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Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherung sgerhold/pub_files/sem12/v_altmann.pdf · PDF file Berechnung der Schadensr uckstellung in der Sachversicherung Nikolaus

Jul 10, 2020

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  • Berechnung der Schadensrückstellung in der Sachversicherung

    Nikolaus Altmann

    Seminar aus Finanz- und Versicherungsmathematik

    9. Jänner 2013

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 1 / 26

  • Agenda

    Aufbau

    1 Schadenrückstellung

    2 Daten

    3 Modelle und Verfahren + Beispiele

    4 Tailschätzung

    5 Groß- und Kumulschäden

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 2 / 26

  • Schadenabwicklungsprozess

    Schaden Schadensmeldung letzte Zahlung Abwicklung

    3 Kategorien von Schäden:

    Gemeldet und abgeschlossen

    Gemeldet, aber noch nicht abgeschlossen (reported but not settled RBNS)

    Passiert, aber noch nicht gemeldet (incurred but not reported IBNR)

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 3 / 26

  • Schadenrückstellung

    Teil der versicherungstechnischen Rückstellungen

    Ergeben sich aus bekannten Versicherungsfällen

    + Rentenversicherungsfälle

    + Spätschäden

    + Schadenregulierungsaufwendungen

    − Forderungen aus Regressen, etc. Punktschätzung zu einem gewissen Zeitpunkt (z.B. 31.12., quartalsweise)

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 4 / 26

  • UGB vs. Solvency II - Bewertungsgrundsätze

    UGB

    Passivierung der Leistungsverpflichtungen gegenüber VN nach vernünftiger kaufmännischer Beurteilung

    Abzinsung von Schadenrückstellungen nur bei Renten

    Grundsatz der Einzelbewertung

    Bei großer Anzahl gleichartiger Fälle Gruppenbewertung möglich

    Solvency II

    Marktkonsistente Bewertung

    Abzinsung aller zukünftigen Zahlungsströme mit ’risikoloser Zinsstrukturkurve’

    Ermittlung eines sog. ’Best Estimate Schadenrückstellung’

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 5 / 26

  • Daten

    Vorraussetzung für aktuarielle Schätzungen ist eine valide und möglichst umfassende Datenbasis (z.b. DWH). Idealerweise vorhandene Daten sind:

    Brutto- und Nettozahlungen

    Brutto- und Nettorückstellungen

    Schadenzahlen

    Brutto- und Nettoprämien

    Volumenmaße

    → pro Jahr und Sparte bzw. Line of Business

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 6 / 26

  • Zusätzliche Informationen

    Groß-, Kumul- oder Elementarschäden, Naturkatatstrophen

    Alte Schäden

    latente Schäden (Asbest, Gesundheitsschäden)

    Veränderungen in der Schadenregulierung- oder bearbeitungsprozesses

    Veränderungen in der Reservierungspolitik

    ökonomische Einflüsse (Inflation, Baukostenindex)

    veränderte gesetzliche, gesellschaftliche oder politische Rahmenbedingungen

    spezielle Trends (Schadenhäufigkeit, -durchschnitt)

    Bestandsübertragungen, Fusionen

    . . .

    ⇒ Trends erkennen und berücksichtigen

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 7 / 26

  • Das Chain Ladder Modell

    n ∈ N . . . Anzahl der betrachteten Anfalljahre T ⊂ N, meistens T = {1, . . . , n} Entwicklungszeitraum (Pi,t)t∈T Zahlungsprozess für Anfalljahr i = 1, . . . , n

    Pi(s) := {Pi,1, . . . , Pi,s} Bedingung für bekannte Zahlungsentwicklung bis Zeitpunkt s

    Modellannahmen:

    Anfalljahre sind unabhängig, d.h. {P1,t|t ∈ T}, . . . , {Pn,t|t ∈ T} sind unabhängig

    Für s, t ∈ T mit t = s+ 1 gibt es einen Faktor fs→t > 0 mit

    E [ Pi,t Pi,s |Pi(s)

    ] = fs→t ∀i

    −→ Aus der Vergangenheit auf die Zukunft schließen

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 8 / 26

  • Das Chain Ladder Verfahren

    Schätzung der Faktoren durch

    f̂t→t+1 :=

    ∑n−t+1 j=0 Pj,t+1∑n−t+1 j=0 Pj,t

    Geschätzter erwarteter Endschadenstand

    P̂i,n = Pi,n−i · n−1∏

    j=n−i fj→j+1

    Geschätzte Reserve R̂i = P̂i,n − Pi,n−i Geschätzte Gesamtreserve

    R̂ = n∑

    i=1

    R̂i

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 9 / 26

  • Numerisches Beispiel 1/4

    CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

    2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

    2008 1113 2103 2774 3422 3844

    2009 1265 2433 3233 3977

    2010 1490 2873 3880

    2011 1725 3261

    2012 1889

    f̂t→t+1

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 10 / 26

  • Numerisches Beispiel 2/4

    CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

    2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

    2008 1113 2103 2774 3422 3844

    2009 1265 2433 3233 3977

    2010 1490 2873 3880

    2011 1725 3261

    2012 1889

    f̂t→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 11 / 26

  • Numerisches Beispiel 3/4

    CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

    2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483

    2008 1113 2103 2774 3422 3844 4013

    2009 1265 2433 3233 3977 4454 4650

    2010 1490 2873 3880 4780 5354 5590

    2011 1725 3261 4334 5339 5980 6243

    2012 1889 3587 4767 5873 6578 6867

    f̂t→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 12 / 26

  • Numerisches Beispiel 4/4

    CL 0 1 2 3 4 5 Reserve

    2007 1001 1855 2423 2988 3335 3483 0

    2008 1113 2103 2774 3422 3844 4013 169

    2009 1265 2433 3233 3977 4454 4650 673

    2010 1490 2873 3880 4780 5354 5590 1710

    2011 1725 3261 4334 5339 5980 6243 2982

    2012 1889 3587 4767 5873 6578 6867 4978

    f̂t→t+1 1,899 1,329 1,232 1,120 1,044 1,000 Σ 10512

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 13 / 26

  • Bemerkungen

    Vorteil: einfache Berechnung, Gefühl für Größenordnung

    Nachteil: anfällig für Ausreißer (z.B. Groß- u. Kumulschäden)

    Änderung der Schadenregulierung, Einzelfallreservierung

    Neugeschäft

    Alternativen durch Heranziehung nur der letzten Jahre,

    durchschnittlichem Übergangsfaktor (etwas konservativer)

    Händische Wahl von Faktoren

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 14 / 26

  • Cape-Cod Modell

    baut auf Chain-Ladder auf → Verfeinerung Isolierung von Ausreißereffekten

    Annahme der identisch verteilten Endschadenquoten aller Anfalljahre:

    ∃π0, . . . , πn sowie κ und γ0, . . . , γn mit γn = 1, sodass für alle i, k ∈ {0, 1, . . . , n}

    E [ Pi,k πiγk

    ] = κ

    gilt.

    Voraussetzung: π0, . . . , πn als Prämien bekannt

    Die erwartete Endschadenquote κ ist wegen

    κ = E [ Pi,n πi

    ] von den Anfalljahren unabhängig.

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 15 / 26

  • Cape-Cod Verfahren

    Chain-Ladder Quoten (Schätzung von γi)

    Ĝn−i :=

    n∏ t=n−i+1

    1

    f̂t→t+1

    Durch gewichtetes Mittel wird Empfindlichkeit gegen Ausreißer verringert

    κ̂ :=

    ∑n i=0 Pi,n−i∑n i=0 Ĝn−iπi

    Für i, k ∈ {0, 1, . . . , n} mit i, k ≥ n heißt

    P̂i,n := Pi,n−i + (Ĝn − Ĝn−i)πiκ̂

    Cape − Cod -Schätzer für E[Pi,n]. → Cape-Cod Reserve: R̂ =

    ∑n i=1(P̂i,n − Pi,n−i)

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 16 / 26

  • Beispiel

    i πi Pi,5−i Ĝ5−i P̂i,5 κ̂ R̂i = P̂i,n − Pi,n−i 0 4025 3483 1 3483 0,940 0

    1 4456 3844 0,958 4020 0,940 176

    2 5315 3977 0,855 4702 0,940 725

    3 5986 3880 0,694 5602 0,940 1722

    4 6939 4261 0,522 7379 0,940 3118

    5 8158 1889 0,255 7602 0,940 5713

    Σ 21334 32788 11454

    Nachteil: Jedes Jahr gleiche Schadenquote → kühne Aussage

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 17 / 26

  • Weitere Modelle und Verfahren

    Bornhuetter-Ferguson I Analog zum CL-Verfahren I Bildung eines Schadenquotendreiecks I Ableitung von a-priori Endschadenquoten ∀i I z.B. durchschnittliche Endschadenquote des ersten Abwicklungsjahres I Vorteil: Anwendbar bei Sparten mit geringer Historie I Nachteil: Gewählte Endschadenquoten sind subjektiv → für Ergebnis

    sehr entscheidend

    Bornhuetter-Ferguson iteriert I 1. Iteration äquivalent I n-te Iteration: errechneter Endschaden ist neuer a-priori Endschaden I Vorteil: Einfluss der a-priori Endschadenquotenschätzung wird reduziert

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 18 / 26

  • Weitere Modelle und Verfahren

    Loss-Development I Ident mit CL-Verfahren, statt Abwicklungsfaktoren werden -quoten

    verwendet I Händischer Eingriff alternativer Quoten

    Additives Verfahren I Bestimmung durchschnittlicher Schadenquoten-Zuwächse I Annahme: Endschadenquote = Σ Schadenquoten-Zuwächse I Schätzung Endschaden = bisher Bezahltes + Quote · Prämie

    N. Altmann (Seminar) Sachversicherung 09.01.2013 19 / 26

  • Versicherungszahlungen und -leistungen

    Versicherungszahlung (’Paid’) I Alles was bis jetzt tatsächlich an VN ausbezahlt wurde

    Versicherungsleistungen bzw. Schadenaufwendungen (’Incurred’) I Vers. zahlungen + gebildete Rückstellungen

    Realität: Paid → tatsächlicher Endstand ← Incurred Verfahren auf beides anwenden

    Liefern nicht die selben Endstände wegen unterschiedlichem Verlauf

    Zusätzliche Information des Incurred nutzbar

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