A dinâmica relativ´ıstica antes de Einstein

Revista Brasileira de Ensino de Fısica, v. 27, n. 1, p. 11 - 26, (2005)www.sbfisica.org.br

A dinamica relativıstica antes de Einstein(Relativistic dynamics before Einstein)

Roberto de Andrade Martins1

Grupo de Historia e Teoria da Ciencia, Departamento de Raios Cosmicos e Cronologia,Instituto de Fısica “Gleb Wataghin”, UNICAMP, Campinas, SP, Brasil

A maioria dos resultados da dinamica relativıstica ja havia sido obtida antes do artigo de Einstein de 1905.A partir do eletromagnetismo, ja haviam sido obtidas relacoes entre massa e velocidade, e massa e energia. Essesdesenvolvimentos foram devidos a uma crenca generalizada no eter como sendo uma realidade fısica capaz deproduzir forcas e que era dotado de propriedades mecanicas como massa, energia e momento. Este artigo descreveo desenvolvimento dessas ideias e compara os resultados obtidos pelos partidarios do eter com as propostas deEinstein.Palavras-chave: teoria da relatividade, Albert Einstein, dinamica relativıstica, historia da fısica.

Most of the results of relativistic dynamics had already been obtained before Einstein’s 1905 paper. Rela-tions between mass and velocity, and mass and energy, had already been obtained from electromagnetic theory.Those developments were due to a widespread belief in the ether as a physical reality, that could produce forcesand was endowed with mechanical properties such as mass, energy and momentum. This paper describes thedevelopment of those ideas and compares the results obtained by the ether partisans and Einstein’s proposals.Keywords: relativity theory, Albert Einstein, relativistic dynamics, history of physics.

1. Introducao

Costuma-se pensar que a teoria da relatividade especialfoi criada por Albert Einstein, em 1905. No entanto,quando Einstein era uma crianca e ainda nao sabia lernem escrever, ja se discutia um dos principais efeitosrelativısticos: a influencia da velocidade na massa.

Muitos resultados importantes da teoria da rela-tividade foram obtidos antes de 1905, por Lorentz,Poincare e outros pesquisadores. Esse fato e bem conhe-cido pelos historiadores da ciencia2, mas geralmente edesconhecido pelos fısicos. O objetivo deste artigo eproporcionar uma compreensao daquilo que ja haviasido feito antes de Einstein, dando o devido credito aosmuitos fısicos que contribuıram para a criacao de umadinamica relativıstica e comparando esses resultados aspropostas do proprio Einstein.

E impossıvel discutir neste artigo tudo o que haviasido feito antes de Einstein. Vamos abordar ape-nas alguns aspectos relacionados com a relacao entremassa e energia, deixando de lado o desenvolvimento dacinematica relativıstica (as transformacoes de Lorentz esuas consequencias) e do eletromagnetismo relativista.

E impossıvel compreender o estado da fısica no fi-

nal do seculo XIX sem tratar sobre o eter. Atualmentetemos uma visao totalmente negativa a respeito do eter.Esse conceito parece ser o “vilao da historia” - algoque nao precisaria nunca ter surgido e que, gracas aEinstein, foi expelido da fısica. Mas seria totalmenteanacronico tentar descrever a evolucao da dinamica re-lativıstica sem falar no eter3. Assim, vamos iniciar oartigo mostrando qual era a motivacao historica paraaceitar a existencia dessa entidade. Depois, sera des-crito o desenvolvimento da dinamica do eter, com aatribuicao de propriedades mecanicas (como energia emomento) a essa entidade, e como isso levou ao es-tudo da massa eletromagnetica associada a uma cargaeletrica, e as relacoes entre massa e energia e massa evelocidade. Por fim, sera feita uma comparacao entreesses desenvolvimentos e o trabalho de Albert Einstein.

2. O eter e o eletromagnetismo

Desde a Antiguidade muitas pessoas procuraram enten-der como um objeto pode agir sobre um outro sem estarencostado ao mesmo. Como um ıma atrai um pedacode ferro, por exemplo? Tanto na fısica aristotelica comona teoria atomıstica antiga (que era a completa antıtese

1E-mail: [email protected], por exemplo: [1], v. 2, [2], [3], [4], [5], [6], [7].3Hirosige[8] estudou o papel do eletromagnetismo e do eter no surgimento da teoria da relatividade.

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do pensamento de Aristoteles) acreditava-se que era im-possıvel que um corpo atuasse sobre outro sem con-tato; portanto, a acao de um ıma deveria ser explicadaatraves de alguma coisa que nao vemos, que transmitea forca entre o ıma e o pedaco de ferro [9].

Quando Isaac Newton propos a teoria gravitacional,no seculo XVII, ele nao pensava que o Sol e os planetasse atraıssem por uma acao direta a distancia. Imagi-nava que deveria haver algum modo de explicar agravitacao, mas foi incapaz de encontrar um mecanismoque explicasse os fenomenos conhecidos e que nao intro-duzisse enormes dificuldades fısicas. Por isso, preferiuevitar hipoteses sobre isso, utilizando a gravitacao paraexplicar os fenomenos observaveis, porem sem explicara propria gravitacao. Em uma carta a Leibniz, Newtonescreveu:

Pois como os movimentos celestes saomais regulares do que se viessem de vorticese obedecessem a outras leis, os vorticesem nada contribuem para regular e simpara perturbar os movimentos dos plane-tas e cometas; e como todos os fenomenosdos ceus e do mar seguem-se precisamente,tanto quanto estou ciente, apenas de que agravidade age de acordo com as leis des-critas por mim; e como a natureza e muitosimples; eu proprio concluı que todas asoutras causas devem ser rejeitadas, e queos ceus devem ser despidos tanto quantopossıvel de materia; caso contrario o movi-mento dos planetas e cometas seria impe-dido e tornado irregular. Mas se, enquantoisso, alguem explicar a gravidade e todas assuas leis pela acao de alguma materia maissutil, e mostrar que o movimento dos plane-tas e cometas nao sera perturbado por essamateria, eu estarei longe de objetar. (New-ton, carta para Leibniz, 16 de outubro de1693 em Newton, Correspondence, v. 3,p. 287 [10])

A posicao de Newton nao foi corretamente com-preendida por seus contemporaneos, e no seculo XVIIIquase todos os “newtonianos” afirmavam que a forcagravitacional era uma acao direta a distancia4. Aprocura de hipoteses explicativas para a gravitacao eoutras forcas (como eletricidade e magnetismo) pareciaser nao apenas inutil mas ate nociva, levando a dis-

cussoes infindaveis e nao proporcionando um conheci-mento firme, bem estabelecido. Quando Coulomb, nofinal do seculo XVIII, estabeleceu que as forcas eletros-taticas e magneticas (entre os polos de ımas) obedeciama lei do inverso do quadrado da distancia, parecia quetodas as forcas importantes da natureza obedeciam aomesmo esquema e que bastava conhecer essas leis paraexplicar os fenomenos – sem ficar perguntando comoum ıma consegue atrair ou repelir outro ıma.

Quando Hans Christian Ørsted descobriu o eletro-magnetismo, em 1829, ele adotou outra postura. Paraexplicar como uma agulha magnetica se posicionavaperto do fio condutor ele supos que a corrente eletricaproduzia turbilhoes que giravam em torno do fio, poisnao era possıvel explicar o efeito atraves da ideia deatracoes e repulsoes [12]. No entanto, sua proposta tevepequena aceitacao. Ampere mostrou que as forcas entrecorrentes eletricas podiam ser analisadas como simplesatracoes e repulsoes e, supondo que um ıma e equi-valente a um solenoide, explicou todos os fenomenoseletromagneticos que eram conhecidos utilizando a ideiade forcas a distancia5.

Foi Michael Faraday (1791-1867) quem, em meadosdo seculo XIX, defendeu mais fortemente a ideia de queas forcas eletromagneticas sao transmitidas por linhasde forca que tem realidade fısica6. Segundo ele, duascargas eletricas que se atraem ou repelem nao intera-gem diretamente a distancia. Elas sao puxadas ou em-purradas pelas linhas de forca, que seriam coisas reais,que se estendem pelo espaco e que transmitem as forcasentre as cargas. Cada carga eletrica era pensada porFaraday como uma pequena esfera dotada de “cabe-los” que se espalhavam para todos os lados. Os “ca-belos” de uma carga eletrica negativa estariam sempreligados a cargas eletricas positivas, e vice-versa. Ne-nhum desses fios ligaria duas cargas de mesmo sinal.Supondo que essas linhas de forca sao semelhantes amolas que tendem a diminuir de tamanho era possıvelentender que elas puxavam as cargas de sinais opos-tos umas para as outras. Alem disso, supondo queelas se empurram umas as outras lateralmente, erapossıvel explicar os fenomenos de aparente repulsaoentre cargas de mesmo sinal ([17], §§1224-5, 1231,1297). Os efeitos magneticos tambem seriam produzi-dos por linhas de forca magnetica, com propriedadessemelhantes a essas ([17], §§3266-8, 3280, 3294-5; vertambem [18]). Porem, a partir da descoberta do efeitomagneto-optico7, Faraday passou a considerar que as

4Hesse [11] apresenta uma boa descricao historica e analise filosofica da tensao existente entre a ideia de acao direta a distancia e aideia de campo (que corresponde exatamente a suposicao de que ha um intermediario responsavel pelas forcas), nesse perıodo.

5Nao e possıvel, evidentemente, apresentar aqui todos os detalhes sobre o desenvolvimento do eletromagnetismo. Ha uma boa obrarecente que discute a historia do eletromagnetismo durante o seculo XX: [13].

6A interpretacao dos conceitos de Faraday nao e facil, pois suas ideias mudaram com o tempo. A evolucao do pensamento de Faradaye descrita por Williams, 1965, capıtulo 10 [14]. Ver tambem [15]. As ideias sobre linhas de forca aqui apresentadas estao presentes nostrabalhos que Faraday escreveu em torno de 1850 [16].

7Tomando-se um solido transparente (como o vidro) que nao atua sobre a polarizacao da luz e colocando-o entre os polos de umforte eletroıma, ve-se que o material se torna opticamente ativo e que passa a girar o plano de polarizacao da luz, quando a luz tem ummovimento paralelo as linhas de forca magneticas. Isso indicava que cada linha do campo magnetico tinha uma simetria semelhante a

A dinamica relativıstica antes de Einstein 13

linhas de forca magneticas possuıam uma propriedadeespecial: elas girariam em torno de seu comprimento([17], §§2162-75; [19]; [14], pp. 386-391)

Nao ficava muito claro, no trabalho de Faraday,como as linhas de forca eletricas e magneticas intera-giam entre si.

Figura 1 - Faraday entendia a repulsao e atracao entre cargas eletricas como efeitos indiretos, produzidos pelas linhas de forca.

3. O eter de Maxwell

James Clerk Maxwell (1831-1879) foi fortemente influ-enciado por Faraday, acreditando tambem que as forcaseletromagneticas nao podiam ser produzidas direta-mente a distancia. Em seu Treatise on Electricity andMagnetism, Maxwell adotou a ideia das linhas de forca,afirmando que as acoes eletricas seriam um fenomeno detensao do meio (eter) ou de tensao ao longo das linhase forca ([20] §§47-8).

No entanto, em vez de se concentrar principal-mente nas linhas de forca, como Faraday, foi gradual-mente voltando-se para a ideia de uma substancia quepreenchia todo o espaco e que transmitia os efeitoseletromagneticos. Nessa epoca, praticamente todosos fısicos aceitavam que a luz era uma onda que sepropagava no eter. Maxwell adotou a ideia do eter e,quando mostrou que a luz era tambem um fenomenoeletromagnetico, tornou-se natural pensar que essemesmo eter era tanto o intermediario das forcas eletro-magneticos quanto o meio que transmitia as vibracoesluminosas.

Maxwell incorporou ao seu eter muitas ideias queFaraday havia desenvolvido para as linhas de forca. Oeter nao seria uma materia no sentido usual da palavra,mas teria propriedades mecanicas, podendo transmi-tir forcas a materia atraves de suas tensoes, pressoes erotacoes. Essa nao era uma hipotese puramente quali-tativa: Maxwell se preocupou em associar propriedades

quantitativas ao eter. Foi pelo calculo das pressoes etensoes dos campos eletrico e magnetico no eter queMaxwell calculou, pela primeira vez, a pressao pro-duzida pelas ondas eletromagneticas (incluindo a luz)sobre uma superfıcie material.

Em meados do seculo XIX o conceito de energiase tornou uma das principais ferramentas da fısica.Maxwell estudou a energia dos campos eletrico emagnetico, mas adotou uma abordagem diferente daque era usual, na epoca. Quando se considera um ca-pacitor que esta inicialmente descarregado e para o qualse transportam cargas eletricas opostas, pode-se calcu-lar a energia eletrostatica que fica acumulada nele sim-plesmente calculando o trabalho realizado sobre as car-gas que se deslocam para as placas. A energia eletros-tatica pode ser calculada levando-se em conta as forcasentre todos os pares de partıculas eletrizadas8:

We =12

∑

i,j

qiqj

4ε0πrij(1)

Mas onde fica essa energia? A ideia mais comum eraa de que a energia estaria nas proprias cargas eletricas.Maxwell pensou de outra forma. As cargas eletricasproduzem tensoes no eter; o movimento dessas cargasproduz um trabalho nesse eter elastico, como uma molaque e esticada ou contraıda. No caso da mola, a ener-gia potencial fica distribuıda no material que esta ten-sionado. Da mesma forma, no caso das forcas eletro-magneticas, a energia devia estar no eter. De acordo

de um cilindro que gira.8Neste artigo sera utilizada a notacao moderna do eletromagnetismo, com as equacoes utilizando o sistema internacional de unidades.

Essa e uma simplificacao, que se destina a facilitar a leitura por parte dos fısicos atuais. A notacao matematica utilizada no eletromag-netismo durante o seculo XIX era geralmente diferente de atual [21].

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com Maxwell, a energia eletrostatica de uma carga naoesta dentro da carga, mas sim distribuıda sob forma detensao no eter em sua volta. Segundo ele, a energia ele-trostatica e uma energia potencial associada as tensoesdo eter ([20], §§109-10, 630, 638; [22]; [23]).

Seguindo uma analise matematica que ja havia sidodesenvolvida por William Thomson [24] Maxwell de-senvolveu essa ideia quantitativamente e mostrou quea energia eletrostatica associada a qualquer condutorcarregado podia ser calculada analisando-se o campoeletrico desse condutor, em todo o espaco ([20], §99a):

We =12

∫εE2dV . (2)

Ainda utilizamos a mesma equacao de Maxwell paraisso, atualmente; mas ja nao pensamos que estamoscalculando a energia potencial do eter, ao fazer essescalculos.

Na teoria de Maxwell, alem de energia potencial,o eter tem tambem uma energia cinetica, associadaao campo magnetico ([20], §630-638). Esse e um as-pecto da teoria que e mais difıcil de entender. So podehaver energia cinetica se houver movimento. Por que ocampo magnetico deveria estar associado a movimentosdo eter?

Ha duas justificativas para essa associacao. Emprimeiro lugar, as correntes eletricas produzem camposmagneticos, e correntes eletricas representam o movi-mento de cargas. Portanto, ha uma relacao entre cam-pos magneticos e movimentos e poderia ser possıvel as-sociar uma energia cinetica a eles.

Mas ha um segundo argumento, um pouco dife-rente e mais significativo. Quando ha uma correnteeletrica percorrendo um fio e a corrente e interrompidabruscamente (por exemplo, cortando-se o fio), apareceuma faısca, que indica que a corrente eletrica tem umatendencia a se manter. Esse fenomeno e devido a auto-inducao das correntes eletricas e foi considerado porMaxwell como semelhante a inercia dos corpos materi-ais ([20] §§546-7). Nao se deve pensar que isso repre-senta a propria inercia das cargas em movimento dentrodos condutores. O fenomeno e de outro tipo, pois naodepende apenas da intensidade da corrente eletrica e docomprimento do fio, mas tambem da forma do condu-tor. A auto-inducao de um fio esticado e muito menordo que a de um fio enrolado sob a forma de uma bobina.Cortando-se o fio que liga uma bateria a um fio enro-lado sob a forma de um solenoide aparece uma faıscamuito mais forte do que no caso em que a mesma ba-teria esta ligada ao mesmo fio, mas o fio esta esticado,em vez de formar uma bobina ([20], §§548-9).

Maxwell mostrou que esses efeitos podem ser com-preendidos se associarmos a inercia da corrente eletricaao campo magnetico que ela produz. Em um solenoide,o campo magnetico e muito mais forte do que em torno

de um fio esticado. Por isso, a inercia da correnteeletrica e muito maior, tambem.

Quando se estabelece uma corrente eletrica em umcondutor, cria-se um campo magnetico a sua volta, quearmazena energia. Essa energia nao pode desaparecere, quando se tenta interromper a corrente eletrica, essaenergia produz efeitos, como a faısca descrita acima. Erazoavel aceitarmos, seguindo Maxwell, que essa ener-gia do campo magnetico e um tipo de energia cinetica,ou seja, uma energia associada ao movimento.

Maxwell desenvolveu a teoria quantitativa dessesfenomenos e mostrou que era possıvel calcular a ener-gia associada a corrente eletrica em um fio a partirdo campo magnetico no espaco em volta do condu-tor. Em cada ponto do espaco onde ha campos eletricose magneticos ha uma densidade de energia eletrica ρe

(energia potencial) proporcional ao quadrado do campoeletrico E e uma densidade de energia magnetica ρm

(energia cinetica) proporcional ao quadrado do campomagnetico H:

ρe =dW e

dV=

εE2

2, (3)

ρm =dWm

dV=

µ

2H2. (4)

Em sua concepcao, essa energia estaria sob a formade movimentos reais (de rotacao) produzidos no eter,pois ele aceitava que o efeito magneto-optico de Fara-day era uma evidencia do movimento rotacional do eterem torno das linhas de forca magneticas ([20], §§636,821, 831).

Nos continuamos a utilizar a formula de Maxwell,mas ja nao pensamos que estamos calculando uma ener-gia cinetica do eter.

Se o campo eletrico esta associado a movimentos noeter, deve haver tambem um momento vinculado a ele.E, na teoria de Maxwell, isso realmente ocorre. Porem,o campo magnetico em torno de um fio que transportauma corrente eletrica nao e paralelo ao fio e sim per-pendicular a ele, formando cırculos concentricos emtorno do condutor. A direcao do momento associado aocampo magnetico nao pode ser, portanto, a direcao daslinhas de forca. Maxwell acabou por concluir que o mo-mento associado ao campo magnetico tem a direcao dopotencial vetor9. Quando uma carga eletrica q (mesmoparada) esta em um campo magnetico, ela tem um mo-mento ~p adicional, proporcional ao potencial vetor ~A

~p = q ~A. (5)

Portanto, o eter, na teoria de Maxwell, possui diver-sas propriedades mecanicas: ele produz forcas e tensoes(e pode produzir pressao, no caso da luz); contem ener-gia cinetica e potencial; e contem momento mecanico.

9O caminho que levou Maxwell a este conceito do potencial vetor e descrito em [25].

A dinamica relativıstica antes de Einstein 15

A versao final da teoria de Maxwell foi publicadaem 1873, em seu livro Treatise on electricity and mag-netism. A producao experimental de ondas eletro-magneticas por Heinrich Hertz (1857-1894), em 1887,foi uma importante confirmacao da teoria [26]. Pode-sedizer que, no final do seculo XIX, praticamente todos osfısicos haviam se convencido de que a teoria de Maxwelldescrevia corretamente todos os fenomenos conhecidose que o eter eletromagnetico realmente existia.

4. Analise de Thomson para uma cargaem movimento

Em 1881, utilizando a teoria de Maxwell, Joseph JohnThomson (1856-1940) estudou o movimento de umacarga eletrica no vacuo, procurando analisar as suaspropriedades dinamicas. Ele analisou as variacoes deenergia do campo eletromagnetico devidas ao movi-mento da carga [27]10.

Uma carga eletrica parada tem apenas campoeletrico e energia eletrostatica. Para uma carga q dis-tribuıda sobre a superfıcie de uma esfera de raio a, ovalor dessa energia eletrostatica We e

We =q2

8ε0πa. (6)

Uma carga eletrica em movimento produz a suavolta um campo magnetico, circular (como o que existeem volta de um fio conduzindo corrente eletrica). Ocampo magnetico produzido pela carga em movimentocontem uma energia adicional, que nao estava presentequando a carga estava parada. Qual o valor dessa ener-gia adicional?

Primeiramente, era necessario saber qual o valor doscampos eletrico e magnetico, em cada ponto do espaco,em torno da carga em movimento. Isso nunca haviasido calculado, antes.

Thomson supos que, para velocidades baixas dacarga, seu campo eletrico nao muda muito com o movi-mento (ou seja, em primeira aproximacao, o campo eigual ao de uma carga parada). Assim, a energia docampo eletrico nao depende da velocidade. Mas o movi-mento da carga e equivalente a uma corrente eletrica eproduz um campo magnetico a sua volta. Em primeiraaproximacao, o valor desse campo magnetico H e dadopor

~H = ~v × ~E, (7)

onde ~v e a velocidade da carga e ~E e o seu campoeletrico em cada ponto do espaco.

Como o campo magnetico e proporcional a primeirapotencia da velocidade e como a densidade de ener-gia magnetica e proporcional ao quadrado do campo

magnetico, e evidente que a energia magnetica Wm as-sociada a carga em movimento sera proporcional aoquadrado da velocidade. O resultado da integracao dadensidade de energia magnetica sobre todo o espaco e

Wm =q2v2

12ε0πac2, (8)

onde v e a velocidade da carga q, a e o seu raio e c e avelocidade da luz no vacuo.

A energia magnetica de uma carga em movimento(nao muito rapido) e proporcional ao quadrado da suavelocidade, como a energia cinetica K de uma partıcula,na fısica classica:

K =mv2

2. (9)

Comparando-se as duas formulas, ve-se que a ener-gia magnetica pode ser considerada como uma ener-gia cinetica adicional, e a expressao entre parenteses naequacao abaixo pode ser interpretada como uma “massaeletromagnetica”:

Wm =12

(q2

6ε0πac2

)v2. (10)

Essa energia magnetica poderia ser consideradacomo um tipo de energia cinetica, em dois sentidos.Primeiramente, porque ja vimos que Maxwell e seusseguidores consideravam que a energia magnetica seriaa energia cinetica do eter. Em segundo lugar, porquea energia magnetica relacionada com a carga em movi-mento era proporcional ao quadrado de sua velocidade,exatamente como na formula usual da energia cineticade uma partıcula.

A massa eletromagnetica de uma esfera com cargaq seria, portanto, igual a:

me =q2

6ε0πac2(11)

Porem, ja havıamos visto que a energia eletrostaticada mesma esfera era igual a

We =q2

8ε0πa. (12)

Portanto, a “massa eletromagnetica” e proporcionala energia eletrostatica associada a carga

me =43

We

c2. (13)

Essa formula nao aparece no trabalho de Thomsonde 1881, mas e obtida facilmente a partir de seus re-sultados. Note-se sua semelhanca com a relacao rela-tivıstica entre massa e energia, m = E/c2. O fatornumerico 4/3 sera discutido posteriormente.

Na epoca, esses resultados foram interpretados daseguinte forma. Uma partıcula sem carga, para ser

10O artigo de Thomson continha um pequeno lapso, que foi corrigido alguns meses depois por George Francis Fitzgerald (1851-1901)[28].

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acelerada ate a velocidade v, precisa receber uma ener-gia K dada por K = 1/2mv2, correspondente ao tra-balho fornecido pela forca aceleradora. Essa energiafica armazenada na propria partıcula. No caso de umapartıcula carregada, alem dessa energia cinetica or-dinaria, existe uma energia magnetica adicional. Assimsendo, para acelerar a partıcula carregada, a forca ace-leradora deve fornecer uma energia total maior do queno caso da partıcula neutra. Essa energia pode ser re-presentada por K’ = 1/2(m+me)v2, onde me e a massaeletromagnetica.

Como vimos, esse conceito de massa eletro-magnetica surgiu por comparacao com a formula daenergia cinetica. Trata-se de um conceito especıfico,que poderia ser chamado de “massa cinetica” ou de “ca-pacidade de energia cinetica eletromagnetica”, se ado-tarmos a nomenclatura proposta por Henri Poincare(1854-1912) e Paul Langevin (1872-1946)11. Mais adi-ante veremos que surgiram outros conceitos de massadiferentes desse.

Note-se que a massa eletromagnetica e a energiacinetica que lhe esta associada nao estao dentro dapartıcula e sim distribuıdas pelo eter em torno da carga,ocupando um volume infinito.

Em 1895 (antes da descoberta do eletron), JosephLarmor sugeriu que a materia poderia ser simplesmenteum conjunto de partıculas eletricas e que, nesse caso,toda a inercia poderia ser de origem eletromagnetica.Nesse caso, nao existiria a “massa ordinaria”12.

Apos o trabalho de J.J. Thomson, o eter tinha umanova propriedade mecanica: alem de exercer forcas,produzir pressoes, ter energia potencial e cinetica e ummomento magnetico, existia tambem a massa eletro-magnetica. Note-se que essa massa eletromagnetica naoe a massa do proprio eter. E a massa associada a umamudanca no eter – pois o campo magnetico produzidopor uma carga em movimento seria justamente essa mu-danca.

5. O campo de cargas em movimentorapido

Quando uma carga eletrica se move com alta velocidade(comparavel a velocidade da luz), o seu campo eletricose deforma e a analise de J.J. Thomson ja nao pode seraplicada. A propria energia eletrica em torno da cargadepende da velocidade; e e necessario fazer um calculomais complicado para a energia magnetica da carga.

O primeiro pesquisador que conseguiu calcular ocampo de uma carga em movimento rapido foi OliverHeaviside (1850-1925), em um artigo publicado em 1889[31]. Esses calculos eram muito complexos e algunsautores criticaram o metodo operacional utilizado porHeaviside para chegar ao seu resultado. Por isso, J.J.

Thomson deduziu novamente os mesmos resultados, poroutro metodo, confirmando as equacoes de Heaviside[32],[33].

Atualmente e bastante facil calcular o campo deuma carga em movimento utilizando a teoria da relativi-dade, que nos permite passar do campo eletrostatico deuma carga em repouso ao seu campo em relacao a qual-quer referencial. Mas, na epoca, essas transformacoesainda nao eram conhecidas.

Em 1896, utilizando os resultados de Heaviside, umestudante de J.J. Thomson chamado George FredericCharles Searle (1864-1954) provou que o campo de umacarga pontual em movimento rapido e igual ao campode uma carga em forma de elipsoide, com seu compri-mento reduzido na direcao do movimento por um fatorq

1− v2/c2 [34]. Ele deu a essa esfera achatada o nomede “elipsoide de Heaviside”.

No mesmo artigo, Searle calculou a energia asso-ciada ao campo de uma esfera carregada, obtendo umresultado valido para altas velocidades. Esse resul-tado exato mostrou que a energia eletromagnetica adi-cional (ou seja, descontando a energia eletrostatica derepouso) era igual a

W =q2

8ε0πa

(c

vln

c + v

c− v− 2

). (14)

Essa energia nao e proporcional ao quadrado da ve-locidade, no caso de altas velocidades. Porem, desen-volvendo em serie a formula acima, pode-se verificarque ela se reduz ao resultado obtido por Thomson, nocaso de baixas velocidades,

W =q2

4ε0πa

(v2

3c2 +v4

5c4 +v6

7c6 + ...

). (15)

Se a velocidade for proxima a velocidade da luz, aenergia eletromagnetica da carga crescera mais depressado que o quadrado da velocidade da partıcula. Issopoderia ser interpretado supondo que a massa eletro-magnetica aumenta com a velocidade.

A equacao obtida por Searle mostrava que a energiado campo eletromagnetico de uma carga em movimentotenderia a infinito, quando a velocidade da carga ten-desse a c. Portanto, seria necessario fornecer um tra-balho infinito para acelerar essa carga ate a velocidadeda luz. Por essa razao, Thomson e Searle concluıramque era impossıvel acelerar uma carga a uma veloci-dade igual ou superior a c [35]. Esse e um resultadobem conhecido da teoria da relatividade, que estava noentanto sendo deduzido a partir de consideracoes pura-mente eletromagneticas, sem fazer uso dos postuladosda relatividade especial.

11E possıvel definir a massa inercial de diversas maneiras, e as diferentes definicoes levam a diferentes equacoes, no caso da teoria darelatividade (e no caso da teoria eletromagnetica, aqui descrita). Ver [29].

12Ver [30], a respeito das contribuicoes de Larmor a teoria da relatividade.

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6. A massa dos eletrons

Nessa mesma epoca (1896-1897) foi descoberto oeletron, como resultado dos estudos de Thomson sobreraios catodicos, e de Pieter Zeeman (1865-1943) sobreo efeito Zeeman. Analisando teoricamente o efeito Zee-man, Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) encontrouum valor para a razao e/m da carga e para a massam dos eletrons. Medindo a deflexao de raios catodicosem campos eletricos e magneticos, Thomson e WalterKaufmann (1871-1947) mediram em 1897 a razao e/mpara eletrons de baixa velocidade, obtendo valores queconcordavam com a estimativa de Lorentz [36]; [37].

Em 1898 e 1900, Phillip Lenard (1862-1947) mediue/m para raios beta com velocidades de ate c/3 [38]. Asmedidas indicaram um aumento da massa com a veloci-dade. Os dados nao eram conclusivos, mas podiam serinterpretados como uma indicacao de que os eletronstinham uma massa eletromagnetica que variava com avelocidade.

Em 1901 Walter Kaufmann mediu e/m para raiosbeta com velocidades entre 0,8 e 0,9 c [39]; ver tambem[40]. Agora, havia um claro aumento de massa com avelocidade. A partir das equacoes de Heaviside e Searle,Kaufmann calculou a massa eletromagnetica µ

µ =q2

8ε0πRv2

[− c

vln

(c + v

c− v

)+

21− v2/c

2

]. (16)

No entanto, os dados experimentais nao concor-davam quantitativamente com a equacao. Alem damassa eletromagnetica, supunha-se que o eletron teriatambem uma massa “puramente mecanica” que seriaconstante. Assim, Kaufmann concluiu que 1/3 damassa do eletron era eletromagnetica (ou aparente),dependente da velocidade; e o restante seria massamecanica (real, constante).

Em janeiro de 1902 Max Abraham (1875-1922) criti-cou a analise teorica de Kaufmann e calculou a massado eletron utilizando consideracoes sobre o momento docampo eletromagnetico, em vez de energia [41]13. Paraexplicar o argumento de Abraham e necessario voltarum pouco no tempo.

Em 1884-85 John Henry Poynting (1852-1914) eHeaviside haviam chegado ao “vetor de Poynting”que descreve o fluxo de energia de um campo eletro-magnetico [45]; [46]). Sempre que ha campos eletrico emagnetico que nao sejam paralelos, ha fluxo de energiaeletromagnetica, dado pela equacao

~S = ~E × ~H. (17)

Esse fluxo de energia eletromagnetica foi imaginadocomo correspondendo a algum tipo de movimento do

eter. Em 1893, J.J. Thomson introduziu um momentoeletromagnetico associado ao fluxo de energia ([47],capıtulo 1; ver tambem [?]). De acordo com ele, existeuma densidade de momento eletromagnetico ~g associ-ada a todo fluxo de energia ~S dada por

~g =~S

c2. (18)

Essa relacao entre fluxo de energia e densidade demomento e uma equacao fundamental da fısica; e abase da teoria relativıstica de meios contınuos e foi uti-lizada, entre outras coisas, na estruturacao do tensorde momento-energia utilizado na teoria da relatividadegeral.

Hoje em dia, essa formula e interpretada como umadescricao da densidade do momento do campo eletro-magnetico no espaco vazio. No final do seculo XIX,a proposta de Thomson devia ser compreendida comouma nova propriedade fısica do eter. Havia um motivomuito simples e forte para introduzir esse novo conceito.O eter pode produzir forcas sobre partıculas carregadas.Portanto, as partıculas podem sofrer mudancas de seumomento, pela acao do eter. Se o eter nao tivesse ummomento, isso violaria a lei de conservacao do momento– ou seja, a terceira lei de Newton.

Utilizando-se a ideia de Thomson, e facil ver queuma onda eletromagnetica tem momento, ja que elatem campos eletrico e magnetico e eles nao sao parale-los um ao outro. O campo de uma carga eletrica emmovimento tambem tem momento, ja que os camposeletrico e magnetico nao sao paralelos, tambem.

Utilizando a equacao de Thomson, Abraham calcu-lou o momento eletromagnetico ~G do campo em volta deuma carga em movimento14, obtendo o seguinte valor:

G =e2

8ε0πRc

[(1 + β

2β2

)ln

(1 + β

1− β− 1

)], (19)

onde β = v/c. A direcao desse vetor e paralela a davelocidade do eletron.

Para calcular a massa do eletron, Abraham partiuda segunda lei de Newton sob a forma ~F = d~p/dt.Quando o eletron esta submetido a uma forca externa,seu momento pode mudar tanto de direcao quanto emmagnitude. No caso em que a forca que atua sobreo eletron e paralela a sua velocidade inicial, apenas ovalor do momento sofrera mudanca. Nesse caso (acele-racao longitudinal) temos que

~F// =d~G

dt=

dG

dtv =

dG

dv

dv

dtv =

dG

dv~a//. (20)

13Ver tambem [42]; [43]; [44]. Consultar [6] e [40], a respeito das contribuicoes de Abraham.14No ano anterior (1901)[?], Lorentz ja havia calculado o momento de um eletron, mas ele utilizou uma aproximacao que so era valida

para baixas velocidades.

18 Martins

No caso em que a forca e longitudinal, (dv/dt)v e aaceleracao longitudinal ~a//, e dG/dv pode ser interpre-tado como a massa do eletron. Abraham a chamou de“massa longitudinal”.

Se a forca e perpendicular a velocidade do eletron(como no caso de uma forca magnetica que atua sobrea partıcula em movimento), os modulos da velocidadee do momento nao sofrerao mudanca, mas o eletronsera desviado e sua trajetoria sera circular. Nesse caso,temos que

~F⊥ =d~G

dt= G

dv

dt=

G

v

d~v

dt=

G

v~a⊥. (21)

A aceleracao transversal ~a⊥ e a aceleracaocentrıpeta do movimento circular do eletron e G/v podeser interpretado como a massa do eletron. Abraham achamou de “massa transversal”. A partir da equacaodo momento eletromagnetico do eletron, obtemos osseguintes valores para a massa longitudinal e transver-sal:

m// =e2

8ε0πRc2

1β2

[− 1

βln

(1 + β

1− β

)+

21− β2

](22)

m⊥ =e2

8ε0πRc2

1β2

[(1 + β

2β

)ln

(1 + β

1− β− 1

)](23)

Deve-se notar que a equacao da massa longitudinale identica a equacao que tinha sido desenvolvida porKaufmann, a partir de consideracoes de energia.

As duas equacoes tem o limite igual a e2

6ε0πRc2 paravelocidades muito menores do que c. Porem, para ve-locidades elevadas (proximas de c), produzem resulta-dos diferentes.

Nos experimentos de Kaufmann, ele havia utilizadouma equacao equivalente a da massa longitudinal, masestava medindo a deflexao dos eletrons. Portanto, suaanalise teorica dos experimentos estava errada. Ele de-veria ter utilizado a massa transversal.

Kaufmann reconheceu que estava enganado e, em1902, publicou um novo artigo, com medidas adicionaisque foram analisadas utilizando a teoria de Abraham[48]. Agora, ele concluiu que havia uma boa con-cordancia entre os dados experimentais e a formulada massa transversal e concluiu que toda a massa doeletron era puramente eletromagnetica.

Portanto, em 1902 (tres anos antes do primeiro ar-tigo de Einstein sobre relatividade) ja existiam medidasexperimentais que mostravam que a massa do eletronvariava; e existia uma teoria eletromagnetica da massaque conseguia explicar quantitativamente esse efeito.Toda a bagagem conceitual necessaria para as deducoesvinha do eletromagnetismo de Maxwell (e seus desen-volvimentos posteriores), acompanhado de ideias a res-peito das propriedades mecanicas do eter. Essa teoria,

ate esse momento, nao era relativıstica – ou seja, naoutilizava em suas deducoes o princıpio da relatividade.

Note-se que, nos trabalhos desencadeados por J.J.Thomson em 1881, a massa eletromagnetica era cal-culada a partir de consideracoes de energia cinetica.Ou seja: tomava-se a equacao K = mv2/2 como sendoa relacao fundamental a partir da qual se definia amassa eletromagnetica. Pode-se chamar esse conceitode massa cinetica. Posteriormente, na abordagem uti-lizada por Abraham, as massas eletromagneticas (lon-gitudinal e transversal) passam a ser calculadas a par-tir da relacao vetorial ~p = m~v, que e depois derivadaem relacao ao tempo para se obter as aceleracoes noscasos em que a forca e paralela ou perpendicular aomovimento da partıcula. Entao, utilizando-se a relacao~F = m~a, obtem-se as duas massas. Pode-se chamaresse conceito de massa acelerativa.

7. A massa associada a luz

Em 1900, Henri Poincare utilizou o conceito de mo-mento eletromagnetico para discutir a validade da lei deacao e reacao, no eletromagnetismo [49]15. De acordocom a teoria de Maxwell, o eter e quem produz forcassobre as cargas eletricas. Se uma forca atua sobreuma carga eletrica, seu momento se altera. Para quehaja conservacao da quantidade de movimento total, enecessario que o momento do eter tambem se altere. Omomento que deve ser associado ao eter e dado pelaformula de Thomson, ~g = ~S/c2, onde ~S e o fluxo deenergia.

Para que se possa pensar em um momento do eter,e necessario imaginar duas coisas: que o eter pode semover e que ele tem massa – ou que existe alguma coisaassociada ao eter que pode se mover e ter massa.

Um pulso de radiacao eletromagnetica emitido emuma determinada direcao deve ter um momento associ-ado a ele. Maxwell ja havia provado que as ondas eletro-magneticas devem exercer pressao e, portanto, trans-portam momento. Utilizando a analise de Thomson,Poincare mostrou que tal tipo de pulso, de energia E,deveria ter um momento igual a p = E/c. Como aluz tem a velocidade c no vacuo, e como o momentomecanico e dado por ~p = m~v, e possıvel associar umamassa m = E/c2 ao pulso de luz. Ele mostrou que eranecessario associar essa massa a radiacao para manter oteorema do centro de massa. Se a luz nao tivesse massa,o centro de massa de uma caixa poderia se deslocar,violando o princıpio de inercia. Neste caso, a massa edefinida diretamente a partir da equacao do momento,sem utilizar aceleracoes (ja que a luz nao pode ser ace-lerada). Esse conceito de massa e chamado de massamaupertuisiana.

A massa maupertuisiana (m = p/v), a massa acele-rativa (m = F/a) e a massa cinetica (m = 2E/v2) sao,

15Ver os artigos [2]; [4] e [50], a respeito das contribuicoes de Poincare a teoria da relatividade.

A dinamica relativıstica antes de Einstein 19

todas elas, massas inerciais (nao envolvem conceitosde gravitacao e peso). Na fısica classica elas sao umunico conceito [51]. Na fısica relativıstica, sao distin-tas e geralmente levam a resultados diferentes. Dessastres, considera-se que a mais fundamental (e que e uti-lizada nas deducoes atuais da teoria da relatividade) ea massa maupertuisiana, ou seja, a massa que aparecena relacao ~p = m~v.

Atualmente dizemos que a luz nao tem massa. Econveniente, portanto, esclarecer melhor esse ponto.A luz nao possui massa de repouso. Ou seja: sefosse possıvel reduzir a velocidade da luz (no vacuo)e coloca-la em repouso, sua massa seria nula. Nao epossıvel parar a luz, e pode-se perguntar que sentidotem, entao, falar sobre tal massa de repouso. Supo-nhamos que temos um pulso de radiacao, de energia E,se movendo na direcao x, em um determinado referen-cial S. Agora, suponhamos que um outro referencial S’se move na mesma direcao e sentido. Quanto maior avelocidade desse referencial S’ em relacao ao primeiro,menor sera a energia E’ da radiacao em relacao a ele, emenor sera tambem sua massa (calculada pela equacaom’= E’/c2). Quando a velocidade desse referencial seaproxima de c, a massa do pulso de radiacao tendea zero, em relacao a ele. Nao existe, portanto, con-tradicao entre a ideia de que a massa de repouso da luze nula, e a relacao m = E/c2 aplicada a luz.

Em 1901 foi testada experimentalmente a existenciade uma pressao da luz em espelhos, que havia sidoprevista teoricamente por Maxwell em 1873. O resul-tado positivo obtido por Pyotr Lebedew (1866–1912)e por Ernest Fox Nichols (1869-1924) e Gordon Fer-rie Hull (1870-1956), nao constituiu nenhuma surpresa,pois havia forte confianca na previsao [52], [53] e [54]16.Na verdade, esse efeito nem mesmo e uma propriedadeespecıfica das ondas eletromagneticas. Qualquer ondaque transporte energia (como o som ou ondas na agua)tambem produz uma pressao [56].

Essa confirmacao experimental da pressao da luz,em 1901, levou a novos desenvolvimentos teoricos. Em1904, Max Abraham calculou a pressao produzida pelaradiacao sobre uma superfıcie em movimento, quandoum feixe de luz atinge um espelho formando qualquerangulo com sua normal [57]. Utilizando os resultadosde Abraham, Friedrich Hasenohrl (1874-1916) estudoua dinamica de uma caixa cheia de radiacao [58].

Suponhamos uma caixa em forma de paralelepıpedo,com arestas paralelas aos eixos x, y, z com superfıciesinternas perfeitamente refletoras, cheia de radiacao.Se a caixa estiver em repouso, a radiacao produzirapressoes iguais em todas suas faces. Suponhamos,agora, que a caixa que estava em repouso e aceleradaparalelamente ao eixo x. A pressao da luz na superfıcieda parte de tras da caixa sera maior do que quando ela

estava em repouso, e na superfıcie na parte da frenteda caixa sera menor. O motivo e, basicamente, que acaixa aumenta de velocidade entre os momentos em quea radiacao e refletida na parede oposta e o momento emque atinge a superfıcie.

Assim, a radiacao produzira uma forca resultantecontraria ao movimento da caixa. Portanto, para acele-rar a caixa cheia de luz e necessaria uma forca maiordo que para acelerar a mesma caixa sem radiacao. Emoutras palavras, a radiacao aumenta a inercia da caixa.

O calculo e bastante complicado, pois deve-se levarem conta a radiacao que caminha em todas as direcoes,dentro da caixa refletora. O resultado, no entanto, euma relacao bastante simples entre a energia total Eda radiacao e sua contribuicao m a inercia da caixa17

m =4E

3c2 . (24)

O aumento de massa da caixa era proporcional aenergia da radiacao dentro dela. Note-se que aqui, comono caso da teoria do eletron, aparece o fator numerico4/3. Isso nao era um engano. A diferenca entre essasequacoes e a famosa relacao E = mc2 sera esclarecidamais adiante.

Hasenohrl tambem calculou a mudanca da energiada radiacao decorrente da aceleracao da caixa. Eleprovou que a radiacao total seria uma funcao da veloci-dade da caixa. Portanto, quando a caixa e acelerada,uma parte do trabalho realizado pelas forcas externas etransformado em energia adicional da radiacao. Comoa inercia da radiacao e proporcional a sua energia, ecomo essa energia aumenta com a velocidade da caixa,a inercia total aumentara com a velocidade do sistema.Quando a velocidade da caixa tende a c, sua inerciatende a infinito.

Se a temperatura interna da caixa aumentasse, aenergia da radiacao tambem aumentaria. Por isso,Hasenohrl concluiu que a massa de um corpo dependede sua energia cinetica e de sua temperatura.

Abraham, logo depois, mostrou que era possıvel cal-cular de forma mais simples o momento total associadoa radiacao dentro da caixa em movimento. Utilizandoesse outro metodo, obteve um resultado igual ao deHasenohrl. No entanto, note-se que os metodos uti-lizados eram diferentes e os conceitos envolvidos eramdistintos. O que Abraham calculou foi a massa mauper-tuisiana da radiacao dentro da caixa. O que Hasenohrlcalculou foi a contribuicao da radiacao para a massaacelerativa do sistema.

8. O eletron de Lorentz

Em 1892, Lorentz estudou o resultado nulo do experi-mento de Michelson e Morley, chegando a conclusao de

16[55] descreve a historia da busca da pressao da luz.17Hasenohrl chegou inicialmente a um resultado um pouco diferente deste, em 1904, por um erro de integracao. Seu engano foi

corrigido por Max Abraham no mesmo ano, e reconhecido por Hasenohrl em 1905.

20 Martins

que ele poderia ser explicado se todos os corpos emmovimento atraves do eter sofressem uma contracaolongitudinal [59], [60]. Nesse primeiro trabalho, Lorentzchegou ao resultado aproximado (ate segunda ordem dev/c):

L = L0(1−−v2/2c2). (25)

Posteriormente, ele passou a utilizar a expressaoexata L = L0

q1− v2/c2, que representaria a contracao

dos corpos atraves do eter – ou, mais exatamente, arazao entre as dimensoes longitudinais e as dimensoestransversais do corpo deveria obedecer a essa relacao.

Inicialmente, Lorentz utilizou a equacao apenaspara objetos macroscopicos. Depois, ele assumiu queessa contracao deveria se aplicar aos componentes mi-croscopicos dos corpos, incluindo o eletron. Por isso, em1904 ele foi levado a desenvolver uma nova teoria doseletrons, semelhante a de Abraham (ou seja, baseando-se em calculos de momento) mas utilizando um modelode um eletron contraıdo, em vez de um eletron esferico[61].

O processo de calculo era semelhante ao utilizadopor Abraham. Apenas os limites geometricos de inte-gracao eram diferentes. Lorentz obteve para o momentodo eletron o seguinte valor

G =e2

6ε0πRc2

1√1− v2/c

2v. (26)

Seguindo a abordagem de Abraham, ele calculou apartir do momento tanto a massa longitudinal quantoa massa transversal do eletron, obtendo os seguintesvalores

m// =e2

6ε0πRc2

1(1− v2/c

2)3/2

, (27)

m⊥ =e2

6ε0πRc2

1(1− v2/c

2)1/2

. (28)

As equacoes de Lorentz parecem muito diferentesdas de Abraham (e sao muito mais simples). Noentanto, para baixas velocidades, elas dao resultadossemelhantes. Se desenvolvermos em serie a formula deAbraham para a massa transversal do eletron, obtere-mos

m⊥ =e2

8ε0πRc2

1β2

[(1 + β

2β

)ln

(1 + β

1− β− 1

)]∼=

e2

6ε0πRc2

(1 +

25β2 + ....

)(29)

No caso da formula de Lorentz, o desenvolvimentoem serie da o resultado

m⊥ =e2

6ε0πRc2

1(1− v2/c

2)1/2

∼=

e2

6ε0πRc2

(1 +

12β2 + ...

). (30)

Portanto, a diferenca entre as duas series e um fa-tor numerico no termo de segunda ordem em β = v/c.Quando a velocidade tende a zero, as duas formulasdao o mesmo resultado para a massa eletromagneticado eletron.

A primeira vista, pareceria facil distinguir experi-mentalmente qual das duas formulas e a mais adequada.A questao nao e tao simples, no entanto, pois a com-paracao e bastante indireta. Lorentz analisou os dadosexperimentais de Kaufmann utilizando sua propria teo-ria e concluiu que as medidas eram compatıveis tantocom ela quanto com a teoria de Abraham.

9. O eletron de Bucherer

Alem dos modelos de Abraham e Lorentz, havia outraspossibilidades. No mesmo ano em que Lorentz publi-cou sua teoria, Alfred Heinrich Bucherer (1863-1927)propos uma outra [62],[63]. Ele assumiu que o eletronse contraıa devido ao movimento, como Lorentz haviaassumido, mas supos que o seu volume permanecesseconstante. Ou seja: o raio longitudinal do eletron con-traıdo se tornaria L = R

(1− v2/c2

)1/3 e o seu raio

transversal se tornaria L′ = R(1− v2/c2

)−1/6, onde Re o raio do eletron em repouso. A razao entre as duas di-mensoes obedeceria a equacao de contracao de Lorentz.Independentemente de Bucherer, a mesma teoria foiproposta, no ano seguinte, por Paul Langevin [64]. Comesse novo modelo, foram obtidas novas equacoes paraas massas longitudinal e transversal do eletron:

m// =e2

6ε0πRc2

1(1− v2/c

2)4/3

, (31)

m⊥ =e2

6ε0πRc2

1(1− v2/c

2)1/3

. (32)

Eram possıveis outros modelos diferentes desses.Todas as teorias acima referidas supunham que a cargado eletron estava espalhada sobre sua superfıcie; masela poderia estar distribuıda em todo o seu volume.Alem disso, podiam ser feitas outras hipoteses sobre aforma do eletron e sobre a distribuicao de sua carga.Cada modelo levava a resultados diferentes para arelacao entre massa e velocidade.

Nos anos seguintes, Kaufmann publicou novos da-dos experimentais e comparou suas medidas as tres teo-rias do eletron descritas acima [65]. Ele concluiu que a

A dinamica relativıstica antes de Einstein 21

formula de Abraham era a que descrevia melhor os re-sultados. Max Planck (1858-1947), no entanto, criticoua analise de Kaufmann e concluiu que as medidas eramcompatıveis tanto com as equacoes de Abraham quantocom as de Lorentz – e que estas ultimas proporcionavamuma melhor concordancia [66].

A situacao nao era muito clara, nessa epoca [67],[40]. Apenas dez anos depois foram feitos experimentosmais precisos que foram capazes de confirmar a formulade Lorentz e de excluir os outros modelos.

10. A analise de Poincare

A evidencia experimental nao era suficientemente clarapara permitir uma escolha entre os varios modelos doeletron. Poincare, no entanto, proporcionou um argu-mento teorico importante a favor da teoria de Lorentz.

A maior parte dos resultados da teoria da relativi-dade ja estava presente no artigo que Poincare escreveuem 1905, mas que so foi publicado no ano seguinte,na Italia [68]18. Nesse trabalho ele discutiu a teoriade Lorentz e analisou os varios modelos do eletron. Elemostrou que a teoria de Lorentz nao era completa e quedeveria ser suplementada pela suposicao de uma forcaque impedisse o eletron de se expandir. Essa forca naoseria de natureza eletromagnetica. Ela poderia ser des-crita como um tipo de pressao negativa, de origem des-conhecida. Era necessario levar em conta essa tensaoao calcular a energia e o momento do eletron; portanto,a dinamica do eletron nao poderia ser deduzida apenasdo eletromagnetismo [2].

Tendo introduzido essa pequena alteracao na teo-ria de Lorentz, Poincare provou que apenas essa teoriaera compatıvel com o princıpio da relatividade – umprincıpio que ele proprio estava defendendo ha algunsanos. Se a teoria de Abraham ou a de Bucherer fossevalida, seria possıvel descobrir se a Terra esta parada ouem movimento em relacao ao eter, atraves de medidasdas propriedades dinamicas do eletron.

Como havıamos mostrado, tanto no caso da teoriade Lorentz como nas outras, a massa eletromagneticados eletrons de baixa velocidade tende ao valor

m0 =e2

6ε0πRc2 . (33)

Ora, a energia eletrostatica do eletron em repouso eW0 = e2

8ε0πR . Portanto, poderıamos escrever a seguinterelacao entre a massa e a energia de eletrons de baixavelocidade:

m0 =4W 0

3c2 . (34)

Para qualquer fısico atual, essa relacao pareceestranha, porque utilizamos a equacao de Einsteinm = E/c2, sem o fator numerico 4/3. Porem essadiferenca nao e devida a qualquer erro de calculo feitopor Lorentz e outros teoricos. E uma consequencia ine-vitavel da teoria eletromagnetica.

Porem, como ja foi indicado acima, Poincare mos-trou que era necessario levar em conta forcas que naoeram eletromagneticas, na teoria do eletron. Levandoessa forca em conta, e necessario introduzir um termonao eletromagnetico nas equacoes da energia e do mo-mento. Essa correcao leva a uma nova relacao entre amassa inercial total m′

0 e a energia total W ′0 do eletron

(incluindo os termos que nao sao eletromagneticos):

m′0 =

W ′0

c2(35)

Esse resultado e compatıvel com a equacao de Eins-tein19.

Um argumento semelhante a esse pode ser aplicadoao caso de uma caixa cheia de radiacao. A massa asso-ciada a luz tambem obedece a relacao m = 4E/3c2. Noentanto, e preciso levar em conta que a radiacao produzuma pressao nas paredes da caixa onde ela esta contida.Essa pressao traciona a caixa e essa tensao deve ser le-vada em conta ao calcular as propriedades mecanicas dosistema. Analisando esse efeito, chega-se a conclusao deque o sistema completo (caixa mais radiacao) obedecea relacao m = E/c2. Esse resultado foi estabelecidopor Max Planck, em 1907, depois da publicacao da teo-ria de Einstein [73]. Nesse trabalho Planck provou quem = E/c2 nao e uma lei geral. Realmente, ela e validapara sistema fechados. No entanto, qualquer sistemasubmetido a uma pressao externa obedecera a uma leidiferente: sua massa inercial sera proporcional a suaentalpiaH = E + PV. A lei de Planck, que substituinesses casos a lei de Einstein, e m = H/c2.

11. A situacao em 1905

Quando Einstein publicou seu primeiro trabalho sobrerelatividade ja existiam:

• O princıpio da relatividade;

• As transformacoes de Lorentz para o espaco etempo;

18Em 1905 Poincare publicou uma pequena nota na revista Comptes Rendus da Academia de Ciencias de Paris, apresentando (semdemonstracoes) alguns dos resultados do artigo mais longo. Ja se escreveu muito a respeito das semelhancas e diferencas entre a con-tribuicao de Poincare e o trabalho de Einstein. Ver [69] (que traduziu uma grande parte do artigo de 1906 de Poincare); [70]; [71];[50].

19A abordagem de Poincare nao e aceita por todos os autores. F. Rohrlich e outros fısicos criticaram a introducao da tensao dePoincare e tentaram estabelecer a compatibilidade entre a eletrodinamica e a relatividade especial por um caminho diferente. Parece,no entanto, que Poincare nao estava errado, e que existem duas abordagens diferentes igualmente viaveis: a de Poincare e a de Rohrlich.Ver [72].

22 Martins

• As transformacoes das grandezas eletromag-neticas;

• A maior parte da dinamica relativıstica.

Os principais resultados da dinamica relativısticaque haviam sido obtidos antes de Einstein eram:

• A equacao da variacao da massa do eletron coma velocidade;

• A relacao entre fluxo de energia e densidade demomento;

• A relacao entre massa e energia, em alguns casosespecıficos (sem formulacao geral).

Esses resultados nao foram obtidos de forma rapidanem foram o resultado da “genialidade” de uma unicapessoa. Foram construıdos gradualmente, por um con-junto de pesquisadores, conforme relatado neste artigo.Alguns deles sao bem conhecidos (Thomson, Lorentz,Poincare), mas ha muitos outros que contribuıram deforma fundamental para a criacao da teoria relativısticae de quem nunca se fala.

O que Einstein introduziu de novo, entao, em 1905?Ha tres novidades, fundamentalmente, no trabalho

de Einstein. Uma delas e a estruturacao da teoria darelatividade de um modo muito mais simples do queos trabalhos de Lorentz e Poincare. Einstein deduziuos resultados basicos (a cinematica relativıstica) a par-tir de dois postulados (o princıpio da relatividade e oprincıpio da constancia da velocidade da luz). Os doisprincıpios nao eram novos, e claro. O primeiro (da rela-tividade) ja havia sido proposto claramente, com essemesmo nome, por Poincare. O segundo era uma con-sequencia direta da suposicao de que existia o eter e quea luz era uma onda que se propaga nesse meio. Emboraambos os princıpios fossem aceitos pelos fısicos anteri-ores, foi Einstein quem mostrou que todas as deducoesse tornavam muito mais simples se eles fossem assumi-dos como o ponto de partida basico (ou seja, se fossemassumidos como postulados). Nao ha duvidas de queisso foi uma importante contribuicao. Note-se, no en-tanto, que a mesma coisa ocorre, normalmente, quandose elabora uma versao didatica de uma teoria cientıfica.Quando Maxwell publicou seu Treatise of electricityand magnetism, sua teoria foi apresentada de um modoconfuso, difıcil de entender. Obras posteriores, como olivro em que Poincare expos a teoria de Maxwell [74],eram muitıssimo mais simples, com deducoes claras esimples. Pode-se dizer que o trabalho de Einstein de1905 esta para os trabalhos de Poincare e Lorentz comoa formulacao didatica de uma teoria esta, normalmente,para sua primeira proposta.

A segunda novidade de Einstein, em 1905, foi pro-por a equacao E = mc2 como uma relacao geral da suateoria. Antes dele, varios autores ja haviam encontrado

relacoes entre massa e energia para casos especıficos[75]. Einstein nao provou que essa relacao era geral,apenas a deduziu em um caso particular e depois proposque fosse considerada aplicavel a todos os casos. Ela,na verdade, nao e geral. Nao se aplica a sistemas exten-sos submetidos a pressoes (como foi explicado acima) enao se aplica a energia potencial (quando um eletron semove em um campo externo, sua massa nao deve sercalculada levando-se em conta sua energia potencial)20.Alem disso, no estudo relativıstico de meios contınuos,o conceito de massa inercial maupertuisiana deixa deser aplicavel, pois a relacao ~p = m~v se torna invalida.De fato, no caso de sistemas extensos, o momento ea velocidade podem ter direcoes diferentes e, assim, aequacao ~p = m~v deixa de ter sentido. E possıvel uti-lizar a equacao E = mc2 como se fosse uma definicaogeral de um tipo de massa relativıstica, como propoemmuitos autores; porem, nesse caso, a massa obtida naopode ser utilizada para calcular o momento e outraspropriedades de sistemas extensos com tensoes, meioscontınuos ou partıculas dotadas de energia potencial.Minha opiniao pessoal e de que a relacao E = mc2 naofoi uma boa contribuicao de Einstein, pois ate hoje elaprejudica a compreensao da teoria da relatividade.

A terceira novidade do trabalho de Einstein de 1905e epistemologica e nao fısica. Ele negou a validade daideia de eter, alegando que a fısica apenas deveria li-dar com aquilo que pode ser observado e medido [77].Outros autores, como Lorentz e Poincare, aceitavamque o eter nao podia ser detectado, mas consideravamque esse conceito era util, pois permitia compreender osfenomenos de acao a distancia e de propagacao da luz.Aceitar ou nao o eter nao era uma questao cientıfica,propriamente dita, pois nao podia ser decidida por ex-perimentos. Ou seja: nenhum experimento provou queexistia o eter e nenhum experimento provou que ele naoexistia. Se fosse possıvel medir a velocidade da Terraem relacao ao eter, nao seria apenas a teoria de Eins-tein que teria que ser abandonada: as de Lorentz ePoincare tambem cairiam por terra. Todos os experi-mentos que confirmaram a teoria de Einstein confir-maram tambem as teorias de Lorentz e Poincare. Naverdade, nem mesmo se deve dizer que essas sao teoriasdiferentes. E melhor dizer que sao interpretacoes dife-rentes da mesma teoria fısica, pois suas consequenciasobservaveis sao identicas.

E importante esclarecer que esse terceiro aspecto etotalmente independente dos outros. Nao e necessarioabandonar o eter para utilizar os dois postulados da teo-ria da relatividade. Alem disso, e importante enfatizarque o proprio Einstein, em 1920, mudou de opiniao arespeito do eter. Em uma conferencia ministrada nesseano, ele afirmou:

20Ver, a esse respeito, a dissertacao de mestrado de Sılvia Petean [76].

A dinamica relativıstica antes de Einstein 23

Recapitulando, podemos dizer que, de acor-do com a teoria da relatividade geral, oespaco tem qualidades fısicas; neste sentido,portanto, existe um eter. De acordo coma relatividade geral, um espaco sem eter eimpensavel [Gemaß der allgemeinen Rela-tivitatstheorie ist ein Raum ohne Ather un-denkbar]; porque em tal espaco nao have-ria propagacao da luz, nem possibilidade depadroes de espaco e de tempo (regras de me-dida e relogios), nem intervalos de espaco-tempo, no sentido fısico. (Einstein, 1920,p. 32)

Seja qual for o significado preciso do pensamento deEinstein em 1920, podemos perceber que nessa epocaa palavra “eter” deixou de ser um palavrao, para ele.Talvez isso ajude o leitor a ter menos preconceitos emrelacao aos fısicos que aceitavam o eter, no inıcio doseculo XX.

Se Einstein nunca tivesse nascido, o desenvolvi-mento da fısica relativıstica teria sido ligeiramentediferente. Provavelmente a ideia do eter continuariaa ser aceita por quase todos (embora fosse rejeitada pe-los empiristas do inıcio do seculo). Poderia tambem de-morar bastante para que outra pessoa produzisse umaversao das teorias de Lorentz e Poincare que fosse maissimples e facil de manipular. Mas praticamente todosos resultados fısicos da teoria da relatividade especialsurgiram antes de Einstein, e nesse sentido a historiada fısica poderia ter prescindido de seu nascimento.

A maior parte do desenvolvimento posterior dateoria da relatividade especial foi tambem realizadapor outros pesquisadores – e nao por Einstein. Atermodinamica relativıstica foi desenvolvida por MaxPlanck, que tambem esclareceu as propriedades rela-tivısticas de sistemas extensos submetidos a forcas ex-ternas [73], [79]. A introducao do formalismo quadridi-mensional espaco-temporal foi iniciada por Poincare ecompletada por Minkowski [80]. A formulacao tensorialdo eletromagnetismo relativıstico foi feita por Abra-ham e Minkowski [81], [82]. A dinamica relativısticade meios contınuos foi completada por Max von Laue,que foi quem criou o tensor de momento-energia ([83],[84], [85]). Todos esses avancos tiveram tambem con-tribuicoes de muitos outros pesquisadores. Porem,Einstein esteve alheio a esses importantes desenvolvi-mentos. Parece que, se Einstein tivesse morrido logodepois de publicar seus trabalhos de 1905, isso naoteria feito nenhuma diferenca significativa no desen-volvimento da teoria da relatividade especial.

12. Conclusao

O desenvolvimento do eletromagnetismo de Maxwell,atraves de seu proprio trabalho e do de seus continua-dores, levou a uma nova visao de mundo. Por um

lado, eles proporcionaram uma teoria dinamica do eter,mostrando que era possıvel atribuir forcas, pressoes,energia, momento e massa ao campo eletromagnetico.Por outro lado, ao estudar as partıculas fundamentaisda materia, essas relacoes foram aplicadas ao eletron,e sua dinamica tornou-se uma consequencia do eletro-magnetismo. Assim, parecia que a teoria mais fun-damental da natureza era o eletromagnetismo e que apropria materia poderia ser explicada a partir do eter.

No inıcio do seculo XX ja havia experimentos quemostravam que a luz exercia pressao (e, portanto, trans-portava momento) e que a massa do eletron variavacom sua velocidade. Isso reforcava as teorias sobre adinamica do eter e sobre o eletromagnetismo.

Alguns fısicos acreditavam que o eletromagnetismoseria suficiente para explicar todas as leis da materia.Poincare, no entanto, mostrou que isso era impossıvele que era necessario introduzir forcas que nao tinhamnatureza eletromagnetica, na teoria do eletron. Porem,mesmo sem esclarecer que tipo de forcas eram essas,ele mostrou que era possıvel elaborar uma teoria queincluıa tanto essas tensoes quanto o eletromagnetismo,e que era compatıvel com o princıpio da relatividade.

Note-se que o desenvolvimento da relacao entremassa e velocidade e entre massa e energia dependeude muitas contribuicoes diferentes, por muitos fısicosdistintos. Essa e a regra, nao a excecao, na historia daciencia. Atribuir uma teoria complexa, como a relativi-dade, a uma unica pessoa, e uma distorcao completada historia. Para entendermos por que se atribui ateoria unicamente a Einstein e necessario explorar asdimensoes sociologicas da ciencia, assim como algunsfatores psicologicos da humanidade – como a necessi-dade generalizada (e infantil) de acreditar em herois.

Os fısicos geralmente elogiam Maxwell pelas suasquatro equacoes (que ele nunca escreveu) e procuramesquecer e perdoar sua crenca no eter (que era centralem seu pensamento). Vimos, no entanto, que o conceitode eter, tao desprezado hoje em dia, teve um impor-tante papel no desenvolvimento de estudos dinamicosque levaram a alguns dos mais importantes resultadosda teoria da relatividade.

De Maxwell a Lorentz e Poincare, passando porThomson, Heaviside, Poynting, Abraham e muitos ou-tros, a crenca no eter como o substrato fısico funda-mental dos fenomenos eletromagneticos guiou o estudode suas propriedades dinamicas. Sem essa crenca, osdesenvolvimentos descritos neste artigo nao poderiamter ocorrido pois ninguem pensaria em atribuir ener-gia, momento e massa ao espaco vazio. Portanto, acrenca no eter e o estudo de suas propriedades foium passo fundamental no desenvolvimento da dinamicarelativıstica.

E claro que a confirmacao de diversas consequenciasda teoria do eter nao sao uma prova de que o eter exis-te – exatamente como a confirmacao de diversas con-sequencias de qualquer teoria (incluindo a relatividade

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de Einstein, ou a mecanica quantica) nunca pode serconsiderada uma prova de que a teoria esta correta.

A teoria que atingiu seu apice nas maos de Lorentze Poincare nao era a teoria de Einstein. Suas visoesde mundo eram diferentes. Eles aceitavam o eter, em-bora tambem aceitassem que era impossıvel detectar omovimento em relacao a esse meio. Sua abordagemepistemologica era tambem diferente da de Einstein.No entanto, quase todas as previsoes cientıficas da teo-ria de Einstein ja estavam la, nos artigos publicadosantes de seu primeiro trabalho de 1905. O conteudoempırico dessas duas teorias e identico. Por mais es-tranho que pareca, e impossıvel distinguir, por qualquerexperimento, a interpretacao de Lorentz e Poincare dainterpretacao de Einstein.

Agradecimento

O autor agradece o apoio que tem recebido da Fundacaode Amparo a Pesquisa do Estado de Sao Paulo(FAPESP) e do Conselho Nacional de DesenvolvimentoCientıfico e Tecnologico (CNPq) para a realizacao desuas pesquisas. Uma versao em ingles, um poucodiferente do presente artigo, esta sendo publicada emPhysics Before and After Albert Einstein: An Histor-ical Perspective, edited by M.M. Capria (Amsterdam:IOS Press, 2004). O autor agradece ao prof. Capriaa autorizacao para publicar a presente adaptacao emportugues.

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