59 4. Menerapkan Konsep Integral dalam Pemecahan Masalah A. Tujuan Akhir Setelah mempelajari Kegiatan belajar pada Modul 17 ini diharapkan siswa dapat : 8. Menjelaskan integral sebagai anti turunan. 9. Membedakan integral tak tentu dan integral tertentu. 10. Menentukan nilai integral tertentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. 11. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva. 12. Menggunakan integral untuk menghitung volume benda putar. Kegiatan Belajar 1. A. Tujuan Kegiatan Belajar 1. Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 11. menjelaskan arti integral sebagai anti turunan fungsi, 12. menentukan integral tak tentu dari fungsi sederhana, 13. menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar, 14. menentukan integral tak tentu dari fungsi trigonometri, 15. menjelaskan sifat-sifat integral tak tentu, 16. melakukan kajian pustaka tentang definisi hitung integral. B. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1. 1. Pengertian Fungsi Integral Jika fungsi y = F (x) kontinu pada domain Df, sedemikian hingga ( = (= (= x f x F dx x dF = = ' , maka a. untuk mencari ( = ( = x f x F = ' digunakan operasi turunan fungsi atau derivative (hitung defferensial). b. Untuk mencari y = F (x) digunakan operasi anti turunan atau anti derivative atau lebih lazim disebut hitung integral. Jadi hitung integral adalah kebalikan (invers) dari hitung defferensial. 2. Integral tak tentu Perhatikan deskripsi berikut dengan mengingat kembali rumus turunan fungsi: Jika ( = 2 3x x f = maka ( = x x f 6 ' = Jika ( = 6 3 2 + = x x f maka ( = x x f 6 ' = Jika ( = 13 3 2 - = x x f maka ( = x x f 6 ' = Jika ( = C x x f + = 2 3 dengan C konstanta sembarang maka ( = x x f 6 ' = Dan seterusnya Sehingga apabila yang ditanyakan f (x) dan yang diketahui f ‘ (x) ∫ + = C x dx x 2 3 6 Jadi secara umum Jika (= ( = (= x f dx x F d x F = = ' maka ( = ( = ∫ + = C x F dx x f Click to buy NOW! P D F - X C H A N G E w w w . d o c u - t r a c k . c o m Click to buy NOW! P D F - X C H A N G E w w w . d o c u - t r a c k . c o m
21
Embed
P D GE Click to buy NOW! .docut r a c k 4. Menerapkan ...‚¬integral€tak€tentu€dan€integral€tertentu. 10....
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
A. Tujuan AkhirSetelah mempelajari Kegiatan belajar pada Modul 17 ini diharapkan siswa dapat :8. Menjelaskan integral sebagai anti turunan.9. Membedakan integral tak tentu dan integral tertentu.10. Menentukan nilai integral tertentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.11. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.12. Menggunakan integral untuk menghitung volume benda putar.
Kegiatan Belajar 1.
A. Tujuan Kegiatan Belajar 1.Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :11. menjelaskan arti integral sebagai anti turunan fungsi,12. menentukan integral tak tentu dari fungsi sederhana,13. menentukan integral tak tentu dari fungsi aljabar,14. menentukan integral tak tentu dari fungsi trigonometri,15. menjelaskan sifatsifat integral tak tentu,16. melakukan kajian pustaka tentang definisi hitung integral.
B. Uraian Materi Kegiatan Belajar 1.
1. Pengertian Fungsi Integral
Jika fungsi y = F (x) kontinu pada domain Df, sedemikian hingga( ) ( ) ( )xfxF
dxxdF
== ' , maka
a. untuk mencari ( ) ( )xfxF =' digunakan operasi turunan fungsi atau derivative (hitungdefferensial).
b. Untuk mencari y = F (x) digunakan operasi anti turunan atau anti derivative atau lebih lazimdisebut hitung integral.
Jadi hitung integral adalah kebalikan (invers) dari hitung defferensial.
2. Integral tak tentuPerhatikan deskripsi berikut dengan mengingat kembali rumus turunan fungsi:Jika ( ) 23xxf = maka ( ) xxf 6' =Jika ( ) 63 2 += xxf maka ( ) xxf 6' =Jika ( ) 133 2 −= xxf maka ( ) xxf 6' =Jika ( ) Cxxf += 23 dengan C konstanta sembarang maka ( ) xxf 6' =Dan seterusnyaSehingga apabila yang ditanyakan f (x) dan yang diketahui f ‘(x)
untuk x = 2 berarti ( ) ( ) ( ) 142422 2 =+−+−=− CF 4 – 8 + C = 14 C = 10Jadi F (x) = x2 + 4x + 10
5. Penerapan Integral tak tentuPenerapan pada geometriBahwa gradient garis singgung kurva di sembarang titik A (x, y) adalah turunan pertama darifungsi itu.
Sehingga untuk menentukan fungsi (F (x)) yang diketahui gradient di titik A (x, y) pada grafikfungsi, ditentukan dengan menggunakan hitung integral.
Contoh 5;Gradien garis singgung kurva di setiap titik adalah 2x. Jika kuva melalui titik (3, 3). Tentukanpesamaan kurva tersebut !
Penyelesaian ;
y = ∫ dxxF )(' = ∫ xd2 x = x2 + C
Kurva melalui titik (3, 3) berarti; C = 6Jadi , persamaan kurva yang dimaksud adalah y = x2 – 6
Penerapan pada mekanikaHubungan antara kecepatan (v) dan percepatan (a) dengan jarak tempuh (s) benda bergerak ituberturutturut dapat dirumuskan dengan persamaan sebagai berikut :
Jika kecepatan benda pada saat t detik diketahui, maka panjang lintasan benda saat t dapatdirumuskan sebagai berikut :
( ) ( )tsdtdvadants
dtdsv ''' ====
( )∫ ∫== dttFsataudtvs '
( )xFdxdym '==
Jikadxdy = F’(x) maka y = ∫ dxxF )(' atau y = ∫ dxm
Dan jika percepatan benda bergerak diketahui maka kecepatannya dapat ditentukan sebagaiberikut ;
Contoh 6;
Diketahui kecepatan benda bergerak dengan persamaan 2310 tv −= m/dt. Jika vdtds
= dan s =
0 saat t = 0, maka tentukan :a. jarak tempuh benda s dalam t !b. s saat t = 2 dt !
Penyelesaian ;2310 tv −= 2310 t
dtds
−=
dtdsv = dttds 2310 −=
∫ −= dtts 2310
Ctts +−= 310Saat t = 0, s = 0 berarti C+−= 300.100 atau C = 0Jadia. Rumus panjang lintasan 310 tts −=b. Saat t = 2 dt berarti 322.10 −=s atau s = 12 meter.
6. Integral Fungsi Trigonometri
Integral fungsi trigonometri dirumuskan sebagai berikut :
Contoh 7;Tentukan penyelesaian dari ( )∫ − dxxCosxSin2 !
4. Diketahui gradien garis singgung pada sembarang titik dari sebuah fungsi y = F (x) adalah
2
1xdx
dy= , jika grafik itu melalui titik (2,1/ 2), maka tentukan persamaan grafik itu!
5. Benda bergerak dengan kecepatan v m/dt dengan persamaan v = 8t – 3, pada saat t = 1 dt posisibenda berada pada jarak 6 m. tentukan persamaan jarak tempuh benda saat t dt, dan hitunglah dimana posisi benda saat t = 5 dt !
6. Tentukan integral dari soal – soal berikut:a. ∫ − dxxSinxCos 2 d. ∫ dxxCos
41
b. ∫ dxxCos 5 e. ( )∫ + dxxCos 63
c. ∫ dxxSin21 f. ( )∫ − dxxSin 322
7. Tentukan F (x) jika F ‘(x) = Sin x dan 22
=
πF
8. Tentukan F (x) jika F ‘(x) = 3 Cos x – 2 Sin x dan ( ) 50 =F
9. Tentukan F (x) jika F ‘(x) = Sec2 x dan 84
=
πF
10.Tentukan F (x) jika F ‘(x) = 2 Cos x dan 46
=
πF
Kegiatan Belajar 2.
C. Tujuan Kegiatan Belajar 2.Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :7. Mengenal integral tertentu dan sifatsifatnya,8. Dapat menentukan nilai integral tertentu dari fungsi aljabar,9. Dapat menentukan nilai integral tertentu dari fungsi trigonometri.
B. Uraian Materi
Integral Tertentu.
Jika F (x) adalah anti turunan dari f (x) dan kontinu pada interval (a, b), maka akan berlaku;
Sifatsifat integral tertentu:
1. Sifatsifat yang berlaku pada integral tak tentu, yang sebelumnya kita pelajari masih berlakupada integral tertentu.
( ) ( )[ ]ba
b
a
xFdxxf =∫( ) ( )aFbF −=
Di mana ; a disebut batas bawah integral dan b disebut batas atas integral
C. Lembar Kerja SiswaJawablah dengan singkat dan benar !
1. Hitunglah nilai dari integal berikut!
a. ∫−
4
2
4dx d. ∫−
+2
2
)42( dxx
b. ∫2
02
1 dxx
e. . ∫−
−3
3
2 )43( dxx
c. ∫4
1
2 dxx f. ∫−
+3
1
2 )( dxxx
2. Tentukan batas atas a dari pengintegralan 640
=∫a
dxx
3. Tentukan batas bawah n dari pengintegralan ∫ −=−3
943n
dxx
4. Hitunglah nilai integral tertentu dari fungsi trigonometri berikut !
a. ∫π
31
0
2sin dxx c. ∫2
0
cos2
π
dxx e. ( )∫ +2
0
2cos2sin
π
dxxx
b. ∫4
0
4sin
π
dxx d. ∫6
0
3cos3
π
dxxf. ( )∫
π
−0
dxx2x2 sincos
Kegiatan Belajar 3.
A. Tujuan Kegiatan Belajar. Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat :7. menghitung luas daerah di bawah kurva,8. menghitung luas daerah di antara dua kurva,9. menghitung volume benda putar.
B. Uraian Materi1. Menghitung Luas Daerah di Bawah Kurva y = f(x), Sumbu x, garis x = a dan garis x = b a. Jika f(x) > 0 (kurva di atas sumbux)
Luas persegipanjang berarsir = f (x) . x. Maka luas daerah yang dibatasi oleh fungsi f(x), garis x =a dan x = b, dengan cara menjumlah luas persegipanjang kecilkecil itu di sepanjang y = f (x). Jika
x mendekati 0 maka luasnya :L = atau :
b. Jika f(x) < 0 (kurva di bawah sumbu x)
Dengan cara dan pemahaman yang sama luas daerah berarsir di bawah sumbu x dapat dirumuskansebagai berikut:
3. Menghitung Volume Benda Putar Daerah Yang Dibatasi Kurva y = f(x), Sumbu X, Garis x = a dan Garis x = b
a. Perputaran Mengelilingi Sumbu X
Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X , garisx = a dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah :
Contoh 5 :
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = 3x + 1 , sumbu X,garis x = 1 dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o !
Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva x = f(y), sumbu Y , garis y = a dangaris y = b diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o adalah :
Contoh 6 :
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = 4x2, sumbu Y, garisy = 0 dan garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o!Penyelesaian :
Kurva y = 4x2 ⇒ x2 = 4 y
V = ∫2
0
2 dyx
= [ ]∫ −2
0
4 dyy
= [ ] 2
02
214 yy −
= [ ])0.0.4()2.2.4( 2212
21 −−−
= [ ])00()28( −−−= [ ]06 −= 6 satuan volume
10. Menghitung Volume Benda Putar Daerah Yang Dibatasi Dua Kurva y1= f(x) dan y2= g(x), Garis x = a dan Garis x = ba. Perputaran Mengelilingi Sumbu X
Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh dua kurva y1= f(x) dan y2= g(x),garis x = a dan garis x = b diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o dengan 2
22
1 yy ⟩ adalah :
Contoh 7 :
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dany = x2 diputar mengelilingi sumbux sejauh 360o !
Penyelesaian :
Titik potong dua garis dicari dulu yaitu :y = x2
y = 2x ⇒ x2 = 2xx2 = 2xx2 – 2x = 0x (x – 2 ) = 0x = 0 atau x = 2
Jadi batas integralnya 0 sampai 2
V = [ ]∫ −2
0
22
21 dxyyπ
= [ ]∫ −2
0
222 )()2( dxxxπ
= [ ]∫ −1
0
424 dxxxπ
= [ ]205513
34 xx −π
= [ ])0.0.()2.2.( 5513
345
513
34 −−−π
=
−
532
332π
= π
−
1596160
= π1564
satuan volume
b. Perputaran Mengelilingi Sumbu YVolume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh dua kurva )(1 yfx = dan
)(2 ygx = , garis y = a dan garis y = b diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o dengan2
3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 4 , sumbu X, garis x = 0 dan garisx = 3 !
4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 5x – x2 dan garis y = x !5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 4 dan y = 6x – x2 !6. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir berikut diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 360o !
a. b.
7. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang diarsir berikut diputarmengelilingi sumbu Y sejauh 360o !
8. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = 2x + 5, sumbuX, garis x = 1 dan x = 3 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o !
9. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = x + 2, sumbuY, sumbu X dan garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o !
10.Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi oleh kurva y = x2 3, sumbu X,garis y = 0 dan garis y = 3 diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360o !
A. 7. 2/3 sat luas C. 8 . 2/3 sat luas E. 9 sat luasB. 8 sat luas D. 8 ½ sat luas
17. Luas daearh yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah … ..
A. 326 sat luas C. 2
14 sat luas E. 31 sat luas
B. 324 sat luas D. 3
13 sat luas
18. Luas daerah berarsir pada gambar di bawah ini adalah … .satuan luas.
A. 16/3 C. 32/3 E. 16B. 16/3 D. 32/3
19. ∫ −2
1
12 )( 23 dxxx
= … .
A. 1/8 B. 1/4 C. 3/4 D. 7/4 E. 9/4
20. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 x2 dan sumbu x adalah … ..
A. 5 31 sat luas B. 6 sat luas C. 8 3
2 sat luas D. 9 sat luas E. 10 31 sat luas
21. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 2x + 3 dan sumbu x adalah … ..
A. 5 31 sat luas B. 6 sat luas C. 7 3
1 sat luas D. 9 sat luas E. 10 31 sat luas
22. Volum benda putar yang terjadi bila daerah antara kurva y = sin x dan sumbu x diputar mengelilingisumbu x dari x = ¼ π sampai dengan x = π adalah … .
A. )32(81 −ππ B. )23(8
1 +ππ C. )23(81 −ππ
D. )32(81 +ππ E. )44(8
1 −ππ
23. Daerah yang dibatasi y = X ; sumbu x, x = 0 dan x = 4 diputar mengelilingi sumbu x sejauh satuputaran.Isi benda putar yang terjadi adalah … satuan volume.
A. B. C. D. E.
24. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x – 2, garis x = 1 dan garis x= 3 diputar mengelilingi sumbu X adalah … satuan volum.
A. 34π B. 38π C. 46π D. 50π E. 52π
25. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva Y = x + 3, sumbu x, garis x= 2 dan x = 1 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah … .