ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA TRANSFERENCIA DE CALOR I Nombre: Francisco Tipan Zambrano Método de diferencias finitas para sistemas de estado estable El método de diferencias finitas es una técnica numérica que permite la aplicación de geometrías y condiciones de frontera complejas en sistemas bidimensionales, y es la mejor alternativa para resolver problemas de este tipo. Pasos 1. Red nodal La solución numérica permite determinar la temperatura en puntos discretos, que deben seleccionarse. Esto se logra dividiendo el medio de interés en pequeños elementos cuyo punto de referencia es su centro y se denomina punto nodal o nodo. En conjunto los elementos se llaman red nodal o malla. Los puntos se designan en un sistema bidimensional como m y n. Los nodos contienen información sobre las propiedades de los elementos y la posición y número de estos se escoge según la conveniencia geométrica y la precisión deseada. 2. Forma de diferencias finitas de la ecuación de calor Un sistema bidimensional se caracteriza por la siguiente ecuación aproximada de la segunda derivada ∂ 2 T / ∂x 2 :
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
TRANSFERENCIA DE CALOR I
Nombre: Francisco Tipan Zambrano
Método de diferencias finitas para sistemas de estado estable
El método de diferencias finitas es una técnica numérica que permite la aplicación de geometrías y condiciones de frontera complejas en sistemas bidimensionales, y es la mejor alternativa para resolver problemas de este tipo.
Pasos
1. Red nodal
La solución numérica permite determinar la temperatura en puntos discretos, que deben seleccionarse. Esto se logra dividiendo el medio de interés en pequeños elementos cuyo punto de referencia es su centro y se denomina punto nodal o nodo. En conjunto los elementos se llaman red nodal o malla. Los puntos se designan en un sistema bidimensional como m y n.
Los nodos contienen información sobre las propiedades de los elementos y la posición y número de estos se escoge según la conveniencia geométrica y la precisión deseada.
2. Forma de diferencias finitas de la ecuación de calor
Un sistema bidimensional se caracteriza por la siguiente ecuación aproximada
de la segunda derivada ∂2T /∂x2:
∂2T∂x2|m,n≈
∂T∂ x |m+
12,n− ∂T∂x |m−
12,n
∆ x
Los gradientes de temperatura son:
∂T∂x |m+1
2, n≈Tm+1 ,n−Tm, n
∆ x
∂T∂x |m−1
2,n≈T m,n−Tm−1 , n
∆ x
Remplazando en la ecuación inicial:
∂2T∂x2|m,n≈
T m+1, n+T m−1 , n−2T m, n(∆ x )2
En términos de y sería:
∂2T∂ y2|m,n≈
T m+1, n+T m−1 , n−2T m, n(∆ y )2
Con una red para la que y sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuación de distribución de temperaturas se tiene:
T m,n+1+T m, n−1+T m+1 ,n+T m−1 ,n−4T m,n=0
Esta es una forma aproximada de la ecuación de calor para nodos internos equidistantes.
3. Balance de energía
Se aplica la conservación de energía a un volumen de control alrededor de la región nodal. Se supone que el flujo de calor es hacia el nodo. Para sistemas estables se tiene:
Eent+ Eg=0
El intercambio de energía está influido por la conducción entre m,n y sus cuatro nodos contiguos, así como por la generación, y se obtiene:
∑i=1
4
q(i )→(m ,n)+q (∆ x·∆ y·l )=0
Donde i se refiere a los nodos vecinos, q(i)→(m, n) es la transferencia por
conducción entre nodos, y se supone profundidad unitaria. Para la rapidez de conducción se supone que la transferencia ocurre exclusivamente en bandas en x y en y.
q(m−1 ,n )→(m ,n)=k (∆ y·l )T m−1 ,n−Tm, n
∆ x
Donde (∆ y·l ) es el área, (T m+1 , n−T m,n ) /∆ x es la aproximación por diferencias
finitas al gradiente de temperaturas en la frontera entre nodos. Se puede realizar lo mismo para las demás velocidades de transferencia de calor.
Por conveniencia se resta la temperatura del nodo m,n de la del nodo contiguo, ya que se supone que el flujo de calor en m,n es como la figura 2. Si ∆ x=∆ y se tienen en el balance de energía:
T m,n+1+T m, n−1+T m+1 ,n+T m−1 ,n+q (∆ x )2
k−4T m, n=0
Si no hay generación de energía q=0 se tiene la ecuación inicial de balance de energía.
La ecuación en diferencias finitas es necesaria para los nodos cuya temperatura es desconocida. Sin embargo no siempre se puede tomar todos los nodos como interiores y usar las ecuaciones dadas. Un ejemplo es una superficie aislada o una superficie que tiene condiciones convectivas, para las que se aplica el balance de energías.
Para ilustrar este método se analiza el nodo mostrado en la figura que
intercambia energía por convección con un fluido a T ∞. Las transferencias de
calor por conducción son:
q(m−1 ,n )→(m ,n)=k (∆ y·l )T m−1 ,n−Tm, n
∆ x
q(m, n+1)→(m, n)=k (∆x·l )Tm ,n+1−Tm, n
∆ y
q(m+1 ,n)→(m, n)=k (∆ y2 · l)T m+1, n−T m,n
∆ x
q(m, n−1)→(m ,n)=k (∆ x2 · l)T m, n−1−T m,n
∆ y
En las condiciones en m.n también hay convección por lo que:
q(∞ )→ (m, n)=h(∆ x2 · l) (T ∞−T m,n )+h(∆ y2 · l) (T ∞−T m, n)
Aquí se nota la suposición de que las superficies expuestas en la esquina se
encuentran a una temperatura uniforme correspondiente a T m,n, lo que es
congruente con que todo nodo está caracterizado por una sola temperatura que es un promedio de temperaturas de la región.
Al final la ecuación queda:
T m−1 ,n+T m,n+1+12
(T m+1 ,n+T m,n−1 )+ h∆ xkT ∞−(3+ h∆ xk )T m, n=0
Donde la malla es tal que ∆ x=∆ y.
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