Integral Fungsi Multivariabel

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Fungsi Multivariabel

Pertemuan – 14, 15

Mata Kuliah : Kalkulus

Kode : CIV – 101

SKS : 3 SKS

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• TIU : Mahasiswa dapat melakukan integral fungsi multivariabel

• TIK : Mahasiswa mampu menggunakan integral ganda untuk mengevaluasi

integral lipat pada daerah planar

Mahasiswa mampu menghitung volume benda

• Sub Pokok Bahasan :

Integral Lipat Dua

Luas Permukaan

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Lipat Dua

Definisi

Jika f suatu fungsi dua variabel yang terdefinisi pada

suatu persegi panjang tertutup R, Jika :

ada, maka dikatakan f dapat diintegralkan pada R.

Lebih lanjut, disebut integral lipat dua

dari f pada R, diberikan oleh :

n

k

kkkP

Ayxf1

0,lim

R

dAyxf ,

n

k

kkkP

R

AyxfdAyxf1

0,lim,

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Lipat Dua

Sifat-sifat Integral Lipat Dua :

RR

RRR

RRR

RR

dAyxgdAyxf

dAyxfdAyxfdAyxf

dAyxgdAyxfdAyxgyxf

dAyxfkdAyxkf

,,

,,,

,,],,[

,,

21

y)g(x, y)f(x, Jika

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Lipat Dua

Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh :

R = {(x,y) : a < x < b, c < y < d},

Maka :

dxdyyxfdAyxf

dydxyxfdAyxf

b

a

d

cR

d

c

b

aR

),(,

),(,

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Lipat Dua

Contoh : Evaluasi integral lipat berikut ini

4. Tentukan volume V dari benda pejal di bawah permukaan z = 4-x2-y dan di atas persegi panjang R = {(x,y) : 0 < x < 1, 0 < y < 2}

Problem Set 13.2 No. 1 - 24

8

0

4

0

2

2

1

3

0

3

0

2

1

86416

1.3

32.2

32.1

dydxyx

dxdyyx

dydxyx

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Lipat Dua

Apabila daerah R bukan merupakan persegi panjang namun berupa daerah yang ditentukan oleh :

S = {(x,y) : f1(x) < y < f2(x), a < x < b}

Maka :

Atau jika : S = {(x,y) : y1(y) < x < y2(y), c < x < d}

Maka :

b

a

x

xS

dxdyyxfdAyxf

)(

)(

2

1

),(),(

f

f

d

c

y

yS

dydxyxfdAyxf

)(

)(

2

1

),(),(

y

y

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Lipat Dua

Contoh : Evaluasi integral lipat berikut ini

1

0 0

5

3

2

2

2.2

104.1

dydxye

dxdyyx

y

x

x

x

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Integral Lipat Dua

Contoh : 3. Dengan menggunakan integral lipat hitung volume tetrahedron yang dibatasi

bidang-bidang koordinat dan permukaan 3x+6y+4z-12=0

4. Hitung volume benda pejal di oktan pertama (x>0, y>0, z>0), yang dibatasi oleh paraboloid bundar z=x2+y2, tabung x2+y2=4 dan bidang-bidang koordinat

Problem Set 13.3 No. 1 – 30

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Luas Permukaan

Misalkan F adalah suatu fungsi tiga variabel yang mempunyai turunan parsial pertama fx dan fy yang kontinu. Lihat permukaan F(x,y,z) = k dan misalkan G sebagian dari permukaan yang proyeksinya suatu daerah tertutup terbatas S di bidang x,y. Maka luas permukaan G :

dAffGAS

yx 1)(22

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Luas Permukaan

Contoh :

Jika S daerah persegi panjang di bidang xy yang dibatasi oleh garis x=0, x=1, y=0, dan y=2, tentukan luas sebagian dari permukaan setengah tabung z= (4 – x2)1/2 yang terproyeksikan pada S.

Problem Set 13.6 No. 1 – 5