Mar 18, 2016
Každé zobrazení množiny reálných čísel A na množinu reálných čísel B nazýváme funkce
Funkcí tedy rozumíme předpis, který každému prvku z množiny A přiřazuje právě jeden prvek z množiny B
Funkce označujeme malými písmeny (nejčastěji f, g, h…)
Prvky množiny A nazýváme proměnné a označujeme x
Prvky množiny B nazýváme funkční hodnoty a označujeme y
Funkci jedné proměnné pak zapisujeme ve tvaru y = f(x)
Množinu A (množinu všech prvků x) nazýváme definiční obor funkce f, označujeme D(f)
Množinu všech hodnot y přiřazených prvkům x nazýváme obor hodnot funkce f, označujeme H(f)
Množinu všech bodů [x, y] = [x, f(x)] nazýváme grafem funkce f
Můžeme jej znázornit např. v pravoúhlé soustavě souřadnic
Funkce je jednoznačně určena předpisem a definičním oborem
Pokud definiční obor není zadán, rozumíme jím maximální možnou množinu prvků, pro které je možné daný předpis smysl
Určit definiční obor znamená určit maximální množinu prvků, pro které má daný předpis smysl
Nejčastější zadání funkce je funkčním předpisem a příp. definičním oborem (např. y = 3x2 + 5, y = cos x, y = 5x+2)
Funkce může být také zadána přímo grafem
Další možností zadání funkce je výčtem všech prvků [ x, f(x)] - např. tabulkou
Dvě funkce f, g jsou si rovny, jestliže a/ mají totožný definiční obor D(f) =
D(g) b/ pro každý bod definičního oboru mají
shodné funkční hodnoty f(x) = g(x)
Grafy sobě rovných funkcí jsou totožné
Funkci nazýváme sudou, jestliže platí:- pro každé xD(f) je také –xD(f)- pro každé xD(f) platí f(x) = f(-x) Graf sudé funkce je souměrný podle osy
y
Funkci nazýváme lichou, jestliže platí:- pro každé xD(f) je také –xD(f)- pro každé xD(f) platí f(x) = f(-x) Graf liché funkce je souměrný podle
počátku soustavy souřadnic
Funkci nazýváme rostoucí, jestliže pro každá dvě x1, x2 D(f) platí
x1 x2 f(x1) f(x2)
Funkci nazýváme neklesající, jestliže pro každá dvě x1, x2 D(f) platí
x1 x2 f(x1) f(x2)
Funkci nazýváme klesající, jestliže pro každá dvě x1, x2 D(f) platí
x1 x2 f(x1) f(x2)
Funkci nazýváme nerostoucí, jestliže pro každá dvě x1, x2 D(f) platí
x1 x2 f(x1) f(x2)
Funkci nazveme monotónní, jestliže je rostoucí, klesající, nerostoucí nebo neklesající
Funkci nazveme ryze monotónní, jestliže je rostoucí nebo klesající
Funkce je omezená zdola, jestliže existuje takové číslo d, že x D(f): f(x) d
Funkce je omezená shora, jestliže existuje takové číslo h, že x x1: f(x) h
Funkci nazýváme omezená v definičním oboru, jestliže je současně omezená shora i zdola
Funkci nazýváme prostá, jestliže pro každá dvě x1, x2 D(f) platí
x1 x2 f(x1) f(x2)
Funkci nazýváme periodická, jestliže existuje reálné číslo p takové, že x D(f): f (x p) = f(x)