x

v$

v%

y

z

x

v$

v%

y

z

x

v$

v%

(a) tak!e!as inier (!) tak!e!as inier (3) !e!as inier

y

z

x

v&

v% y

z

x

v$

v%

y

z

x

v$

v%

v$

v&

v&

(a) tak!e!as inier (!) tak!e!as inier (3) !e!as inier


27/41

'asis

• Definisi"

– 1ika V adaah ruang +ektor

– S # Cv'* v$* …* vn" himpunan +ektor daam V

–S dise!ut !asis untuk V 7ika memenuhi kondisi !erikut

• S adaah !e!as inear

• S merentang V (S spans V )

• Teorema"

– 1ika S # Cv'* v$* …* vn" !asis untuk ruang +ektor V – Tiap +ektor v daam V dapat din8atakan se!agai kom!inasi

inear dari +ektor-+ektor daam S daam satu 3ara sa7a


28/41

'asis

• Bukti"

v # c'v' c$v$ … cnvn

dan

v # k 'v' k $v$ … k nvn

• Kurangkan kedua persamaan

0 # (c' k ')v' (c$ k $)v$ … (cn k n)vn

• 0ousi" c'# k '* c$ # k $* … * cn # k n

• Kedua ekspresi untuk v adaah sama


29/41

imensi

• Definisi"

– Ruang +ektor tak no V dise!ut dimensi !erhingga

– Bia V !erisi himpunan +ektor-+ektor !erhingga Cv'* v$* …* vn

8ang mem!entuk se!uah !asis – 1ika ti!ak terdapat himpunan +ektor terse!ut* V dise!ut dimensi

tak !erhingga

• Teorema"

– 1ika V adaah ruang +ektor dimensi !erhingga dan Cv'* v$*

…* vn merupakan !asis

• Tiap himpunan 8ang memiiki +ektor I n tak!e!as inear

• Himpunan +ektor J n tidak dapat merentang V


30/41

imensi

• 9atatan"

– Bia S # Cv'* v$* …* vn adaah !asis untuk V

– 0euruh !asis untuk V memiiki 7umah +ektor 8ang sama

dengan !asis S – Basis untuk Rn memiiki n +ektor

– Basis untuk R& memiiki & +ektor

– Basis untuk R$ memiiki $ +ektor

– Basis untuk R' memiiki ' +ektor

– 1umah +ektor daam !asis # 7umah dari dimensi


31/41

9ontoh :

• Tentukan !asis dan dimensi untuk sousi ruang

sistem homogen !erikut"

$ x' $ x$ x& x: # /

x' x$ $ x& & x5 x: # /

x' x$ $ x& x: # /

x& x5 x: # /


32/41

•Augmented matriks"

−−−−−

−

/'''//

/'/$''/'&$''

/'/'$$

• Reduksi eseon !aris"

//////

//'///

/'/'///'//''

• Bentuk reduksi daam persamaan"

x' x$ x: # /

x& x: # /

x5 # /


33/41

• Daam !entuk +ektor"

• 0ousi" x' # s t % x$ # s% x& # t % x5 #/% x: # t %

−

−

+

−

=

−

−

+

−

=

−

−−

=

'

/

'

/

'

/

/

/

'

'

/

/

/

/

/

/

:

5

&

$

'

t s

t

t

t

s

s

t

t

s

t s

x

x

x

x

x


34/41

• Vektor 8ang merentangruang sousi"

−

−

=

−

=

'

/

'

/

'

dan

/

/

/

'

'

$' vv

• Vektor v'* v$" !e!as inear

• Cv'* v$" !asis

• Ruang sousi" dua dimensi


35/41

Ruang !aris* koom dan nu

• 1ika A matriks mn"

– su!ruang Rn direntang oeh +ektor !aris dise!ut ruang !aris

dari A

–su!ruang R

m

direntang oeh +ektor koom dise!ut ruangkoom dari A

– ruang sousi dari sistem homogen dari persamaan A # 0

8ang merupakan su!ruang Rn dise!ut ruang nu dari A

• Teorema" – 0istem persamaan inear A # b adaah konsisten iff b

merupakan ruang koom dari A


36/41

9ontoh F

• Tun7ukkan !ah2a b merupakan ruang koom dari A

dan ekspresikan b se!agai kom!inasi inear dari

+ektor koom matriks A"

−

−=

−

−

−

&

E

'

$'$

&$'

$&'

&

$

'

x

x

x


37/41

9ontoh F (3ont.)

• 0ousi sistem"

x' # $% x$ # '% x& # &

•0istem konsisten

b merupakan ruang koom A• Ekspresi b se!agai kom!inasi inear +ektor koom

matriks A

−

−=

−

−+

−

−

&

E

'

$

&

$

&

'

$

&

$

'

'

$


38/41

Basis untuk ruang !aris* koom dan nu

• Operasi !aris eementer tidak mengu!ah ruang nu

dan ruang !aris dari matriks

• 1ika matriks R merupakan matriks hasi reduksi !aris"

– Vektor !aris dengan eading ' (!aris tak no) !asis untuk

ruang !aris

– Vektor koom dengan eading ' !asis untuk ruang koom


39/41

9ontoh ;

• 4atriks"

−

=

/////

/'///

//&'/

&/:$'

R

• Basis untuk ruang !aris"

• Basis untuk ruang koom"


40/41

Rank dan nuit8

• Rank" dimensi dari ruang !aris dan ruang koom

• Notasi" rank( A)

• Nuitas(nuit8)" dimensi dari ruang nu• Notasi" nuit8( A)

• rank( A)#dim(ruang !aris A)#dim(ruang koom AT )

• rank( A) nuit8( A) # n

• 1umah +ar. eading 7umah +ar. !e!as # n


41/41

Niai maksimum dari rank

• 1ika A matriks mn"

– rank( A) # 7umah +ar. eading daam sousi A # 0

– nuit8( A) # 7umah parameter daam sousi A # 0

– Vektor !aris teretak pada Rn ruang !aris !erdimensi n

– Vektor koom teretak pada Rm ruang koom dimensi m

– Ruang !aris # ruang koom

–m≠n* rank( A) # niai terke3i antara m dan n

• Niai maksimum rank"

– rank( A) ≤ min(m*n)

3 Ruang Vektor

Documents