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I problemi della relativit classicaNella relativit galileiana,
le grandezze che dipendono dal sistema di riferimento, cio hanno
valori diversi se misurate in riferimenti in moto uniforme l'uno
rispetto all'altro sono la velocit e di conseguenza lo spazio
percorso e l'energia cinetica che dipendono alla velocit.
L'invarianza di forza, massa ed accelerazione porta alla
conclusione che le leggi della meccanica siano le stesse in ogni
riferimento inerziale. Ai tempi di Galileo, l'invarianza del tempo
sembrava cos ovvia da non essere nemmeno presa in
considerazione.
Il 1905 l'anno di pubblicazione della Teoria della relativit
speciale di Albert
Einstein. La relativit speciale (o ristretta) si occupa solo dei
sistemi di riferimento inerziali, mente la relativit generale
tratta tutti i sistemi di riferimento. Ricordiamo che un sistema di
riferimento inerziale uno in cui valgono le leggi della dinamica (e
in particolare il principio di inerzia: se un corpo immobile o in
moto rettilineo uniforme, su di esso agisce una forza risultante
nulla). Una volta scelto un sistema inerziale, ogni altro
riferimento in moto uniforme rispetto ad esso inerziale. Alla fine
dell'Ottocento, la fisica sembrava ormai un capitolo chiuso. Da una
parte la meccanica di Newton era sintetizzata in tre leggi
fondamentali, dall'altra l'elettromagnetismo poggiava le sue basi
sulle quattro equazioni di Maxwell. I fenomeni termici facevano
parte, con la termodinamica, del campo della meccanica e quelli
luminosi del campo dell'elettromagnetismo. Le forze fondamentali
della natura erano di due tipi: forze gravitazionali e forze
elettromagnetiche.
Qualche fenomeno per non rientrava nello schema generale ed
inoltre il grande edificio della fisica classica presentava qualche
contraddizione: uno dei problemi pi importanti era quello della
propagazione della luce. La velocit di propagazione delle onde
meccaniche sempre riferita ad un mezzo di propagazione e Maxwell
pensava che le onde elettromagnetiche avessero una velocit c
rispetto all'etere. L'etere avrebbe dovuto essere il mezzo che
permetteva la propagazione di onde elettromagnetiche. Questo fluido
avrebbe dovuto penetrare ogni cosa ed estendersi in ogni dove,
nello
spazio interplanetario e nello spazio interstellare. I moti di
tutti i corpi celesti sarebbero avvenuti nell'etere che non
opponeva alcuna resistenza ed era completamente trasparente alla
luce. Non c'era per alcun metodo sperimentale che potesse provare
la effettiva presenza dell'etere. Si prov a misurare (esperienza di
Michelson Morley) il cosiddetto vento d'etere studiando la
propagazione della luce in diverse direzioni e in diverse stagioni
(se la Terra ruota intorno al Sole attraversando un mare d'etere,
la sua velocit rispetto all'etere avrebbe dovuto cambiare direzione
durante il periodo di rivoluzione), ma non si rivel nessuna
differenza significativa tra le diverse misure. La velocit della
luce era sempre la stessa in ogni riferimento, come se essa fosse
sempre riferita all'ipotetico etere. Il riferimento dell'etere
sembrava assumere un ruolo di riferimento assoluto o
privilegiato
-
negato dalla meccanica di Newton. Un altro problema era che le
equazioni dell'elettromagnetismo di Maxwell prevedono che una
carica immobile crea un campo elettrostico, mentre una in moto (una
corrente) crea un campo magnetico. Sembra quindi che osservatori in
sistemi di riferimento differenti siano immersi in campi diversi e
misurino di conseguenza forze di diversa natura. Un protone si
muove con velocit v parallelamente ad un filo rettilineo percorso
da corrente elettrica. La velocit del protone concorde con il verso
della corrente. Descrivi il fenomeno (e le forze che agiscono) dal
punto di vista del laboratorio e dal punto di vista del
protone.
Riferimento inerziale del laboratorio: Per un osservatore
solidale al laboratorio il filo conduttore in quiete. La corrente
che scorre nel filo crea un campo magnetico nella zona circostante
e il protone, che viaggia nel campo magnetico, risente di una forza
magnetica che lo devia e lo attira verso il filo.
Riferimento inerziale del protone: Per un osservatore solidale
al protone, il protone in quiete e le cariche in quiete non sono
sottoposte a forze magnetiche. Nonostante questo l'osservatore
registra l'esistenza di una forza attrattiva che sposta il protone
verso il filo conduttore. Si deve concludere che il protone risente
dell'effetto di una forza elettrica, ma da dove ha origine questa
forza se il filo complessivamente neutro?
Eventi nello spazio-tempoLa teoria della relativit di Einstein
si fonda su due assiomi, di cui uno il principio di relativit
enunciato da Galileo. Il secondo assioma quello che crea pi
problemi al buon senso comune.
Relativit di Galileo Relativit di EinsteinPrincipio di
relativit: Le leggi della meccanica sono le stesse in tutti i
riferimenti inerziali. Non esiste un riferimento privilegiato.
Assioma 1: Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i
riferimenti inerziali. Non esiste un riferimento privilegiato.
Legge di composizione delle velocit: Se un corpo ha velocit v
rispetto ad un riferimento S che si muove con velocit w rispetto ad
un altro riferimento S', allora la velocit v' del corpo rispetto al
riferimento S' :v' = v + w (somma vettoriale)
Assioma 2: La velocit della luce nel vuoto ha lo stesso valore
in tutte le direzioni e in tutti i sistemi di riferimento
inerziali
Consideriamo 2 eventi storici separati nel tempo e nello spazio:
la morte di Giulio Cesare e la nascita di Cristo.Per ognuno di essi
possiamo individuare una coordinata temporale (che dice quando
avvenuto) ed una o pi coordinate spaziali (che dicono dove
avvenuto) in opportuni sistemi di riferimento.
Evento Coordinata spazialeCoordinata temporale
Morte di Giulio Cesare
Roma Idi di Marzo, anno 44 a C
Nascita di Cristo Betlemme Anno 0
Usualmente gli eventi si rappresentano in un diagramma
spazio-temporale dove lo spazio in
-
ascissa ed il tempo in ordinata. Nello spazio tridimensionale
gli eventi sono individuati da tre coordinate spaziali e da una
coordinata temporale: Evento (x, y, z, t)Stabilisci la separazione
spaziale e la separazione temporale tra i due eventi.Per
separazione spaziale e temporale si intende rispettivamente la
distanza spaziale s tra i luoghi in cui avvengono gli eventi e
l'intervallo temporale t che intercorre tra di essi. Nel caso dei
due eventi considerati si ha:
Eventi s tMorte di Giulio Cesare e nascita di Cristo distanza
Roma-Betlemme 44 anniSe due eventi hanno separazione temporale
nulla si dicono simultanei. Le coordinate e le separazioni spaziali
e temporali tra gli eventi sono riferite, in genere, ad un
riferimento inerziale come la Terra, ma le cose possono cambiare
notevolmente cambiando sistema di riferimento. Considera i due
eventi: 1) salita di un passeggero sul treno alla stazione di Roma
e 2) discesa del passeggero dallo stesso treno nella stazione di
Milano. Qual la loro separazione spaziale? In questo problema
necessario definire il sistema di riferimento perch gli eventi
salita e discesa avvengono uno a Roma e l'altro a Milano nel
riferimento terrestre, ma avvengono nello stesso luogo e cio sul
treno in un riferimento solidale al treno.
Riferimento Separazione spazialeTerra distanza Roma-MilanoTreno
0In generale osservatori di riferimenti diversi assegneranno
differenti separazioni spaziali agli stessi eventi. Come vedremo,
essi misureranno anche differenti separazioni temporali: due eventi
simultanei in un riferimento possono non esserlo in un altro.
Spesso, nei problemi di relativit conviene usare, per la distanza
le misure luce, cio gli anni-luce, i minuti-luce e i secondi-luce e
le corrispondenti unit (anni, minuti, secondi) per il tempo. Con
questa scelta la velocit della luce ha sempre valore numerico c =
1.
SimultaneitPer approfondire il significato del tempo, Einstein
affront dapprima la definizione di eventi simultanei e puntualizz
il fatto che la simultaneit non si conserva nel passaggio da un
riferimento ad un altro in moto rispetto al primo: non basta,
infatti, dire che devo osservare contemporaneamente due eventi per
decidere che essi sono avvenuti nello stesso istante; la luce di
due stelle che arriva sulla Terra porta generalmente con s immagini
di stelle lontane nello spazio e anche nel tempo, con il risultato
che possiamo vedere contemporaneamente una stella di 100 anni fa ed
una di 10000 anni fa. Il metodo
suggerito da Einstein per stabilire un criterio di simultaneit
allora quello di mettersi a met strada tra i due punti A e B dello
spazio nei quali i due eventi hanno luogo. Se i segnali provenienti
da A e da B arrivano contemporaneamente all'osservatore, si pu
dedurre che i due eventi sono simultanei, se un segnale precede
l'altro significa che un evento precede l'altro nel tempo. Due
fulmini colpiscono i punti A e B. Se l'osservatore O registra
contemporaneamente un segnale luminoso proveniente da A ed uno
proveniente da B, conclude che gli eventi A e B sono
simultanei.
-
La domanda che ci si pone allora: i due fulmini simultanei nel
riferimento di O, lo sono anche in un riferimento in moto rispetto
ad O? Che cosa registrerebbero i passeggeri di un aereo superveloce
in viaggio con velocit v da A verso B?
Un passeggero O' si trova nell'aereo, a met strada tra i due
eventi A e B. Le posizioni A e B corrispondono ai punti A' e B'
sulla coda e sulla testa dell'aereo. Per O' l'evento A un fulmine
che colpisce la coda dell'aereo e l'evento B un fulmine che
colpisce la testa dell'aereo. Se la luce avesse velocit infinita,
O' sarebbe colpito simultaneamente dai segnali provenienti da A e
B, ma la luce si muove a velocit c per percorrere i tratti AO' e
BO' e la velocit della luce la stessa in ogni sistema di
riferimento.
Nel frattempo O' si spostato con l'aereo verso il segnale
proveniente da B e si allontana da quello proveniente da A. Esso
vedr pertanto il lampo B prima del lampo A. Nel sistema di
riferimento di O' il fulmine che colpisce la testa un evento che
precede quello del fulmine che colpisce la coda.
Si potrebbe ripetere il ragionamento con un altro ipotetico
aereo che viaggia in direzione opposta: questa volta gli
osservatori in esso concluderebbero che l'evento A precede l'evento
B: in conclusione, non solo la simultaneit non viene mantenuta, ma
possibile concepire sistemi di riferimento in cui l'ordine di
successione degli avvenimenti si capovolge. Possiamo pensare allora
a riferimenti in cui sta avvenendo o gi avvenuto il nostro futuro?
Significa che i legami di causa - effetto non sono pi validi?
Questo, come vedremo, non affatto vero: tutto quello che si detto
sinora riferito a eventi completamente indipendenti. La teoria
relativistica di Einstein non solo salva, ma anzi rafforza il
significato del rapporto di causa effetto. Se due eventi A e B sono
legati da un fatto fisico in modo tale che A sia la causa e B
l'effetto, l'evento A preceder l'evento B in ogni riferimento,
anche se con diversa separazione spaziale. La simultaneit un
concetto relativo, ma la relazione di causa-effetto non lo .
Orologio a luceDue osservatori, uno nella stazione S e l'altro
su un treno superveloce S' che si muove a velocit v rispetto alle
rotaie, vogliono misurare la durata di un fenomeno fisico (cio la
separazione temporale tra due eventi), naturalmente ognuno dal suo
sistema di riferimento. Essi utilizzano un orologio a luce, formato
da due specchi piani posti parallelamente ad una distanza nota d:
un raggio luminoso che si muove lungo l'asse degli specchi si
riflette alternativamente su di essi ed il tempo
-
occorrente per l'andata ed il ritorno della luce sullo stesso
specchio costituisce il periodo dell'orologio.
Il periodo dell'orologio misurato da un osservatore in quiete
rispetto all'orologio : T0 = 2 d / cL'intervallo di tempo T0
rappresenta la separazione temporale tra due eventi: la partenza e
l'arrivo del raggio luminoso sullo specchio inferiore. Per un
osservatore in quiete, i due eventi hanno separazione spaziale
nulla. La separazione temporale di due eventi con separazione
spaziale nulla si dice tempo proprio.
Poich sia nel riferimento S, sia nel riferimento S' ci sono due
orologi a luce identici, i due osservatori misurano lo stesso
intervallo di tempo ognuno nel proprio riferimento. Ma cosa avviene
uno osservatore prova a fare una misura di tempo mediante
l'orologio a luce che si sta muovendo rispetto a lui? Per un tale
osservatore, l'orologio si muove con velocit v in direzione
perpendicolare all'asse degli specchi e quindi la luce percorre,
tra andata e ritorno, una linea a zig-zag di lunghezza 2L maggiore
di 2d. Poich la luce ha sempre velocit c in qualsiasi riferimento
inerziale, il periodo T' dell'orologio in moto allora (per S): T' =
2 L / c > T0
Il periodo T' misurato con l'orologio in moto maggiore del tempo
proprio T0: l'orologio in moto batte quindi un tempo pi lento
rispetto a quello in quiete. Si noti che ci vero per tutti e due
gli osservatori: l'osservatore nella stazione S afferma che
l'orologio sul treno pi lento, l'osservatore nel treno S' afferma
che l'orologio della stazione a rallentare! In questa affermazione
che pu sembrare paradossale c' tutto il significato del principio
di relativit: le leggi della fisica sono eguali per tutti i
riferimenti inerziali, nel senso che ognuno dei due osservatori
afferma che l'orologio in moto rallenta.Il periodo proprio
dell'orologio a luce :T0 = 2 d / c
Il periodo dell'orologio misurato in moto :
-
T' = 2 L / c > T0Che relazione c' tra il periodo T0 (proprio)
e il periodo T' misurato in moto? Possiamo risolvere il problema
con considerazioni geometriche: l'orologio in moto ha velocit v e,
mentre il raggio di luce percorre la distanza L, l'orologio si
sposta di un tratto orizzontale 2x. Dal teorema di Pitagora si ha
che: L2 = d2 + x2 Osserviamo questi tre termini:
Il tratto L percorso dal raggio di luce nel tempo T'/2 (misurato
in moto) L = c T' / 2Il tratto d percorso dal raggio di luce nel
tempo T0/2 (misurato in quiete)
d = c T0 / 2
Il tratto x percorso dall'orologio nel tempo T'/2 (misurato in
moto) x = v T' / 2Sostituendo si ha: c2 T'2 = c2 T0
2 + v2 T'2
e quindi T'2 = c2 T02 / (c2 - v2)
Dividendo numeratore e denominatore per c2 e ponendo = v/c si
ottiene infine che il rapporto tra il tempo T' misurato in moto ed
il tempo proprio T0 vale:
Il fattore adimensionale si chiama fattore di dilatazione del
tempo. Il tempo T' misurato su un orologio in moto risulta dilatato
del fattore rispetto al tempo proprio T0.
T' = T0In un riferimento in moto il tempo scorre pi lentamente e
la dilatazione tanto maggiore quanto pi alta la velocit relativa
dei due riferimenti. Il tempo proprio il minor intervallo di tempo
misurabile per un qualsiasi fenomenoCome si vede, tutto dipende dal
fattore (detto anche parametro di velocit) da cui dipende il
fattore di dilatazione
0,001 circa 10,01 1,00010,1 1,00500,5 1,15470,9 2,29420,99
7,08881 infinitoQualche osservazione :
La dilatazione del tempo significativa solo se la velocit
relativa v molto vicina a c. La dilatazione dei tempi reale, in
quanto essa viene verificata con delle misure; in fisica
reale solo ci che misurabile. La dilatazione del tempo reale
solo per gli osservatori per i quali l'orologio si sta
muovendo. Un osservatore solidale con l'orologio non rilever
alcuna variazione del ritmo. Dalla tabella si vede che per v che si
avvicina a c il tempo tende all'infinito e che per v = c
la relazione perde di significato. L'interpretazione fisica di
questo risultato matematico
-
conferma che la velocit della luce ha il carattere di velocit
limite che non pu essere mai superata.
La vita media dei muoniI muoni (simbolo ) sono particelle
elementari che si producono nell'impatto dei raggi cosmici con gli
strati pi alti dell'atmosfera. Sono una specie di "elettroni
grassi", dotati di carica negativa e di una massa maggiore di
quella dell'elettrone. Sono particelle instabili: in un tempo
brevissimo decadono trasformandosi in un elettrone ed un neutrino.
Come tutte la particelle instabili, non decadono tutti
contemporaneamente, ma sono caratterizzati da una vita media di 1.5
s nella quale,
statisticamente, il numero di muoni si riduce della met. La vita
media misurata in quiete ed quindi un tempo proprio. In un
esperimento del 1976 al CERN di Ginevra, si riscontrato che la vita
media di muoni prodotti artificialmente, deflessi da campi
magnetici e fatti girare a velocit prossime a quella della luce, pi
lunga di quella dei muoni a riposo. Una conferma di questo fatto
strabiliante data dalla constatazione sperimentale che circa la met
dei muoni prodotti negli strati alti dell'atmosfera fa in tempo a
raggiungere la Terra prima di decadere: questa percentuale sarebbe
troppo elevata se la loro vita media fosse di soli 1,5 s.La
distanza che i muoni devono percorrere pari allo spessore
dell'atmosfera (circa 15 km). Calcola il tempo necessario a coprire
tale distanza per una particella che si muove con velocit prossima
a quella della luce. Questo intervallo di tempo un tempo
proprio?
Dati del problema RichiesteD = 15 km = 1,5 103 m
spessore dell'atmosfera t tempo per raggiungere la Terra
c = 3 108 m/svelocit dei muoni rispetto alla Terra
Anche pensando che un un muone viaggi alla velocit della luce,
il tempo necessario t = D/c ed circa 50 s. Il tempo T non un tempo
proprio perch rispetto alla Terra la partenza e l'arrivo dei muoni
sono 2 eventi spazialmente divisi. Dal grafico del decadimento dei
muoni puoi constatare che gi a 6 o 7 s, la percentuale delle
particelle ancora integre
-
minima. Come mai a Terra si registra l'arrivo della met di essi?
Sulla base della velocit (altissima) dei muoni, il fattore di
dilatazione vale 25. Di quanto si allunga la vita media di un muone
veloce?
Dati del problema Richieste = 25 fattore di dilatazione vita
media dei muoni veloci0 = 1,5 s vita media propria dei muoni a
riposoLa vita media dei muoni veloci si calcola applicando il
fattore di dilatazione dei tempi: = = 37,5 s. Essa appena un p
minore del tempo necessario per attraversare l'atmosfera ed quindi
compatibile con i risultati sperimentali.
A cavallo di un muoneIl problema della dilatazione della vita
media dei muoni veloci dovrebbe suscitare qualche comprensibile
dubbio: come sono le cose dal punto di vista di un muone?
Immaginate di cavalcare un muone come se fosse un cavallo: in
questo modo siete in un sistema di riferimento solidale a tutti i
muoni del vostro sciame. I muoni sono quiete rispetto a voi e la
Terra, lontana 15 km, vi viene incontro ad una velocit pazzesca. La
collisione avverr fra circa 50 s. Ma un momento! Ora la vita media
dei muone in quiete
di soli 1,5 s. Come si pu spiegare il fatto che circa il 50% dei
muoni riuscir a collidere con la Terra dal momento che il cambio
del sistema di riferimento non pu cambiare i fatti oggettivi? In
effetti la dilatazione del tempo porta a risultati contraddittori
se non accompagnatata da un altro aspetto della relativit: la
contrazione di una distanza misurata in moto. La distanza di 15 km
dello spessore atmosferico stata misurata da Terra, cio da un
riferimento in quiete rispetto all'atmosfera. Questo significa che
, con gli strumenti adatti, si preso nota della posizione
contemporanea degli estremi x1 e x2 dello strato di atmosfera
(rispetto ad un asse x prescelto) e poi si fatta la differenza:
L0 = |x1- x2|
La lunghezza misurata L0 si dice lunghezza propria perch
misurata in quiete. Quindi lo spessore di 15 km dell'atmosfera
terrestre una lunghezza propria. Sottolineiamo il fatto che gli
estremi si devono trovare simultaneamente nelle rispettive
posizioni (non devono infatti cambiare posizione durante la
misura): poich la simultaneit non un fatto assoluto, ma relativo al
riferimento, e quindi questo porta a pensare che anche la misura di
lunghezza dipenda dal sistema di riferimento. Ora, se siamo a
cavallo di un muone, tutta l'atmosfera terrestre di cui vorremmo
misurare lo spessore, non in quiete rispetto a noi, ma si muove a
velocit prossime a quella della luce: la misura di una lunghezza
fatta in moto non una lunghezza propria. La lunghezza di un oggetto
o di uno spazio in movimento diversa dalla misura effettuata in
quiete: se l'oggetto si muove a velocit v, la lunghezza L (misurata
nella stessa direzione di v) risulter contratta rispetto alla
lunghezza propria L0. La legge di contrazione delle lunghezze
analoga a quella di dilatazione
-
dei tempi:
con = v / c
La contrazione tanto maggiore quanto pi grande il valore del
parametro di velocit. Riesaminiamo ora il problema dei muoni in
modo pi completo: dal punto di vista dei muoni, lo spessore
dell'atmosfera risulter, contratto di 25 volte rispetto allo
spessore proprio. La contrazione delle lunghezze reale e valida
solo per il sistema di riferimento in cui l'oggetto misurato in
moto;
per ogni osservatore solidale con l'oggetto la lunghezza la
lunghezza propria, cio la maggiore possibile.
Riferimento terrestre Riferimento muoniDistanza misurata d0 = 15
km (distanza propria) Distanza misurata d = 0,6 km
Vita media muoni = 37,5 s Vita media muoni 0 = 1,5 s (tempo
proprio)
Tempo di percorrenza dei muoni d0/c = 50 s Tempo di percorrenza
della Terra d/c = 2 sIl 50% dei muoni collidono con la Terra. Il
50% dei muoni collidono con la Terra.
Dal treno e dalla stazioneImmaginiamo un osservatore nella
stazione S e un secondo osservatore nel treno superveloce S' che
corre alla velocit u = 0,75 c. La velocit del treno riferita alla
stazione. Dal punto di vista del treno invece la stazione a
muoversi (in senso inverso) alla velocit u.
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Sia in S, sia in S' c' un regolo che, misurato nel proprio
sistema di riferimento, lungo 1 m. Ma sia per l'osservatore S, sia
per l'osservatore S' l'altro regolo (quello in moto a velocit u)
misura 74,5 cm! E' questo quindi il significato del principio di
relativit: tutti gli osservatori, in qualunque riferimento
inerziale, concordano sulla lunghezza di regoli in quiete e sulla
lunghezza di regoli in moto uniforme, ma non possono, rimanendo
all'interno del loro sistema di riferimento, decidere se il loro
sistema in quiete o in moto.Osservazioni conclusive:
1. La contrazione delle lunghezze si verifica soltanto per le
lunghezze che stanno lungo la direzione del moto. Nel nostro
esempio, quindi, lo spessore del regolo rimane inalterato.
2. La contrazione delle lunghezze significativa solo se la
velocit relativa u molto vicina a c.
3. Una velocit di 30 km/s, dell'ordine di grandezza della
velocit orbitale terrestre, "grande" se valutata rispetto alle
ordinarie velocit cui siamo abituati, provoca una contrazione
secondo un coefficiente 1 / = 0.99995. Ci significa che un regolo
lungo 1 m in un riferimento in quiete subisce una contrazione di
appena 50 se misurato in moto.
4. La contrazione della lunghezza reale, in quanto essa viene
verificata con delle misure; ricordiamo che in fisica reale ci che
misurabile.
5. Dalla legge di contrazione delle lunghezze si vede che, se u
= c, la lunghezza si annulla e se u > c la lunghezza diventa
immaginaria (il radicando 1 - diventa negativo). L'interpretazione
fisica di questo risultato matematico conferma che la velocit della
luce ha il carattere di velocit limite che non pu essere mai
superata.
6. Per l'osservatore in S' il regolo in quiete e quindi in
nessun modo pu verificare che la sua lunghezza subisca variazioni,
cos come egli non pu in alcun modo verificare di essere in moto
uniforme. La contrazione della lunghezza reale, come reale il
movimento, solo per gli osservatori per i quali il regolo si sta
muovendo.
Un viaggio verso l'ignoto: la stella Vega dista da noi 25 anni
luce, ma disponiamo di un'astronave con un motore fantascientifico
che la porta a viaggiare alla velocit di 0,8 c. Calcola la durata
del viaggio e la distanza Terra Vega nel riferimento terrestre e in
quello dell'astronave (supponendoli inerziali ambedue). Individua
il tempo proprio e la lunghezza propriaRiferimento terrestre
Riferimento astronave
Distanza misurata d0 = 25 al (distanza propria)
Distanza misurata d = 15 al
Durata del viaggio t = 31 anni
Durata del viaggio t0 = 18 anni (tempo proprio)
Velocit dell'astronave v = d0 / t = 0,8 c
Velocit della Terra e di Vega v = d / t0 = 0,8 c
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Composizione delle velocitCome abbiamo visto, la teoria della
relativit di Einstein salva il principio di relativit, ma non la
legge classica di composizione delle velocit.Problema di fisica
classica: Un camion si muove a velocit v rispetto alla strada. Dal
camion viene lanciato un sasso. Se u e u' sono le velocit del sasso
rispettivamente rispetto alla strada e rispetto al camion, che
relazione c' tra le velocit v, u e u'?
1. u = u' + v 2. u' = u + v 3. v = u + u'
La legge classica (galileiana) di composizione delle velocit non
vale pi in ambito relativistico. In particolare sappiamo che non
valida per la luce che ha velocit c in qualsiasi riferimento
inerziale.
Problema di fisica relativistica: Una astronave A si muove a
velocit v = 0,8 c rispetto alla Terra. Una seconda astronave B si
muove con velocit u' = 0,4 c rispetto all'astronave A. Considera le
due velocit parallele e concordi. Quale la velocit u dell'astronave
B rispetto alla Terra?
Se applicassimo la relazione classica u = u' + v si avrebbe, per
l'astronave B, una velocit u = 1,2 c superiore alla velocit della
luce! La nuova legge di composizione delle velocit ottenuta da
Einstein e da Hendrik Antoon Lorentz la seguente:
Legge di composizione delle velocit: Un corpo che si muove a
velocit u' in un riferimento O' in moto relativo con velocit v
rispetto ad un altro riferimento O, ha, nel riferimento O, la
velocit
Con la nuova relazione l'astronave B ha, rispetto alla Terra,
una velocit u = 0,91 c. Osserva! Una astronave A che si muove a
velocit v rispetto alla Terra invia un fascio di luce, misurando
per essa una velocit c. Quale la velocit u della luce rispetto alla
Terra? Applicando la nuova relazione si ha u = c, in accordo con il
secondo postulato della relativit ristretta che prevede
l'invarianza della velocit della luce in qualsiasi
Intervallo invarianteA volte capita di sentir riassumere la
teoria della relativit con l'espressione tutto relativo.
L'espressione superficiale e profondamente sbagliata. Basterebbe
rileggere il principio di relativit di Galileo che rimane invariato
nella relativit di Einstein: Le leggi della fisica sono le stesse
in tutti i riferimenti inerziali. Come spesso succede, siamo
interessati a ci che rimane costante pi che a ci che varia.
L'attenzione rivolta alle grandezze invarianti. Fra queste c'
naturalmente la velocit della luce nel vuoto che ha lo stesso
valore in tutte le direzioni e in tutti i sistemi di
riferimento
http://it.wikipedia.org/wiki/Albert_Einsteinhttp://en.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Lorentz
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inerziali.
Il problema che le grandezze invarianti non sono quelle che il
senso comune farebbe supporre. In definitiva, su cosa concordano
gli osservatori di due sistemi di riferimento inerziali?
Riprendiamo l'esempio dell'orologio a luce e consideriamo la
separazione spaziale e la separazione temporale tra i due eventi
PARTENZA e ARRIVO del raggio di luce.
Nel riferimento solidale all'orologio si ha che i due eventi
hanno:
Separazione temporale T0 = 2 d /c
Separazione spaziale nulla
T0 l'intervallo di tempo proprio
Nel riferimento in cui l'orologio in moto con velocit i due
eventi hanno:
Separazione temporale T = 2 L /c
Separazione spaziale s = 2 x (tratto percorso dall'orologio nel
tempo T)
T non un tempo proprio (il tempo proprio quello misurato tra due
eventi con separazione spaziale nulla)
Se l'orologio a luce fosse posto su un treno con velocit v'
diversa da v le misure di tempo e spazio cambierebbero ancora da un
riferimento all'altro. Quale, tra le seguenti misure di spazio e
tempo, invariante nei diversi sistemi di riferimento inerziali in
moto uniforme l'uno rispetto all'altro?la separazione temporale tra
i due eventi la separazione spaziale tra i due eventi lo spazio
percorso dalla luce la distanza tra i due specchi dell'orologio
La distanza tra i due specchi dell'orologio non subisce
variazioni in quanto perpendicolare alla direzione del moto: essa
una quantit invariante. Vediamo di esprimerla in funzione delle
altre grandezze che dipendono dal riferimento. Con una semplice
relazione pitagorica si ha:
RiferimentoDistanza percorsa dalla luce
Distanza percorsa dall'orologio (separazione spaziale)
Solidale all'orologio 2 d 0
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In moto relativo a velocit v 2 L s = 2 x
In moto relativo a velocit v' 2 L' s' = 2 x'
La relazione che esprime d pu essere scritta: e, moltiplicando
tutto per 2, abbiamo:
Questa grandezza si chiama intervallo invariante. Esso tiene
conto sia della separazione spaziale, sia della separazione
temporale tra due eventi. Si ottiene facendo la radice della
differenza tra due quadrati: la distanza percorsa dalla luce nella
separazione temporale e la separazione spaziale. L'intervallo
invariante rappresenta la distanza percorsa dalla luce in un
intervallo di tempo proprio.
Quantit di motoUn protone si muove ad una velocit vp = 0,90 c
rispetto ad un sistema di riferimento e urta un elettrone immobile
nello stesso sistema. Poich il bersaglio molto leggero, dopo l'urto
il protone prosegue quasi indisturbato ad una velocit wp = 0,89 c.
Qual la velocit dell'elettrone dopo l'urto?Dati Richiesteme = 9,11
10
-31 kg massa dell'elettrone we velocit dell'elettrone dopo
l'urto
mp = 1,67 10-27 kg massa del protone
vp = 0,90 c velocit del protone prima dell'urto
wp = 0,89 c velocit del protone dopo l'urtoSe applichiamo la
legge di conservazione della quantit di moto si ha che la quantit
di moto iniziale si deve mantenere subito dopo l'urto e quindi:
mp vp = mp wp + me wewe = mp(vp - wp) / me = 1,83 c
Con le leggi della fisica classica, pertanto, l'elettrone
dovrebbe acquistare una velocit maggiore di quella della luce, non
ammessa nella fisica relativistica. Le leggi di conservazione, per,
continuano ad essere valide nella fisica relativistica a patto di
ridefinire quantit di moto ed energia. La corretta relazione per il
modulo della quantit di moto di un corpo di massa m e velocit v : p
= m v
dove il fattore di dilatazione dei tempi
Applichiamo di nuovo la legge di conservazione della quantit di
moto dopo aver calcolato i fattori di dilatazione per il protone
prima e dopo l'urto e lasciando come incognita il fattore di
dilatazione per la quantit di moto dell'elettrone dopo l'urto:
2,29 mp vp = 2,19 mp wp + me we we = mp(2,29 vp - 2,19 wp) /
me
-
La quantit we pu essere scritta come c, con fattore di
velocit:
c = 207 c = 207Dall'ultima relazione si ottiene che circa 1.
L'elettrone pertanto schizza via a velocit prossima (ma mai
superiore) a quella della luce.
Energia relativisticaUn acceleratore di particelle fornisce
energia cinetica K ad un fascio di elettroni che viene accelerato e
sparato verso un bersaglio lontano 8,4 m. L'energia fornita agli
elettroni molto alta e viene misurata in Mev o milioni di eV (1 eV
= 1,6 10-19 J). Si misura quindi il tempo di volo degli elettroni
per ricavare la velocit indipendentemente dalla misura di
energia.
Risultati sperimentali
Energia fornita (MeV) Tempo di volo (ns) Velocit effettiva
Previsione classica 0,01 142,72 0,19 c 0,20 c0,02 103,08 0,27 c
0,28 c0,03 85,34 0,33 c 0,34 c0,05 67,90 0,41 c 0,44 c0,10 51,11
0,55 c 0,63 c0,50 32,46 0,86 c 1,40 c1,00 29,76 0,94 c 1,98 c2,00
28,60 0,98 c 2,80 c3,00 28,30 0,99 c 3,42 c4,00 28,18 0,99 c 3,95
c
Ci si aspetterebbe una diretta proporzionalit tra il quadrato
della velocit e l'energia fornita secondo la relazione classica tra
energia cinetica e velocit, invece, dai risultati sperimentali, la
legge classica sembra valere solo per basse energie (inferiori a
0,1 MeV).
Gli elettroni a cui viene fornita un'energia molto elevata non
raggiungono la velocit prevista dalla teoria classica e la
presenza nel grafico di un asintoto orizzontale suggerisce
l'esistenza di una velocit limite. Pi gli elettroni sono veloci e
pi difficile accelerarli: essi non riescono mai a raggiungere la
velocit della luce.Possiamo dire che, nell'esperienza degli
elettroni accelerati, non vale pi la conservazione
dell'energia?
Ancora una volta occorre ridefinire il concetto di una
grandezza: la distinzione netta tra massa ed
-
energia appartiene solo alla fisica classica, cio alla fisica
degli oggetti grossi e lenti. Nella fisica relativistiva questa
distinzione sfuma, il confine si fa incerto: la massa pu scomparire
ed al suo posto compare dell'energia e viceversa l'energia pu
condensarsi in massa.Esaminiamo allora la stretta connessione che
esiste tra massa ed energia.
Energia a riposoAd una quantit di massa m in quiete in un
sistema di riferimento, corrisponde una energia E0 detta energia a
riposo data dal prodotto della massa per il quadrato della velocit
della luce:
E0 = m c2
Il tasso di scambio c2 (= 9 1016 m2/s2) tra massa ed energia
enormemente sbilanciato: ad una piccola quantit di massa
corrisponde una grande quantit di energia.
Calcola l'energia a riposo di un elettrone. La massa di un
elettrone me = 9,11 10-31 kg e quindi
l'energia a riposo corrispondente E0 = me c2 = 8,95 10-14 J.
Come si visto pi volte, il joule non una unit di misura adatta
per quantit cos piccole. Per particelle microscopiche, l'unit di
misura pi conveniente l'elettronvolt (1 eV = 1,6 10-19 J) ed i suoi
multipli keV, MeV, GeV. Convertendo l'energia in unit Mev, si
ottiene che l'energia a riposo di un elettrone E0 = 0,51 MeV Questo
non significa che massa ed energia siano proprio la stessa cosa, ma
che possono tramutarsi l'una nell'altra. Nella fisica relativistica
il principio di conservazione della massa e quello di conservazione
dell'energia non valgono separatamente: vale il principio di
conservazione della massa-energia. Nella fisica delle particelle
elementari la massa delle particelle elementari viene fornita
direttamente in MeV cio in unit di energia. Poich in questa
conversione occorre usare le costanti c (velocit della luce) ed e
(carica dell'elettrone) con la maggiore precisione possibile
conveniente determinare a quanti MeV corrisponde l'unit di massa
atomica u
1 u (=1,66 10-27 kg) corrisponde a 931,5 MeV
Particelle del modello standard
particella carica (e) massa (MeV)elettrone -1 0,51protone +1
938,28neutrone 0 939,27muone -1 106Il protone ed il neutrone hanno
una massa quasi uguale ad una unit atomica. Esistono particelle
dette neutrini che hanno una massa quasi nulla, minore di 2 eV.
Esistono anche particelle, come la particella , molto pi pesanti,
con masse dell'ordine dei GeV.
Energia cineticaRiconsideriamo i risultati sperimentali ottenuti
accelerando gli elettroni:
Energia fornita (MeV) Velocit effettiva0,01 0,19 c0,02 0,27
c0,03 0,33 c
-
0,05 0,41 c0,10 0,55 c0,50 0,86 c1,00 0,94 c2,00 0,98 c3,00 0,99
cL'energia fornita si trasforma in energia cinetica, ma, come
abbiamo visto non possibile utilizzare la usuale relazione classica
perch non c' una proporzionalit diretta tra energia cinetica e
quadrato della velocit. In un riferimento solidale agli elettroni,
essi hanno solo energia a riposo, ma nel sistema di riferimento del
laboratorio dove gli elettroni sono in moto con velocit v = c,
anche
l'energia deve essere moltiplicata per il fattore di
dilatazione
L'energia totale relativistica E di particelle di massa m in
moto con velocit v = c vale:
E = m c2
L'energia totale E la somma dell'energia a riposo E0 e di quella
di movimento o cinetica K. Si pu quindi scrivere:
E = E0 + K = m c2 + K = m c2
L'espressione dell'energia cinetica relativistica K si ottiene
allora per differenza:
K = E - E0 = ( - 1) m c2
Utilizziamo questa relazione per calcolare l'energia cinetica
relativistica degli elettroni in moto. Completiamo la tabella
precedente calcolando il fattore per ogni valore del parametro di
velocit e moltiplichiamo ( - 1) per l'energia a riposo degli
elettroni che E0 = 0,51 MeV. Si otterr l'energia cinetica K in
MeV.
Energia fornita (MeV) K = ( - 1)* 0,51 MeV0,01 0,19 1,02
0,010,02 0,27 1,04 0,020,03 0,33 1,06 0,030,05 0,41 1,10 0,050,10
0,55 1,20 0,100,50 0,86 1,96 0,491,00 0,94 2,93 0,982,00 0,98 5,03
2,053,00 0,99 7,09 3,11L'energia fornita pertanto diventa energia
cinetica degli elettroni. La conservazione dell'energia salva anche
nella fisica relativistica. Le particelle accelerate nei grandi
acceleratori trasportano quindi una energia E = m c2 data dalla
loro energia a riposo e da quella cinetica. Nella collisione di
particelle veloci la massa si annichilisce ed al posto della massa
mancante compare dell'energia sotto forma di radiazione o fotoni.
Questa energia a sua volta si ricondensa in massa dando vita a
nuove particelle.
I problemi della relativit classicaEventi nello
spazio-tempoRelativit di GalileoRelativit di
EinsteinSimultaneitOrologio a luceLa vita media dei muoniA cavallo
di un muoneDal treno e dalla stazioneComposizione delle
velocitIntervallo invarianteQuantit di motoEnergia
relativisticaEnergia a riposoEnergia cinetica