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Brazilian Society of MechanicalSciencesPrint version ISSN
0100-7386J. Braz. Soc. Mech. Sci. vol.22 n.2
Campinas2000http://dx.doi.org/10.1590/S0100-73862000000200015 Uma
Reviso sobre a Parametrizaode Rotaes Finitas na Dinmica deCorpos
RgidosM.A. rindadeR. !ampaioPontifcia Universidade Catlica do Rio
de Janeiro.Departamento de Engenharia Mecnica. Rua Marqus de
SoVicente 225. Gvea. 22453-900. Rio de Janeiro. RJ.
[email protected] ,
[email protected]://www.mec.puc-rio.br/prof/rsampaio/rsampaio.htmlEste
trabalho tem por objetivo apresentar possveis parametrizaes de
rotaesfinitas, dando especial nfase descrio do operador rotao em
termos dosparmetros mais utilizados na literatura !ma descrio
intrnseca do operadorrotao e de suas propriedades " apresentada Em
se#uida, este operador "utilizado para descrever a cinem$tica
espacial de corpos r#idos Parmetros comon#ulos de Euler e de
%r&ant, parmetros de Euler e de 'odri#ues, vetor rotao,vetor
rotao conforme, e (uaternios so apresentados, assim como suas
relaesProblemas como pontos de sin#ularidade e propriedades de
diferenciabilidade sotratados )omparaes entre os diversos sistemas
de parametrizaes soapresentadas e concluses finais acerca das
vanta#ens e desvanta#ens de umadada parametrizao so
formuladasIntroductionA parametrizao de rotaes finitas tem sido
objeto de continua anlise devido a suaJournal of the Brazilian
Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'
%e -& ,,/&./,&'. '':&&extensa aplicao pesquisa
aeronutica e aeroespacial. Entretanto, o primeiro estudo
sobrerotaes foi publicado por Euler em 1776. Vrios livros clssicos
de Dinmica (Arnold, 1976,Goldstein, 1980, Meirovitch, 1970,
Whittaker, 1965) apresentam conhecimentos bsicos dacinemtica de
corpos rgidos, porm sem detalhar a parametrizao de rotaes finitas.
JBottema e Roth (1979) e Angeles (1988) se dedicaram cinemtica
propriamente dita.Adicionalmente, uma introduo simples lgebra de
rotaes pode ser encontrada em(Mayer, 1964).Atualmente, o problema
da representao de rotaes finitas continua sendo bastanteestudado.
Alguns autores (Cardona, 1989, Rochinha e Sampaio, 1996b, Trindade,
1996)apresentaram a importncia da anlise de rotaes finitas na
dinmica tridimensional demulticorpos. O desenvolvimento da anlise
no-linear de estruturas, motivado principalmentepelo estudo de
estruturas geometricamente no-lineares e de estruturas sujeitas a
grandesdeslocamentos, despertou o interesse da comunidade de
dinmica estrutural narepresentao de rotaes finitas (Bathe e
Bolourchi, 1979, Betsch, Menzel e Stein, 1998,Ibrahimbegovic, Frey
e Kozar, 1995, Simo e Wong, 1991). Argyris (1982) e Atluri e
Cazzani(1995) apresentaram uma reviso de rotaes finitas e de suas
aplicaes dinmicaestrutural.Mais precisamente sobre a parametrizao
de rotaes, uma discusso sobre a necessidadede cinco parmetros para
representar globalmente rotaes apresentada por Stuelpnagel(1964).
Sistemas com quatro parmetros, como quaternios, so suficientes para
representarrotaes na prtica, com apenas um parmetro redundante.
Neste trabalho, mostra-se que agrande vantagem de utilizar o nmero
mnimo de parmetros, i.e. trs, de eliminar aredundncia nos parmetros
de forma no originar equaes de vnculo. Mesmo se, nestecaso,
singularidades na representao so inevitveis (Stuelpnagel, 1964).
Maioresdiscusses sobre singularidades podem ser encontradas em
(Sampaio e Trindade, 1998).Uma reviso geral sobre diferentes
sistemas de parametrizao foi apresentada por Gradin eRixen (1995).O
objetivo deste trabalho apresentar uma reviso das possveis
abordagens para oproblema da descrio da cinemtica espacial de
corpos rgidos, que consiste basicamenteem descrever as rotaes
finitas de corpos rgidos. Este estudo bsico para a
modelagem,simulao, anlise do comportamento dinmico de
estruturas.Inicialmente, ser apresentada uma descrio intrnseca do
operador rotao, i.e., sem o usode componentes, atentando para as
principais propriedades do operador. Em seguida, serodescritos o
movimento geral de um corpo rgido e os seus campos de velocidades
eaceleraes.Posteriormente, sero apresentadas diversas abordagens
para a parametrizao de rotaesfinitas. A representao de rotaes
finitas objetivo de intensivo estudo e numerosostrabalhos nesta rea
vem sendo apresentados ao longo da ltima dcada. No objetivodeste
trabalho esgotar o assunto de parametrizao de rotaes finitas, mas
sim, apresentaruma discusso acerca dos mais importantes sistemas de
parametrizao encontrados naliteratura.Sero apresentados os
seguintes sistemas de parametrizao:ngulos de Euler e ngulos de
Bryant - fornecem uma caracterizao geomtrica da rotao.So os
sistemas de parametrizao mais encontrados na literatura de
Dinmica,principalmente, por apresentarem fcil visualizao do
problema.Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences -
Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,
%e -& ,,/&./,&'. '':&&Parmetros de Euler,
Parmetros de Rodrigues, Vetor Rotao e Vetor Rotao Conforme -derivam
do teorema de Euler acerca da representao de rotaes finitas em
termos dosinvariantes (eixo e ngulo de rotao). Possuem a vantagem
de no serem especficos paradeterminados problemas como os ngulos de
Euler e Bryant, sendo, em princpio, maisapropriados para o estudo
de problemas gerais.Quaternios - trata de forma bastante peculiar e
elegante o problema de rotao. Permitecombinar rotaes sucessivas
atravs da multiplicao de quaternios, causando um nmeromnimo de
operaes algbricas.Estas diferentes abordagens e suas relaes sero
apresentadas. Problemas como pontos desingularidade e propriedades
de diferenciabilidade sero tratados. Atravs da comparaodos diversos
sistemas de parametrizao, sero apresentadas concluses finais acerca
daconvenincia de uma dada parametrizao, i.e., suas vantagens e
desvantagens.Descrio Intrnseca do Operador de Rotaes FinitasSeja o
operador linear R, representado na figura 1, tal que" = R# (2.1)A
imagem de X obtida atravs de uma rotao na qual seu mdulo permanece
inalteradoqualquer que seja R. De modo que podemos escrever# T# =
"T" = #TRTR#(2.2)donde, podemos observar queRTR=$ (2.3)portanto
RT=R-1, o que significa que o operador R pode ser representado por
uma matrizortogonal.Sabendo que os vetores Ei formam uma base
ortonormal E, temos (2.4)Journal of the Brazilian Society of
Mechanical Sciences - Uma reviso s...
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%e -& ,,/&./,&'. '':&&e, portanto, (2.5)Da
mesma maneira, sabemos que os vetores ti formam uma base ortonormal
t (2.6)e, portanto, (2.7)Vamos definir, ento, as matrizesA =
[%1%2%3]e& = [t1t2t3] (2.8)que, devido s equaes (2.5) e (2.7),
tm determinante unitriodet(A) = 1edet(&) = 1(2.9)Sabendo que os
vetores ti da base t tambm so transformados pelo operador R, tal
que, podemos observar que& = R A (2.10)e, portanto, podemos
afirmar quedet(R) = +1(2.11)o que mostra que o operador R pode ser
representado por uma matriz ortogonal e prpria.Consideremos o
conjunto {l 1, l 2, l 3} e o conjunto {h1, h2, h3} como os
autovalores eautovetores do operador R, respectivamente. Portanto,
podemos escrever:R' i = l i ' i ( i = 1,2,3 )(2.12)Podemos, ento,
concluir que o produto dos autovalores de R igual a 1.det(R) =
l1l2l3 = 1(2.13)Alm disso, de (2.12), podemos escrever (2.14)Como
foi verificado anteriormente, o mdulo de um vetor que efetua uma
rotao purapermanece inalterado, de modo que todos os autovalores tm
mdulo unitrio (2.15)Como R um operador 3/3, a equao caracterstica
de R uma equao cbica em l . ComoR real, esta equao deve possuir
pelo menos uma raiz real. Devido ao fato de que omdulo dos
autovalores unitrio, esta raiz real s pode ser 1.Consideremos,
ento, todos os possveis autovalores de R. Todos os trs autovalores
noJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma
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http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...-
%e -& ,,/&./,&'. '':&&podem ser reais e
diferentes, pois razes reais s podem ter valores 1. Se todos
osautovalores forem reais e dois deles iguais, o que diferente deve
ser +1, seno odeterminante de R no poderia ser +1. Com exceo da
soluo trivial onde todos osautovalores tm valor +1 (que representa
a matriz identidade), a nica possibilidaderemanescente um autovalor
real e outros dois complexos conjugados. Mas, os
autovalorescomplexos conjugados possuem mdulo unitrio e,
consequentemente, seu produto igual a+1, portanto o autovalor real
deve ser +1.Como foi verificado, qualquer transformao ortogonal
no-trivial representando omovimento de rotao de um corpo rgido tem
um, e apenas um, autovalor igual a +1. Estaafirmao pode ser
reescrita atravs do teorema de Euler: o movimento geral de um
corporgido com um ponto fixo equivalente a uma rotao em torno de
algum eixo.Consideremos a matriz 0 como sendo a matriz dos
autovalores de R. Podemos escrever ooperador R comoR = (L(-1
onde()( = $ (2.16)e onde (2.17)sendo que os autovalores {l 1, l 2,
l 3} podem ser escritos da seguinte formal1 = 1 l2 = exp(i f)l3 =
exp(-i f),(f arbitr$rio)(2.18)O operador R possui um autovetor n
associado ao autovalor l 1, tal que:Rn = n (2.19)e, portanto,
permanece inalterado na transformao. O vetor unitrio n denominado
deeixo de rotao.Os autovetores associados aos outros dois
autovalores l 2 e l 3 so complexos conjugados.Podemos escrever o
operador Q na formaQ = [nu=iv u-iv] (2.20)portanto (2.21)Utilizando
a propriedade definida na equao (2.16), podemos escrever
(2.22)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma
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http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&....
%e -& ,,/&./,&'. '':&&donde podemos escrevernT*
- nTv = 0*Tv = 0 (2.23)*T* + vTv = 1Das propriedades acima
descritas, podemos deduzir que os vetores u e v formam uma
baseortogonal no plano perpendicular ao eixo de rotao n.Podemos
observar que os autovetores ( * + i v ) e ( * - i v ) obedecem s
seguintes relaes:R ( * + i v ) = exp ( i f ) ( * + i v ) (2.24)R (
* - i v ) = exp (- i f ) ( * - i v )que podem ser reescritas da
seguinte formaR* + iRv =( * cos f - vsen f ) + i ( *sen f + vcos f
) (2.25)R* - iRv =( * cos f - vsen f ) - i ( *sen f + vcos f
)dondeR* =* cos f - v sen f(2.26)Rv =* sen f + v cos fEste
resultado mostra que os vetores u e v apresentam uma rotao plana de
um ngulo f noplano perpendicular ao eixo de rotao.Os ltimos
resultados mostram que qualquer rotao R pode ser pensada
globalmente comouma rotao plana de um ngulo f em torno de um eixo
n.Movimento Geral de um Corpo RgidoNa seo anterior, descrevemos o
operador rotao atravs de uma transformao rgida deum vetor, onde
eram consideradas apenas as configuraes inicial e final. Agora,
desejamosdescrever o movimento de um corpo rgido. Para tal,
passaremos a considerar que ooperador rotao varivel no tempo. Isto
porque o corpo rgido pode assumir vriasconfiguraes, uma para cada
instante de tempo. Para descrever este movimento sonecessrios seis
parmetros, dos quais trs so para descrever a translao de um ponto
docorpo e outros trs para descrever a rotao em torno de um eixo que
passa por este ponto(Arnold, 1976).Consideremos um corpo rgido se
movendo no espao, como representado na figura 2. SejaO um ponto do
corpo que adotaremos como origem do referencial inercial,
representado nafigura 2 pela base E. Sejam X e xP os vetores-posio
de um ponto arbitrrio P do corpo.Suponhamos que o movimento do
corpo seja a composio de dois movimentos, um detranslao pura e
outro de rotao pura. No primeiro movimento, todos os pontos do
corpoapresentam o mesmo deslocamento, que representaremos pelo
deslocamento xO do ponto O.No segundo movimento, o corpo rgido gira
em torno de um eixo que passa pelo ponto O. Talque, o vetor-posio
do ponto P, aps o movimento, #P = #O + #(3.1)Journal of the
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%e -& ,,/&./,&'. '':&&onde xP = OP, X = OP, xO
= OO e x = OP.Como o segundo movimento uma rotao pura, representada
pelo operador R, o vetor x a imagem do vetor X, de modo que podemos
reescrever a equao (3.1) na seguinte forma:" P = " O + R
#(3.2)Podemos expressar o deslocamento do ponto P de sua posio de
referncia na forma* P = " P - # = * O + D # (3.3)onde *O = "O o
deslocamento da origem, e ondeD = R - $ (3.4)O operador D tem pelo
menos um autovalor nulo, poisD n = DTn = 0(3.5)Portanto, o
sistema*o + D# = 0 (3.6)no tem soluo em geral, o que significa que,
geralmente, nenhum ponto do corpopermanece fixo durante a
transformao definida na equao (3.2) a no ser que odeslocamento da
origem uO seja nulo. Porm, podemos encontrar um ponto C com
odeslocamento mnimo. A sua posio pode ser encontrada resolvendo o
seguinteproblema. (3.7)A soluo do problema acima verifica a
seguinte equaoD T (* o + D# C) = 0(3.8)o que mostra que o
deslocamento do ponto C paralelo ao eixo de rotaoJournal of the
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%e -& ,,/&./,&'. '':&&*C = *O + D#C =
kn(3.9)onde k uma constante cujo valor pode ser obtido
pr-multiplicando a equao (3.9) por nTk = nT* O (3.10)e a posio do
ponto C soluo deD# C = ( nn T - $ ) * o (3.11)no entanto, no
podemos resolver este sistema, pois o operador D no inversvel,
comopode ser observado em (3.5). De modo a eliminar a indeterminao
na escolha do ponto Cno eixo de rotao, podemos escolher um ponto M
no eixo de rotao que satisfaa o sistemaacima e que seja o mais
prximo da origem O. O vetor-posio de M est sujeito ao
seguintevnculonT#M = 0(3.12)e soluo do seguinte sistema (3.13)Este
sistema formalmente sobredeterminado com quatro equaes e trs
incgnitas.Porm, sua sobredeterminao apenas formal, j que, apenas
trs das quatro equaes solinearmente independentes. A soluo do
sistema acima pode ser obtida utilizando a inversageneralizada de
Moore-Penrose (Campbell e Meyer, 1979) (3.14)donde (3.15)Podemos
verificar que o deslocamento do ponto M consiste apenas de uma
translao*M = kn + D (#M - #C) = kn (3.16)A partir dos ltimos
resultados podemos escrever o teorema de Chasles:"Em um movimento
qualquer de um corpo rgido, a posio dos pontos do corpo quepossuem
o menor deslocamento definida por uma linha paralela ao eixo de
rotao quepassa por um ponto M cujo vetor-posio definido na equao
(3.15)."Campo de Velocidades de um Corpo RgidoPodemos, agora,
analisar as velocidades envolvidas em um movimento geral de um
corporgido. Para tal, como na seo anterior, vamos considerar o
movimento de um ponto P docorpo. O vetor-velocidade do ponto P pode
ser obtido atravs da diferenciao com relaoao tempo da equao (3.2) e
dado pela seguinte expressoJournal of the Brazilian Society of
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%e -& ,,/&./,&'. '':&& (4.1)Consideremos o caso
onde o ponto material fixo com relao base material e, portanto,.
Desta forma, a equao acima se reduz a: (4.2)Podemos ainda eliminar
X da equao acima exprimindo X em funo xP. Para tal, podemosinverter
a equao (3.2) obtendo:# = RT (" P - " o)(4.3)substituindo a equao
(4.3) na equao (4.2), obtemos a forma final do vetor-velocidade
doponto P(4.4)onde o operador um operador anti-simtrico, j
que(4.5)portanto, podemos definir o operador (4.6)como sendo o
operador anti-simtrico associado ao vetor-velocidade angular
espacial w docorpo rgido. O isomorfismo entre um operador
anti-simtrico e um vetor nos permiteescrever. Tal que, em qualquer
base, podemos escrever a seguinte relao entre ascomponentes da
matriz anti-simtrica e do vetor(4.7)De forma que a velocidade vP do
ponto P pode ser escrita como (4.8)onde o vetor-velocidade do ponto
de referncia O. Desta maneira, se sabemos aposio e a velocidade de
um ponto qualquer do corpo e a velocidade angular do corpo,podemos
determinar o seu movimento.Podemos definir, tambm, a velocidade
angular material que pode ser obtida atravs datransformao (Figura
3) (4.9)donde a velocidade angular material expressa por
(4.10)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma
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%e -& ,,/&./,&'. '':&&Como a escolha da origem
O arbitrria, interessante obtermos uma descrio invarianteda
velocidade do ponto P. Para isso, analogamente ao desenvolvimento
da seo anterior,vamos definir um ponto C do corpo como sendo aquele
que apresenta menor velocidade. Istoconsiste em resolver o seguinte
problema (4.11)Da equao acima, podemos observar que o vetor-posio
xC do ponto C verifica a seguintecondio (4.12)o que significa que
seu vetor-velocidade vC paralelo a direo da velocidade angular
(4.13)O valor de u pode ser obtido projetando a equao acima na
direo de w, ou seja,pr-multiplicando a equao por wT (4.14)A posio
xC do ponto C pode ser obtida utilizando as equaes (4.13) e
(4.14)(4.15)contudo, este sistema no tem soluo nica pois no tem
posto mximo. Portanto,vamos supor um conjunto de solues "C da
forma"C = "M + a +(4.16)onde xM uma soluo particular da equao
(4.15) e a um parmetro arbitrrio. Todos ospontos xC possuem a mesma
velocidade mnima definida na equao (4.13). A equao(4.16) representa
uma linha que passa pelo ponto xM e segue na direo da
velocidadeangular w. Esta linha chamada de eixo de parafuso
instantneo (instantaneous screw axis)do corpo rgido.Journal of the
Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'&
%e -& ,,/&./,&'. '':&&O ponto M pode ser
considerado como sendo o ponto mais prximo ao ponto de referncia,de
modo que,T#M = 0(4.17)O vetor-posio do ponto M , ento, soluo do
seguinte sistema (4.18)Este sistema formalmente sobredeterminado
com quatro equaes e trs incgnitas, pormessa sobredeterminao apenas
formal, j que apenas trs das quatro equaes solinearmente
independentes. Podemos obter a soluo deste sistema utilizando a
inversageneralizada de Moore-Penrose. Para tal, vamos
pr-multiplicar este sistema por. (4.19)donde (4.20)A partir dos
ltimos resultados podemos escrever o seguinte teorema:"A posio dos
pontos de um corpo rgido que possuem a menor velocidade definida
poruma linha paralela a velocidade angular espacial que passa por
um ponto M cujo vetor-posio definido na equao (4.20)."A componente
u definida na equao (4.14) chamada de deslizamento (sliding) do
parafusoinstantneo e o passo do parafuso pode ser definido como
(4.21)A velocidade de um ponto P arbitrrio do corpo rgido pode ser
escrita da seguinte forma (4.22)o que mostra que a velocidade de um
corpo rgido composta de uma translao ao longo doeixo instantneo de
rotao e de uma rotao em torno do mesmo eixo.Campo de Aceleraes de
um Corpo RgidoPor ltimo, podemos analisar as aceleraes envolvidas
em um movimento geral de um corporgido. Para tal, como nas sees
anteriores, vamos considerar o movimento de um ponto Pdo corpo. O
vetor-acelerao do ponto P pode ser obtido atravs da diferenciao da
equao(4.2) e dado pela seguinte expresso (5.1)Journal of the
Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
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%e -& ,,/&./,&'. '':&&Podemos ainda eliminar X
da equao acima utilizando a equao (4.3) obtendo: (5.2)O operador
pode ser escrito em termos do operador associado velocidadeangular
espacial da seguinte forma (5.3)O primeiro termo, que
anti-simtrico, representa a variao da velocidade angular espacial.A
acelerao angular espacial a pode ser definida como o vetor
associado ao operador, ouseja (5.4)De maneira que podemos
reescrever a equao (5.2) na forma (5.5)Esta equao determina o campo
de aceleraes do corpo rgido. Podemos definir, como naseo anterior,
a acelerao angular material que pode ser obtida atravs da
transformao (5.6)Representaes do Operador RotaoA propriedade de
ortogonalidade do operador rotao RTR=$ apresentada
anteriormentefornece as seis equaes de vnculo seguintes:ri rj = %ij
(i = 1, . . . , j ; j = 1,2,3)(6.1)onde ri representa uma coluna de
R. Desta maneira, temos nove incgnitas e seis equaes eportanto,
podemos concluir que so necessrios trs parmetros arbitrrios para
determinaro operador R, ouR = R ( a1, a2, a3 )(6.2)onde estes trs
parmetros a1, a2 e a 3 podem ser escolhidos de vrias maneiras
diferentes.Nas prximas sees, apresentaremos vrias parametrizaes
possveis que permitem arepresentao do operador rotao R.Representao
de Rotaes em Termos de Produtos TensoriaisPodemos observar que os
vetores ti componentes da base t tambm so transformados
pelooperador R, como representado na figura 1, de forma que:ti =
R%i (i = 1,2,3)(6.3)portanto podemos representar o operador R na
seguinte formaJournal of the Brazilian Society of Mechanical
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%e -& ,,/&./,&'. '':&&R = t 12 % 1 + t 22 % 2 +
t 32 % 3(6.4)o que significa que o operador R representado na base
mista ( ) a prpria matrizidentidade, j que um vetor X operado por R
gira solidrio base t, ou seja, o vetor Xrepresentado na base E
igual ao vetor x representado na base t.(6.5)Para representarmos o
operador R nas bases ( ) e ( ), devemos representar os
vetorescomponentes de uma base na outra. Deste modo, vamos escrever
ti na base Eiti = (ti.%1)%1 + (ti.%2)%2 + (ti.%3)%3 (i =
1,2,3)(6.6)substituindo esta expresso na equao (6.4) obtemos a
representao do operador R nabase, em funo dos cosenos diretores
(6.7)ou, na forma matricial,(6.8)Analogamente, podemos escrever Ei
na base ti%i = (%i.t1)t1 + (%i.t2)t2 + (%i.t3)t3(i = 1,2,3)
(6.9)substituindo esta expresso na equao (6.4) obtemos a
representao do operador R nabase, em funo dos cosenos diretores
(6.10)ou, na forma matricial,(6.11)De modo que podemos observar que
as representaes de R nas bases ( ) e ( ) soiguais (6.12)Journal of
the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...')
%e -& ,,/&./,&'. '':&&Representao de Rotaes em
Termos de seus InvariantesComo j foi apresentado anteriormente,
qualquer rotao R pode ser representada por umarotao plana, de ngulo
f , em torno de um eixo n. Nesta seo, apresentaremos os passospara
representar o operador rotao R em termos destes dois invariantes n
e f .Podemos decompor os vetores X e " = R# em suas partes
paralelas e ortogonais ao eixo derotao n.# = n nT# + ( $ - n nT ) #
(6.13)" = n nT" + ( $ - n nT ) "observando quen nTR = n nT(6.14)e
definindo as partes ortogonais de X e x como Y e y- = ( $ - n nT )
# (6.15). = ( $ - n nT ) " / ( $ - n nT ) R#Podemos reescrever a
equao (6.13) na seguinte forma# = n nT# + -(6.16)" = n nT# +
.Sabemos que, na transformao operada por R, a parte ortogonal de x
apresenta umarotao plana no plano ortogonal a n e,
consequentemente, (6.17)reescrevendo o sistema em forma matricial,
obtemos (6.18)Este sistema formalmente sobredeterminado com quatro
equaes e trs incgnitas.Porm, sua sobre determinao apenas formal,
pois o operador no inversvel, j que. Portanto, apenas trs das
quatro equaes so linearmente independentes. Pararesolver este
sistema, vamos pr-multiplicar o sistema acima pela inversa
generalizada deMoore-Penrose (Campbell e Meyer, 1979) do primeiro
termo.(6.19)onde, a seguinte expresso verdadeira para qualquer Y
(6.20)Desta forma, podemos escreverJournal of the Brazilian Society
of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'-
%e -& ,,/&./,&'. '':&&(6.21)ou(6.22)Da equao
(6.15), podemos eliminar Y e y, obtendo (6.23)resultado que nos
fornece a forma do operador rotao R, em funo de n e f(6.24)donde
podemos observar que o operador R possui os seguintes invariantes
lineares, quesero bastante teis para obter os parmetros a partir de
uma dada matriz de rotao (6.25)Se reescrevermos a transformao
atravs da relao" = R # (6.26)e derivarmos a relao em termos do
ngulo de rotao f , obtemos (6.27)onde (6.28)Podemos verificar que
(6.29)Portanto, substituindo este resultado na equao (6.27) podemos
verificar que x satisfaz aseguinte equao (6.30)cuja soluo
(6.31)donde conclumos que o operador rotao R pode tambm ser
representado pelos invariantesJournal of the Brazilian Society of
Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'.
%e -& ,,/&./,&'. '':&&n e f atravs da seguinte
relao (6.32)Agora, podemos representar as velocidades angulares
espacial w e material W em termosdos invariantes n e f e de suas
derivadas. Para tal, vamos relembrar as seguintespropriedades de
invarincia do operador rotaoRn = n RTn = n(6.33)Derivando as duas
expresses acima no tempo (6.34)Se pr-multiplicarmos a primeira
equao por RT e a segunda por R, obtemos(6.35)e, consequentemente,
(6.36)Porm, no podemos resolver estas equaes j que os operadores no
soinversveis, pois($ - RT )n = 0(R - $)n = 0 (6.37)Mas, sabemos
tambm que o vetor n unitrio, portanto, podemos obter a seguinte
relaoadicional (6.38)donde soluo dos seguintes sistemas (6.39)Os
sistemas acima representam um sistema formalmente sobredeterminado
de quatroequaes e trs incgnitas. Porm, a sobredeterminao destes
sistemas apenas formal,pois as trs primeiras equaes no so
linearmente independentes. Estes sistemas podemser resolvidos
pr-multiplicando-os pela inversa de Moore-Penrose (Campbell e
Meyer, 1979)do primeiro termo (6.40)Sendo que, da expresso de R,
obtida na equao (6.24), podemos verificar que (6.41)Journal of the
Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'+
%e -& ,,/&./,&'. '':&&e (6.42)Ento, obtemos as
seguintes relaes (6.43)onde (6.44)Porm, estes sistemas no podem ser
resolvidos porque o operador B no tem postomximo. Portanto,
escrevamos as seguintes relaes adicionais entre as
velocidadesangulares W e w e a derivada do ngulo de rotao
(6.45)Vamos decompor o operador R em suas partes simtrica e
anti-simtricaR = ! + ondea = nsenf(6.46)Podemos verificar, tambm,
as duas seguintes propriedades vlidas para quaisquer a, u e
S(simtrica) (6.47)donde, obtemos (6.48)Agora, podemos obter os
vetores w e W resolvendo os seguintes sistemas (6.49)cujas solues
podem ser escritas na forma (6.50)onde o operador A = &T& +
n nT possui como inverso (6.51)Desta forma, obtemos as expresses de
w e W em termos dos invariantes n e f e suasderivadasJournal of the
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http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'(
%e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.52)onde (6.53)Agora,
podemos, tambm, obter as expresses das aceleraes angulares em
termos dosinvariantes n e f e suas derivadas, derivando diretamente
a equao (6.52)(6.54)onde o operadorpode ser eliminado notando que
(6.55)portanto, (6.56)onde(6.57)Representao de Rotaes em Termos do
Vetor RotaoA representao do operador rotao em termos dos
invariantes n e f possui o inconvenientede ser escrita em termos de
quatro parmetros: as trs componentes de n e o ngulo f .Portanto,
interessante apresentarmos o vetor rotao. O vetor rotao definido
como ovetor que possui a direo do eixo instantneo de rotao e o
comprimento igual a amplitudede rotaoY = n f(6.58)Desta forma,
podemos representar o operador R em termos do vetor rotao,
substituindo aequao (6.58) na equao (6.24) e utilizando a expresso
(6.20)(6.59)ou na forma exponencial substituindo a equao (6.58) na
equao (6.32)(6.60)O vetor rotao pode ser obtido a partir do
operador rotao, calculando-se o trao e o vetorassociado de RJournal
of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'*
%e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.61)Para obtermos as
expresses de velocidade angular em termos do vetor rotao e de
suaderivada temporal, interessante notar as seguintes
relaes(6.62)Invertendo o sistema acima, obtemos(6.63)Substituindo
estes resultados na equao (6.52) podemos escrever as velocidades
angularesna forma(6.64)onde o operador T (Shuster, 1993b) (6.65)A
aparente singularidade em que aparece nas expresses (6.59) e (6.65)
dosoperadores R e T facilmente eliminada notando que (6.66)As
aceleraes angulares podem ser obtidas derivando as equaes
(6.64)(6.67)Forma de Cayley de uma Matriz Ortogonal - Parmetros de
RodriguesSe reiniciarmos da transformao descrita atravs da relao" =
R # ondeRTR = $ (6.68)sendo que sabemos que esta transformao
preserva o comprimento do vetor inicial.Podemos expressar este fato
da seguinte forma"T" - #T# = (" + #) T (" - #) = 0(6.69)Podemos
introduzir dois vetores f e g definidos por0 = " - # = (R - $)#
(6.70)g = " + # = (R + $)#substituindo f e g na equao (6.69)Journal
of the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...'1
%e -& ,,/&./,&'. '':&&gT0 = 0 (6.71)Utilizando
a equao (6.70) obtemos a seguinte relao entre f e g0 = ( R - $ ) (
R + $ ) -1g = & g(6.72)donde obtemos o seguinte resultadogT
& g = 0 (6.73)Atravs da ltima expresso, deduzimos que o
operador B , necessariamente,anti-simtrico. O isomorfismo entre uma
matriz anti-simtrica e um vetor nos permiterelacionar as
componentes da matriz e do vetor correspondentes. Portanto, podemos
definiro vetor b, cujas componentes em uma base qualquer so [b1 b2
b3], tal que o isomorfismoentre a matriz anti-simtrica B e o vetor
b nos permite escrever a seguinte relao (6.74)Podemos inverter a
relao entre B e R definida na equao (6.72), obtendo a
seguinteexpresso de R (6.75)Esta ltima expresso corresponde a uma
escolha de trs parmetros para descrever ooperador rotao. Porm,
conveniente expandirmos o primeiro termo da multiplicao daltima
equao. Para tal, consideremos a seguinte identidade(6.76)onde
(6.77)Baseados nesta igualdade, podemos calcular o operador
(6.78)Substituindo o ltimo resultado na equao (6.75), obtemos a
forma algbrica geral dooperador rotao (6.79)em termos de trs
parmetros [b1 b2 b3].Comparando a equao (6.24) com a ltima equao,
podemos deduzir a seguinte relaoJournal of the Brazilian Society of
Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,&
%e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.80)e,
portanto,(6.81)O conjunto de trs parmetros bi definidos acima so,
normalmente, chamados deparmetros de Rodrigues. O vetor b formado
pelos parmetros de Rodrigues tambmconhecido por Vetor de Gibbs
(Wertz, 1978, Shuster, 1993a).Os parmetros de Rodrigues oferecem a
vantagem de representar a rotao atravs de umaexpresso simples em
funo de apenas trs parmetros. Eles podem ser obtidos a partir
dooperador R, calculando o trao e o vetor associado de R (6.82)e
(6.83)Este procedimento de inverso apresenta uma singularidade
quando f = p.Para obtermos as expresses das velocidades angulares
em termos dos parmetros deRodrigues e suas derivadas, podemos
derivar a equao (6.81)(6.84)Pr-multiplicando a ltima equao por nT,
obtemos a expresso (6.85)e, substituindo esta expresso na anterior,
obtemos (6.86)Substituindo os ltimos resultados na equao (6.52),
obtemos as expresses dasvelocidades angulares (6.87)onde o operador
(6.88)As aceleraes angulares podem ser obtidas atravs do mesmo
procedimento utilizado naseo anterior.Journal of the Brazilian
Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,'
%e -& ,,/&./,&'. '':&&Representao de Rotaes em
Termos dos Parmetros de EulerA representao do operador rotao em
termos dos parmetros de Euler, conhecidostambm por parmetros
simtricos de Euler ou parmetros de Euler-Rodrigues (ver Wertz,1978
e Shuster, 1993a), pode ser obtida diretamente da representao em
termos dosinvariantes n e f . Eles aparecem atravs da seguinte
mudana de variveis(6.89)onde-1 3 e i3 1i = (0 ... 3) (6.90)Os
parmetros ei no so quantidades independentes j que so relacionados
pela seguinterestrio (6.91)Podemos, tambm, observar que os
parmetros de Euler so relacionados com osparmetros de Rodrigues da
seguinte forma (6.92)A partir desta ltima relao e da equao (6.79),
podemos, facilmente, escrever o operadorrotao em termos dos
parmetros de Euler(6.93)O operador rotao R tambm pode ser expresso
como produto de dois operadores 4/3 queso escritos em termos dos
parmetros de Euler na seguinte formaR = 1 2T (6.94)onde (6.95)A
desvantagem dos parmetros de Euler representar a rotao atravs de
quatroparmetros dependentes, mas esta representao no apresenta
nenhuma singularidade.Eles podem ser obtidos a partir da operador
R, calculando o trao e o vetor associado de R (6.96)Porm, este
procedimento no apenas s til quando e0 no nulo, i.e., quando f 4 p,
mas numericamente ineficiente quando e0 se aproxima de zero.
Portanto, apresentaremos umafrmula (Spurrier, 1978) que permite a
inverso com mximas preciso e eficincia.Journal of the Brazilian
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%e -& ,,/&./,&'. '':&&O primeiro passo
construir uma matriz simtrica S a partir dos elementos da matriz R,
talque (6.97)sendo que, substituindo os elementos de R, podemos
observar facilmente que (6.98)Portanto, podemos usar o maior
elemento da diagonal para calcular os parmetros (6.99)Para obtermos
as expresses das velocidades angulares em termos dos parmetros de
Eulere suas derivadas, vamos derivar a equao (6.89) com respeito ao
tempo. Obtemos oseguinte sistema de equaes(6.100)o qual pode ser
invertido na forma(6.101)Substituindo a equao acima na equao (6.52)
e nomeando, o vetor dos parmetrosde Euler, obtemos (Roberson,
1968)(6.102)onde os operadores H e G foram introduzidos na equao
(6.95).As aceleraes angulares podem ser obtidas atravs da
diferenciao das expresses dasvelocidades angulares.lgebra de
QuaterniosJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences -
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%e -& ,,/&./,&'. '':&&A lgebra de quaternios
(Wehage, 1984) fornece uma maneira muito elegante de
descreverrotaes finitas. Ela conduz ao mesmo conceito dos parmetros
de Euler mas, de maneiracompletamente diferente. A regra
fundamental de multiplicao de quaternios fornece umamaneira
eficiente de expressar a velocidade angular e, tambm, de combinar
rotaessucessivas.Definio e Propriedades:Um quaternio definido como
um nmero complexo quadri-dimensional(6.103)onde i,j e k so smbolos
tais quei 2 = j 2 = k 2 = - 1(6.104)j k = - k j = ik i = - i k = ji
j= - j i= kPodemos adotar tambm a notao vetorial (6.105)onde q0 a
parte escalar e q a parte vetorial do quaternio.A regra de
multiplicao de quaternios derivada da propriedade (6.104) dos
smbolos (6.106) importante ressaltar que a regra de multiplicao no
comutativa devido a presena doproduto vetorial no ltimo termo cujo
sinal invertido ao se inverter a ordem de.O quaternio conjugado
definido como (6.107)A norma de um quaternio definida como
(6.108)Um quaternio definido como unitrio quando (6.109)Um
quaternio vetorial definido como um quaternio cuja parte escalar
nula(6.110)e que, consequentemente, verifica a seguinte propriedade
(6.111)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences -
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http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,-
%e -& ,,/&./,&'. '':&&Representao de Rotaes em
Termos de QuaterniosSejam quaternios unitrio e vetorial,
respectivamente (6.112)podemos verificar que a rotao de um vetor X
dada por (6.113)A prova obtida verificando que1. a norma de
preservada na transformao: (6.114)2. o quaternio resultante tambm
um quaternio vetorial: (6.115)A operao de rotao inversa pode ser
escrita na seguinte forma(6.116)indicando que a transposio inverte
o sentido da rotao.Podemos notar a equivalncia dos quaternios com
os parmetros de Euler colocando oquaternio unitrio na forma
(6.117)Utilizando a equao (6.113) e a regra de multiplicao de
quaternios, obtemos (6.118)Esta transformao a anteriormente
apresentada na equao (6.24)Consideremos, agora, duas rotaes
sucessivas (6.119)elas originam a seguinte rotao resultanteJournal
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%e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.120)Este resultado
nos permite afirmar o seguinte:Duas rotaes sucessivas podem ser
combinadas multiplicando-se os quaternioscorrespondentes na ordem
apropriada.Para obtermos as expresses das velocidades angulares em
termos de quaternios, vamosderivar a equao (6.113) com respeito ao
tempo no referencial inercial (6.121)Substituindo a equao (6.116)
na equao acima e utilizando (6.109), obtemos (6.122)Se derivarmos a
equao (6.109) no tempo, obtemos a importante relao (6.123)que
mostra que o quaternio um quaternio vetorial e pode ser escrito na
seguinte forma (6.124)Substituindo esta relao na equao (6.122)
obtemos (6.125)e, consequentemente, (6.126)mostrando que a parte
vetorial de a velocidade angular espacial cuja expresso pode
serdesenvolvida a partir de (6.124)(6.127)Podemos, tambm, obter a
expresso da velocidade angular material, utilizando a
equao(6.122)(6.128)Analogamente ao caso anterior, podemos escrever
o quaternio na seguinte forma (6.129)Substituindo esta relao na
equao (6.128) obtemos (6.130)Journal of the Brazilian Society of
Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,+
%e -& ,,/&./,&'. '':&&e, consequentemente,
(6.131)mostrando que a parte vetorial de a velocidade angular
material cuja expresso pode serdesenvolvida a partir de
(6.129)(6.132)Representao Matricial de QuaterniosPodemos
representar os quaternios na forma matricial atravs de uma matriz
coluna quadri-dimensional (6.133)O produto de dois quaternios
(6.134)pode ser escrito na seguinte forma (6.135)com as matrizes
4/4 (6.136)Na forma matricial, o operador rotao (6.113) em um
quaternio vetorial pode ser escritocomo (6.137)onde o produto
matricial (6.138)Desta forma, podemos extrair o operador R
(6.139)Podemos verificar que a expresso obtida similar a expresso
em termos dos parmetrosde Euler, portanto podemos facilmente
escrever as velocidades angulares (6.140)onde os operadores H e G
foram introduzidos na equao (6.95), ou na forma de
quaterniosJournal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences -
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%e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.141)As aceleraes
angulares podem ser obtidas atravs da diferenciao das expresses
dasvelocidades angulares.Representao de Rotaes em Termos do Vetor
Rotao ConformeO vetor rotao conforme (VRC) obtido aplicando-se um
rotao conforme nos parmetrosde Euler (Milenkovic, 1982) (6.142)Esta
rotao produz um conjunto de trs parmetros independentes funo da
quarta partedo ngulo de rotao (6.143)e, onde (6.144)Uma vantagem
importante do VRC sua relao praticamente linear com o ngulo derotao
f no intervalo [-p,+p], ilustrada na figura 4a que apresenta a
relao do ngulo e suasprimeira e segunda derivadas com o VRC.A
representao de rotaes em termos do vetor rotao conforme possui uma
singularidadeem f = 2p, pois. Porm, ao contrrio dos parmetros de
Rodrigues, no intervalo f5[-p,+p], o VRC no apresenta nenhuma
singularidade j que neste intervaloJournal of the Brazilian Society
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%e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.145)Utilizando
algumas relaes trigonomtricas, podemos observar facilmente que
(6.146)Substituindo este resultado na equao (6.79) e utilizando a
equao (6.144), obtemos aexpresso do operador R em termos do VRC
(6.147)A principal propriedade do VRC o fato de que a rotao total R
pode ser dividida em duasrotaes F de mesma amplitude, a qual pode
ser computada em termos dos parmetros deRodrigues considerando meia
rotao.R = F2 (6.148)onde F pode ser escrita da seguinte forma
(6.149)Para obtermos as expresses das velocidades angulares em
termos do VRC e suas derivadas,podemos derivar a equao (6.143)
(6.150)Pr-multiplicando a ltima equao por nT, obtemos a expresso
(6.151)e, substituindo esta expresso na anterior, obtemos
(6.152)Substituindo os ltimos resultados na equao (6.52) e
utilizando algumas relaestrigonomtricas, obtemos as expresses das
velocidades angulares (6.153)onde o operador T (6.154)As aceleraes
angulares podem ser obtidas atravs do mesmo procedimento utilizado
naseo anterior.Journal of the Brazilian Society of Mechanical
Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...,1
%e -& ,,/&./,&'. '':&&Representao de Rotaes no
PlanoA rotao mais simples que podemos considerar a rotao plana de
um ngulo finito emtorno de um eixo coordenado. Sejam os eixos xyz e
xyz, apresentados na figura 5. O eixoxyz fixo no espao e o eixo xyz
solidrio a um vetor X. Suponhamos, agora, quegiremos o vetor X de
um ngulo f em torno do eixo z.Se considerarmos que o vetor X possui
componentes [X1 X2 X3] na base material E, asnovas componentes do
mesmo vetor na base espacial t aps a rotao f podem ser escritasda
seguinte forma: (6.155)Se escrevermos em forma matricial, obtemos:#
= R # (6.156)onde o operador rotao R da seguinte forma:(6.157)Da
mesma forma, podemos obter o operador rotao para rotaes nos outros
eixoscoordenados E1 e E2 de ngulos y e 6 , respectivamente.
(6.158)Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences -
Uma reviso s...
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%e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.159)No-Comutatividade
de RotaesConsideremos um corpo rgido (Figura 6) submetido a duas
rotaes sucessivas R1 e R2 de90o em torno dos eixos z e y,
respectivamente (6.160)e (6.161)Sabemos que o produto de matrizes
no comutativo, i.e. (6.162)No caso de rotaes finitas, a
no-comutatividade significa que a inverso da ordem dasoperaes de
rotao d origem a diferentes configuraes geomtricas do corpo no qual
asoperaes foram aplicadas. Esta propriedade implica que, em
qualquer decomposio de umaJournal of the Brazilian Society of
Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...)'
%e -& ,,/&./,&'. '':&&rotao finita em termos de
rotaes elementares sucessivas, a ordem na qual as rotaeselementares
so aplicadas essencial.Representao de Rotaes em Termos dos ngulos
de EulerOs ngulos de Euler formam um conjunto de trs parmetros
independentes que permitemrepresentar o operador rotao atravs da
superposio de trs rotaes planas (Junkins eShuster, 1993). Existem
12 diferentes conjuntos de ngulos de Euler (Wertz, 1978,
Shuster,1993a), 6 simtricos e 6 assimtricos. Nesta seo, usaremos o
seguinte conjunto simtrico(Figura 7):1- Uma rotao de y (precesso)
em torno do eixo E3: R1(z,y)2- Uma rotao de 6 (nutao) em torno do
eixo r1: R2(x,6)3- Uma rotao de 7 (rotao prpria) em torno do eixo
s3: R3(z,7)Podemos escrever a transformao resultante da seguinte
forma:" = R # (6.163)onde o operador rotao R a composio das trs
rotaes na seguinte ordemR = R3 ( z, f ) R2 ( x , 6 ) R1 ( z , 8 )
(6.164)Para obtermos a expresso matricial do operador R em termos
dos ngulos de Euler,devemos ento desenvolver o produto acima, para
tal, devemos escrever os operadores R1,R2 e R3 na mesma base,
digamos.Onde,Journal of the Brazilian Society of Mechanical
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http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...),
%e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.165). (6.166)
(6.167)O operador R pode ser escrito da seguinte forma (6.168)onde
a mudana de base pode ser escrita da seguinte forma (6.169)
(6.170)Conforme, demonstrado na seo anterior, as matrizes de mudana
de base so similares smatrizes de rotao, de forma que as matrizes
Q2 e Q3 so (6.171)Substituindo as ltimas expresses na equao (6.168)
obtemos (6.172)donde, podemos escrever a expresso (6.173)onde c# =
cos# e s# = sen# (# = y ,6 ,7 ).Os ngulos de Euler podem ser
obtidos a partir da matriz R, atravs das seguintes relaes (6.174)
(6.175)Podemos observar que esta inverso apresenta uma
singularidade quando 6 = 0 ou p, poisJournal of the Brazilian
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http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...))
%e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.176)Para obtermos as
expresses das velocidades angulares, vamos relembrar as
seguintesrelaes (6.177)Utilizando o resultado obtido na equao
(6.173), podemos escrever as expresses dasvelocidades angulares. As
componentes da velocidade angular espacial w na base E so (6.178)e
as suas componentes na base t so (6.179)Representao de Rotaes em
Termos dos ngulos de BryantOs ngulos de Bryant (Figura 8) fornecem
um conjunto assimtrico de ngulos de Euler(Wertz, 1978, Shuster,
1993a) permitindo de representar o operador rotao atravs
dasuperposio de trs rotaes planas. As rotaes sucessivas so na
seguinte ordem:1- Uma rotao de y (yaw) em torno do eixo E3: R1(z,y
)2- Uma rotao de 6 (pitch) em torno do eixo r2: R2(y,6 )3- Uma
rotao de 7 (roll) em torno do eixo s1: R3(x,7 )Journal of the
Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...)-
%e -& ,,/&./,&'. '':&&Podemos escrever a
transformao resultante da seguinte forma:" = R# (6.180)onde o
operador rotao R a composio das trs rotaes na seguinte ordemR = R3
( x , 7 ) R2 ( y , 6 ) R1 ( z , 8 ) (6.181)Para obtermos a expresso
matricial do operador R em termos dos ngulos de Bryant,devemos ento
desenvolver o produto acima, para tal, devemos escrever os
operadores R1,R2 e R3 na mesma base, digamos.Onde, (6.182) (6.183)
(6.184)O operador R pode ser escrito da seguinte forma (6.185)onde
a mudana de base pode ser escrita da seguinte forma (6.186)
(6.187)Relembrando a relao das matrizes Q2 e Q3 com as matrizes de
rotao e substituindo asduas ltimas expresses na equao (6.185)
obtemos (6.188)donde, podemos escrever a expresso (6.189)onde c# =
cos# e s# = senx (# = y ,6 ,7 ).Os ngulos de Bryant podem ser
obtidos a partir da matriz R, atravs das seguintes relaesJournal of
the Brazilian Society of Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...).
%e -& ,,/&./,&'. '':&& (6.190) (6.191)Podemos
observar que esta inverso apresenta uma singularidade quando 6 =
p/2, pois (6.192)Para obtermos as expresses das velocidades
angulares, vamos relembrar as seguintesrelaes (6.193)Utilizando o
resultado obtido na equao (6.189), podemos escrever as expresses
dasvelocidades angulares. As componentes da velocidade angular
espacial w na base E so (6.194)e as suas componentes na base t so
(6.195)ConclusesO problema da representao de rotaes finitas para o
estudo da dinmica de corpos rgidosfoi estudado. O operador rotao
foi derivado a partir de diferentes abordagens e aoproblema de
parametrizao foi dado um tratamento particular. Vrios sistemas
deparametrizao foram apresentados, entre eles:ngulos de Eulerngulos
de BryantParmetros de EulerParmetros de RodriguesVetor Rotao
Conforme (VRC)Vetor RotaoQuaterniosPodemos, agora, fazer uma
exposio dos principais pontos favorveis e desfavorveis
destessistemas de parametrizao. Vrios aspectos podem ser
analisados, entre eles:Journal of the Brazilian Society of
Mechanical Sciences - Uma reviso s...
http://www.scielo.br/scielo.phpscript!sci"artte#t$pi%!S&'&&-()*+,&&...)+
%e -& ,,/&./,&'. '':&&Os ngulos de Euler e
Bryant so parametrizaes criadas para problemas especficos como,por
exemplo, os ngulos de Euler para o problema do pio pesado e os
ngulos de Bryantpara o problema de direcionamento de aeronaves.
Devido a este fato, pode-se esperar queeles no sejam apropriados
para o estudo de problemas gerais. Os dois sistemas
apresentampontos de singularidade, i.e., a matriz T no inversvel
para 6 = 0 ou p, no caso dos ngulosde Euler, e para 6 = p/2, no
caso dos ngulos de Bryant. As outras parametrizaes soderivaes do
teorema de Euler acerca da representao de rotaes finitas em termos
doeixo e do ngulo de rotao.Os parmetros de Euler, o VRC e o vetor
rotao podem ser utilizados para representarrotaes de qualquer
magnitude dentro do intervalo f 5 [-p,p]. Enquanto que, os
parmetros deRodrigues tendem a infinito quando |f| 9p. Fora do
intervalo [-p,p], os parmetros de Euler e ovetor rotao no
apresentam singularidades, porm, o VRC tende a infinito quando |f|
9,p.Quanto s propriedades de diferenciabilidade, os parmetros de
Euler, o VRC e o vetorrotao possuem o operador tangente T contnuo e
inversvel dentro do intervalo f 5 [-p,p].Contudo, a nica
parametrizao que permite valores fora deste intervalo o sistema
dosparmetros de Euler. O vetor rotao apresenta um ponto de
singularidade (T no inversvel) quando |f| ! ,p e o VRC quando |f| !
).(&1. No entanto, esta limitao pode serfacilmente superada
trabalhando no intervalo f 5 [-p,p] e transformando as rotaes
queexcedem esta faixa em rotaes dentro do intervalo somando ou
diminuindo o ngulo derotao de 2p . Sendo que, quando |f| ! p, o VRC
est mais prximo do ponto de singularidadeque o vetor rotao,
portanto pode-se esperar um melhor comportamento do ltimo quanto
aconvergncia do algoritmo de integrao.O vetor rotao e o VRC tm a
vantagem de representar rotaes com um nmero mnimode parmetros,
enquanto os parmetros de Euler formam um conjunto de quatro
parmetrosdependentes relacionados por um vnculo. Isto causa o
inconveniente de se tornar necessriaa adio de um multiplicador de
Lagrange para descrever o vnculo para cada corpo. Deforma que, sob
o ponto de vista computacional, se torna necessrio um algoritmo que
integreEADs (Equaes Algbrico-Diferenciais) e no mais EDOs (Equaes
Diferenciais Ordinrias).Os parmetros de Euler do origem a expresses
mais simples que o VRC e o vetor rotao,especialmente para as
aceleraes angulares.Os ngulos de Euler e de Bryant fornecem uma
caracterizao geomtrica imediata darotao. Dentre os sistemas de
parametrizao que no apresentam singularidades, o vetorrotao fornece
uma caracterizao geomtrica mais simples da rotao. Enquanto que
osoutros sistemas requerem interpretao dos valores dando origem a
funes trigonomtricasrazoavelmente complicadas.Como concluso final,
quanto a parametrizao de rotaes em problemas de dinmica decorpos
rgidos, podemos dizer que, desde que se possa aceitar o custo de
integrar equaesalgbrico-diferenciais, o sistema de parametrizao
mais indicado o dos parmetros deEuler, pois o nico que no apresenta
singularidade para qualquer magnitude de rotao e,alm disso, este
sistema d origem a equaes simples. Entretanto, se desejado
ounecessrio empregar um sistema de trs parmetros independentes,
tanto o VRC quanto ovetor rotao so apropriados. Porm, em geral, o
vetor rotao uma opo mais adequadaj que ele fornece uma caracterizao
geomtrica mais simples e melhores propriedades deconvergncia dos
algoritmos de integrao.Journal of the Brazilian Society of
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