Tp (Diferencias Finitas )

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

Facultad Regional Concepción del Uruguay

Ingeniería Civil

Calculo AvanzadoTrabajo Final

- Docentes:

Doc. Faure, Omar Ing. Rougier, Viviana

- Alumnos:

Bonasegla, Marcos Di zeo, Federico Graziani, Luciano

- Fecha de Presentación: 7 de mayo de 2014

UTN-FRCU Cálculo Avanzado

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Método de Separación de Variables

Introducción

El método de separación de variables (MSV) se basa principalmente en las propiedades de los operadores lineales simétricos: principio de superposición y las posibilidades de aproximar funciones suficientemente regulares mediante series de Fourier (SF).

Datos del problema a resolver:

b= 80 mm (Base de viga)h= 160 mm (Altura de viga)L= 1200 mm (Longitud de viga)E= 30 MPa (Modulo de elasticidad)I= 0.00002730666667 m4

m= 3.761632653 kg

La siguiente ecuación es la Ecuación de Frecuencia y posee un número infinito de soluciones. Para cada n є N se llamara n-ésima solución de la ecuación de frecuencia al número βnL .

cos βL .cosh βL=1(1.1)

5

h

b

L


A continuación mostramos como queda expresada la Ecuacion de Frecuencia en un par de ejes cartesianos coordenados ortogonales en el plano, con las siguientes coordenadas:

En el eje de abscisas (X), entre -20 y 20 En el eje de ordenadas (Y), entre -2 y 2

Los valores de cada β , son los valores que se encuentran Donde ocurre la intersección entre la función y el eje de abscisas.

También podemos obtener los valores de β, variando los valores de n de la siguiente ecuación:

βn=12

(2n+1 )π (1.2)

Por cuestiones de practicidad decidimos optar por tomar 5 valores de β.

n=1→β1=4,73

n=2→β2=7,8532

n=3→β3=10,9956

n=4→β4=14,1872

n=5→β5=17,2788

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Luego calculamos las frecuencias naturales ωn

ωn=√ βn . E . Im(1.3)

ω1=105.4310858

ω1=290.6295127

ω1=569.7499072

ω1=948.5053397

ω1=1406.933444

A continuación armamos la serie de los valores W n. Donde W n es una función que depende solamente de x

W n ( x )=cos hβn x−cos βn x−( cos βn L−cosh βnLsin βnL−cosh βnL )( sin hβn x−sin βnx )(1.4)

W n ( x )=cosh (4.73 x)−cos (4.73 x)−( cos (4.73 L)−cosh(4.73 L)sin(4.73L)−c osh (4.73 L) )(sin h (4.73 x)−sin(4.73 x ))

W n ( x )=cosh (7.85 x )−cos (7.85 x)−( cos(7.85 L)−cosh (7.85L)sin(7.85 L)−cosh(7.85L) ) (sin h(7.85 x)−sin(7.85 x))

W n ( x )=cosh (10.99 x)−cos(10.99 x )−( cos (10.99 L)−cosh(10.99 L)sin (10.99L)−cos h(10.99 L) )(sin h(10.99 x )−sin (10.99 x ))

W n ( x )=cosh (14.19 x)−cos(14.19 x )−( cos (14.19 L)−cosh(14.19 L)sin (14.19L)−cos h(14.19 L) )(sin h(14.19 x )−sin (14.19 x ))

W n ( x )=cosh (17.28 x)−cos(17.28 x )−( cos (17.28 L)−cosh(17.28 L)sin (17.28 L)−cosh(17.28 L) )( sin h(17.28 x)−sin(17.28 x))

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Finalmente graficamos los valores obtenidos, donde podemos observar las oscilaciones producidas en la viga.

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Diferencias FinitasEl método de las diferencias finitas sirve para aproximar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, las cuales van por lo general acompañadas de condiciones iniciales o de frontera.Mediante un proceso de discretizacion, el conjunto infinito de números que representan la función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado por un número finito de parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación.

Nuestro primer paso para la resolución del método de diferencias finitas será determinar cuál es el polinomio w , para esto partimos de lo que ya sabemos del enunciado:

p ( x )=−EI ( x) d4 wdx4

Siendo p ( x ) la carga distribuida sobre la viga, como lo establece el enunciado. Si integramos ambos miembros 4 veces hallaremos el resultado buscado:

d3wdx3 =∫ A

d3wdx3 =Ax+B

d2wdx2 =∫Ax+B

d2wdx2 = A x2

2!+Bx+C

dwdx

=∫ A x2

2 !+Bx+C

dwdx

= A x3

3 !+B x

2

2 !+Cx+D

w=∫ A x3

3 !+B x

2

2!+Cx+D

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w (x)= A x4

4 !+B x

3

3 !+C x

2

2!+Dx+E

Para llegar al resultado final del polinomio debemos aplicar las condiciones de borde para la vida biempotrada:

w ( 0 )=0w(l)=0

dwdx

(0 )=0 dwdx

(l)=0

Nosotros llamamos A al valor de la carga, en nuestro caso vale el valor unitario 1, con las condiciones anteriores obtenemos que D y E son nulos. Y resolviendo un sistema de ecuaciones llegamos a los valores de B y C:

w ( x )=1 x4

4 !−0,6x3

3!+0,12 x2

2 !

w ( x )=0,0416x 4−0,1 x3+0,06x2(2.1)

Este polinomio nos determina la deformación de la viga en el instante que se coloca la carga unitaria sobra la misma.

Ahora bien de acuerdo a la teoría, la derivada con respecto al tiempo nos da igual a la velocidad:

dwdt

=v (2.2)

De la misma forma sabemos que la resolución de la derivada primera también se puede escribir, como el cociente incremental, de la siguiente manera:

dwdt

(x ,t)=w ( x , t )−w ( x )∆ t

(2.3)

Por lo cual si remplazamos (2.2) en (2.3) se obtiene:

v=w ( x , t )−w (x )∆ t

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w ( x , t )=v . Δt+w ( x )(2.4)

De esta manera incorporando la segunda variable, el tiempo (t), podemos determinar que sucede con la oscilación de la viga un instante de tiempo (Δt ) luego de cargada la misma.

Si representamos la oscilación de la viga en una grilla de puntos en los cuales el eje de las abscisas es la longitud de la viga y el eje de ordenadas el tiempo:

La primera fila resultaría de resolver el polinomio w ( x ) en cada intervalo de longitud que se separo la viga, la segunda fila se obtiene calculando w ( x , t ) para la cual se estima una v y un Δt que deberá ser muy pequeño tras considerar que el tiempo que se aplica la carga es mínimo. Luego para hallar las demás filas de la grilla se deberá calcular por medio de la ecuación de vibración:

EI d4wdx4 +m d2w

dt2=0(2.5)

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Si resolvemos paso a paso esta ecuación podemos ver como al final se obtendrán las respectivas oscilaciones.

Hacemos el desarrollo de la serie de Taylor de f alrededor de cualquier punto (x) y nos da como resultado lo siguiente:

f ( x+∆ x )≅ f ( x )+ dfdx

∆ x+ d2 fdx2

(∆ x )2

2 !+ d

3 fdx3

(∆ x)3

3!+ d

4 fdx4

(∆x )4

4 !(2.6)

f ( x−∆ x )≅ f ( x )−dfdx

∆ x+ d2 fdx2

(∆ x )2

2 !−d3 fdx3

(∆ x)3

3 !+ d

4 fdx4

(∆ x)4

4 !(2.7)

Restando Ecuación (2.6) y (2.7) obtenemos:

f ( x+∆ X )−f (x−∆ x )=( dfdx ∆ x)−(−dfdx ∆ x)o

dfdx=

f (x+∆ x )−f ( x−∆ x)2∆ x (2.8)

De la misma manera derivamos de nuevo y llegamos a:

d2 fdx2 =

f ( x+∆ x )−2 f ( x )+ f (x−∆ x)(∆ x)2 (2.9)

Usando la derivada segunda en lugar def ( x ), obtenemos la derivada cuarta:

d4 fdx4 =

d2 f (x+∆x )dx2 −2. d

2 f ( x )dx2 + d

2 f ( x−∆ x )dx2

(∆ x )2(2.10)

Si sustituimos la Ec. (2.9) en la anterior, obtenemos:

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d4 fdx4 =[ f ( x+2∆ x )−2 f ( x+∆ x )+ f (x)

(∆ x)2 −2.f ( x+∆ x )−2 f ( x )+ f (x−∆ x)

(∆ x)2 +f ( x )−2 f ( x−∆ x )+f (x−2∆ x)

(∆ x)2 ]/ (∆ x )2(2.11)

Si simplificamos la formula de la deriva anterior nos queda:

d4 fdx4 =

f ( x+2∆ x )−4 f ( x+∆ x )+6. f ( x )−4 f ( x−∆x )+ f (x−2∆x )(∆ x )4 (2.12)

Ahora sabemos el desarrollo de la derivada cuarta y también la aceleración (derivada segunda) por lo cual podemos remplazar en la ecuación de vibración:

EI (w ( x+2∆ x , t )−4w ( x+∆ x , t )+6.w (x , t )−4w ( x−∆ x ,t )+w (x−2∆x , t )(∆x )4 )=−m(w ( x ,t+Δt )−2w (x , t )+w(x ,t−Δt)

(∆ t )2 )EI (∆ t)2

−m (w ( x+2∆ x ,t )−4w ( x+∆ x , t )+6.w ( x ,t )−4w (x−∆ x , t )+w ( x−2∆ x ,t )(∆ x)4 )=(w ( x ,t+Δt )−2w (x , t )+w(x ,t−Δt))

Si llamamos a los valores constantes T

T= EI−m

Para nuestro caso, remplazando por los datos dados en la consigna:

T=3061224,5 kgf

m2 .2,73 .10−5m4

−33,28 kgm

T=2,51m3 kgfkg

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Remplazando T, la ecuación de vibración nos quedaría de la siguiente manera:

T (∆ t)2

(∆ x)4 (w (x+2∆ x ,t )−4w ( x+∆x , t )+6.w ( x , t )−4w (x−∆ x ,t )+w ( x−2∆ x ,t ) )=(w ( x ,t+Δt )−2w (x , t )+w(x ,t−Δt))

w ( x , t+Δt )=T (∆ t )2

(∆x )4 [w ( x+2∆x , t )−4w ( x+∆ x , t )+6.w ( x , t )−4w ( x−∆ x , t )+w ( x−2∆ x , t ) ]+2w (x , t )−w ( x ,t−Δt )(2.13)

w ( x , t+Δt )=−2,51m3 kgf

kg(∆t )2

(∆ x)4 [w ( x+2∆ x , t )−4w ( x+∆ x , t )+6.w ( x , t )−4w ( x−∆x , t )+w ( x−2∆ x , t ) ]+2w ( x , t )−w ( x ,t−Δt )

Esta última función puede ser expresada en forma matricial, de la siguiente manera:

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Con esta ecuación obtenemos la oscilación de la viga en el punto que queramos. Se puede calcular la deformada para infinitos puntos, con la programación en Mat Lab pudimos verificar esto y se logro llegar a la matriz deformada.

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Con esta matriz y otras dos vectores columnas, uno formado por los intervalos de tiempo y el otro identificando la longitud de la vida, se pudo hallar la grafica de oscilación.

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Elementos Finitos

El método de los elementos finitos es un método de cálculo utilizado en diversos problemas de ingeniería, que se basa en considerar al cuerpo o estructura dividido en elementos discretos, con determinadas condiciones de vínculo entre sí, generándose un sistema de ecuaciones que se resuelve numéricamente y proporciona el estado de tensiones y deformaciones. También se utiliza en matemáticas como método nodal aproximado para resolver ecuaciones diferenciales en forma numérica. Es un procedimiento numérico aplicable a un gran número de problemas con condiciones de borde impuestas (en las estructuras las condiciones de borde serian: restricciones y cargas externas). Varios de estos problemas no tienen solución analítica o es muy difícil obtenerla, por lo que se convierte en la única alternativa de resolución. Con este método se pueden resolver sistemas los cuales no son fáciles de resolver mediante modelos matemáticos simples. Existen dos tipos de caminos para su formulación, basándose en el principio de los trabajos virtuales, es decir, formulaciones variacionales, o mediante el método de Garlekin, Método directo o bien con Raleigh Ritz.

En nuestro caso los extremos de la viga (x= 0, x= L) estarán sujetos a unas determinadas condiciones de contorno:

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Extremo empotrado:

Esta condición de contorno considera el desplazamiento y el giro nulos en los extremos, lo que se traduce en las siguientes dos expresiones diferenciales:

w ( 0 ,t )=0 ,w (l , t )=0 ,∀ t

dwdx

(0 ,t )=0 , dwdx

(l , t )=0 ,∀ t

Además, como ocurre en cualquier problema dinámico, se partirá de unas determinadas condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad en el instante inicial t= 0 que habrá que considerar a la hora de resolver el problema:

w ( x ,0 )=f (x )

dwdx

(x ,0 )=g (x)

A continuación le mostramos el equilibrio local en una sección genérica.

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Primeramente se van a establecer las características dinámicas de un segmento de viga de tamaño diferencial "dx", donde jugarán un papel fundamental las fuerzas inerciales.

Sabemos que:

M=−EI d2wdx2 (3.1)

Aplicando la 2a Ley de Newton al elemento diferencial anterior, e introduciendo la ecuación (3.1), se obtiene fácilmente la ecuación de movimiento de la viga:

d2

dx2 (EI (x) d2wdx2 )+ρA ( x ) d

2wdt2

=F (x ,t )

Como tenemos un problema de vibración libre, no forzada el término F (x , t) se anula.

EI ( x ) d4 wdx4 + ρA ( x ) d

2wdt 2 =0(3.2)

Cuando se consideran nulas la carga axial, las deformaciones por corte y las inercias rotacionales, se asumen como funciones de interpolación o funciones de forma elementales polinomios cúbicos de Hermite. Estos polinomios cúbicos son completos y aseguran el cumplimiento de los criterios de convergencia del método de elementos finitos.

En vibraciones transversales se utilizan elementos tipo viga con dos nodos. Cada nodo posee dos grados de libertad, uno de rotación en el plano xy y otro de traslación paralelo al eje y. Por lo cual en un elemento tenemos 4 grados de libertad.

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Cada elemento tiene una solución del tipo:

w ( x )=W 1 .ψ1+W 2 .ψ2+W 3 .ψ3+W 4 .ψ 4(3.3)

Polinomios Cúbicos de Hermite:

ψ1=2 x3−3 l x2+l3

l3

ψ2=x3−2l x2+ l2 x

l2

ψ3=3 l x2−2 x3

l3

ψ4=x3−l x2

l2

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k ij=∫0

l

EI (ψ¿¿ i¿¿ ' ' ψ j' ')dx¿¿

mij=∫0

l

ρ A (ψ iψ j)dx

Con estas integrales podemos hallar cada elemento de la matriz Rigidez (K) y de la matriz Masa (M).

Por ejemplo si queremos hallar el elemento k11 de la matriz Rigidez se calcula de la siguiente forma:

k11=∫0

l

EI ( ∂2(2 x3−3 l x2+l3

l3)

∂ x2 .∂2( 2 x3−3 l x2+l3

l3)

∂ x2 )dxk11=∫

0

l

EI( (12x−6 l ) .(12 x−6 l))

l6dx

k11=12l3

Si hallamos cada uno de los elementos formaremos las matrices que se muestran a continuación:

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Determinadas las matrices locales, se ensambla la matriz global, con tantas matrices ensambladas como elementos se divida la viga.Por ejemplo si solo tenemos dos elementos nos va a quedar una matriz de 6 x 6, porque el elemento k33 se suma al primer elemento de la siguiente matriz k11, el k34 se suma al k 21, y de la misma manera se suman k 43y k 44 con k12 y k 22respectivamente. Para una mejor interpretación del procedimiento se adjunta la siguiente imagen sobre el ensamblaje de dos elementos:

La matriz global de Rigidez obtenida es simétrica, para llegar al resultado de la matriz Masa global se procede del mismo modo.

Para obtener estas matrices se puede hacer una programación en Mat Lab, la cual nos permite modificando solo la cantidad de nodos conseguir la matriz.

En las páginas siguientes se observa la programación de las respectivas matrices globales.

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La ecuación de movimiento de la viga (3.2) nos queda de la siguiente forma:

EI [K ]Q+m [M ] ∂2Q∂t2

=0 (3.4)

Siendo: [K ] = Matriz Global de Rigidez

[M ] = Matriz Global de Masa

Q = Evolución temporal de los desplazamiento nodales

∂2Q∂t2

= Vector de aceleraciones nodales en el sistema global.

La solución de la ecuación (3.4) tiene la forma:

v=V .sin (ωt+ϕ )(3.5)Donde:

V: amplitud máxima de la vibración ω: frecuencia angular ϕ: fase

Sustituyendo la ecuación (3.5) en (3.4) obtenemos:

[ [K ]−mω2

EI[M ] ]A=0(3.6)

Para que este sistema posea una solución no trivial, el determinante de la matriz debe ser igual a cero:

|[K ]−mω2

EI[M ]|. A=0

Ahora bien sabemos que:

λ=mω2

EI

|[K ]− λ [M ]|. A=0 (3.7)

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Donde el vector A serán los autovectores, y λ los autovalores. La solución de la ecuación (3.7) nos da las frecuencias naturales.

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