Laboratorio de física i mediciones y errores

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS

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MEDICIONES Y ERRORES

I. OBJETIVOS:

1. Describir, identificar y reconocer los diversos instrumentos de medida, e interpretar

sus lecturas mínimas.

2. Describir, entender y aplicar las características de las mediciones directas e indirectas.

3. Explicar el grado de precisión o/y propagación de incertidumbres en los procesos de

medición.

II. MARCO TEORICO:

La importancia de las mediciones crece permanentemente en todos los campos de la ciencia y la

técnica. ¿Qué es Medir? Medir es comparar dos cantidades de la misma magnitud, tomando

arbitrariamente una de ellas como unidad de medida.

La magnitud a medir se representa según la ecuación básica de mediciones:

Magnitud a medir Valor numérico de la magnitud unidad de la magnitud (S.I)

M = nU


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Ejemplo: 110 KPa, 20Kg, 25m, 30s, 28° C.

En el proceso de medir, conocemos qué tan confiable es la medición realizada para su interpretación

y evaluación.

La medición es Directa e Indirecta.

Cuando se tienen, por ejemplo, unas diez medidas directas, expresadas con el mismo valor, entonces la

variable que se mide es estable. La medida directa que no tiene un valor único exacto se expresa de la

siguiente manera:

𝑋 = 𝑥 ± ∆𝑥

Valor real Medida i-ésima Error o incertidumbre

Medida del largo del libro de Física I. Alonso Finn, con una regla métrica.

l 225, 0 0, 5mm

Si se toman más de 5 medidas directas en las mismas condiciones anteriores y éstas presentan

variación en sus valores, decimos que esto corresponde a fluctuaciones que están en un entorno o

intervalo de valores. Estas diferencias indican la imposibilidad de encontrar el valor real.

Las n-mediciones directas realizadas, con n grande, se pueden tratar estadísticamente mediante la

Teoría de la Medición. El valor real de la medida queda expresado por:

𝑋 = 𝑥 ± ∆𝑥

Valor real Medida promedio Error o incertidumbre

MEDICIONES

Mediciones Directas

El valor de la magnitud desconocida se obtiene

por comparación con una unidad conocida (patrón).

Mediciones Indirectas

El valor se obtiene calculándolo a partir de

fórmulas que vinculan una o mas medidas directas


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ERR

OR

ES S

ISTE

MÁ

TIC

OS

•Son los erroresrelacionados con ladestreza deloperador.

•- Error de paralaje(EP), este error tieneque ver con lapostura que toma eloperador para lalectura de lamedición.

•-Errores Ambientalesy Físicos (Ef), alcambiar lascondicionesclimáticas, éstasafectan laspropiedades físicas delos instrumentos:dilatación,resistividad,conductividad, etc.

•También se incluyencomo erroressistemáticos, loserrores de cálculo, loserrores en laadquisiciónautomática de datos yotros.

•La mayoría de loserrores sistemáticosse corrigen, seminimizan o setoleran; su manejo,en todo caso,depende de lahabilidad delexperimentador.

ERR

OR

ES D

EL IN

STR

UM

ENTO

DE

MED

ICIÓ

N

•Son los errores relacionados con la calidad de los instrumentos de medición:

•- Error de lectura mínima (ELM). Cuando la expresión numérica de la medición resulta estar entre dos marcas de la escala de la lectura del instrumento. La incerteza del valor se corrige tomando la mitad de la lectura mínima del instrumento.

•Ejemplo: Lectura mínima de 1/25mm ELM = 1/2(1/25mm) = 0,02mm

•- Error de cero (Eo), es el error propiamente de los instrumentos no calibrados.

•Ejemplo: cuando se tiene que las escalas de lectura mínima y principal no coinciden, la lectura se verá que se encuentra desviada hacia un lado del cero de la escala. Si esta desviación fuera menor o aproximadamente igual al error de lectura mínima, entonces Eo es Eo= ELM

ERR

OR

ES A

LEA

TOR

IOS

•Son los errores relacionados en interacción con el medio ambiente, con el sistema en estudio, aparecen aun cuando los errores sistemáticos hayan sido suficientemente minimizadas, balanceadas o corregidas.

•Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos. Si se toman n-mediciones de una magnitud física x, siendo las lecturas x1, x2, x3,…, xn ; el valor estimado de la magnitud física x, se calcula tomando el promedio de la siguiente manera:

•La diferencia de cada medida respecto de X se llama desviación. El grado de dispersión de la medición, estadísticamente se llama desviación estándar de la media y se le calcula de la siguiente forma:

•El error aleatorio Ea para un número pequeño de mediciones (<100) es:


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EXPRESIÓN DE LA MEDIDA.

El valor de la medida en función del error relativo es:

El valor de la medida en función del error porcentual es:

Comparando el valor experimental, con el valor que figura en las tablas (Handbook), al cual llamaremos valor

teórico, se tiene otra medida que se conoce como error experimental.

Que expresado como error experimental porcentual es:

Si al medir los primeros valores (alrededor de 5 medidas) de una magnitud se observa que la desviación

estándar (σ) es muy pequeña comparada con el error del instrumento (Ei ) , no habrá necesidad de tomar una

gran cantidad de datos para encontrar el valor promedio. Las medidas que tengan una desviación mayor

que tres veces la desviación estándar, se recomienda descartarlas.

PRECISIÓN PARA LAS MEDICIONES INDIRECTAS

1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE: Sea “Y” una magnitud física que depende de otra magnitud física “X” es

decir:

Y= f(x)

El error de “y”, cuando se conoce “x” viene dado por: dy = | ∂f(x) / ∂x | dx

Reemplazando dy por ∆y tenemos: ∆y = |f’(x)| ∆x

Así, el valor final de la medición será: y ± ∆y


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2. FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES: Si la magnitud “Y” viene determinada por la medida de varias

magnitudes p, q, r, etc., con la que está ligada por la función y=f (p, q,r,…)

El error de la magnitud “y” viene dado por la expresión.

Asi, el valor final de la medición será: y ± ∆y

Las medidas indirectas son afectadas por los errores de las mediciones directas. Estos errores se “propagan”

cuando se calcula el valor de la medición indirecta.

Si Z = Z ( A, B) expresa una magnitud física cuya medición se realiza indirectamente; A y B son ambas medidas

directas, ambas indirectas o una directa y la otra indirecta tal que:

Las medidas indirectas se calculan mediante las fórmulas que ahora analizaremos.

i. Si Z resulta de adiciones y/o sustracciones Z = A ± B , entonces:

ii. Si Z resulta de multiplicaciones o divisiones: Z = A * B ó Z = A ÷ B , entonces:

iii. Si Z resulta de una potenciación: Z = k A n , entonces:

Finalmente, la expresión de la medida indirecta en cualquiera de los casos anteriores será:

ERRORES DEL INSTRUMENTO DE MEDICIÓN

Instrumentos analógicos

Error = ½*(mínima división)

Error REGLA = ½*(1mm) = 0.5 mm = 0.05 cm = 5* 10 −2 cm

Error BALANZA = ½*(0.1 g) = 0.05 g = 5* 10 −2 g

Error VERNIER = ½*(0.002 cm) =0.001 cm = 10 −3 cm

Instrumentos digitales

Error = mínima división

Error CRONÓMETRO = 1/100 s = 0.01 s = 10 −2 s


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Método de regresión lineal por MÍNIMOS CUADRADOS

Si la distribución de puntos en la gráfica es de tendencia lineal, entonces, se realiza el ajuste de la recta

mediante el método de regresión lineal por mínimos cuadrados. Esto significa que la relación que se busca tiene la

forma de una recta cuya ecuación es: y= mx + b

En donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen

(intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación.

Primero se construye una tabla de la forma:

Luego se calculan la pendiente y el intercepto.

III. EQUIPO:

Un soporte metálico, con su mordaza

Una cinta métrica

Un cronometro

Un vernier

Una varilla metálica

Una balanza

Un resorte

Cinco objetos circulares de diferente diámetro


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IV. PROCEDIMIENTO

1. Elija uno de los objetos circulares y mida cinco veces con el vernier: su diámetro “D”, y su

espesor “h”. Luego anote en la tabla N°1

2. Utilizando la balanza mida 5 veces la masa “m”, del objeto circular anteriormente elegido y anote

en la tabla N° 1

Tabla N° 1

N° de medidas 1 2 3 4 5

Diámetro “cm” 3.200 ± 10 −3 3.190 ± 10 −3 3.180 ± 10 −3 3.200 ± 10 −3 3.210 ± 10 −3

Masa “g” 307.3 ± 0.05 307.4 ± 0.05 307.6 ± 0.05 307.4 ± 0.05 307.2 ± 0.05

Espesor “cm” 5.080 ± 10 −3 5.030 ± 10 −3 5.050 ± 10 −3 5.070 ± 10 −3 5.090 ± 10 −3

3. Arme el equipo que corresponde al resorte, tal como indica la figura. Para una amplitud de igual a

3cm, mida el tiempo de 10 oscilaciones, 5 veces y anote sus resultadlos en la tabla N°2

Tabla N°2

N° de

medidas

1 2 3 4 5

Tiempo (s) 4.20 ± 10 −2 4.00 ± 10 −2 4.53 ± 10 −2 4.45 ± 10 −2 4.39 ± 10 −2

4. Utilizando la cinta métrica mida el perímetro circular de cada uno de los cinco objetos circulares

y anote sus resultados en la tabla N°3

5. Con el vernier mida el diámetro de los cinco objetos circulares y anótelos en la tabla N°3

N° de

medidas

1 2 3 4 5

Diámetro (cm)

13.320 ± 10 −3

12.140 ± 10 −3 7.340 ± 10 −3 13.060 ± 10 −3

13.128 ± 10 −3

Perímetro (cm)

42.4 ± 10 −2 38.6 ± 10 −2 23.3 ± 10 −2 42.8 ± 10 −2 41.4 ± 10 −2


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V. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES

1. ¿Cuáles son los valores de los errores instrumentales que corresponden a cada

instrumento utilizado en los experimentos?

Instrumentos analógicos


Error REGLA = ½*(1mm) = 0.5 mm = 0.05 cm = 5* 10 −2 cm

Error BALANZA = ½*(0.1 g) = 0.05 g = 5* 10 −2 g

Error VERNIER = ½*(0.002 cm) =0.001 cm = 10 −3 cm

Instrumentos digitales


Error CRONÓMETRO = 1/100 s = 0.01 s = 10 −2 s

2. ¿Qué unidades fundamentales se utilizaron en el experimento?

Masa

Longitud

Tiempo

3. ¿En qué parte del experimento se cometió el error de paralaje?

En el procedimiento 1, 2, 4 y 5 por que este error tiene que ver con la postura que toma el

operador para la lectura de la medición.

4. ¿Cuál es la precisión en las mediciones directas?



5. ¿Cuál de los instrumentos de medida de longitud es de mayor sensibilidad? ¿Por qué?

Es el vernier ya que nos da un número de incertidumbre menor a los demás instrumentos


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VI. ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES

1. Con los datos de la tabla N°1 determine el valor final del diámetro exterior, el valore final de

la masa y el valor final del espesor del objeto circular, haciendo uso de las reglas

mencionadas en el fundamento teórico.

Solución:

Teniendo en cuenta: 𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌

Donde:

𝑋 =∑ 𝑋𝑖𝑛

𝑖 =1

𝑛

𝑒𝑝 =𝜎𝑥

√𝑛

Con

𝜎𝑥 = √∑ 𝛿𝑖

2𝑛𝑖=1

𝑛 − 1

𝛿𝑖 = |𝑥𝑖 − 𝑋|

Entonces, resolviendo cuidadosamente comenzaremos:

Diámetro exterior:

𝑋 =3.200 + 3.190 + 3.180 + 3.200 + 3.210

5= 3.196

𝛿1 = |3.200 − 3.196| = 0.004 → 𝛿12 = 1.6 ∗ 10−5

𝛿2 = |3.190 − 3.196| = 0.006 → 𝛿22 = 3.6 ∗ 10−5

𝛿3 = |3.180 − 3.196| = 0.016 → 𝛿32 = 2.56 ∗ 10−4

𝛿4 = |3.200 − 3.196| = 0.004 → 𝛿42 = 1.6 ∗ 10−5

𝛿5 = |3.210 − 3.196| = 0.014 → 𝛿52 = 1.96 ∗ 10−4

∑ 𝛿𝑖2

𝑛

𝑖=1

= 5.2 ∗ 10−4

Seguidamente:

𝜎𝑥 = √5.2 ∗ 10−4

5 − 1= 0.0114075425

Ahora:

𝑒𝑝 =0.0114075425

√5= 5.099 ∗ 10−3

Entonces el diámetro exterior final es: 𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌

𝑋 = (3.190 ± 5.099 ∗ 10−3)𝑐𝑚


10

Masa final:

𝑋 =307.3 + 307.4 + 307.6 + 307.4 + 307.2

5= 307.38

𝛿1 = |307.3 − 307.38| = 0.08 → 𝛿12 = 6.4 ∗ 10−3

𝛿2 = |307.4 − 307.38| = 0.02 → 𝛿22 = 4 ∗ 10−4

𝛿3 = |307.6 − 307.38| = 0.22 → 𝛿32 = 0.0484

𝛿4 = |307.4 − 307.38| = 0.02 → 𝛿42 = 4 ∗ 10−4

𝛿5 = |307.2 − 307.38| = 0.18 → 𝛿52 = 0.0324

∑ 𝛿𝑖2

𝑛

𝑖=1

= 0.088

Seguidamente:

𝜎𝑥 = √0.088

5 − 1= 0.4883239697

Ahora:

𝑒𝑝 =0.4883239697

√5= 0.06633

Entonces la masa final es: 𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌

𝑋 = (307.38 ± 0.066 )𝑔

Espesor:

𝑋 =5.080 + 5.030 + 5.050 + 5.070 + 5.090

5= 5.064

𝛿1 = |5.080 − 5.064| = 0.016 → 𝛿12 = 2.56 ∗ 10−4

𝛿2 = |5.030 − 5.064| = 0.034 → 𝛿22 = 1.156 ∗ 10−3

𝛿3 = |5.050 − 5.064| = 0.014 → 𝛿32 = 1.96 ∗ 10−4

𝛿4 = |5.070 − 5.064| = 0.006 → 𝛿42 = 3.6 ∗ 10−5

𝛿5 = |5.090 − 5.064| = 0.026 → 𝛿52 = 6.76 ∗ 10−4

∑ 𝛿𝑖2

𝑛

𝑖=1

= 2.32 ∗ 10−3

Seguidamente:

𝜎𝑥 = √2.32 ∗ 10−3

5 − 1= 0.02408318916

Ahora:

𝑒𝑝 =0.02408318916

√5= 0.01077032961

Entonces el diámetro exterior final es: 𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌


11

𝑋 = (5.064 ± 0.01077)𝑐𝑚

2. Halle el valor relativo y porcentual de las anteriores medidas, tomando en cuenta los

procedimientos mostrados en el marco teórico (para un conjunto de medidas).

Solución:

Teniendo en cuenta:

El error relativo está dado por:

𝑒𝑟 =𝑒𝑝

𝑋

El error porcentual: 𝑒% =𝑒𝑝

𝑋× 100%

Seguidamente:

Diámetro exterior:

𝑒𝑟 =5.099 ∗ 10−3

3.196= 1.595 ∗ 10−3

𝑒% =5.099 ∗ 10−3

3.196× 100% = 0.1595

Masa final:

𝑒𝑟 =0.06633

307.38= 2.1579 ∗ 10−4

𝑒% =0.06633

307.38× 100% = 0.021579

Espesor:

𝑒𝑟 =0.01077032961

5.064= 2.12684 ∗ 10−3

𝑒% =0.01077032961

5.064× 100% = 0.212684

3. Haciendo uso de los resultados anteriores, hallar el área circular (A = A ± eA); volumen (V =

V ± ev) y la densidad ( ρ=ρ ± eρ)

Solución:

Teniendo en cuenta: 𝐴 = 𝐴 ± ∆𝐴

𝐴 = 𝜋𝑅2 , 𝐴 = 𝑓(𝑅)

𝑑𝑦 = 2𝜋𝑅𝑑𝑅

∆𝐴 = 2𝜋𝑅∆𝑅

Donde:

∆𝑅 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟


12

∆𝑅 = 10−3𝑐𝑚

∆𝐴 = 2𝜋𝑅∆𝑅 = 2𝜋 (3.190

2) (10−3) = 0.01002168 𝑐𝑚2

𝐴 = 𝜋𝑅2 = 𝜋3.190

2

2

= 7.99229𝑐𝑚2

𝐴 = (7.99229 ± 0.01002 )𝑐𝑚2

Teniendo en cuenta: 𝑉 = 𝑉 ± ∆𝑉

𝑉 = 𝜋𝑅2(ℎ) , 𝑉 = 𝐹(𝑅, ℎ)

𝜕𝑉

𝜕𝑅= 𝜋ℎ(2𝑅) = 𝜋(5.064)2(1.595) = 56.1614

𝜕𝑉

𝜕ℎ= 𝜋𝑅2 = 𝜋(1.595)2 = 7.99229

∆𝑉 = √(𝜕𝑉

𝜕𝑅∆𝑅)

2

− (𝜕𝑉

𝜕ℎ∆ℎ)

2

Donde:

𝜕𝑅 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 = 10−3𝑐𝑚

𝜕ℎ = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 = 10−3𝑐𝑚

𝑉 = 𝜋 (3.19

2

2

) (5.064) = 40.47296 𝑐𝑚3

∆𝑉 = √(56.1614 ∗ 10−3)2 − (7.99229 ∗ 10−3)2 = 55.58 ∗ 10−3

𝑉 = (40.47296 ± 0.05558)𝑐𝑚3

Teniendo en cuenta: 𝜌 = 𝜌 ± ∆𝜌

𝜌 =𝑚𝑎𝑠𝑎

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛=

𝑚

𝑉 , 𝜌 = 𝑓(𝑚, 𝑣)

Reemplazando:

𝜌 =307.38

40.47296= 7.594700264

𝑔𝑐𝑚3⁄

Aplicando la derivada:

∆𝜌 = 𝑘𝑚

𝑣√(

∆𝑚

𝑚)

2

+ (∆𝑉

𝑉)

2

∆𝜌 = 1307.38

40.47296√(

0.066

307.38)

2

+ (0.05558

40.47296)

2

∆𝜌 = 7.594700264 √4.61037 ∗ 10−8 + 1.88585 ∗ (10)−6


13

∆𝜌 = 7.594700264 √1.931954 ∗ 10−3

∆𝜌 = 0.01055623397

Valor final de la densidad:

𝜌 = (7.59470 ± 0.01056)𝑔

𝑐𝑚3⁄

4. Con los datos de la tabla N°2 determine le valor promedio de las 10 oscilaciones del péndulo

con su respectivo error haciendo el uso de la relación funcional P=f (t), donde t es el tiempo

de oscilación. Escriba el valor final haciendo el uso de las reglas mencionadas en el marco

teórico.

Solución:

Teniendo en cuenta:

𝑃𝐹 = �̅� ± ∆𝑃

𝑃 = 𝑓(𝑡),

Donde:

𝑡 = 4.20 + 4.00 + 4.53 + 4.15 + 4.39 = 21.27

�̅� =𝑡̅

𝑛=

1

5𝑡̅ =

1

5∗ 21.27 = 4.254

𝑑𝑃 =1

5𝑑𝑡̅

∆𝑃 =1

5∆𝑡̅ =

1

5∗ 10−2 = 2 ∗ 10−3

∆𝑡̅ = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑜𝑛ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

∆𝑡̅ = 10−2𝑠

Entonces el diámetro exterior final es:

𝑃𝐹 = �̅� ± ∆𝑃 𝑃 = (4.254 ± 0.002)𝑠

5. Con los datos obtenidos en la tabla N°3, graficar P=f (D). escriba la ecuación tipo

correspondientes y calcule mediante el método de los mínimos cuadrados el valor del

parámetro y su respectivo error

Solución:

Teniendo en cuenta:

N° de

medidas

1 2 3 4 5

Diámetro

(cm)

13.320 ± 10 −3

12.140 ± 10 −3 7.340 ± 10 −3 13.060 ± 10 −3

13.128 ± 10 −3

Perímetro

(cm)

42.4 ± 10 −2 38.6 ± 10 −2 23.3 ± 10 −2 42.8 ± 10 −2 41.5 ± 10 −2


14

Graficar: 𝑃 = 𝑓(𝐷)

Donde:

𝑃 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

𝐷 = 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

Entonces:

𝑃 = 2𝜋𝑅 = 2𝑅𝜋 = 𝐷𝜋

𝑃 = 𝐷𝜋, → 𝑃 = 𝑓(𝐷)

Tabulando:

Además

Donde p es número de datos:

𝑚 =5(2306.8612) − (188.5)(58.988)

5(7376.41) − 188.52= 0.3079710629

𝑦 = 𝑚𝑥

Entonces:

𝑦 = 0.3079710629𝑥

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50

perimetro

Perímetro P Diámetro D 𝑃2 𝐷2 P*D

42.4 ± 10 −2 13.32± 10 −3 1797.76 177.4224 564.768

38.6± 10 −2 12.14± 10 −3 1489.96 147.3796 468.604

23.3± 10 −2 7.34± 10 −3 542.89 53.8756 171.022

42.8± 10 −2 13.06± 10 −3 1831.84 170.5636 558.968

41.4± 10 −2 13.128± 10 −3 1713.96 172.344384 543.4992

∑ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 188.5 58.988 7376.41 721.585584 2306.8612


15

6. Escriba la ecuación empírica ¿Qué representa el parámetro calculador? Comparar este

valor calculado con el que es conocido en textos.

Entonces la formula empírica es:

𝑃 = 0.3079710629 ∗ 𝐷

Valor calculado con el que es conocido en textos:

𝑃 = 𝐷𝜋

Entones vemos que se acercan ya que 𝜋 tiene un valor de 3.14…

VII. CONCLUSIONES

Concluimos que los errores nos sirven y que son fundamentales ya que nos ayuda a tener una

referencia de cuanto es el error a considerar en cada medición que realicemos ya sea mediciones

directas o mediciones indirectas.

Laboratorio de física i mediciones y errores

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