Colas Finitas

FIGMM INTRODUCTION TO RESEARCH OPERATIONS

PROF: DR. CARLOS GREDA TURRIATE

TEORIA DE COLAS: POBLACION FINITA

GRUPO N 2INTEGRANTES: INTEGRANTES: -Zambrano Marcos - Peres Nuez - Ferro - Huayhua - Murga

INTRODUCCINEl origen de la Teora de Colas, segn el enfoque actual, lo encontramos en los trabajos de Agner Kraup Erlang (Dinamarca 1878 - 1929) en 1909 para analizar el trfico telefnico o la congestin de llamadas, con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefnico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teora denominada teora de colas o de lneas de espera. Esta teora paso a ser una herramienta muy importante en simulacin y ayud a solucionar muchos problemas prcticos que tenan como caracterstica llegadas y salidas.3

FUNDAMENTO TERICOUna cola es una lnea de espera y la teora de colas es una coleccin de modelos matemticos que describen de lneas de espera particulares o de sistema de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre el costo del sistema y los tiempos promedio de la lnea de espera para un sistema dado. Ejemplos claros de teora de colas: Carga de camiones Fabrica, piezas para ensamblar Hospital Perforacin de minas.4

TEORIA COLAS

Es el estudio matemtico del comportamiento de lneas de espera. Esta se presenta, cuando los clientes llegan a un lugar demandando un servicio a un servidor , el cual tiene una cierta capacidad de atencin. Si el servidor no est disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la lnea de espera.

5

TEORIA COLASLas lneas de espera, filas de espera o colas, son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco. Estudiantes esperando por obtener sus exmenes o su turno del almuerzo. Vehculos esperando pagar ante una estacin de peaje o pasar las revisiones tcnicas. Mquinas daadas a la espera de ser rehabilitadas.6

COSTOS DE SERVICIO Y COSTOS DE ESPERA Los administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el costo de proporcionar buen servicio y el costo del tiempo de espera del cliente o de la mquina que deben ser atendidos. Los administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad. Sin embargo los administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el costo del servicio.

7

CARACTERSTICASLas siguientes caractersticas se aplican a los sistemas de colas: Una poblacin de clientes, que es el conjunto de los clientes posibles. Un proceso de llegada, que es la forma en que llegan los clientes de esa poblacin. Un proceso de colas, que est conformado por la manera que los clientes esperan para ser atendidos y la disciplina de colas, que es la forma en que son elegidos para proporcionarles el servicio.8

CARACTERSTICAS Un proceso de servicios, que es la forma y la rapidez con la que es atendido el cliente Proceso de salida, que son de los siguientes dos tipos: Los elementos abandonan completamente el sistema despus de ser atendidos. Los productos, ya que son procesados en una estacin de trabajo, son trasladados a alguna otra parte para someterlos a otro tipo de proceso, lo que tiene como resultado una red de colas.9

NOTACION DE KENDALLSirve para especificar las caractersticas de una lnea de espera. espera. v/w/x/y/z v: indica la distribucin de tiempo entre llegadas consecutivas. consecutivas. w: alude al patrn de servicio de servidores. servidores. X: es el nmero de canales de servicio. servicio. Y: es la restriccin en la capacidad del sistema. sistema. Z: es la disciplina de cola. cola.

10

En la tabla se presenta un resumen de los smbolos ms utilizados. utilizados.

Disciplina de cola, servicio en el orden de llegada FIFO (First In First Out): primero en llegar primero en salir LIFO (Last In First Out): Ultimo en llegar primero en salir SIRO (Service In Random Order): Servicio al azar

11

DISTRIBUCION DE POISSON: POISSON:Esta distribucin es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigacin operativa, sobre todo en el rea de la gestin de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefnica, la llegada de coches a un tnel de lavado, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros.e P Px Px ! para _ x ! 0,1,2,3,4,... x!

P(x) = x= P= e=

Probabilidad de x arribos nmero de arribos por unidad de tiempo rango promedio de arribo 2.7182812

LLEGADA DE CLIENTESLa figura muestra las configuraciones generales de los sistemas de filas de espera. La llegada de clientes a un sistema de servicios puede derivarse de una poblacin finita o infinita. Esta distincin es importante porque los anlisis se basan en premisas diferentes y su solucin exige ecuaciones distintas.Finita Fuente de poblacin Infinita13

MODELO BASICO CON UNA POBLACION FINITAEs el supuesto de que la fuente o poblacin de donde provienen los clientes para solicitar un servicio, es finita.

14

NOTACIONES DE LINEAS DE ESPERA= Tasa media de llegadas (nmero de llegadas por unidad de tiempo) 1/ = Tiempo medio entre llegadas. = Tasa media de servicio (numero de unidades servidas por unidad de tiempo cuando el servidor esta ocupado) 1/ = Tiempo medio requerido para prestar el servicio. P = Factor de utilizacion del sistema (proporcion de tiempo que el sistema esta ocupado). Pn = Propbabilidad de que n unidades se encuentren en el sistema.15

NOTACIONES DE LINEAS DE ESPERALq = Numero medio de de unidades en la cola (longitd de la cola). Ls = Numero medio de unidades en el sistema. Wq = tiempo medio de espera en la cola. Ws = Tiempo medio de espera en el sistema. ` = tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de servicio. Ws(t) = probabilidad de que un cliente permanesca mas de t unidades de tiempo en el sistema. Wq(t) = probabilidad de que un cliente permanezca mas de t unidades de tiempo en la cola.16

FORMULAS PARA LAS POBLACION FINITAS

17

FORMULAS PARA LAS POBLACION FINITAS

18

PROBLEMASUna unidad minera tiene en funcionamiento 4 taladros, pero en ocasiones estn fuera de servicios por que requieren suministros, mantenimiento o reparacin. Cada perforadora requiere mantenimiento aproximadamente 2 veces por hora. Los tiempos de servicio varan, desde un mantenimiento sencillo (como cambio de brocas o aceite) pero el tiempo promedio de servicio es de 5 minutos. El tiempo de inactividad del equipo ocasiona una perdida de 20 $/hora. El nico empleado de mantenimiento recibe 6$/hora. El nmero promedio de unidades en cola El nmero promedio de unidades en operacin El nmero promedio de unidades en el sistema de 19 mantenimiento.

DESARROLLO

20

DESARROLLO

21

PROBLEMA 2:Una empresa minera cuenta con 20 maquinas de ventilacin, para una explotacin subterrnea. subterrnea. Cada mquina opera un promedio de 200 horas antes de hacerle su mantenimiento, para tal caso se requiere un tcnico que realice dicha labor. El tiempo labor. medio el mantenimiento de una maquina es de 3.6 horas. La tasa de mantenimiento es horas. una distribucin de poisson, y el tiempo de servicio se distribuye de forma exponencial. exponencial. La minera quiere un anlisis de la maquina tiempo muerto debido al mantenimiento, para determinar si el personal de mantenimiento actual es suficiente. suficiente.22

SOLUCIONUsando las frmulas que hemos desarrollado:

P ! 1 / 200hr P ! 0.005 per hr Q ! 1 / 3.6hr Q ! 0.2778 per hr N ! 20MaquinasPo: Probabilidad de que hayan cero unidades en el sistema en el tiempo t:P0 ! 1 N! P ( N n)! n !0 QN

n

P0 !

1 20! 0.005 (20 n)! n !0 0.277820 n

23

P0 ! 0.649

SOLUCIONLq: Nmero de maquinas esperando en cola (porcentaje):

PQ 0.005 0.2778 Lq ! N ( )(1 0.652) )(1 P0 ) Lq ! 20 ( P 0.005Lq ! 0.169L: Nmero de maquinas en el sistema:

L ! Lq (1 P0 ) L ! 0.169 (1 0.652)

L ! 0.52024

SOLUCION

Wq: Tiempo estimado a emplearse en la lnea de espera:

0.169 Wq ! Wq ! ( N L )P ( 20 0.520) v 0.005Tiempo de espera para su mantenimiento

Lq

Wq ! 1.74hr25

SOLUCIONW: Tiempo estimado a emplearse en el sistema:

1 1 W ! Wq W ! 1.74 Q 0.2778En el sistema

W ! 5.33hrEstos resultados muestran que la persona de la reparacin est ocupado el 35% del tiempo de reparacin en las mquinas. De las 20 mquinas, una media de 0,52, estn a la espera para su mantenimiento, o en mantenimiento. Cada equipo averiado est inactivo (desglosados, a la espera para su mantenimiento, o en mantenimiento) un promedio de 26 5,33 horas. As, el sistema parece adecuado

EJEMPLOS TPICOS DE LNEAS DE ESPERA Los problemas de Colas se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio de EE.UU. concluy que un ciudadano medio pasa 5 aos de su vida esperando en distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en los semforos.

27

Problemas tpicos de Teora de Colas son:

28

CONCLUSIONES Es notable la gran ayuda que nos brinda el uso de la Teora de Colas en la solucin de nuestro problema. En el problema que resolvimos no intervienen precios, pero en un problema donde si interviniera precios (como por ejemplo en un problema de transporte de mineral, problema mas conocido como pala camin ) la teora de colas cobra vital importancia; ya que si no tuvisemos un adecuado manejo de tiempos, esto se traducira en una importante perdida de dinero al formarse colas ya sea en la pala o en el botadero o tambin al tener a la pala en desuso tambin generara perdidas.29

RECOMENDACIONES Se recomienda tomar datos exactos, ya que de la precisin de los datos obtenidos depende que tan eficientes sean nuestros resultados. Tambin se recomienda excluir los datos que se salen de los rangos ya conocidos, ya que si consideramos estos datos los resultados que obtengamos sern inexactos.

30

BIBLIOGRAFIA INVESTIGACION DE OPERACIONES-TAHA OPERACIONES INVESTIGACION DE OPERACIONES LIEBERMAN. 9na Edicion Introduction to Management Science 9th Edition. Por Edition. Bernard W. Taylor III - Virginia Polytechnic Institute and State University

31

32