PROGRESII MATEMATICE
Jan 25, 2016
PROGRESII MATEMATICE
PROGRESIIARITMETICE
PROGRESII ARITMETICEPROGRESII ARITMETICE
Def.Def. Un şir (Un şir (aann ) )nn1 1 în care fiecare termen, în care fiecare termen,
începând cu al doilea, se obţine din precedentul prin începând cu al doilea, se obţine din precedentul prin adunare cu un număr fix (adunare cu un număr fix (r r numit raţieraţie) ) se numeşte se numeşte progresie aritmeticăprogresie aritmetică . .
aa11 ,a ,a22 , ... , a , ... , an-1n-1 , a , ann , a , an+1n+1 , ... , ...
aann = a = a n-1n-1 + + rr , , nn 2 2
r r = a= ann - - aan-1n-1 , , nn 2 2
Ex.: 2, 6, 10, a4 ,a5 ,...
r = a3 – a2 = 10 – 6 = 4;
aa44 = a3+ r = 10 + 4 = 14; aa55 = a4 + r = 14 + 4 = 18 .
.
.
TEOREMĂTEOREMĂFie (an)n 1 un şir de numere reale. Atunci are loc
echivalenţa:
a1, a2, ... , an-1, an , an+1 , ... 1 1 22
, .n nn
a aa n
ExerciţiuExerciţiu
Fie numerele reale x - 1, 2x , x+7 în progresie aritmetică. Să se determine x .
Rezolvare:Rezolvare:
x – 1, 2x, x + 7
1 72 3
2.
x xx x
Formula termenului generalFormula termenului general
TeoremăTeoremă: Într-o progresie aritmetică: Într-o progresie aritmetică ( (aann ) )n n 1 1 cu raţia cu raţia rr, ,
termenul general este dat de formula:termenul general este dat de formula:
1 1 1,na a n r n
ExerciţiuExerciţiu
Să se determine primii doi termeni ai progresiei aritmetice
(an )n 1 ştiind că a10= 131 şi r = 12.
Suma primilor n termeni ai unei progresii Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmeticearitmetice
SSnn = = aa1 1 ++ aa2 2 + ... + a+ ... + ann , n , n 1 1
1
2n
n
a a nS
1 1 1,na a n r n Cu
, formula sumei devine:
12 1
2n
a n r nS
Obs. Orice progresie este bine determinată dacă se Orice progresie este bine determinată dacă se cunosc cunosc primul termen şi şi raţia.
ExerciţiiExerciţii
1)1) Într-o progresie aritmetică se cunosc a1 = 9 şi r = -3 . Să se determine suma primilor 7 termeni.
2)2) Într-o progresie aritmetică se cunosc a47 = 74 şi a74 = =47. Să se determine primul termen şi raţia.
3)3) Să se determine termenul general şi raţia unei progresii aritmetice dacă suma primilor n termeni este:
25 3 .nS n n
PROGRESIIGEOMETRICE
• Definiţie Se numeşte progresie geometrică, un şir de
numere reale : , cu b1 ≠ 0, în care , fiecare termen începând cu al doilea, se obţine din precedentul, prin înmulţirea cu acelaşi număr q ≠0. Numărul q se numeşte raţia progresiei .• Observaţii : 1) Şirul : este progresie geometrică, dacă:
bn = bn-1 . q , n ≥ 2, b1 ≠ 0, q ≠ 0.
2) Numerele : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,…….se
numesc termenii progresiei geometrice.
1nnb
1nnb
Comentarii:
1) Din definiţie, rezultă că, într-o progresie geometrică, raportul a doi termeni consecutivi : bn-1 , bn , este constant : = constant, n ≥2 .
2) Pentru a pune în evidenţă, că şirul : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,……., este o progresie geometrică, se foloseşte notaţia : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,……..
3) O progresie geometrică : b1 , b2 , b3 , ………, bn ,…….. este bine determinată, dacă se cunosc : primul termen : b1 ≠0 şi raţia : q ≠ 0 ;
b2 = b1. q , b3 = b2 .q = b1 . q2 ,………… .
4) Numerele : b1 , b2 , b3, ……, bn - 1, bn , sunt în progresie geometrică, dacă sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice, adică , dacă :
= =……….. = .
1n
n
b
b
1
2
b
b
2
3
b
b
..
..
1n
n
b
b
1) Dacă : b1 = 1 , q = , se obţine progresia geometrică :
1, , ,……, ,…….. 2) Dacă : b1 = , q = , se obţine progresia geometrică:
, , ,..…. , , …….
3) Dacă : b1 = 1 , q = 2 => 1 , 2 , 4 , 8 , ….., 2n-1 , …..
4) Dacă : b1 = 2 , q = - 2 => 2 , - 22 , 23 , ………., ( - 1 )n+1. 2n ,…
Exemple:
2
1
2
122
112
1n
2
12
1
2
122
132
1n2
1
..
..
..
..
..
..
..
..
PROPRIETĂŢILEPROGRESIEIGEOMETRICE
G1 ( Monotonia)
Fie o progresie geometrică de raţie q .
Daca:
b1 > 0 şi q > 1, atunci şirul este şir strict crescător :
b1 < b2 < b3 <…….< bn < bn+1 < …..
b1 > 0 şi q є ( 0 , 1 ) , atunci şirul este şir strict descrescător :
b1 > b2 > b3 >…….> bn > bn+1 > …..
b1 < 0 şi q > 1, atunci şirul este şir strict descrescător;
b1 < 0 şi q є ( 0 , 1 ) , atunci şirul este şir strict crescător .
1nnb
1nnb
1nnb
1nnb
1nnb
G2
Formula termenului general
Dacă şirul este o progresie geometrică de
raţie q , atunci termenul general,
are forma :
bn = b1 . qn-1 , n ≥ 1 .
1nnb
GG33
Caracterizarea progresiei geometriceCaracterizarea progresiei geometrice
Şirul , cu termeni nenuli, este progresie
geometrică pentru <=> orice termen al său,
incepând cu al doilea, avem :
= , n ≥ 2
1nnb
bn
2
bn 1 bn 1
G4
Dacă numerele: b1, b2 , b3 , ……., bn-1 , bn , sunt în progresie geometrică,atunci:
b1 bn = b2 bn-1 = ……= bk bn-k+1 ,
k = . n,1
G5
Suma primilor n termeni Dacă este o progresie geometrică, de raţie q, cu Sn = b1 + b2 + …………+ bn , atunci
1nnb
Sn =
1,
1,1
1
1
1
qdacăbn
qdacăq
qb
n