MODUL III RUANG VEKTOR 3.1. Ruang Vektor Ruang vektor merupakan materi yang sangat penting dalam Matematika dan Statistika. Untuk membangun ruang vektor, diperlukan pengetahuan tentang sistem bilangan seperti, bilangan real atau bilangan Kompleks, beserta operasi penjumlahan dan perkalian dari bilangan tersebut. Walaupun namanya ruang vektor, tidak berarti obyek-obyek dari ruang tersebut berupa vektor dalam arti yang sebenarnya, tetapi obyek tersebut dapat berperan sebagai vektor asalkan memenuhi sifat dari ruang vektor. Berikut diberikan definisi ruang vektor atas bilangan real R. Definisi 3.1 ( Ruang Vektor ) Diberikan ruang V yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) dengan skalar atas bilangan real R. Selanjutnya misalkan u, v, w V dan , merupakan skalar-skalar dalam R. Ruang V disebut ruang vektor atas bilangan real R, jika memenuhi : A. Terhadap operasi penjumlahan, bersifat : A1. u + v V. ( Tertutup terhadap penjumlahan ) A2. u + v = v + u. ( Komutatif terhadap penjumlahan ) A3. ( u + v ) + w = u + ( v + w ). ( Assosiatif dengan penjumlahan ) A4. Untuk setiap u V terdapat 0 V, sehingga : 0 + u = u + 0. ( Ada elemen netral ) A5. Untuk setiap u V terdapat -u V, sehingga : u + (-u) = (-u) + u = 0. ( Ada invest ) B. Terhadap operasi Perkalian dengan skalar, bersifat : B1. u V. ( Tertutup terhadap perkalian dengan skalar) B2. (u + v ) = u + v. B3. (+ ) u = u + u. B4. (u) = ()u. B5. 1u = u. Berikut ini diberikan contoh-contoh ruang vektor atas bilangan real R.
39
Embed
MODUL III RUANG VEKTOR 3.1. Ruang Vektor - Share ITSshare.its.ac.id/.../2031/mod_resource/content/1/Modul3_RuangVektor.pdf · MODUL III RUANG VEKTOR 3.1. Ruang Vektor Ruang vektor
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MODUL III
RUANG VEKTOR
3.1. Ruang Vektor
Ruang vektor merupakan materi yang sangat penting dalam Matematika dan
Statistika. Untuk membangun ruang vektor, diperlukan pengetahuan tentang sistem
bilangan seperti, bilangan real atau bilangan Kompleks, beserta operasi penjumlahan
dan perkalian dari bilangan tersebut. Walaupun namanya ruang vektor, tidak berarti
obyek-obyek dari ruang tersebut berupa vektor dalam arti yang sebenarnya, tetapi
obyek tersebut dapat berperan sebagai vektor asalkan memenuhi sifat dari ruang
vektor. Berikut diberikan definisi ruang vektor atas bilangan real R.
Definisi 3.1 ( Ruang Vektor )
Diberikan ruang V yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.)
dengan skalar atas bilangan real R. Selanjutnya misalkan u, v, w V dan ,
merupakan skalar-skalar dalam R. Ruang V disebut ruang vektor atas bilangan real
R, jika memenuhi :
A. Terhadap operasi penjumlahan, bersifat :
A1. u + v V. ( Tertutup terhadap penjumlahan )
A2. u + v = v + u. ( Komutatif terhadap penjumlahan )
A3. ( u + v ) + w = u + ( v + w ). ( Assosiatif dengan penjumlahan )
A4. Untuk setiap u V terdapat 0 V, sehingga :
0 + u = u + 0. ( Ada elemen netral )
A5. Untuk setiap u V terdapat -u V, sehingga :
u + (-u) = (-u) + u = 0. ( Ada invest )
B. Terhadap operasi Perkalian dengan skalar, bersifat :
B1. u V. ( Tertutup terhadap perkalian dengan skalar)
B2. (u + v ) = u + v.
B3. ( + ) u = u + u.
B4. (u) = ()u.
B5. 1u = u.
Berikut ini diberikan contoh-contoh ruang vektor atas bilangan real R.
44
Contoh 3.1
Diberikan vektor-vektor u, v R2 = RxR = { (a,b) ; a R dan b R }.
Penjumlahan dan perkalian dengan skalar didefinisikan sebagai berikut :
u + v = (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d), dan
u = (a, b), R.
Perlihatkan bahwa R2 dengan operasi di atas merupakan ruang vektor atas bilangan
real R.
Jawab :
Untuk memperlihatkan R2 merupakan ruang vektor, diselidiki semua sifat A1–A5
dan B1–B5. Ambil sembarang u, v, w R2 dan skalar , R, maka u, v, w dapat
disajikan menjadi :
u = (a, b), v = (c, d), dan w = (e, f),
dengan a, b, c, d, e, f R.
A. Terhadap operasi penjumlahan, bersifat :
A1. u + v = (a+c, b+d) R2.
Sebab a, b, c, d R maka a + c R, dan b + d R.
A2. u + v = (a+c, b+d)
= (c+a, d+b). ( penjumlahan bilangan real komutatif )
= (c, d) + (a, b)
= v + u.
A3. ( u + v ) + w = (a+c, b+d) + (e, f)
= ((a+c)+e, (b+d)+f)
= (a+(c+e),b+(d+f)). (penjumlahan assosiatif)
= (a,b) + (c+e, d+f)
= u + ( v + w ).
A4. Untuk setiap u R2 terdapat 0 = (0,0) R
2, sehingga :
0 + u = (0,0) + (a, b) = (a,b) = u
u + 0 = (a, b) + (0,0) = (a,b) = u
A5. Untuk setiap u R2 terdapat -u = (-a, -b) R
2, sehingga :
u + (-u) = (a,b) + (-a,-b)
= (a+(-a), b+(-b))
= (0, 0)
45
= 0 R2.
(-u) + u = (-a, -b) + (a, b)
= (-a+a, -b+b)
= (0, 0)
= 0 R2.
B. Terhadap operasi Perkalian dengan skalar, bersifat :
B1. u = (a, b) = (a, b) R2.
Sebab : R, dan a,b R maka a R, dan b R.
B2. (u + v ) = (a+c, b+d)
= (a+c, b+d)
= (a, b) + ( c, d)
= (a,b) + (c,d)
= u + v.
B3. ( + ) u = ( + ) (a, b)
= (( + )a, ( + )b)
= (a + a, b + b)
= (a, b) + (a, b)
= (a, b) + (a, b)
= u + u.
B4. (u) = (a, b) = ((a), (b))
= (()a, ()b)= ()(a, b)
= ()u.
B5. 1u = 1(a,b) = (1a, 1b) = (a,b) = u.
Karena syarat A1–A5 dan B1–B5 dipenuhi maka ruang R2 merupakan ruang
vektor atas bilangan real R.
Contoh 3.2
Diberikan vektor u, v Rn = { (a1,a2,…,an) ; aj R, j=1,2,…,n }.
Didefinisikan penjumlahan dan perkalian dengan skalar sebagai berikut :
u + v = (a1,a2,…,an) + (b1,b2,…,bn)
= (a1+b1, a2+b2,…, an+bn), aj R, bj R, j=1,2,…,n dan
u = (a1, a2,…,an), R.
46
Perlihatkan bahwa Rn dengan operasi-operasi di atas merupakan ruang vektor atas
bilangan real R.
Jawab :
Soal ini merupakan generalisasi dari Contoh 3.1, sehingga penyelesaiannya serupa
dengan contoh tersebut. Coba anda selesaikan sebagai latihan.
Contoh 3.3
Diberikan ruang R(f) yang menyatakan himpunan semua fungsi f pada garis real R.
Untuk setiap f, g R(f) dan skalar R, operasi penjumlahan dan perkalian dengan
skalar, mengikuti :
f+g = (f+g)(x) = f(x)+g(x), dan
f = (f)(x) = f(x), x R.
Apakah R(f) merupakan ruang vektor atas bilangan real R ?.
Jawab :
Untuk memperlihatkan R(f) merupakan ruang vektor, haruslah memenuhi semua
sifat A1-A5 dan B1-B5. Ambil sembarang f,g,h R(f), dan skalar , R maka
f, g, h dapat dinyatakan menjadi :
f = f(x) R, g = g(x) R, dan h = h(x) R, x R.
A. Terhadap operasi penjumlahan, bersifat :
A1. f + g = (f+g)(x) = f(x)+ g(x) R(f).
Sebab f(x) R, dan g(x) R, maka f(x) + g(x) R.
B2. f + g = (f+g)(x)
= f(x)+ g(x)
= g(x)+ f(x) ( penjumlahan bilangan real komutatif )
= (g+f)(x)
= g + f.
B3. (f + g) + h = ((f+g) + h )(x)
= (f+g)(x) + h(x)
= (f(x)+g(x)) + h(x)
= f(x)+ (g(x)+ h(x)) (penjumlahan bilangan real assosiatif)
= (f + (g+h))(x)
= f + (g + h)
A4. Untuk setiap f R(f) terdapat 0 = 0(x) R(f), sehingga :
47
0 + f = (0+f)(x) = 0(x)+ f(x) = f(x) = f.
f + 0 = (f+0)(x) = f(x)+ 0(x) = f(x) = f.
A5. Untuk setiap f R(f) terdapat -f = -f(x) R(f), sehingga :
f + (-f) = (f +(-f))(x)
= f(x) + -f(x)
= 0(x) R(f).
(-f) + f = ((-f) + f)(x)
= -f(x) + f(x)
= 0(x) R(f).
B. Terhadap operasi Perkalian dengan skalar, bersifat :
B1. f = (f)(x) = f(x) R(f). Sebab , f(x) R maka f(x) R
B2. (f + g ) = ((f+g))(x)
= (f+g)(x)
= (f(x) + g(x))
= f(x) + g(x)
= (f)(x) + (g)(x)
= (f + g)(x)
= f + g.
B3. ( + ) f = (( + ) f)(x)
= ( + )f(x)
= f(x) + f(x)
= (f)(x) + (f)(x)
= (f + f)(x)
= f + f.
B4. (f) = ((f))(x)
= ((f)(x))
= (f(x))
= ()f(x)
= ()f.
B5. 1u = (1f)(x) = 1f(x) = f(x) = f.
48
Karena syarat A1–A5 dan B1–B5 dipenuhi maka ruang R(f) merupakan ruang
vektor atas bilangan real R.
Contoh 3.4
Diberikan ruang M2x2(D) dengan :
M2x2(D) = { Matriks berukuran 2x2, berbentuk
b
a
0
0, dengan a, b R}.
Operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar mengikuti operasi penjumlahan
dan perkalian dengan skalar pada matriks. Apakah M2x2(D) merupakan ruang vektor
atas bilangan real R?
Jawab :
Untuk memperlihatkan M2x2(D) merupakan ruang vektor, diselidiki semua sifat dari
ruang vektor. Ambil sembarang u, v, w M2x2(D) dan skalar , R maka u, v,
w dapat ditulis menjadi :
u =
b
a
0
0, v =
d
c
0
0, dan w =
f
e
0
0, dengan a, b, c, d, e, f R.
A. Terhadap operasi penjumlahan :
A1. u + v =
b
a
0
0+
d
c
0
0 =
db
ca
0
0 M2x2(D).
Sebab a, b, c, d R maka a + c R, dan b + d R.
A2. u + v =
db
ca
0
0
=
bd
ac
0
0 ( penjumlahan bilangan real komutatif )
=
d
c
0
0 +
b
a
0
0
= v + u.
A3. ( u + v ) + w =
db
ca
0
0 +
f
e
0
0
=
fdb
eca
)(0
0)(
49
=
)(0
0)(
fdb
eca (penjumlahan assosiatif)
=
b
a
0
0 +
fd
ec
0
0
= u + ( v + w ).
A4. Untuk setiap u M2x2(D) terdapat 0 =
00
00 M2x2(D), sehingga
0 + u =
00
00 +
b
a
0
0 =
b
a
0
0 = u.
u + 0 =
b
a
0
0 +
00
00 =
b
a
0
0 = u.
A5. Untuk u M2x2(D), terdapat -u =
b
a
0
0 M2x2(D), sehingga :
u + (-u) =
b
a
0
0 +
b
a
0
0
=
)(0
0)(
bb
aa
=
00
00
= 0 M2x2(D).
(-u) + u =
b
a
0
0+
b
a
0
0
=
bb
aa
)(0
0)(
=
00
00
= 0 M2x2(D).
B. Terhadap operasi perkalian dengan skalar, bersifat :
B1. u =
b
a
0
0 =
b
a
0
0 M2x2(D).
Sebab : R, dan a,b R maka a R, dan b R.
50
b2. (u + v ) =
db
ca
0
0
=
)(0
0)(
db
ca
=
db
ca
0
0
=
b
a
0
0 +
d
c
0
0
=
b
a
0
0 +
d
c
0
0
= u + v.
B3. ( + ) u = ( + )
b
a
0
0
=
b
a
)(0
0)(
=
bb
aa
0
0
=
b
a
0
0 +
b
a
0
0
=
b
a
0
0 +
b
a
0
0
= u + u.
B4. (u) =
b
a
0
0
=
)(0
0)(
b
a
=
b
a
)(0
0)(
= ()
b
a
0
0
51
= ()u.
B5. 1u = 1
b
a
0
0 =
b
a
.10
0.1 =
b
a
0
0 = u.
Karena syarat A1–A5 dan B1–B5 dipenuhi maka ruang :
M2x2(D) = { Matriks berukuran 2x2, berbentuk
b
a
0
0, dengan a, b R }
Dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang berlaku pada matriks
merupakan ruang vektor atas bilangan real R.
Jika anda perhatikan Contoh 3.1 sampai dengan Contoh 3.4, anda akan melihat
bahwa ruang-ruang vektor tersebut, semuanya merupakan ruang vektor atas bilangan
real R. Pada dasarnya, ruang vektor tidak selalu atas bilangan real R, tetapi ada juga
ruang vektor atas bilangan Kompleks C. Namun tidak akan disajikan pada modul ini.
Mungkin anda bertanya bahwa, apakah semua ruang dengan operasi
penjumlahan dan perkalian dengan skalar merupakan ruang vektor?. Jawabannya
adalah tidak. Apabila ruang yang diberikan dengan operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar, tidak memenuhi salah satu dari sifat A1–A5 atau B1–B5,
maka ruang tersebut bukanlah ruang vektor. Berikut diberikan beberapa contoh ruang
yang bukan ruang vektor atas bilangan real R.
Contoh 3.5
Diberikan ruang R2+
dengan :
R2+
= { (x,y) R2 ; x 0, y 0, x R, y R },
yaitu himpunan semua pasangan berurutan (x,y) yang terletak pada kuadran pertama.
Selanjutnya operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar mengikuti operasi
penjumlahan dan perkalian pada ruang R2. Apakah R
2+ ruang vektor atas bilangan
real R?.
Jawab :
Ruang R2+
bukan ruang vektor atas bilangan real R, karena syarat B-1 tidak dipenuhi.
Ambil sembarang u R2+
, maka u dapat dinyatakan menjadi :
u = (x,y) R2, dengan x R, y R dan x 0, y 0.
Diberikan skalar - R, >0, maka :
-u = (-x, -y) R2+
,
52
sebab -x 0, dan -y 0, untuk x 0, y0.
Contoh 3.6
Diberikan ruang M2x2(D*) dengan :
M2x2(D*) = { Matriks berukuran 2x2, berbentuk
b
a
1
1, dengan a,b R}.
Operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar mengikuti operasi penjumlahan
dan perkalian dengan skalar yang ada pada matriks. Apakah M2x2(D*) merupakan
ruang vektor atas bilangan real R?
Jawab :
Ruang M2x2(D*) bukan ruang vektor atas bilangan real R, karena syarat A1 tidak
dipenuhi. Ambil sembarang u, v M2x2(D*), maka u dapat dinyatakan menjadi :
u =
b
a
1
1, v =
d
c
1
1, dengan a, b, c, d R.
u + v =
b
a
1
1 +
d
c
1
1 =
dc
ca
2
2 M2x2(D*).
Dalam banyak persoalan praktis yang menyangkut ruang vektor, sering
diperhatikan ruang-ruang lain yang merupakan bagian dari ruang vektor tersebut,
yaitu subruang (ruang bagian). Himpunan W yang merupakan himpunan bagian dari
ruang vektor V dikatakan subruang V jika W adalah ruang vektor atas operasi
penjumlahan dan perkalian dengan skalar yang didefinisikan pada ruang vektor V.
Anda telah mengetahui dengan baik bahwa untuk memperlihatkan suatu ruang
merupakan ruang vektor, haruslah memenuhi syarat A1-A5 dan B1-B5. Jika anda
ikuti prosedur tersebut secara detail satu persatu, maka akan melibatkan pekerjaan
yang cukup panjang dan kurang praktis. Berikut diberikan suatu teorema untuk
memperlihatkan ruang W merupakan subruang dari ruang vektor V atas bilangan real
R.
Teorema 3.1 ( Subruang )
Jika V ruang vektor dan W himpunan bagian dari V, maka ruang W merupakan
subruang dari V, jika berlaku :
(i). (u,v W) ( u+v W ). ( tertutup terhadap penjumlahan ).
53
(ii). ( R, u W) (u W ). (tertutup terhadap perkalian skalar).
Contoh 3.7
Diberikan ruang R(f[a,b]), dengan :
R(f[a,b]) = { f ; f fungsi bernilai real pada interval [a,b], a,b R }.
Operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar diberikan oleh :
f + g = (f+g)(x) = f(x) + g(x), dan
f = (f)(x) = f(x), x R.
Selanjutnya diberikan ruang :
C[a,b] = { f ; f fungsi kontinu pada interval [a,b], a,b R }.
Apakan ruang C[a,b] merupakan subruang dari ruang vektor R(f[a,b]).?
Jawab :
Kita telah menunjukkan R(f[a,b]) dengan operasi-operasi yang diberikan merupakan
ruang vektor atas bilangan real (lihat Contoh 3.3). Ruang C[a,b] merupakan subruang
dari R(f[a,b]), sebab :
(i). Ambil sembarang f,g C[a,b] maka :
f = f(x), dan g = g(x) fungsi-fungsi kontinu pada interval
[a,b]. Akibatnya :
f+g = (f+g)(x) = f(x) + g(x) C[a,b].
Sebab penjumlahan dua fungsi yang masing-masing kontinu adalah kontinu.
(ii). Untuk R diperoleh :
f = (f)(x) = f(x) C[a,b].
Sebab perkalian fungsi kontinu dengan skalar bilangan real adalah fungsi
kontinu.
Contoh 3.8
Diberikan ruang-ruang :
M(2x2) = { Matriks berukuran 2x2 }, dan
M(0) = { Matriks berukuran 2x2, berbentuk
0
0
b
a, a, b R }.
Operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar sesuai dengan operasi yang
berlaku pada matriks. Perlihatkan M(0) merupakan subruang dari M(2x2).
54
Jawab :
Ambil sembarang A,B M(0), dan skalar R, maka :
A =
0
0
b
a, B =
0
0
d
c, dan A =
0
0
b
a
, a,b,c,d R.
(i). A + B =
0
0
b
a +
0
0
d
c=
0
0
db
ca M(0).
Sebab a,b,c,d R, maka a+c R, dan b+d R.
(ii). A =
0
0
b
a
M(0),
Sebab a,b R dan R, maka a R, dan b R.
Karena (i) dan (ii) berlaku, maka M(0) merupakan subruang dari ruang vektor
M(2x2).
Contoh 3.9
Diberikan ruang vektor :
R(f[a,b]) = { f ; f fungsi bernilai real pada interval [a,b], a,bR }.
Selanjutnya diberikan suatu ruang :
],[ ban = { f ; f polinomial derajat n, pada interval [a,b], a,b R }.
Perlihatkan ],[ ban merupakan subruang dari ruang vektor R(f[a,b]).
Jawab :
Ambil sembarang f,g ],[ ban dan skalar R, maka f dan g dapat dinyatakan
menjadi :
f = f(x) = n
n xaxaxaa ...2
210 , dan
g = g(x) = n
n xbxbxbb ...2
210 ,
dengan 0,,...,,, 210 nn aRaaaa , dan 0,,...,,, 210 nn bRbbbb .
(i). f + g = (f+g)(x) = f(x) + g(x)
= ( n
n xaxaxaa ...2
210 ) + ( n
n xbxbxbb ...2
210 )
= n
nn xbaxbaxbaba )(...)()()( 2
221100
],[ ban .
Sebab 0,,...,,, 210 nn aRaaaa dan 0,,...,,, 210 nn bRbbbb , maka
55
RbaRba nn )(....,,)( 00 , dan 0,0 nn ba , maka 0 nn ba .
Jadi f+g merupakan polinomial derajat n.
(ii). f = (f)(x) = f(x) = ( n
n xaxaxaa ...2
210 ), 0
= n
n xaxaxaa )(...)()()( 2
210
],[ ban .
Sebab 0, dan 0,,...,,, 210 nn aRaaaa , maka :
RaRa n ,....,0 , dan 0na .
Jadi f merupakan polinomial derajat n.
Karena (i) dan (ii) berlaku, maka ],[ ban merupakan subruang dari ruang vektor
R(f[a,b]).
3.2. Basis dan Dimensi Ruang Vektor
Pada pembahasan sebelumnya, anda telah memahami dan dapat
memperlihatkan suatu ruang merupakan ruang vektor, dengan menggunakan definisi
ruang vektor. Pada bagian ini, anda diharapkan mampu memperoleh vektor-vektor
(dengan sifat tertentu) yang membangun dan merupakan kerangka dari ruang vektor
tersebut, beserta dimensinya. Sifat tertentu yang dimaksudkan disini adalah vektor-
vektor yang bebas linear (independent linear). Suatu vektor-vektor yang bebas linear
dan membangun/merentang/span ruang vektor V, disebut basis dari V. Dengan
demikian, untuk mempelajari basis dari ruang vektor diperlukan pengertian tentang
konsep-konsep berikut :
a. Kombinasi linear dari suatu vektor.
b. Vektor-vektor yang membangun suatu ruang vektor.
c. Vektor-vektor yang bebas linear.
Pertama diberikan pengertian tentang kombinasi linear dari suatu vektor dan Vektor-
vektor yang membangun/merentang/span suatu ruang vektor.
Definisi 3.2 (Kombinasi Linear)
Diberikan vektor-vektor nvvv ,...,, 21 . Vektor v dikatakan kombinasi linear dari
nvvv ,...,, 21 , jika v dapat dinyatakan sebagai :
56
v = nnvvv ...2211 =
n
i
iiv1
dengan i , i =1,2,...,n merupakan skalar bilangan real.
Definisi 3.3 (Membangun)
Diberikan vektor-vektor nvvv ,...,, 21 pada ruang vektor V. Jika vektor-vektor pada V
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari nvvv ,...,, 21 maka vektor-vektor
nvvv ,...,, 21 dikatakan membangun/ merentang/span dari ruang vektor V.
Contoh 3.10
Diberikan vektor-vektor dalam R3 :
v1 = (1,2,-1), v2 = (6,4,2), dan v = (9,2,7), v* = (4,-1,8).
Perlihatkan :
a. Vektor v merupakan kombinasi linear dari v1 dan v2.
b. Vektor v* bukan merupakan kombinasi linear dari v1 dan v2.
Jawab :
a. Vektor v merupakan kombinasi linear dari v1 dan v2 haruslah
terdapat 1 R dan 2 R, sehingga :
v = 1v1 + 2v2 , yaitu :
(9,2,7) = 1 (1,2,-1) + 2 (6,4,2)
= (1, 21, - 1) + (62, 42, 22)
= (1+62, 21+42, -1+22)
Persamaan ini memberikan :
1+62 = 9 (1)
21+42 = 2 (2)
-1+22 = 7. (3)
Persamaan (1) dan (3) memberikan :
82 = 16, atau 2 = 2.
Dari persamaan (3) dengan mensubstitusikan 2 = 2, memberikan :
1 = -3.
57
Akibatnya vektor v dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v1 dan v2, yaitu :
v = -3v1 + 2v2.
b. Vector v* merupakan kombinasi linear dari v1 dan v2 haruslah
terdapat 1 R dan 2 R, sehingga :
v* = 1v1 + 2v2 .
(4,-1,8) = (1+62, 21+42, -1+22)
Persamaan ini memberikan :
1+62 = 4 (1)
21+42 = -1 (2)
-1+22 = 8. (3)
Persamaan (1) dan (3) memberikan :
82 = 12, atau 2 = 1,5. (4)
Persamaan (1) digandakan dengan 2, kemudian dikurangi dengan persamaan (2)
diperoleh :
82 = 9, atau 2 = 9/8. (5)
Persamaan (4) dan persamaan (5) memperlihatkan bahwa, tidak ada 1 dan 2