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• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique
– Filtres de Butterworth
– Filtres de Chebyshev
– Filtres elliptiques
2
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
2
Rappels & compléments
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0,5f0 f0 2f0
Récupérer la raie centrale => Atténuation des raies latérales
3
Rappels & compléments
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-6dB
0,5f0 f0 2f0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-18dB
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-12dB
0,5f0 f0 2f0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
-24dB
Filtrage => Atténuation des raies latérales + déphasage (retard ou avance)
4
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3
Rappels & compléments
• Un filtre est défini par sa fonction de transfert F(p) qui permet de connaître– La réponse temporelle
X(t) -> Y(t) avec Y(t)=L-1[F(p).X(p)]
– La réponse harmonique (p=jω)
• Module et argument pour représenter la réponse harmonique d’un filtre
• Gabarit pour représenter les spécifications d’un filtre
• Un filtre est dit linéaire s’il ne fait apparaître aucune composante spectrale dans le signal de sortie
5
Rappels & compléments : gabarits
• Passe-bas
– Caractéristique dans la bande passante (ωc)
• Atténuation ou ondulation max : Ap
– Caractéristique dans la bande atténuée (ωs)
• Atténuation min : As
– Bande de transition <-> ordre du filtre
0-Ap
-As
ωc ωs ω
dBjH )( ω
cω sωcsωωcω sωcsωω
6
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4
Rappels & compléments : gabarits
• Passe-bas
• Passe-haut
0-Ap
-As
ωc ωs ω
dBjH )( ω
cω sωcsωωcω sωcsωω
0-Ap
-As
ωs ωc ω
dBjH )( ω
sω cωcsωωsω cωcsωω
7
Rappels & compléments : gabarits
• Passe-bande
– Deux bandes atténuées
– Symétrie géométrique => Bande de transition identiques (échelle log)synthèse à l’aide de passe-bande élémentaires
– Pas de symétrie => passe-haut plus passe-bas
1sω 2sω21 cc ωω
0-Ap
-As
ωs1 ωc1 ωc2 ωs2 ω
dBjH )( ω
1sω 2sω21 cc ωω
8
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5
Rappels & compléments : gabarits
• Passe-bande
• Réjecteur
0-Ap
-As
ωc1 ωs1 ωs2 ωc2 ω
dBjH )( ω
1cω 2cω21 ss ωω1cω 2cω21 ss ωω
1sω 2sω21 cc ωω
0-Ap
-As
ωs1 ωc1 ωc2 ωs2 ω
dBjH )( ω
1sω 2sω21 cc ωω
9
Chapitre II : filtrage analogique 2
• Rappels & compléments
• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique
– Filtres de Butterworth
– Filtres de Chebyshev
– Filtres elliptiques
10
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
6
Filtres à amortissement critique
• Réalisation d’un filtre passe-bas d’ordre n par association de n cellules du premier ordre identiques
2/22 )1(1
)()1(
1)( nn jF
ppF
ωαω
α +=⇒
+=
( ) )1log(10)1(log20)( 222/22 ωαωαω +⋅×−=+−= njF n
dB
Il faut calculer n et αααα nombre de cellules et constante de temps
11
Filtres à amortissement critique
-Ap
-3n
-As
ωc ωs ωdBjF )( ω α
1
-20n dB/décade
0
)1log(10)( 22ωαω +−= njFdB
12
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7
Filtres à amortissement critique
• Equation n°1 : α est déduit de ωc et de Ap
0-Ap
-As
ωc ωs ωdB
jF )( ωn
A
c
p1022 101 =+⇒ ωα
1101 10 −=⇒ n
A
c
p
ωα
110 1022 −=⇒ nA
c
p
ωα
pcdBc AnjF −=+−= )1log(10)( 22ωαω
13
sc
snA
Anp
−=
−+−⇒2
210 1101log10
ωω
Filtres à amortissement critique
• Equation n°2 : on utilise l’expression de α pour calculer le gain en fin de bande de transition
0-Ap
-As
ωc ωs ωdB
jF )( ω
ssdBs AnjF −=+−= )1log(10)( 22ωαω
14
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8
Filtres à amortissement critique : calcul d’un passe-bas
• 1ère étape : on calcule l’atténuation obtenue pour différentes valeurs de n et on retient une valeur « suffisante » pour obtenir une atténuation au moins égale à As en limite de bande de transition.
• 2ème étape : on calcule alors la constante de temps des n sections de premier ordre
• et la fonction de transfert souhaitée
• Le filtre nécessaire est composé de n cellules du premier ordre de constante de temps égale à αααα.
nppF
)1(
1)(
α+=
1101 10 −=⇒ n
A
c
p
ωα
15
Filtres à amortissement critique :Exemple
• Pulsation de coupure : ωc = 103 rd/s (Ap=3dB)
• Bande atténuée : ωs= 5.103 rd/s (As=30dB)
• On calcule la valeur de l’atténuation en limite de bande de transition pour différentes valeur de n
• On peut alors calculer la constante de temps des 4 sections du premier ordre
• Et en déduire la fonction de transfert souhaitée pour le passe-bas
• Il faut quatre cellules du premier ordre de constante de temps égale à 434 µs
46 )10.4341(1
)(p
pF −+=
µscc
nA
c
p
434434,0
1101
1101 40
310 =⇒=−=−= α
ωωωα
17
G (dB )
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
Filtres à amortissement critique :Exemple
46 )10.4341(1
)(p
pF −+=
16
. 230010.434
1 −− ≅ srad
18
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10
Filtres à amortissement critique :calcul d’un passe-haut
-Ap
-3n
-As
ωs ωc ωdBjF )( ω '
1α
+20n dB/décade
0
( )n
n
p
ppF
)'1(
')(
⋅+⋅=
αα
19
Filtres à amortissement critique :calcul d’un passe-haut
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
100 1000 10000 100000α1
-Ap
( )n
n
p
ppF
)1()(
⋅+⋅=
αα
nppF
)1(
1)(
⋅+=
α
)(
/1
/1
)(
pb
ph
c
c
ωα
αω =
20
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Filtres à amortissement critique :calcul d’un passe-haut
0-Ap
-As
ωc ωs ω
dBjH )( ω
0-Ap
-As
ωs ωc ω
dBjH )( ω
conservéssont sp AetA
)(1
)('pb
phc
c ωαωα
⋅=⋅
α1
'1α
)()(
)()(
pb
pb
ph
ph
c
s
s
c
ωω
ωω =
Sélectivité identique
21
Filtres à amortissement critique :calcul d’un passe-haut
• 1ère étape : transposition du filtre passe-haut
• Exemple :
• 2ème étape : calcul du filtre transposé (passe-bas)– Ordre du filtre nécessaire : n– Calcul de αααα.ωωωωc(pb)
• 3ème étape : calcul de la constante de temps du filtre passe-haut
)()(
1'
phpb cc ωωαα
⋅⋅=
identiques sp AetA
)()(
)()(
pb
pb
ph
ph
c
s
s
c
ωω
ωω =
)()( ; )()( phpbphpb sccs ωωωω ==
22
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12
Exercice
• Calculer la fonction de transfert du filtre à amortissement critique correspondant au gabarit ci-contre.
• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.
0-3
-40
103 104 ω (rd/s)
dBjH )( ω
23
Chapitre II : filtrage analogique 2
• Rappels & compléments
• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique
– Filtres de Butterworth
– Filtres de Chebyshev
– Filtres elliptiques
24
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13
Généralités
• On réalise un filtre de Butterworth par la mise en cascade de sections du 2nd ordre avec éventuellement une section du 1er ordre pour les ordres impairs
• Un filtre de Butterworth d’ordre nest de la forme :
• Ou Bn(p) est un polynôme de Butterworth dont les propriétés principales sont :–
• Cas d’un filtre ayant une atténuation maximale de 3 dB dans la bande passante
30
-3dB=-Ap
-As
ωc=ω0 ωs ωdBjF )( ω
-20n dB/décade
0
n
S
SjF2
0
1
1)(
+
=
ωω
ω
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Synthèse d’un passe-bas
• On calcule l’ordre du filtre à partir de l’atténuation souhaitée en limite de bande de transition (début de bande d’arrêt)
101log1log20
2
0
2
0
s
n
ss
n
s AA =
+⇒−=
+−
ωω
ωω
−=
⋅⇒=
+⇒ 110loglog2101 10
0
10
2
0
ss As
An
s nωω
ωω
31
−=⇒
0
10
log.2
110log
ωωs
As
n On choisit n comme l’entier immédiatement supérieur…
Exemple
• Pulsation de coupure : ω0 = 103 rd/s (Ap = -3dB)
• Bande atténuée : ωs = 5.103 rd/s (As = -30dB)
• Il suffit de déduire l’ordre nécessaire de l’atténuation souhaitée As et du rapport entre ωωωωs
et ωωωω0
• On choisit l’ordre entier immédiatement supérieur n=3
( )( )
( )( ) 15,25log.2
999log
5log.2
110log
log.2
110log 3
0
10
==−=
−=
ωωs
As
n
32
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17
Exemple
• Par rapport à l’utilisation de sections du premier ordre :– 3ème ordre suffit - Gain dans la bande plus stable -
Bande de transition plus faible
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
-20
-15
-10
-5
0
5
0 500 1000 1500 2000
Butterworth
4 cellules du 1er ordre
33
Exemple
• avec gain unitaire
+
-Vi
100n
10k
V0
+
-
C1=100nC2=400n
R=5k R=5k
srdc /10001
1
== ωτ
srdCCR
/10001
210 ==ω
121
21
1
2 ===C
C
mQ
34
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18
1000rd/s 1
0 ==RC
ω
Exemple
• avec gain égal à 2
V0
+
-
5k5k
200n200n
5k 5k
+
-Vi
100n
10k
13
121 =
−==
vAmQ
srdc /10001
1
== ωτ
35
Filtres de Butterworth généralisé
• On souhaite fixer librement l’atténuation dans la bande passante polynôme généralisé
• 1ère étape : calcul de εεεε à ωωωω=ωωωωc donnant une atténuation Ap en limite de bande passante
n
cn jB
2
21)(
+=
ωωεω
( ) 11010
1log1log20 1022 −=⇒=+⇒=+pA
pp
AA εεε
36
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19
Filtres de Butterworth généralisé
• 2ème étape : on calcule l’ordre du filtre à partir de l’atténuation souhaitée en limite de bande de transition
• 3ème étape : calcul de ω0
101log1log20
2
2
2
2 s
n
c
ss
n
c
s AA =
+⇒=
+
ωωε
ωωε
−
=⇒
−=
⋅⇒=
+⇒
c
s
A
A
c
sA
n
c
s
s
s
s
nn
ωω
ε
εωω
ωωε
log.2
110log
110loglog2101
2
10
2
1010
2
2
n
cnn
c
n
cn jB
εωω
ωωε
ωωεω =⇒=⇒
+= 02
02
22
2 11)(
37
Exemple de synthèse d’un passe-bas dans le cas général (Ap≠3dB)
• Exemple :– Pulsation de coupure : ωc = 103 rd/s (Ap = -1dB)
– Bande atténuée : ωs= 5.103 rd/s (As = -30dB)
• 1ère étape : calcul de ε à ω=ωc
• 2ème et 3ème étape : calcul de n puis calcul de ωωωω0
565,25log.2
110log 2
3
=
−
=ε
n
509,0110 10 =−=pA
ε
srdn
c /12520 ==ε
ωω
38
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20
Exemple de synthèse d’un passe-bas dans le cas général (Ap≠3dB)
• On utilise alors le polynôme classique pour un ordre 3
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
-20
-15
-10
-5
0
5
0 500 1000 1500 2000
39
Autres types de réponses
• Réponse de type passe-haut– On calcule le passe-bas de même
sélectivité et de même pulsation de coupure
– On détermine ε et n pour le passe-bas
– On calcule alors ω0
– On assemble alors les cellules passe-haut correspondant au polynôme de degré n
• Réponse de type passe-bande et réjecteur– On calcule un filtre passe-bas et un filtre passe-haut
que l’on met en cascade ou en parallèle
nc εωω =0
conservéssont sp AetA
c
s
s
c pb
ph ωω
ωω )(
)(=
40
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21
Exercice : Passe-haut #1
• Calculer la fonction de transfert du filtre de Butterworth correspondant au gabarit ci-dessous.
• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.
0-0,5
-30
1 4 freq. (kHz)
dBjH )( ω
41
Exercice : Passe-bas #1
• Calculer la fonction de transfert du filtre de Butterworth correspondant au gabarit ci-dessous.
• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.
0-0,5
-30
10 50 freq. (kHz)
dBjH )( ω
42
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22
Exercice : Passe-bas #2
• Calculer la fonction de transfert du filtre de Butterworth correspondant au gabarit ci-dessous.
• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.
0-1
-20
20 80 freq. (kHz)
dBjH )( ω
43
Exercice : Passe-bande #1
• Calculer la fonction de transfert du filtre de Butterworth passe-bande ayant les caractéristiques suivantes :– Bande passante à -3dB : [500Hz ; 2350Hz]
– Gain dans la BP libre
– Bande d’arrêt basse fréquence
• Atténuation de 50dB pour f<150Hz
– Bande d’arrêt haute fréquence
• Atténuation de 50dB pour f>10kHz
• Proposer une implantation matérielle pour ce filtre.
44
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23
Chapitre II : filtrage analogique 2
• Rappels & compléments– Généralités
– Filtres actifs du 1er ordre
– Filtres actifs du 2nd ordre
• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique
– Filtres de Butterworth
– Filtres de Chebyshev
– Filtres elliptiques
45
Filtres de Chebyshev
• Il existe deux types de filtres de Chebyshev et donc deux types de fonction de transfert pour des filtres passe-bas :– Chebyshev de type 1 qui
présente des oscillations dans la bande passante ε permets de régler le taux d’ondulation
– Chebyshev de type 2 qui présente des oscillations dans la bande d’arrêt
– Cn(x) est un polynôme spécifique d’ordre n
( )cnC
HjH
ωωεω
220
1)(
+=
( )( )ωωε
ωωεωcn
cn
C
CHjH
2201
)(+⋅=
46
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24
Filtres de Chebyshev
• Les polynômes de Chebyshev
• Propriétés de ces polynômes– Cn(1) = 1 quel que soit n
– Cn(0) = 0 pour les ordres impairs
– Cn(0) = ±1 pour les ordres pairs
– Oscillations entre ±1 du polynôme entre x=0 et x=1
– augmentation monotone du polynôme pour x>1
xxxC
xxC
xxC
34)(
12)(
)(
33
22
1
−=
−=
=
...
52016)(
188)(35
5
244
xxxxC
xxxC
+−=
+−=
47
Filtres de Chebyshev
• Les polynômes de Chebyshev pour n = 2 à 5
-5
0
5
10
15
20
25
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
2nd ordre3ème ordre4ème ordre5ème ordre
-5
0
5
0,0 0,5 1,0 1,5
48
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25
Filtres de Chebyshevpasse-bas de type 1
• Variations dans la bande passante– ω/ωc ≤ 1 Cn
2(x) est toujours inférieur à 1
• Variations en dehors de la bande passante– ω/ωc > 1 Cn(x) est positif et croissant
( )cnC
HjH
ωωεω
220
1)(
+=
2
00
1)(
εω
+>> H
jHH
( )cnC
HjH
ωωεω
⋅→ 0)(
49
Chebyshev type I : 4ème ordre (-3dB)
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0,1 1 10
2nd ordre 1 (dB)
2nd ordre 2 (dB)
4ème ordre (dB)
Butterworth (dB)
50
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26
Chebyshev type I : 4ème ordre (-3dB)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0,1 1 10
2nd ordre 1 (dB)
2nd ordre 2 (dB)
4ème ordre (dB)
Butterworth (dB)
51
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• Etape 1 : le taux d’ondulation Ap (en dB) dans la bande passante permet de calculer ε
( )
( )( )( ) 9976,031log10
5089,011log10
3493,05,01log10
1)10(110
2
2
2
202
=⇒=+=⇒=+
=⇒=++
≥≤<⇒≤≤<
εεεε
εεε
dB
dB
dB
HxHxCn
( )cnC
HjH
ωωεω
220
1)(
+=
110 10 −=⇒pA
ε
52
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27
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• Etape 2 : détermination de l’ordre du filtre à partir de la largeur de la bande de transition et de l’atténuation requise en limite de bande d’arrêt.
• Solution 1( )( ) srn AC >+⇒ ωε 221log10
c
sr ω
ωω =
( ) gCn
sA
rn =−>⇒2
10 110 que tel chercheOn
εω
( )rn
sC
HjH
ωεω
22
0
1)(
+=
53
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• Solution 2, on calcule
• On choisit alors la valeur de n entière et immédiatement supérieure
2
10/ 110
ε
ωωω
−=
=
As
c
sr
g
( )( )1log
1log2
2
−+−+=
rr
ggn
ωω
54
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Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• Exemple :– Pulsation de coupure : ωc = 103 rd/s (Amax=3dB)
– Bande atténuée : ωs= 5.103 rd/s (Amin=30dB)
• 3dB ε=1 :
5
6,31110
2
10min
==
≈−=
c
sr
A
g
ωωω
ε ( )( ) 808,1
1log
1log2
2
=−+−+=
rr
ggn
ωω
gCxxC
CxxC
>=⇒−=
=⇒=
49)5(12)(
5)5()(
22
2
11
55
( )dBjH s 8,33)49log(20
49
2
12521
2)(
2=→=
−×+=ω
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• On choisit le polynôme correspondant à n et ε et on effectue le remplacement suivant :
• On vérifie :
708,0645,0
1)( 2
+
+
=
cc
jjjH
ωω
ωω
ω
( )
( )2
2
22
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
22
2
22
2
2
22
121
2
42421
1
708,01
1)(
708,0708,02645,0
1
708,0645,0
1)(
−+
=
++−
=
++−
=
++×−
=
−+
=
ccccc
cccc
jH
jH
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
⇒→c
jp
ωω
56
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
29
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
• Par rapport à l’utilisation de sections du premier ordre ou d’un filtre de Butterworth:– 2nd ordre suffit - Gain dans la bande moins stable
-20
-15
-10
-5
0
5
0 500 1000 1500 2000
1er ordre(dB)Butterworth (dB)Chebyshev I (dB)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
1er ordre(dB)Butterworth (dB)Chebyshev I (dB)
57
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-bas de type I
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
100 1000 10000 100000
1er ordre(dB)
Butterworth (dB)
Chebyshev I (dB)
58
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
30
Implantation matérielle
• On part de la fonction de transfert du 2nd ordre
• On fait ensuite apparaître le dénominateur caractéristique d’un 2nd ordre synthétisable
1841,0
767,0841,0
412,1
1708,0645,0
708,01
708,01
)( 22
+
⋅+
⋅
=
+
+
=
cccc
jjjjjH
ωω
ωω
ωω
ωω
ω
708,0645,0
1)( 2
+
+
=
cc
jjjH
ωω
ωω
ω
59
cωω ⋅=⇒ 841,00 304,1767,02 =⇔=⇒ Qm
Implantation matérielle
• Sallen-Key Passe-bas à gain unitaire (Av=1) -
+ VS
RR(Av-1)
RC2RVE
C1
rd/s 19321
841rd/s8,6
11
8,6304,12
1
2
1
1121
0
1
2
1
2
=⇒===
=⇒===
RCRCCCR
C
C
C
C
mQ
ω
nFCnFCkR 3104610 21 =⇒=⇒Ω=
60
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
31
Implantation matérielle
• Sallen-Key Passe-bas symétrique -
+ VS
RR(Av-1)
RC
RVE
C
841rd/s1
233,2767,03
304,13
1
2
1
0 ==
=⇒=−⇒
=−
==
RC
AA
AmQ
vv
v
ω
nFCkR 12010 =⇒Ω=
61
Implantation matérielle
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
10 100 1000 10000
2
2
2
121
2)(
−+
=
c
jH
ωω
ω
2
841841767,01
1)(
++=
ωωω
jjjH
62
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
32
dBjH )( ω
)(Hzf
63
Gain max : 2,96dB
-31dB @ 5 krad/s
0dB @ 1000 rad/s
Calcul d’un filtre de Chebyshevpasse-haut de type I
• On détermine l’ordre du filtre passe-bas de même sélectivité.
• On choisit le polynôme correspondant à n et εmais cette fois-ci on effectue le remplacement suivant :
2
10/ 110
ε
ωωω
−=
=
As
s
cr
g
( )( )1log
1log2
2
−+−+=
rr
ggn
ωω
ωωj
p c→
64
Cours SEA3 - ERII 4 - 2009/2010 06/10/2009
33
Exercice
• Concevoir un filtre passe-haut ayant les caractéristiques suivantes :– Fréquence de coupure : 1kHz
– Gain dans la BP : libre
– Ondulation maximale dans la BP : 3dB
– Atténuation de 20dB minimum pour f<600Hz
• Calculer le filtre de Chebychev correspondant
• Proposer une implantation à l’aide de cellules de Sallen-Key
65
Chapitre II : filtrage analogique 2
• Rappels & compléments
• Synthèse de filtres d’ordre supérieur à 2– Filtres à amortissement critique