Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku

Goniometrické funkceŘešení pravoúhlého

trojúhelníku

Matematika – 9. ročník

Goniometrické funkceSinus ostrého úhlu

∆ 𝑨𝑩𝑪 ∆ 𝑨𝑩𝟏𝑪𝟏 ∆ 𝑨𝑩𝟐𝑪𝟐 ∆𝐀 𝑩𝟑𝑪𝟑

𝐵3

𝐴

Tento poměr nazýváme sinus a a zapisujeme

platí:|𝐵𝐶|:|𝐴𝐵|=|𝐵1𝐶1|:|𝐴𝐵1|=|𝐵2𝐶2|:|𝐴𝐵2|=|𝐵3𝐶3|:|𝐴𝐵3|(𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒𝑣 ě 𝑡𝑦𝑢𝑢)

Poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu a a délky přepony je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.

𝐵2𝐵1𝐵

𝐶3

𝐶2

𝐶1

𝐶·

·

·

·

a

Goniometrické funkceKosinus ostrého úhlu


𝐵3

𝐴

Tento poměr nazýváme kosinus a a zapisujeme

platí:|𝐴𝐶|:|𝐴𝐵|=|𝐴𝐶1|:|𝐴𝐵1|=|𝐴𝐶2|:|𝐴𝐵2|=|𝐴𝐶3|:|𝐴 𝐵3|(𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒𝑣 ě 𝑡𝑦𝑢𝑢)

Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky přepony je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.

𝐵2𝐵1𝐵

𝐶3

𝐶2

𝐶1

𝐶·

·

·

·

a

Goniometrické funkceTangens ostrého úhlu


𝐵3

𝐴

Tento poměr nazýváme tangens a a zapisujeme

platí:|𝐵𝐶|:|𝐴𝐶|=|𝐵1𝐶1|:|𝐴𝐶1|=|𝐵2𝐶2|:|𝐴𝐶2|=|𝐵3𝐶3|:|𝐴𝐶3|(𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒𝑣 ě 𝑡𝑦𝑢𝑢)

Poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu a a délky odvěsny přilehlé k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.

𝐵2𝐵1𝐵

𝐶3

𝐶2

𝐶1

𝐶·

·

·

·

a

Goniometrické funkceKotangens ostrého úhlu


𝐵3

𝐴

Tento poměr nazýváme kotangens a a zapisujeme

platí:|𝐴𝐶|:|𝐵𝐶|=|𝐴𝐶1|:|𝐵1𝐶1|=|𝐴𝐶2|:|𝐵2𝐶2|=|𝐴𝐶3|:|𝐵3𝐶3|(𝑝𝑜𝑑𝑙𝑒𝑣 ě 𝑡𝑦𝑢𝑢)

Poměr délky odvěsny přilehlé k úhlu a a délky odvěsny protilehlé k úhlu a je ve všech trojúhelnících se stejným ostrým úhlem a stejný.

𝐵2𝐵1𝐵

𝐶3

𝐶2

𝐶1

𝐶·

·

·

·

a


trojúhelníkuZa pomoci goniometrických funkcí v libovolném pravoúhlém trojúhelníku můžeme vypočítat délky zbývajících stran a velikostí vnitřních úhlů tj. „řešit pravoúhlý trojúhelník“, známe-li:

a) délky dvou stran,

b) délky jedné strany a velikost jednoho vnitřního úhlu.

Zatím jsme uměli vypočítat

v prvním případě délky stran (Pythagorova věta), ale ne úhlů,

v druhém případě velikosti vnitřních úhlů (jejich součet je 180°), ale ne délky stran.


trojúhelníkuV pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů.|𝐵𝐶|=7,5𝑐𝑚|𝐴𝐶|=18𝑐𝑚|∢𝐵𝐶𝐴|=90 °|𝐴𝐵|=…𝑐𝑚|∢𝐵𝐴𝐶|=…°|∢𝐶𝐵𝐴|=…°

B

A

Cb

a

·

Poněvadž známe délky obou odvěsen můžeme použít pro výpočet velikosti vnitřních úhlů funkce tangens nebo kotangens.

𝑡 𝑔=|𝐵𝐶||𝐴𝐶|

𝑡 𝑔=7,518𝑡 𝑔=0,416 7=22 ° 40 ´

Délku přepony můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, ale abychom se procvičili použijeme některou z goniometrických funkci. Můžeme si vybrat sinus nebo kosinus.

Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno.=90 ° −22 ° 40 ´=67 ° 20 ´

𝑠𝑖𝑛=|𝐵𝐶||𝐴𝐵|

|𝐵𝐶|=𝑠 𝑖𝑛·|𝐴𝐵||𝐴𝐵|= |𝐵𝐶|

𝑠𝑖𝑛|𝐴𝐵|= 7,5

𝑠𝑖𝑛22 ° 40 ´|𝐴𝐵|= 7,5

0 ,3854|𝐴𝐵|=19,5|𝐴𝐵|=19,5𝑐𝑚


trojúhelníkuV pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe Vypočtěte délku zbývající strany a velikosti vnitřních úhlů.|𝐵𝐶|=7𝑐𝑚|𝐴𝐵|=25𝑐𝑚|∢𝐵𝐶𝐴|=90 °|𝐴𝐶|=…𝑐𝑚|∢𝐵𝐴𝐶|=…°|∢𝐶𝐵𝐴|=…°

B

A

Cb

a

·

Poněvadž známe délku přepony a odvěsny můžeme použít pro výpočet velikosti vnitřních úhlů funkce sinus nebo kosinus.

𝑠𝑖𝑛=|𝐵𝐶||𝐴𝐵|

𝑠𝑖𝑛= 725

𝑠𝑖𝑛=0,28=16 ° 16 ´

Délku odvěsny můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, ale abychom se procvičili použijeme některou z goniometrických funkci. Můžeme si vybrat kosinus (cos a) nebo sinus (sin b).

Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno.=90 ° −16 ° 16 ´=73 ° 44 ´

c 𝑜𝑠=|𝐴𝐶||𝐴𝐵|

|𝐴𝐶|=𝑐𝑜𝑠·|𝐴𝐵|

|𝐴𝐶|=0,96 ·25|𝐴𝐶|=24|𝐴𝐶|=24𝑐𝑚


trojúhelníkuV pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe Vypočtěte délky zbývajících stran a velikost třetího vnitřního úhlu.

|𝐵𝐶|=…𝑐𝑚

|𝐴𝐵|=16𝑐𝑚

|∢𝐵𝐶𝐴|=90 °|𝐴𝐶|=…𝑐𝑚

|∢𝐵𝐴𝐶|=…°

|∢ 𝐴𝐵𝐶|=64 °

B

A

Cb

a

·

Poněvadž známe délku přepony a velikosti obou vnitřních úhlů můžeme použít pro výpočet délky zbývajících stran funkce sinus nebo kosinus.

𝑠𝑖𝑛=|𝐴𝐶||𝐴𝐵|

Délku odvěsny můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, ale abychom se procvičili použijeme některou z goniometrických funkci. Můžeme si vybrat sinus (sina) nebo kosinus (cosb).

Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno.

=90 ° −64 °=26 °

c 𝑜𝑠=|𝐵𝐶||𝐴𝐵|

|𝐵𝐶|=𝑐 𝑜𝑠·|𝐴𝐵||𝐵𝐶|=𝑐𝑜𝑠64 ° ·16|𝐵𝐶|=0,438 4 ·16|𝐵𝐶|=7|𝐵𝐶|=7𝑐𝑚

|𝐴𝐶|=𝑠𝑖𝑛·|𝐴𝐵||𝐴𝐶|=𝑠𝑖𝑛 64 ° ·16|𝐴𝐶|=16 ·0,8988|𝐴𝐶|=14,4|𝐴𝐶|=14,4𝑐𝑚


trojúhelníkuV pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C známe Vypočtěte délky zbývajících stran a velikost třetího vnitřního úhlu.

|𝐵𝐶|=…𝑑𝑚

|𝐴𝐶|=2,8𝑑𝑚

|∢𝐵𝐶𝐴|=90 °|𝐴𝐵|=…𝑑𝑚

|∢𝐵𝐴𝐶|=…°

|∢ 𝐴𝐵𝐶|=58 ° 20 ´

B

A

Cb

a

·

Poněvadž známe délku odvěsny a velikosti obou vnitřních úhlů můžeme použít pro výpočet délky zbývajících stran libovolné goniometrické funkce, podle toho zda budeme počítat druhou odvěsnu (funkce tangens nebo kotangens) či přeponu (funkce sinus nebo kosinus).

𝑡 𝑔=|𝐵𝐶||𝐴𝐶|

Délku přepony můžeme určit pomocí Pythagorovy věty, tak to také jednou zkusíme.

Velikost druhého vnitřního úhlu vypočítáme snadno.

=90 ° −58 ° 20 ´=31 ° 40 ´

|AB|2=|BC|2+|AC|2

| AB|2=1,72+2,82| AB|2=2,89 +7,84| AB|2=10,7 3

|AB|=3,3|𝐴𝐵|=3,3𝑑𝑚

|𝐵𝐶|=𝑡 𝑔·|𝐴𝐶||𝐵𝐶|=𝑡 𝑔 31° 40 ´ ·2,8|𝐵𝐶|=2 ,8 ·0,6168|𝐵𝐶|=1 ,7|𝐵𝐶|=1 ,7𝑑𝑚

|AB|=√10,73


trojúhelníkuSestrojte bez úhloměru úhel o velikosti 72°.

|∢𝐵𝐴𝐶|=72 °

BA

C

a ·

Využijeme funkci tangens

Určíme si tg 72°

tg 72° = 3,078

Sestrojíme pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délku 10 jednotek (libovolných) a 30,78 jednotek (stejných).

Vnitřní úhel BAC (a) je 72°, protože:

𝑡 𝑔=|𝐵𝐶||𝐴𝐵|

𝑡 𝑔72 °=30,7810𝑡 𝑔72 °=3,078

10 j

30,78 j

Řešení pravoúhlého trojúhelníku

Cvičení 1Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a = 62 mm, b = 37 mm.

a = 59°; b = 31°


Cvičení 2Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a = 36 mm, c = 58 mm.

a = 38°; b = 52°


Cvičení 3Pravoúhlý trojúhelníku ABC má pravý úhel u vrcholu C. Vypočítejte výšku na přeponu, je-li dáno: a = 6,4 cm, b = 5,2 cm.

v = 4 cm


Cvičení 4V obdélníku ABCD vypočítejte velikost úhlu, který svírá úhlopříčka a strana a, je-li dáno: a = 62 mm, b = 34 mm.

a = 29°


Cvičení 5V obdélníku ABCD je dáno: a = 63 mm, b = 25 mm a body E a F rozdělují stranu CD na třetiny. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku AEF.

19°, 31°, 130°


Cvičení 6Vypočítejte velikost vnitřních úhlů rovnoramenného trojúhelníku, je-li dáno: délka ramene 8,5 cm a výška na základnu 6,8 cm.

a = b = 53°, g = 74°


Cvičení 7Ve čtverci ABCD (a = 8 cm) je bod E střed strany BC a bod F střed strany CD. Vypočítejte velikost vnitřních úhlů trojúhelníku AEF.

37°,°71°30´, 71°30´


Cvičení 8V pravoúhlém lichoběžníku ABCD jsou a a c a b = 90°. Vypočítejte velikost úhlu a, je-li dáno: a = 10,6 cm, b = 7,1 cm, d = 8,9 cm.

a = 53°


Cvičení 9 Jak velký středový úhel přísluší tětivě dlouhé 64 mm, která je sestrojena v kružnici o poloměru 10 cm?

a = 37°


Cvičení 10 Z bodu R jsou sestrojeny tečny ke kružnici o průměru 72 mm. Úhel, který svírají, má velikost 72°.Vypočítejte vzdálenost bodu R od středu kružnice.

61 mm

Goniometrické funkce Řešení pravoúhlého trojúhelníku

Documents