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Optimale Liquidation im Hochfrequenzhandel sgerhold/pub_files/sem18/s_wimmer.pdf · PDF filean der Referenzliteratur Algorithmic and High-Frequency Trading von Alvaro Cartea, Se-

Sep 22, 2019

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  • S E M I N A R A R B E I T

    Optimale Liquidation im Hochfrequenzhandel

    ausgeführt am

    Institut für

    Finanz- und Versicherungsmathematik

    TU Wien

    unter der Anleitung von

    Stefan Gerhold

    durch

    Daniel Wimmer

    Matrikelnummer: 01612971

    Wien, am 18. Dezember 2018

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 3

    2 Einführung in die Funktionsweise von Finanzmärkten 4 2.1 Arten von Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Limit-Order-Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Marktteilnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    3 Mathematische Grundlagen 7 3.1 Stochastische Prozesse und Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Stochastische Integration und Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . 8 3.3 Partielle Differentialgleichungen und Separationsansatz . . . . . . . . . . 8

    4 Einblick in die stochastische Kontrolltheorie 10 4.1 Kontrolle über Ito-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2 Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    5 Optimale Liquidation bei stetigem Handeln 12 5.1 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.2 Optimal Liquidation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.3 Der temporäre Einfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    6 Liquidation ohne permanenten Preiseffekt 16 6.1 Annahmen an das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.2 Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.3 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    7 Liquidation mit permanentem Preiseffekt 19 7.1 Annahmen an das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7.2 Hamiltion-Jacobi-Bellman-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7.3 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    8 Appendix 23 8.1 R-Code zu Abbildung 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8.2 R-Code zu Abbildung 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    9 Literaturverzeichnis 25

    2

  • 1 Einleitung

    Der Finanzmarkt. Nur sehr wenige Menschen haben einen Einblick in dieses System, für die anderen ist es ein mitunter einschüchterndes Mysterium. Für manche ist es der Kern allen Übels, für andere das Fundament unserer modernen Gesellschaft. Dieser Polarisie- rung liegt der klassische, psychologische Effekt zugrunde, vor etwas Unbekanntem Angst zu haben, oder zumindest Respekt. In der Tat hat der immense technische Fortschritt der letzten Jahre nicht gerade zu weniger Komplexität geführt. Jedoch bietet diese Entwick- lung die ideale Möglichkeit mit dieser Arbeit Licht in einen kleinen Teil dieses mysteriösen Systems zu bringen.

    Nach einem Blick in die Welt der Technik ist es nicht verwunderlich, dass auch die Finanzmärkte immer genauer und schneller werden. Damit diese Institution ihren Zweck erfüllen kann, nämlich zu jedem Zeitpunkt den Wert einer Sache annähernd wahrheits- gemäß darzustellen, ist es notwendig, dass diese Systeme im Millisekunden-Bereich ope- rieren. Diese Tatsache hat ein eigenes Wort kreiert, den Hochfrequenzhandel.

    Diese Arbeit widmet sich dem Optimal Liquidation Problem, einer Fragestellung in die- sem Bereich, die lautet: Wie können große Mengen an Wertpapieren so verkauft werden, dass die Einnahmen aus diesen Verkäufen maximal sind?

    Man könnte versucht sein, zu glauben, dass sich dieser Erlös lediglich aus dem aktuellen Preis multipliziert mit der Menge ergibt. Dem ist jedoch nicht so, denn wie diese Arbeit erläutert, beeinflusst man durch einen Verkauf den Preis auf unterschiedliche Arten. Wir suchen somit nach einer optimalen Verkaufsstrategie, also einer Geschwindigkeit in dem Zeitintervall, in dem die vollständige Menge liquidiert werden soll.

    Nachdem wir die notwendigen mathematischen Grundlagen wiederholt und einen Ein- blick in die stochastische Kontrolltheorie gewagt haben, widmen wir uns der Konstruk- tion unseres Modells und der dafür nötigen Annahmen. Am Ende der Arbeit sehen wir uns dann an, welche Auswirkungen konkrete Einschränkungen haben, indem wir uns die Lösung in diesen Fällen explizit ausrechnen.

    Diese Arbeit orientiert sich, neben den im Studium gelernten Instrumenten, hauptsächlich an der Referenzliteratur Algorithmic and High-Frequency Trading von Álvaro Cartea, Se- bastian Jaimungal, José Penalva aus dem Jahr 2015, die in der Cambridge University Press veröffentlicht wurde.

    3

  • 2 Einführung in die Funktionsweise von Finanzmärkten

    Dieses Kapitel soll einen Überblick über die wichtigsten inhaltlichen Themen geben, auf denen diese Seminararbeit aufbaut. Es werden die grundlegenden Funktionalitäten der Finanzmärkte, sowie der Zweck der unterschiedlichen Produkte erklärt. Insbesondere wer- den auf das Limit-Order-Book und die Notwendigkeit des Hochfrequenzhandels eingegan- gen. Die Informationen wurden dem ersten Kapitel unserer Referenzliteratur entnommen.

    2.1 Arten von Assets

    Auf Finanzmärkten werden die verschiedensten Wertpapiertypen gehandelt, die beiden wichtigsten werden hier kurz vorgestellt.

    Die wohl bekannteste Klasse von Assets sind die Aktien. Das sind Unternehmensan- teile, durch die man einen Anspruch auf einen aliquoten Teil des Unternehmensgewinns erwirbt. Außerdem darf an der jährlich stattfindenden Hauptversammlung teilnehmen und hat ein Mitspracherecht bei einigen Entscheidungen. Für Unternehmen ist die Emis- sion, also die Ausgabe von Aktien eine Möglichkeit, das Eigenkapital zu erhöhen.

    Die zweite sehr weit verbreitete Anlageklasse ist die der Anleihen. Vereinfacht ge- sagt gewährt man durch den Erwerb von Anleihen dem Emittenten einen Kredit mit fixen oder variablen Zinsen, der nach einer gewissen Laufzeit wieder zurückgezahlt wird. Auch Anleihen haben natürlich keinen fixen Preis, sondern sind von Bonität der zugrun- deliegenden Institution, der Restlaufzeit des Vertrags und der erwarteten, zukünftigen Entwicklung abhängig.

    Weitere nicht näher beschriebene Arten von Wertpapieren basieren auf Währungen, Immobilien und Rohstoffen. Aus den verschiedensten der bisher beschriebenen Klassen setzen sich Fonds, ETFs und Hedgefonds zusammen.

    2.2 Limit-Order-Book

    Prinzipiell unterscheidet man zwei Arten von Ordern, also Handelsanweisungen, Market- Orders und Limit-Orders.

    Bei einer Limit-Order (LO) legt man selbst einen Preis fest, zu dem man handeln will. Sobald der Markt es zulässt, also sobald sich jemand findet, der zu diesem Preis konträr handeln möchte, wechselt das Wertpapier seinen Besitzer. Der Vorteil ist, dass die Order zu einem besseren Preis als dem derzeitigen ausgeführt wird. Wenn man beispielsweise eine Limit-Kauf-Order aufgibt, geschieht dies üblicherweise zu einem billigerem Preis als

    4

  • dem aktuellen Marktpreis des Wertpapiers. Der Nachteil ist, dass man nicht mit Sicherheit weiß, ob die Order überhaupt ausgeführt wird, also ob der mit der LO festgesetzte Preis jemals erreicht wird.

    Wenn ein Händler hingegen eine Market-Order (MO) aufgibt, wird unverzüglich zum bestmöglichen, verfügbaren Preis gehandelt. Während man hier die Garantie ei- ner Ausführung hat, kann der gehandelte Preis mitunter sehr schlecht im Vergleich zum aktuellen Marktpreis sein. Die Gründe dafür liefert folgender Umstand.

    Das Limit-Order-Book (LOB) bietet den systematischen Rahmen, wo MOs und LOs aufeinandertreffen und gepaart werden, es ist sozusagen die Datingplattform der Orders. Das funktioniert so, dass alle hereinkommenden LOs im LOB gesammelt werden. Alle Kauf-Orders werden unterhalb des aktuellen Preises notiert, auf der sogenannten Ask- Seite, während die Verkauf-Orders oberhalb erscheinen, auf der Bid-Seite (siehe Abb. 2.1 links). Gemäß ihrer Natur kommt es noch zu keinem Handel. Erst wenn dann eine MO platziert wird, wird diese mittels Algorithmus mit den besten LOs kombiniert, wobei bei gleichem Preis früher gesetzte LOs Vorrang haben. Mit dieser Paarung wird ein Handel durchgeführt und das Wertpapier wechselt den Besitzer zum von der LO vorgegebenen Preis.

    Die Position auf der Ask-Seite mit dem höchsten Preis, nennt man Best-Ask. Analog dazu ist der Best-Bid der niedrigste verfügbare Preis auf der Bid-Seite. Der Spread ist definiert als Best-Ask minus Best-Bid und entsteht durch die anfallenden Transaktions- kosten, weil Händler erst ab einem bisschen besseren Preis bereit sind zu handeln, um die Transaktionskosten wieder auszugleichen. Wenn man vom Marktpreis spricht, ist das arithmetische Mittel von Best-Bid und Best-Ask gemeint, weil dadurch der realisti- sche, aktuelle Preis abgebildet wird. Ein noch präziserer Ansatz ist, den Best-Bid- und Best-Ask-Preis jeweils mit dem dahinterstehenden Volumen zu gewichten, da ein großes Volumen eine starke Tendenz zu dieser Seite impliziert.

    Abbildung 2.1: Links sieht man ein LOB. Dann kommt eine Kauf-MO herein und wird rechts mit den nächstgelegenen Verkauf-LOs übereingestimmt. Quelle: http://www.onestepremoved.com/de/limit-order-book/

    Nun kann es passieren, dass die MO im Vergleich zum verfügbaren Angebot an LOs sehr groß ist. Dann wird der Handel zu einem sehr schlechten Preis für den Steller der MO ausgeführt. Man sagt in diesem Fall: Die MO

    ” walks the book“. Dadurch ändert

    sich auch der Preis des Wertp

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