EDO Diferencias Finitas 2015 -I

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Ecuaciones Diferenciales OrdinariasSolucin Numrica

Mtodo de Diferencias FinitasCuando las condiciones la EDO se dan por lo menos en algn punto diferente del valor inicial de la variable independiente.Sistemas de EDO - Problema Valor Frontera

Condiciones de Frontera Condiciones Inicialesy(0)=0 y(L)=0 y(0)=0 y(0)=03Sea la ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden:

Dividiendo el intervalo en (n+1) partes iguales

Mtodo de Diferencias Finitas4Sean las frmulas de diferenciacin numrica para la primera y segunda derivada

Mtodo de Diferencias Finitas5Reemplazando en la ecuacin diferencial para cada nodo i =1, 2, , n:

Mtodo de Diferencias Finitas6Se tendr un sistema de n ecuaciones con n incgnitas:

Mtodo de Diferencias Finitas7Agrupando:

Mtodo de Diferencias Finitas8Luego:

Mtodo de Diferencias Finitas9Expresado en forma matricial tenemos un sistema tridiagonal:

Mtodo de Diferencias Finitas10Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuacion diferencial ordinaria:y-y-2y=0 con condiciones de frontera: y(0)=0.1 e y(0.5)=0.283. considere h=0.1.Solucion.-Discretizacin:x0x1x2x3x4X500.10.20.30.40.5y0y1y2y3y4y50.1????????0.283Mtodo de Diferencias Finitas11Se usarn las siguientes frmulas de diferenciacin numrica:

Sea la ecuacin diferencial para cada nodo i:

Mtodo de Diferencias Finitas12Reemplazando para cada nodo:

Mtodo de Diferencias Finitas13Teniendo en cuenta que: y0=0.1, y5=0.283 y h=0.1

Mtodo de Diferencias Finitas14Planteando y resolviendo el sistema tridiagonal:

Mtodo de Diferencias Finitas15Mtodo de Diferencias FinitasUn ejemplo de ecuacion diferencial con valor frontera

Las derivadas de la ecuacin diferencial son reemplazadas por:

16EjemploTomemos el caso de un recipiente a presin que se est probando en el laboratorio para comprobar su capacidad para soportar la presin. Para un recipiente de presin de espesor de radio interior a y radio exterior b, la ecuacin diferencial para el desplazamiento radial "u" de un punto a lo largo del espesor est dada por

El recipiente a presin puede ser modelado como ,

Sustituyendo estas aproximaciones le da

17SolucinPaso 1en el nodo

Paso 2 en el nodo

Paso 3 en el nodo

18Continuacin de la SolucinPaso 4 en el nodo

Paso 5 en el nodoPaso 6 en el nodo

19Resolviendo el Sistema de ecuaciones

20Continuacin de la Solucin


Usando la aproximacin de

y

Nos da22Continuacin de la Solucin

Paso 1 en el nodo


23Continuacin de la SolucinPaso 4 en el nodo


24Resolviendo el Sistema


26Comparacin de los desplazamientos radialesTabla 1Las comparaciones de los desplazamientos radialesde dos mtodos ruexactu1st order|t|u2nd order|t|50.00387310.00387310.00000.00387310.00005.60.00361100.00361651.51601010.00361151.45401026.20.00341520.00342222.02601010.00341591.87651026.80.00326830.00327431.81571010.00326891.63341027.40.00315830.00316181.09031010.00315869.566510380.00307690.00307690.00000.00307690.0000

Mtodos en diferencias finitasEjercicios





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