SIMBOLURI MATEMATICE

Simbol

Seminificație

Explicație ExempleSe citește

Categorie

=

egalitate

x = y înseamnă x și y reprezintă

același lucru sau au aceeași

valoare.

1 + 1 = 2este egal cu

oriunde

≠

<>

neegalitate

x ≠ y înseamnă că x și y nu

reprezintă același lucru sau nu au

aceeași valoare.

1 ≠ 2nu este egal cu

diferit de

oriunde

<

>

≪

≫

strictă inegalitate x < y înseamnă că x este mai mic

decât y.

x > y înseamnă că x este mai mare

decât y.

x ≪y înseamnă că x mult mai mic

decât y.

x ≫ y înseamnă că x mult mai

mare decât y.

3 < 4

5 > 4

0,003 ≪1000000

este mai mic decât,

este mai mare decât,

este mult mai mic decât,

este mult mai mare decât

teoria ordonării

≤

≥

inegalitate

x ≤ y înseamnă că x este mai mic

sau egal cu y.

x ≥ y înseamnă că x este mai mare

sau egal cu y.

3 ≤ 4 și 5 ≤ 5

5 ≥ 4 and 5 ≥ 5

este mai mic sau egal cu,

este mai mare sau egal cu

teoria ordonării

∝

proporționalitate

y ∝ x înseamnă că y = kx pentru o

constantă k.dacă y = 2x, atunci y ∝ xeste proporțional cu

oriunde

+

adunare

4 + 6 înseamnă suma lui 4 și 6 2 + 7 = 9plus

aritmetică

reuniune disjunctă

A1 + A2 înseamnă reuniunea

disjunctă a mulțimilor A1 și A2.

A1={1,2,3,4} ∧ A2={2,4,5,7}

⇒

A1 + A2 = {(1,1), (2,1),

(3,1), (4,1), (2,2), (4,2),

(5,2), (7,2)}

reuniunea disjunctă între

teoria mulțimilor

− diferență 9 − 4 înseamnă diferența dintre 9 și

4

8 − 3 = 5

minus

aritmetică

opusul

−3 înseamnă opusul lui 3. −(−5) = 5negativ ; minus

aritmetică

complementul unei mulțimi

A − B înseamnă mulțimea care

conține toate elementele din A care

nu sunt în B.

{1,2,4} − {1,3,4}  =  {2}minus; fără

teoria mulțimilor

× produs

3 × 4 înseamnă produsul lui 3 și 4. 7 × 8 = 56ori,

înmulțit cu

aritmetică

produs cartezian X×Y înseamnă mulțimea tuturor

perechilor ordonate cu primul

element din X și al doilea element

din Y.

{1,2} × {3,4} = {(1,3),(1,4),

(2,3),(2,4)}

produsul cartezian între;

produsul direct

teoria mulțimilor

produs vectorial

u × v înseamnă produsul vectorial

al vectorilor u și v

(1,2,5) × (3,4,−1) =

(−22, 16, − 2)produs vectorial cu

algebră vectorială

÷

/

împărțire

6 ÷ 3 sau 6/3 înseamnă împărțirea

lui 6 la 3

2 ÷ 4 = 0,5

12 / 4 = 3

împărțit la

aritmetică

√

rădăcină pătrată

√x înseamnă numărul pozitiv al

cărui pătrat este x.√4 = 2

rădăcina pătrată a lui;

radicalul de ordin doi din

numere reale

rădăcina pătrată complexă

dacă z = r exp(iφ) este reprezentat

în coordonate polare, atunci √z =

√rexp(iφ/2).

√(-1) = irădăcina pătrată complexă

a lui

numere complexe

| |

valoare absolută

|x| înseamnă distanța pe axa reală

(sau în planul complex)

dintre x șizero.

|3| = 3, |-5| = |5|

|i| = 1, |3+4i| = 5

valoarea absolută a lui;

modul din

numere

!

factorial

n! este produsul 1×2×...×n. 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24factorial

combinatorică

~

distribuție de probabilitate

X ~ D, înseamnă că variabila

aleatoare X are distribuția de

probabilitateD.

X ~ N(0,1), distribuția

normală standardare distribuția

statistică

⇒

→

⊃

implicație A ⇒ B înseamnă că dacă A este

adevărată, atunci și B este

adevărată; în caz că A este falsă,

nu se poate spune nimic despre B.

→ poate însemna același lucru ca

și ⇒ sau poate avea sensul pentru

funcții descris mai jos.

⊃ poate însemna același lucru ca

și ⇒ sau poate avea sensul de

x = 2  ⇒  x2 = 4 este

adevărată, dar x2 = 4

⇒  x = 2 este în general

falsă (deoarece x poate fi

−2, dacă domeniul studiat

permite).

implică; dacă .. atunci

logică propozițională

supramulțime descris mai jos.

⇔

↔

echivalență

A ⇔ B înseamnă că A și B au

aceleași valori de adevăr.x + 5 = y +2  ⇔  x + 3 = y

dacă și numai dacă (dnd);

echivalent cu

logică propozițională

¬

˜

negație logică Propoziția ¬A este adevărată dacă

și numai dacă A este falsă.

O bară oblică ce taie un operator

reprezintă același lucru ca și "¬"

scris în față.

¬(¬A) ⇔ A

x ≠ y  ⇔  ¬(x = y)non

logică propozițională

∧

conjuncție

logică sauinfimum într-o la

tice

Propoziția A ∧ B este adevărată

dacă A și B sunt ambele adevărate;

altfel este falsă.

n < 4  ∧  n >2  ⇔  n = 3

dacă n este număr natural.și

logică propozițională,teoria

laticelor

∨ disjuncție

logică sausupremum într-

o latice

Propoziția A ∨ B este adevărată

dacă A sau B (sau ambele) sunt

adevărate; altfel este falsă.

n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3

dacă n este număr natural.

sau

logică propozițională,teoria

laticelor

⊕

⊻

sau exclusiv

Afirmația A ⊕ B este adevărată

dacă fie A, fie B, dar nu ambele,

este adevărată. A ⊻ B înseamnă

același lucru.

(¬A) ⊕ A este mereu

adevărată, A ⊕ A este

mereu falsă.

xor

logică

propozițională,algebră

booleană

∀

cuantificator universal

∀ x: P(x) înseamnă P(x) este

adevărată pentru toți x din

domeniu.

∀ n ∈ N: n2 ≥ n.oricare; pentru fiecare

logica predicatelor

∃

cuantificator existențial

∃ x: P(x) înseamnă că există cel

puțin un x astfel încât P(x) este

adevărată.

∃ n ∈ N: n este par.există

logica predicatelor

∃! cuantificator de unicitate ∃! x: P(x) înseamnă că există exact

un x astfel încât P(x) este

adevărată.

∃! n ∈ N: n + 5 = 2n.

există un(o) unic(ă)

există și e unic(ă)

logica predicatelor

:=

≡

:⇔

definiție x := y sau x ≡ y înseamnă că x este

definit ca un alt nume pentru y (de

observat că ≡ poate avea și alte

sensuri, precum congruență).

P :⇔ Q înseamnă că P este definit

astfel încât, din punct de vedere

logic, este echivalent cu Q.

cosh x := (1/2)(exp x +

exp (−x))

A XOR B :⇔

(A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)

se definește ca

oriunde

{ , }

acolade de mulțime

{a,b,c}înseamnă mulțimea formată

din a, b și c.N = {0,1,2,...}mulțimea

teoria mulțimilor

{ : }

{ | }

notație de construcție a

unei mulțimi

{x : P(x)} sau {x | P(x)} înseamnă

mulțimea acelor x pentru care P(x)

este adevărată.

{n ∈ N : n2 < 20} =

{0,1,2,3,4}mulțimea elementelor cu

proprietatea că

teoria mulțimilor

{}

mulțimea vidă

 înseamnă mulțimea cu nici un

element. {} este o notație

echivalentă.

{n ∈ N : 1 < n2 < 4} = mulțimea vidă

teoria mulțimilor

∈

apartenență

a ∈ S înseamnă că a este un

element al mulțimii S; a   

S înseamnă căa nu este un

element al mulțimii S.

(1/2)−1 ∈ N

2−1   N

aparține lui, este inclus în;

nu aparține lui, nu este

inclus în

oriunde, teoria mulțimilor

⊆

⊂

submulțime(submulțime) A ⊆ B înseamnă că

fiecare element din A este și

element al lui B.

(submulțime

proprie) A ⊂ B înseamnă

că A ⊆ B dar A ≠ B.

A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R

este inclusă în; este o

submulțime pentru; este

submulțime a lui

teoria mulțimilor

⊇

⊃

superset A ⊇ B înseamnă că fiecare

element din B este și element al

lui A.

A ⊃ B înseamnă

că A ⊇ B dar A ≠ B.

A ⊇ B este echivalent

cu B ⊆ A, A ⊃ B este echivalent

cu B ⊂ A.

A ∪ B ⊇ B; R ⊃ Q

include; este o

supramulțime pentru; este

supramulțime a lui

teoria mulțimilor

∪ reuniune Reuniune exclusivă (vezi și

diferență

simetrică): A ∪ B înseamnă

mulțimea care conține toate

elementele lui A, și toate

elementele lui B, dar nu și

elementele lor comune.

A ⊆ B  ⇔  A ∪ B = B

A ∪ B =

{x | x ∈ A ∨ x ∈ B)}

reuniunea între

teoria mulțimilor

"A sau B, dar nu amândouă".

Reuniune

inclusivă: A ∪ B înseamnă

∩intersecție de mulțimi A ∩ B înseamnă mulțimea ce

conține elementele comune

din A și B

{x ∈ R : x2 = 1} ∩ ℕ = {1}intersecția dintre

teoria mulțimilor

\set-theoretic complement A \ B înseamnă mulțimea ce

conține elementele pe care A le are

în plus față de B

{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}diferența

teoria mulțimilor

( )

valoarea funcțieif(x) înseamnă 'f de x', sau valoarea

lui f în elementul x.

Dacă f(x) := x2,

atunci f(3) = 32 = 9.de

teoria mulțimilor

modificatori de precedențăSe efectuează întâi operațiile din

paranteze.

(8/4)/2 = 2/2 = 1, dar

8/(4/2) = 8/2 = 4.paranteze

oriunde

f:X→Yfunctie săgeată f: X → Y înseamnă că

funcția f transportă elementele

lui X în cele din Y.

Let f: Z → N be defined

by f(x) := x2.de ... la

teoria mulțimilor

ofuncția compunere

fog e functia, fiind (fog)(x) = f(g(x)).if f(x) := 2x, și g(x) := x + 3,

apoi (fog)(x) = 2(x + 3).compus cu

teoria mulțimilor

N

ℕ

numere naturale

N înseamnă {0,1,2,3,...}, dar a se

vedea și numere naturale pentru o

altă convenție.

{|a| : a ∈ Z} = NN

număr

numere întregi Z înseamnă {..., {a : |a| ∈ N} = Z

Z

ℤ−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.

Z

număr

Q

ℚ

numere raționale

Q înseamnă {p/q : p,q ∈ Z, q ≠ 0}.

3.14 ∈ Q

π ∉ Q

Q

număr

R

ℝ

numere reale

R înseamnă setul de numere reale.

π ∈ R

√(−1) ∉ R

R

număr

C

ℂ

numere complexe

C înseamnă {a + bi : a,b ∈ R}. i = √(−1) ∈ CC

număr

∞infinitate ∞ este un element al mulțimii reale

extinse și este mai mare ca orice

alt număr real, fiin deseori întalnit

în limite matematice.

limx→0 1/|x| = ∞infinitate

număr

pi π este raportul dintre

lungimea cercului și diametrul său.

Valorea lui este 3.1415....

A = πr² este aria unui cerc

cu raza rpi

geometrie euclidiană

|| ||norma ||x|| este norma unui

element x din spațiul vectorial

normat.

||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||norma lui; lungimea lui

algebră liniară

∑

Însumare

∑k=1n ak înseamnă a1 + a2 + ... + an.

∑k=14 k2 = 12 + 22 + 32 +

42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

sumă peste ... de ... la ...

din

oriunde

Înmulțire ∏k=1n ak înseamnă a1a2···an. ∏k=1

4 (k + 2) = (1  + 2)(2 +

∏

2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 ×

5 × 6 = 360

produs peste ... de ... la ...

din

oriunde

Produs cartezian

∏i=0nYi înseamnă setul

tuturor (n+1)-uplurilor (y0,...,yn).∏n=1

3R = Rnprodusul cartezian dintre;

produsul direct dintre

algebră

'Derivată f '(x) este derivata funcției f în

punctul x,ex: tangenta la graficul

lui f în x.

Dacă f(x) := x2,

atuncif '(x) = 2x… prim; derivata lui …

analiză matematică

∫

Integrala nedefinită sau

antiderivată ∫ f(x) dx înseamnă o funcție a cărui

derivată e f.∫x2 dx = x3/3 + C

integrală nedefinită din …;

calculus

Integrala definită∫a

b f(x) dx înseamnă aria cu semn

dintre axa x și grficul funcției

lui f întrex = a și x = b.

∫0b x2  dx = b3/3;

integrala de la ... până

la ....

analiză matematică

∇gradient ∇f (x1, …, xn) este vectorul

derivatelor parțiale (df / dx1,

…, df / dxn).

Dacă f (x,y,z) := 3xy + z²,

atunci ∇f = (3y, 3x, 2z)Nabla, gradient din

analiză matematică

∂

derivată parțială Cu f (x1, …, xn), ∂f/∂xi este derivata

lui f în funcție de xi, celelalte

variabile păstrându-se constante.

dacă f(x,y) := x2y, atunci

∂f/∂x = 2xyderivată parțială din

calculus

frontiera

∂M înseamnă frontiera mulțimii M∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : ||x|| =

2}frontiera

topologie

⊥ perpendicular x ⊥ y înseamnă x este

perpendicular pe y; sau mai

general x e ortogonal pe y.

Dacă l⊥m și m⊥n atunci l 

|| n.e perpendicular pe

geometrie

element minim (cel mai

mic) x = ⊥ înseamnă că x este cel mai

mic element.∀x : x ∧ ⊥ = ⊥

Elementul minimt

lattice theory

⊧entailment A ⊧ B means the sentence A entails

the sentence B, that is every model

in which A is true, B is also true.

A ⊧ A ∨ ¬Aentails

model theory

⊢

inference

x ⊢ y means y is derived from x. A → B ⊢ ¬B → ¬Ainfers or is derived from

propositional

logic,predicate logic

◅normal subgroup

N ◅ G means that N is a normal

subgroup of group G.Z(G) ◅ Gis a normal subgroup of

group theory

/quotient group

G/H means the quotient of

group G modulo its subgroup H.

{0, a, 2a, b, b+a, b+2a} /

{0, b} = {{0, b}, {a, b+a},

{2a,b+2a}}

mod

teoria grupurilor

≈

izomorfism

G ≈ H înseamnă că grupul G e

izomorf cu grupul H

Q / {1, −1} ≈ V,

unde Q este quaternion

group și V este grupul

Klein de 4 elemente.

e izomorf cu

teoria grupurilor

egal aproximativx ≈ y înseamnă x este aproximativ

egal cu yπ ≈ 3.14159este aproximativ egal cu

oriunde

〈,〉

( | )

< , >

produs scalar 〈x,y〉 înseamnă produsul scalar

al lui x și y.

În cadrul spațiilor euclidiene se

obișnuește de a nota produsul

scalar atît prin (x,y) cît și prin x·y.

Pentru matrice se poate utiliza

semnul :.

În spațiul

euclidian ℝ2 produsul

scalar al

vectorilorx = (2, 3)

și y = (−1, 5) este:

〈x, y〉 = 2 × −1 + 3 × 5 =

13

produs scalar

algebra liniară

·

⊗Produs tensorial

V ⊗ U înseamnă produsul tensorial

dintre V și U.

{1, 2, 3, 4} ⊗ {1,1,2} =

{{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2,

4, 6, 8}}