Makalah bab ii

PENDEKATAN GEOMETRI EUCLID

1. PENDAHULUAN

Panjang merupakan dasar dari geometri euclid, akan tetapi yang paling penting

dalam geometri euclid adalah sudut atau luas daerah. Misalnya, teorema tentang

jumlah sudut dalam segitiga dan teorema pythagoras dalam jumlah kuadrat sisi

persegi. Euclid sering menggunakan luas daerah untuk membuktikan teorema

tentang panjang, seperti teorema thales. Dalam sudut dikenal dengan SAS (sisi

sudut sisi) untuk segitiga sama sisi dan ASA (sudut sisi sudut)

Kemudian teori sudut ini digabungkan dengan teorema Thales dan memberikan

dua pembuktian teorema Pythagoras. Dengan begitu, kita mempelajari lebih lanjut

tentang ruang lingkup dari penggunaan penggaris dan jangka. Untuk menarik

kesimpulan dari penyelidikan ini kita harus melewati proses pemotongan poligon

menjadi potongan-potongan yang membentuk persegi, pemberian akar kuadrat

dari setiap sisi dan konstruksi dari pentagon biasa.

2. PEMBAHASAN

2.1 Aksioma Kesejajaran

Dalam Bab 1, kita telah mempelajari penggunaan empat sisi poligon yang

semuanya adalah sudut siku-siku atau yang disebut persegi. Bentuk aksioma

kesejajaran euclid adalah jika sebuah garis melewati dua garis maka terbentuk

sudut dalam di satu sisi bersama-sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka akan

terbentuk dua garis lurus pada sisinya. Pada Gambar 1 menunjukkan situasi yang

dimaksud oleh aksioma kesejajaran Euclid ketika dua garis L dan M tidak sejajar.

Jika α +β ini kurang dari dua sudut siku-siku, maka L dan M bertemu akan

bertemu di suatu titik.

α

β

NM

L

Gambar 1. Ketika garis tidak sejajar

Maka dapat dikatakan jika L dan M tidak bertemu di suatu sisi, maka α + β = π.

Dengan kata lain, jika L dan M adalah sejajar, maka α dan β membentuk sudut

lurus, dan sudut yang terbentuk oleh garis L, M dan N ditunjukkan oleh gambar 2.

Gambar 2. Ketika garis sejajar

Jumlah sudut segitiga. Jika α, β, dan γ adalah sudut segitiga sembarang, maka α

+ β + γ = π

Untuk membuktikannya, tarik sebuah garis L melalui salah satu titik sudut dan

sejajar dengan sisi yang berada di hadapannya, seperti yang ditunjukkan pada

Gambar 3.

Gambar 3. Jumlah sudut segitiga

α

NM

Lπ –

α π –

α γ

βα γL

Latihan

2.1.1 Tunjukkan bahwa jumlah sudut setiap segiempat adalah 2 π.

2.1.2 Jelaskan mengapa konvek n-segi dapat dipotong menjadi n - 2 segitiga.

2.1.3 Gunakan diseksi dari n-segi menjadi segitiga untuk menunjukkan bahwa

jumlah sudut konvek n-segi adalah (n – 2) π.

Penyelesaian

2.1.1

2.1.2 n segi dapat dipotong menjadi n – 2 segitiga.

Misal n = 6. Dapat dibentuk menjadi: n – 2 = 6 – 2 = 4 segitiga

Perhatikan gambar Pada gambar ada tiga segitiga yaitu segitiga a, b dan c.

2.1.3 Satu segitiga memiliki jumlah sudut = π,

misal, n = 6.

Maka, (n – 2) π = (6 – 2) π = 4π

2.2 Aksioma Kongruen

Jika dua segitiga memiliki dua sisi bersesuaian yang sama, dan satu sudut antara

sisi tersebut juga sama, maka sisi ketiga mereka dan dua sudut lainnya juga sama.

Jadi dapat disimpulkan bahwa dua segitiga dikatakan kongruen jika besar sudut

dan panjang sisi yang bersesuaian sama.

β

β γ

γ

α

α

I: α + β + γ = πII: α + β + γ = π +I: α + β + γ = 2π

I

II

Aksioma SAS. Jika segitiga ABC dan A’B’C’ adalah sedemikian rupa |AB| = |

A’B’|, Sudut ABC = sudut A’B’C’ , |BC| = |B’C’|. Maka |AC| = |A’C’|, Sudut

BCA = sudut B’C’A’ dan Sudut CAB = sudut C’A’B’

Keadaan yang sama juga berlaku untuk ASA dan SSS, yang juga menunjukkan

kekongruenan, akan tetapi tidak untuk SSA. Segitiga dengan dua sisi yang sama

memiliki dua sudut yang sama besar. Segitiga seperti ini disebut sama kaki

Teorema segitiga sama kaki. Jika segitiga memiliki dua sisi yang sama, maka

sudut yang berhadapan dengan sisi ini juga sama.

Anggap bahwa segitiga ABC memiliki |AB| = |AC|. Kemudian segitiga ABC dan

ACB, yang tentu saja segitiga sama yang kongruen oleh SAS (gambar 2.4). Sisi

kiri mereka sama, sisi kanan mereka sama, dan begitu juga sudut antara sisi kiri

dan kanan, karena mereka memiliki sudut yang sama yaitu sudut A.

Akibat yang berguna dari ASA adalah teorema berikut tentang jajar genjang, yang

memungkinkan kita untuk menentukan luas segitiga. Jajar genjang didefinisikan

sebagai gambar yang dibatasi oleh dua pasang garis sejajar–definisi ini tidak

mengatakan apapun tentang panjang sisinya.

Teorema sisi jajar genjang. Sisi yang berhadapan dari jajar genjang adalah

sama.

Untuk membuktikan teorema ini jajar genjang dibagi menjadi dua segitiga oleh

diagonal seperti pada gambar 4, dan akan dibuktikan bahwa segitiga-segitiga

tersebut kongruen. Karena segitiga-segitiga tersebut memiliki:

• Sisi yang sama yaitu AC.

• Sudut-sudut α yang bersesuaian adalah sama, menjadi sudut dalam untuk

kesejajaran AD dan BC.

• Sudut-sudut β yang bersesuaian adalah sama, menjadi sudut dalam untuk

kesejajaran AB dan DC,

Gambar 4. Membagi jajar genjang menjadi dua segitiga

Latihan

2.2.1 Gunakan teorema sisi jajar genjang dan ASA untuk temukan segitiga yang

kongruen pada gambar di bawah dan tunjukkan bahwa diagonal jajar

genjang saling membagi dua.

2.2.2 Simpulkan bahwa diagonal belah ketupat atau jajar genjang yang sisi-

sisinya sama bertemu di sudut siku-siku. (Petunjuk: Anda mungkin

menggunakan SSS, yang mengatakan bahwa segitiga kongruen jika sisi

yang sesuai mereka sama)

Penyelesaian

2.2.1

Diketahui: Jajar Genjang ABCD

Akan dibuktikan bahwa |AB| = |DC| dan |AD| = |BC|

Bukti :

Buat diagonal AC, ada ∆ ADC dan ∆ ABC

|AC| berhimpit

∠ DAC = ∠ BCA = ∠ α (sudut dalam berseberangan)

∠ DCA = ∠ BAC = ∠ β (sudut dalam berseberangan)

D

A B

C

β

βα

α

B

D

A C

Maka, berdasarkan teorema Sudut Sisi Sudut (ASA) maka ∆ ADC ≡ ∆ ABC

Sehingga terbukti bahwa | AB | = | DC | dan | AD | = | BC |

2.2.1 Diket : ∆ ABC sama kaki

|AB|=|AC|

Akan dibuktikan bahwa ∠ β = ∠ α

Bukti:

Perhatikan ∆ ABD = ∆ ACD

|AD| berhimpit

|AB|=|AC|

|BD|=|DC|

Maka ∆ ADB kongruen dengan ∆ ACD (S,S,S)

Akibatnya, ∠ADB = ∠ ACD

terbukti bahwa ∠ β = ∠ α

AC berpotongan dengan diagonal BD pad sudut 900

|AB| = |BC| = |CD| = |DA|. Definisi Belah ketupat

| BD | berhimpit

∆ ABD dan ∆ BCD

| AB | = | BC | Sisi

| AD | = | CD | Sisi

| BD | = | BD | Sisi

sehingga, ∆ ABD ≅ ∆ BCD

| AD | = | CD | definisi segitiga sama kaki

| OD | = | OD | berhimpit

Akibatnya | OA | = | OC |

∆ AOD ≅ ∆ COD

Maka OD Adalah garis Sumbu. Jadi , OD ⊥ AC

D

A CO

2.3 Luas dan Kesamaan

Prinsip logika yang digunakan adalah lima prinsip Euclid, yaitu:

1. Hal yang sama dengan hal yang sama juga akan sama satu dengan lainnya.

2. Jika sesuatu yang sama ditambahkan ke sesuatu yang sama, keutuhannya

adalah sama.

3. Jika sama dikurangkan dari sesuatu yang sama, sisanya adalah sama.

4. Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain adalah sama satu dengan

lainnya.

5. Keseluruhan lebih besar daripada sebagian.

Kuadrat dari jumlah

Sebagai contoh adalah persegi dan persegi panjang yang dinyatakan dengan

rumus aljabar.

(a+b)2=a2+2 ab+b2

Euclid tidak memiliki notasi aljabar, sehingga persamaan ini harus dinyatakan

dalam kata-kata: Jika garis dipotong secara acak, kuadrat secara keseluruhan

adalah sama dengan kuadrat pada segmen dan dua kali persegi panjang yang

dikandung oleh segmen. Perhatikan gambar 5 berikut, Garisnya adalah a + b

karena dipotong menjadi dua bagian a dan b.

Gambar 5. Kuadrat dari sejumlah segmen garis

• Kuadrat pada garis adalah apa yang kita tulis sebagai (a + b)2.

• Kuadrat pada dua ruas a dan b adalah a2 dan b2.

• Persegi panjang "diisi" oleh ruas a dan b adalah ab

ba

a

b

a a

b

b

1

a

a

ab

b

b

b

a

a

2

3 4

5

6

7

b

• Kuadrat (a + b)2 sama (dalam luas) jumlah a2, b2, dan dua bentuk dari ab

Latihan

2.3.1 Berikan diagram untuk identitas a (b + c) = ab + ac.

2.3.2 Berikan diagram untuk identitas a2 – b2 = (a + b) (a – b).

2.3.3 Buatlah gambar kubus dengan tepi a + b dan tunjukkan itu dipotong oleh

bidang yang membagi setiap sisi menjadi panjang ruas a dan panjang ruas b.

Penyelesaian

2.3.1 Diagram untuk identitas a (b + c) = ab + ac

a(b + c) = L1 + L2

= ab + ac

2.3.2 Diagram untuk identitas a2 – b2 = (a + b) (a – b)

a2 – b2 = L1 + L2

= a(a – b) + b(a – b)

= a2 – ab + ab – b2

= (a + b)(a – b)

2.3.3 Kubus dengan tepi a + b

Dimensi masing-masing kotak:1. a, a, a2. a, a, b3. a, a, b4. a, b, b5. a, b, b6. b, b, b7. a, a, b

a

b c

1 2

a

a –

a –

b

b

ba –

1

2

a

a –

1

2

a –

b

a +

a –

8. Bagian belakang pojok kiri, yaitu a, b, b

Identitas dari (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 dapat dicari dengan

menjumlahkan masing-masing volume dari tiap-tiap kotak.

(a + b)3 = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 + V8

= a3 + a2b + a2b + ab2 + ab2 + b3 + a2b + ab2

= a3 + a2b + a2b + a2b + ab2 + ab2 + ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3b2a + b3

2.4. Luas Jajaran Genjang dan Segitiga

Daerah yang bukan persegi panjang dapat ditunjukkan sama dengan persegi

panjang dalam arti euclid adalah jajaran genjang. Gambar 6 menunjukkan

bagaimana garis lurus dapat memotong jajar genjang menjadi potongan yang

dapat membentuk persegi panjang.

Gambar 6. Bentuk jajar genjang dan persegi panjang dari potongan yang sama

Hanya satu pemotongan yang dibutuhkan pada gambar 6, akan tetapi banyak

potongan yang dibutuhkan dalam jajaran genjang seperti gambar 7

Gambar 7. Kasus dimana lebih membutuhkan banyak pemotongan

Berdasarkan gambar di atas, dibutuhkan dua potongan, yang menghasilkan

potongan-potongan 1, 2, 3. Jumlah potongan bisa menjadi tidak beraturan

besarnya. Untuk menghindari pemotongan dalam jumlah besar dengan

memungkinkan pengurangan potongan serta penambahan. Gambar 8

menunjukkan bagaimana mengubah persegi panjang menjadi jajar genjang dengan

OR sebagai alas dan OP sebagai tingginya. Kita perlu hanya menambah sebuah

segitiga, dan kemudian menguranginya dengan segitiga sama.

Gambar 8. Persegi panjang dan jajar genjang dengan alas dan tinggi yang sama

Dimulai dengan persegi panjang OPQR dan menambahkan segitiga RQT,

kemudian dikurangi dengan segitiga OPS, hasilnya adalah jajar genjang OSTR.

Dengan demikian, jajar genjang sama (dalam luas) terhadap persegi panjang

dengan alas dan tinggi yang sama. Dari hal ini diperoleh:

Luas jajar genjang = alas x tinggi

Untuk menemukan luas segitiga ABC, lihat bahwa hal tersebut dapat dipandang

sebagai “setengah” dari jajaran genjang dengan menambahkan segitiga kongruen

ACD seperti yang ditunjukkan pada gambar 9.

Gambar 9. Segitiga sebagai setengah jajar genjang

Jelas, luas segitiga ABC + luas segitiga ACD = luas jajar genjang ABCD, dan dua

segitiga "bertepatan" (karena mereka adalah kongruen), sehingga kedua segitiga

tersebut memiliki luas yang sama berdasarkan pemikiran Euclid nomor 4. Dengan

demikian,

Luas Segitiga = 12

alas x tinggi.

Latihan

2.4.1 Diberikan segitiga dengan sisi tertentu yang ditetapkan sebagai alas,

tunjukkan bagaimana menemukan ketinggian dengan konstruksi penggaris

dan jangka.

Berdasarkan gambar 8.

2.4.2 Atas dasar apa |PQ| = |ST|?

2.4.3 Atas dasar apa |PS| = |QT|?

2.4.4 Dengan aksioma kongruensi apa yang membuat segitiga OPS kongruen

dengan segitiga RQT?

Penyelesaian

2.4.1 Cara menentukan tinggi segitiga dengan konstruksi penggaris dan jangka

Misal diketahui segitiga sembarang ABC dengan AB sebagai alas dan titik

C sebagai puncak segitiga. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Perpanjang garis AB atau alas segitiga

2. Buat busur lingkaran dengan titik pusat C yang melalui perpanjangan

ruas garis AB, sehingga diperoleh dua titik potong busur tersebut dengan

perpanjangan garis AB. Misal kita beri nama titik P dan Q.

3. Buat busur lingkaran di bawah perpanjangan garis AB masing-masing

dengan pusat P dengan jari-jari |PC| dan pusat Q dengan jari-jari |QC|.

4. Tarik garis dari C ke perpotongan dua busur tersebut. Akan didapat

perpotongan garis tersebut dengan alas segitiga yang diberi nama R.

Maka ruas garis CR adalah tinggi segitiga. Karena CR tegak lurus

dengan AB.

2.4.2 Berdasarkan definisi jajar genjang yaitu sisi yang berhadapan dari jajar

genjang adalah sama. Maka pada jajar genjang OSTR, |ST| = |OR| karena

OR merupakan alas dari persegi panjang OPQR maka |OR| = |PQ| sehingga |

PQ| = |ST|.

2.4.3 Berdasarkan gambar |QT| = |QS| + |ST| dan |PS| = |QS| + |PQ|, sedangkan

diketahui panjang |PQ| = |ST|.

|PS| = |QS| + |PQ|

|PS| = |QS| + |ST|

|QT| = |QS| + |ST|

Jadi |PS| = |QT|

2.4.4 Diketahui | PO | = | QR | sisi

| PS | = | QT | sisi

| OS | = | RT | sisi

Berdasarkan aksioma SSS, akibatnya ∆ OPS ≅ ∆ RQT

2.5.Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras. Untuk setiap segitiga siku-siku, jumlah kuadrat dua sisi

pendek sama dengan kuadrat dari sisi miring.

Euclid membuktikannya dengan cara persegi di sisi miring dibagi menjadi dua

persegi panjang seperti ditunjukkan pada Gambar 10. Kemudian akan ditunjukkan

bahwa luas persegi abu-abu terang sama dengan luas persegi panjang abu-abu

terang dan luas persegi abu-abu gelap sama dengan luas persegi panjang abu-abu

gelap, sehingga jumlah dari terang dan gelap adalah persegi di sisi miring.

Gambar 10. Membagi persegi untuk pembuktian euclid

Pertama akan dibuktikan bahwa luas dari persegi abu-abu terang akan sama

dengan luas persegi panjang abu-abu terang dengan cara menunjukkan luas

setengah dari persegi abu-abu terang akan sama dengan setengah dari luas persegi

panjang abu-abu terang. Dimulai dengan sebuah segitiga abu-abu terang yang

merupakan setengah dari luas persegi abu-abu terang, dan berturut-turut

menggantinya dengan segitiga yang sama alas dan tingginya, dan berakhir dengan

sebuah segitiga yang jelas merupakan setengah dari persegi panjang abu-abu

terang. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Luas segitiga CDF adalah setengah dari persegi

CDEF

Anggap CD sebagai alas segitiga dan CF adalah

tingginya.

Perhatikan segitiga CDG, anggap CD sebagai alasnya

dan CF sebagai tingginya.

Oleh karena itu segitiga CDG memiliki luas yang

sama dengan segitiga CDF karena memiliki alas dan

tinggi yang sama.

Perhatikan segitiga BCF dengan segitiga CDG di atas,

|CF| = |DC| karena merupakan sisi-sisi dari persegi

CDEF, |BC| = |CG| karena merupakan sisi-sisi dari

persegi ABCG, dan memiliki besar sudut yang sama

pada titik C.

Jadi segitiga BCF dan segitiga CDG merupakan

segitiga yang kongruen berdasarkan aksioma SAS.

Anggap BC sebagai alas segitiga dan CH adalah

tinggi segitiga.

Perhatikan segitiga BCH, anggap BC adalah alasnya

dan CH sebagai tingginya.

Oleh karena itu luas segitiga BCH sama dengan luas

segitiga BCF karena memiliki alas dan tinggi yang

sama.

Gambar 11. Merubah bentuk segitiga tanpa merubah luasnya

Berdasarkan langkah-langkah di atas, dapat disimpulkan bahwa pada gambar 10

luas dari setengah persegi abu-abu terang sama dengan luas dari setengah persegi

panjang abu-abu terang. Yang mengakibatkan luas persegi abu-abu terang sama

dengan luas persegi panjang abu-abu terang. Dengan cara yang sama akan

diperoleh juga untuk persegi dan persegi panjang abu-abu gelap. Sehingga

teorema phytagoras dapat terbukti.

Latihan

2.5.1 Pastikan bahwa (5, 12, 13), (8, 15, 17), dan (7, 24, 25) adalah segitiga siku-

siku.

2.5.2 Bagaimana kita bisa yakin bahwa panjang a, b, c > 0 dengan a2+b2=c2

bersama-sama tepat akan membentuk segitiga? (Petunjuk: Tunjukkan bahwa

a + b > c.)

a = x

b = x

c

Segitiga siku-siku dapat digunakan untuk membangun panjang irasional tertentu.

Sebagai contoh, kita lihat di Bagian 1.5 bahwa segitiga siku-siku dengan sisi 1, 1

memiliki sisi miring √2.

2.5.3 Mulai dari segitiga dengan sisi 1, 1, dan √2, temukan konstruksi penggaris

dan jangka yang membangun √3.

2.5.4 Oleh karena itu, dapatkan konstruksi √n untuk n = 2, 3, 4, 5, 6, ....

Penyelesaian:

2.5.1 a2+b2=c2

52+122=132

25+144=169

25+169=169 terbukti

82+152=172

64+225=289

64+289=289 terbukti72+242=252

49+576=625

49+625=625 terbukti

2.5.2 Panjang segitiga a, b, c > 0 dengan a2+b2=c2 , akan dibuktika bahwa

a + b > c

Misal:

Sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi pendeknya a = x dan b = x

dengan x > 0.

Teorema Pythagoras:

c2 = a2 + b2

c2 = x2 + x2

c2 = 2x2

c = x√2

a + b = x + x

a + b = 2x

Kita tahu bahwa 2 lebih besar dari √2, dengan x > 0 maka:

2 > √2

2 . x > √2 . x

2x > x√2

a + b > c Terbukti

2.5.3 Diketahui segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi: 1, 1, √2.

Langkah-langkah untuk mendapatkan

panjang sisi √3 dengan menggunakan

konstruksi penggaris dan jangka:

1. Perpanjang garis AC

2. Buat busur lingkaran dengan jari-jari |

BC|

3. Buat garis tegak lurus terhadap garis AC

yang melalui titik C dan berpotongan

dengan busur lingkaran. Misal di D.

4. Segitiga ACD adalah segitiga siku-siku

dengan sudut siku d C. Sehingga

teorema phytagoras berlaku.

AD2¿ AC2+CD2

AD2=√ AC 2+CD2

AD2=√(√2)2+12

AD2=√3

2.5.4 Konstrusi √n, jika n = 2, 3, 4, 5, ...

2.6 Bukti dari Teorema Thales

Teorema Thales. Sebuah garis yang ditarik sejajar dengan salah satu sisi segitiga

memotong dua sisi lainnya secara proporsional.

Misal segitiga ABC, dengan sisi-sisinya AB dan AC dipotong oleh PQ sejajar

dengan sisi BC (Gambar 12). Karena PQ sejajar dengan BC, segitiga PQB dan

PQC dengan alas PQ memiliki ketinggian yang sama, yaitu jarak antara garis

yang sejajar. Oleh karena itu mereka memiliki luas yang sama.

Gambar 12. Sisi segitiga dipotong dengan sejajar

Jika kita menambahkan segitiga APQ untuk masing-masing segitiga PQB dan

PQC, kita mendapatkan segitiga AQB dan APC. Oleh karena itu, kedua segitiga

tersebut juga memiliki luas yang sama.

Sekarang perhatikan dua segitiga APQ dan PQB yang membentuk segitiga AQB

dengan alas AB. Mereka memiliki tinggi yang sama terhadap alas AB, yaitu jarak

tegak lurus dari Q ke AB. Oleh karena itu, alas mereka adalah dalam

perbandingan luasnya:

|AP||PB|

= luas APQluas PQB

Demikian pula pada segitiga APQ dan PQC yang membentuk segitiga APC:

|AQ||QC|

= luas APQluas PQC

Karena luas PQB sama dengan luas PQC, sisi kanan kedua persamaan adalah

sama, dan begitu juga sisi kirinya. Artinya,

|AP||PB|

=|AQ||QC|

Dengan kata lain, garis PQ memotong sisi AB dan AC secara proporsional.

Latihan

Misalkan ada beberapa garis sejajar P1Q1, P2Q2, P3Q3, ... terhadap sisi BC dari

segitiga ABC. tunjukkan bahwa

|AP1||AQ1|

=|AP2||AQ2|

=|AP3||AQ3|

=…=|AB||AC|

Penyelesaian

Garis P1Q1

AP1

BP1

=AQ1

CQ1

AP1

AB−AP1

=AQ1

AC−AQ1

AP1( AC−AQ1)=AQ1(AB−AP1)

AP1 AC−AP1 AQ1=AQ1 AB−AP1 AQ1

AP1 AC=AQ1 AB

AP1

AQ1

= ABAC

Garis P2Q2

AP2

BP2

=AQ2

CQ2

AP2

AB−AP2

=AQ2

AC−AQ2

AP2(AC−AQ2)=AQ2(AB−AP2)

AP2 AC−AP2 AQ2=AQ2 AB−AP2 AQ2

AP2 AC=AQ2 AB

AP2

AQ2

= ABAC

Begitu juga untuk garis P3Q3, akan diperoleh:

AP3

AQ3

= ABAC

Dan seterusnya, jadi:

AP1

AQ1

=AP2

AQ2

=AP3

AQ3

=…= ABAC

2.7 Sudut Dalam Lingkaran

Invarian sudut dalam lingkaran. Jika A dan B adalah dua titik pada lingkaran,

kemudian, untuk semua titik C pada salah satu busur yang menghubungkan

mereka, ACB sudut konstan.

Untuk membuktikan invarian, tarik garis dari A, B, C ke pusat lingkaran O,

bersama dengan garis yang membentuk sudut ACB (Gambar 13). Karena semua

jari-jari lingkaran adalah sama, |OA| = |OC|. Jadi segitiga AOC adalah sama kaki,

dan sudut α di dalamnya adalah sama berdasarkan teorema segitiga sama kaki.

Sudut β di segitiga BOC adalah sama karena alasan yang sama.

Karena jumlah sudut segitiga sembarang adalah π, maka sudut O pada segitiga

AOC adalah π – 2α dan sudut di O pada segitiga BOC adalah π – 2β. Oleh

karenanya sudut ketiga di O yaitu sudut AOB, adalah 2(α + β), karena total sudut

dalam satu lingkaran adalah 2π. Akan tetapi sudut AOB adalah konstan, sehingga

α + β juga konstan, dan α + β justru sudut pada C.

Hal penting dalam teorema ini adalah ketika A, O, dan B terletak pada garis lurus

dan melalui titik pusat lingkaran, maka 2 (α + β) = π. Dalam kasus ini, α + β =

π/2, sehingga didapatkan teorema berikut.

Teorema sudut dalam setengah lingkaran. Jika A dan B adalah ujung diameter

lingkaran, dan C adalah titik lain pada lingkaran, maka sudut ACB adalah sudut

siku-siku.

Gambar 13. Sudut α + β dalam lingkaran

α

α

β

β

π – π –

2(α +

DAFTAR PUSTAKA

Stillwell, John. 2005. The Four Pillars of Geometry. San Fransisco: Springer.