Profesor Mirela-Gabriela Blaga Elev……………………………………… 1 BACALAUREAT FORMULE MATEMATICE Funcţia de gradul întâi f : , f(x) = ax + b , a,b , a 0 Dacă a > 0, atunci f este strict crescătoare. Dacă a < 0, atunci f este strict descrescătoare. Intersecţia graficului f cu axa Ox f(x) = 0 ax + b = 0 x = - punctul A(- ,0) Intersecţia graficului f cu axa Oy x = 0 şi y = f(0) punctul B(0, b) Funcţia de gradul al doilea f : , f(x) = ax 2 + bx + c , a,b,c , a 0 Ecuaţia f(x) = 0 are rădăcinile x1,x2 = , dacă . Vârful parabolei are coordonatele V( ). Axa de simetrie este dreapta de ecuaţie x = . minf/maxf = imaginea funcţiei/mulţimea valorilor funcţiei forma canonică f(x) = a Relaţiile lui Viète , unde sunt rădăcinile ecuaţiei ax 2 + bx + c = 0 x1 2 + x2 2 = S 2 – 2P x1 3 + x2 3 = S 3 – 3PS f(x) = ax 2 + bx + c = a(x- )(x- ) = a( Intersecţia graficului f cu axa Ox f(x) = 0 Intersecţia graficului f cu axa Oy x = 0 şi y = f(0) punctul B(0, c) f(x) > 0, a > 0, < 0 f(x) 0, a > 0, 0 f(x) 0, a 0, < 0 Semnul funcţiei de gradul al doilea x dacă - ax 2 + bx + c >0 semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a =0 semnul lui 0 semnul lui a <0 semnul lui a
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev………………………………………
1
BACALAUREAT FORMULE MATEMATICE
Funcţia de gradul întâi
f : , f(x) = ax + b , a,b , a 0
Dacă a > 0, atunci f este strict crescătoare. Dacă a < 0, atunci f este strict descrescătoare.
Intersecţia graficului f cu axa Ox f(x) = 0 ax + b = 0 x = - punctul A(- ,0)
Intersecţia graficului f cu axa Oy x = 0 şi y = f(0) punctul B(0, b)
Funcţia de gradul al doilea
f : , f(x) = ax2 + bx + c , a,b,c , a 0
Ecuaţia f(x) = 0 are rădăcinile x1,x2 = , dacă .
Vârful parabolei are coordonatele V( ).
Axa de simetrie este dreapta de ecuaţie x = .
minf/maxf =
imaginea funcţiei/mulţimea valorilor funcţiei
forma canonică f(x) = a
Relaţiile lui Viète , unde sunt rădăcinile ecuaţiei ax2 + bx + c = 0
Intersecţia graficului f cu axa Oy x = 0 şi y = f(0) punctul B(0, c)
f(x) > 0, a > 0, < 0
f(x) 0, a > 0, 0
f(x) 0, a 0, < 0
Semnul funcţiei de gradul al doilea x dacă - -
ax2 + bx + c
>0 semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a
=0 semnul lui 0 semnul lui a
<0 semnul lui a
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev………………………………………
2
Ex. x -3 -1
x2 + 4x + 3 + + 0 - - 0 + +
x 1 3
- x2 + 4x - 3 - - 0 + + 0 - -
x 2
x2 - 4x + 4 + + + 0 + + +
x
x2 + x + 1 + + +
Funcţii Compunerea funcţiilor g: C A şi f: A B este funcţia f g: C B, f g(x) = f(g(x)).
Ex. Fie f, g: , f(x) = 2x + 5 şi g(x)=3x –2. Să se determine f f şi f g.
f f: , f f(x) = f(f(x))=f(2x + 5)=2(2x + 5)+5=4x+15
f g: , f g(x) = f(g(x))=f(3x - 2)=2(3x - 2)+5=6x+1
f(-x) = f(x) funcţie pară f(-x) = - f(x) funcţie impară f(x + T) = f(x) funcţie periodică Funcţia f: A B este injectivă (1) dacă din , f(x1) = f(x2) x1 = x2
f este injectivă (1) dacă din , x1 x2 f(x1) f(x2)
f este injectivă (1) dacă (x) > 0 sau (x) < 0
Funcţia f: A B este surjectivă(2) dacă a.î. f(x) = y
f este surjectivă(2) dacă f(A) = B Din (1) şi (2) f bijectivă f inversabilă
f: A B, f(x) =y, f bijectivă :B A, (y) = x
Progresii
Progresia aritmetică Progresia geometrică formula termenului general an = an-1 + r an = an-1 q, a1,q 0
formula termenului general an = a1 + (n-1)r an = a1qn-1 suma primilor n termeni Sn =
Sn
Sn = a1(1+q+q2+...+qn-1) = a1 ,
q 1
Sn =na1, q=1 numărul termenilor n =
proprietate
proprietate a,b,c 2b = a+c a,b,c b2 = ac
Probabilitatea P= [ 0, 1]
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev………………………………………
3
Metode de numărare
Numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n.
Ex. Să se determine numărul submulţimilor mulţimii A={0,1,2}. R.
Numărul submulţimilor cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente este Cnk 0 n, n
Ex.1. Să se determine numărul submulţimilor cu două elemente ale mulţimii A={0,1,2}. R. C32 Ex.2. Să se determine numărul elementelor unei mulţimi ştiind că aceasta are exact 45 de submulţimi cu două elemente.
R. Cn2= 45 =45 n(n-1)=90 n(n-1)=10 9 n=10
Numărul funcţiilor f: A B, A, B
nevide, =n , =m este mn.
Ex. Să se determine numărul funcţiilor f: {0,1,2} {5,6,7,8}.
R. , unde 4= şi 3=
Numărul funcţiilor injective f: A B,
=n , =m este Amn .
Ex. Să se determine numărul funcţiilor injective f:{0,1,2} {5,6,7,8}.
R. A43, unde 4= şi 3=
Numărul funcţiilor strict monotone f: A B, =n , =m este Cmn .
Ex. Să se determine numărul funcţiilor strict crescătoare f:{0,1,2} {5,6,7,8}.
R. C43, unde 4= şi 3=
Numărul funcţiilor bijective f: A A
=n este n!.
Ex. Să se determine numărul funcţiilor bijective f:{0,1,2} {0,1,2}.
R. 3!
Numărul dreptelor determinate de n puncte distincte, oricare trei necoliniare este Cn2.
Ex. Să se determine numărul dreptelor care trec prin 5 puncte distincte, oricare trei necoliniare. R. C52
Numărul diagonalelor unui poligon convex cu n laturi este Cn2– n.
Ex. Să se determine numărul diagonalelor unui poligon convex cu 5 laturi. R. C52-5
Numărul triunghiurilor determinate de n puncte distincte, oricare trei necoliniare este Cn3.
Ex. Să se determine numărul triunghiurilor care se pot forma cu 5 puncte distincte, oricare trei necoliniare. R. C53
Mulţimea numerelor reale
= 1, a
, a , n
de n ori
, a 0
, , n , n 2
Profesor Mirela-Gabriela Blaga
Elev………………………………………
4
x x = [x] + {x} , [x] , {x} [ 0, 1) [x] x [x] + 1
[x] parte întreagă Ex. x= 2,7 [x]= 2
x= - 2,7 [x]= -3
x= [x]= 1
{x} parte fracţionară
Ex. x= 2,7 {x}= 0,7
x= - 2,7 {x}= 0,3
x= {x}=
ecuaţia exponenţială ax = b x = loga b, a (0, )\{1}, b>0
ecuaţia logaritmică loga x = b x = ab, a (0, )\{1}, x>0