( 2n 10 ) .... ( 2n 10 ) Sn ( 2a ( n 1 )b ) Sn ( a U n ) Sn ( 2a ( n 1 )b ) ( 2.12 ( 10 1 ).2 ) 10 ( 2n 10 ) awal 1. Uan 2004/P-7/No.13 Nilai dari 10 n1 A. 180 B. 190 C. 200 D. 210 E. 220 Jumlah n suku pertama Gunakan info : 10 n1 n =1 n =2 n =10 = (2.1+10)+2.2+10)+.... +(2.10+10) = 12 + 14 + .... +30 Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a = 12 b = 14 – 12 = 2 n = 10 n 2 10 2 5( 24 9.2 ) 5( 24 18 ) 5( 42 ) deret aritmetika adalah n 2 Atau n 2 Keterangan : n = banyaknya suku a = suku pertama (awal) b. = beda Un = suku ke-n (terakhir) akhir 10 ( 12 30 ) n1 2 angka tetap = 5 (42) = 210 210 Jawaban : D Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 10 =>www.matematik-mania.blogspot.com 2
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Yang terakhir ini merupakan deret aritmetika dengan : a=3 b=5–3=2 n = 100 (k=1 sampai 100)
n
2
100
2 50( 6 99.2 )
50( 6 198 ) 10200
Jawaban : C
akhir
100 1 ) ( 3 201 )
k 1 2
angka tetap
= 50 (204) = 10200
Awal = ganti n dengan 1 Akhir = ganti n dengan 100
=>www.matematik-mania.blogspot.com 4
ki 25 .Nilai ( 4 ki ) ....
k kn
( 4 ki ) 4 ki k kn kp
4. Ebtanas 2000
Diketahui
35 35 i5 i5
A. 190 B. 180 C. 150 D. 149 E. 145
Jumlah dari suatu
Gunakan info smart : Perhatikan i = 5 ,berarti p = 5-1 = 4
bilangan asli k n
i1
35 35 35 i5 i5 i5
n
i1 p
= 4.35-4.4+25 = 140-16+25 = 140+9 = 149
Keterangan : k = bilangan asli n = bilangan asli > 1
p = penambahan dari bil. 1
Jawaban : D
=>www.matematik-mania.blogspot.com 5
( 3k 1 )( k 2 ) 4( 2i 2 ) 3a 2 ......
( 3k 1 )( k 2 ) 4( 2i 2 ) 3a 2
( 3k 1 )( k 2 ) 4 ( 2k 2 ) 3k 2
( 3k 5k 2 8k 8 3k )
( 3k 6 )
5. Uan 2004/P-1/No.13 n n n
k1 i1 a1
A. 1
2 n( n 3 )
B.
C.
1
2
1
2
n( n 3 )
n( n 3 )
D.
E.
1
2
1
2
n( n 3 )
n( n 3 )
D. 149
Batas atas sigma semuanya n, berarti batas bawah sigma dapat kita anggap k atau i = a = k, sehingga : n n n
k1 i a1 i1
n n n
k1 k1 k1 n
2 2
k1 n
k1
n
2 n
2 3
2
( 9 3n 6 )
( 3n 15 )
n( n 5 )
Jawaban : E
=>www.matematik-mania.blogspot.com 6
Sn n2
n
= n 2 n - n2 n
6. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn n2
dari deret aritmetika terseut adalah...
1 A. -5
2 B. -2 C. 2
1 D. 2
2 1
E. 5 2
5
2
n . Beda
Gunakan info smart : 5
n 2
Sn pn 2 qn suatu
deret aritmetika, maka
Sn1 ( n 1 )2 5
2 ( n 1 )
beda = 2p
n2 2n 1 5
2 n
5
2 2 1
2 n
3
2
U n Sn Sn1
5 1
2 2
3
2
Sn n2
5
2
n
3 = 2n +
2 3
U2 = 2.2 + = 2
11
2
S n 1 .n 2
b = 2.1 = 2
5
2
n
3 U1 = 2.1 + =
2
7
2
Sangat mudeh ....ya...
b = U2 –U1 = 11 7
- =2 2 2
Jawaban : C
=>www.matematik-mania.blogspot.com 7
7. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn 3n 2 4n . Suku
ke-n dari deret aritmetika terseut adalah... A. 6n +2 B. 6n -2 C. 6n -5 D. 6n -7 E. 3n -8
Jumlah koefisien
Gunakan info smart :
Sn 3n 2 4n
Sn1 3( n 1 )2 4( n 1 )
3( n 2 2n 1 ) 4n 4
3n2 6 n 3 4n 4
3n2 10n 7
U n Sn Sn1
3n 2 4n 3n 2 10n 7
4n 10n 7
6 n 7
Jawaban : D
variable untuk jumlah n suku pertama sama dengan jumlah koefisien variabel untuk suku ke-n
Sn 3n 2 4n
Jumlah koefisien : 3+(-4) = -1
Pada pilihan dicari jumlah koefisiennya yang -1, A. 6 + 2 = 8 (S) B. 6+(-2) = 4 (S) C. 6 +(-5) = 1 (S) D. 6 +(-7) = -1 (B)
Jadi jawaban : D
=>www.matematik-mania.blogspot.com 8
U5 12b
U3 7 7 12 5
a 7 2. 7 5 2
( 2.2 5. ) 3( 12,5 ) 49,5
8.. UAN 2003/P-1/No.10
Suatu keluarga mempunyai 6 anak yang usianya pada saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 7 tahun dan usia anak ke-5 adalah 12 tahun, maka jumlah usia enam anak tersebut adalah... A. 48,5 tahun B. 49,0 tahun C. 49,5 tahun D. 50,0 tahun
E. 50,5 tahun
Gunakan info smart :
Umur anak ke-3 adalah 7 tahun, maksudnya U3 = 7 U3 = 7 a +2b = 7…..(i)
Umur anak ke-3 adalah 7 tahun, maksudnya U5 = 12 U5 = 12 a +4b = 12….(ii)
Dari (i) dan (ii) didapat : U3 = 7 …….. a +2b = 7
Suku ke-n deret aritika Un = a +(n-a)b
Jumlah n suku pertama
n Sn = (2a +(n -1)b)
2
U5 = 12 …….. a +4b = 12 – -2b = -5
b = 52
a + 2. 52 = 7 ,
berarti a =2
3 5
2
U3 a 2b 7 5
2
S6 21 .6( 2.2 ( 6 1 ). 52 )
3( 4 12,5 ) 49,5 S6
6
2
5
2
Jawaban : C
=>www.matematik-mania.blogspot.com 9
Sn ( 2a ( n 1 ).b )
S10 ( 2.5 ( 10 1 ).4 )
Sn = 2n +3n
= 2 .1 0
9. SPMB 2002/Reg-II/No.19 Suku ke-n suatu deret adalah Un = 4n +1. Jumlah sepuluh suku pertama adalah.... A. 250 B. 240 C. 230 D. 220 E. 210
Gunakan info smart :
Un = 4n +1
U1 = 4.1 +1 = 5 U2 = 4.2 +1 = 9 b = U2 –U1
=9–5 =4
Gunakan rumus : n
2 10
2 5( 10 9.4 )
5( 10 36 )
Jika Un = an +b, maka
Sn 12 an2 (b
12 a)n
Integral Jum.Koef.
ju m la h 5
Un = 4n +1 in te g r a l
2
5.46
230 S
10
ju m la h 5 2
= 230 + 3 .1 0
Jawaban : C
Sangat mudeh ....ya...
Jawaban : C
=>www.matematik-mania.blogspot.com 10
S 80
1
b a
1
10. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 20 m dan
memantul kembali dengan ketinggian 3
4 kali tinggi sebelumnya.
Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah.... A. 120 m B. 140 m C. 160 m D. 180 m E. 200 m
Gunakan info smart :
20 m
berhenti Deret untuk bola turun :
3 a = 20 dan r =
4 a 20 20
1 r 3 1
4 4 Deret untuk bola naik :
Bola jatuh di ketinggian t, dan memantul sebesar a
kali tinggi b
sebelumnya, dst….maka Jumlah seluruh lintasan bola sampai berhenti adalah :
b a J= t
a= 3
4 .20 = 15 dan r =
3
4 J=
b a
b a t
4 3
4 3 .20 140
S a
1 r
15
3
4
15
1
4
60 Sangat mudeh ....ya...
Panjang seluruh lintasan : S = 80 +60 = 140 m
Jawaban : B
=>www.matematik-mania.blogspot.com 11
S 2.
2 32 2 .
1
2 6 ,75m
p 3 U1 a .t .2
a 27 S 2 2. 32 3
11. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 2 m dan memantul
kembali dengan ketinggian 3
4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini
berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah lintasan bola tersebut dari pantulan ke-3 sampai ia berhenti adalah.... A. 3,38 m B. 3,75 m C. 6,75 m D. 4,25 m E. 7,75 m
Gunakan info : Perhatikan gambar
O
B
panjang lintasan setelah
AB = BC = 3
4 .2 3
2
D pantulan ke-3 F
3 3 9 CD = DE = .
4 2 8 3 9
EF = U1 = a = . 4 8
27
32
A
C
E
Padahal rasio 3
4 , dan lintasan
nya sepasang-sepasang (perhatikan angka 2 di rumus) mem bentuk deret geometri tak hingga, maka:
a
1 r 27
27 4 3 32 1
4 27 27
8 4
Jawaban : C
Tinggi t meter , panjang lintasan dari pantulan ke-k sampai berhenti, dengan rasio pantulan p
didapat : q
k 3 27
q 4 32 27
1 r 1 4 4
= 6,75 m
=>www.matematik-mania.blogspot.com 12
Sn ( 2a ( n 1 ).b )
S5 ( 2.4 ( 5 1 ).26 )
( 8 104 )
y
U1 U5 4 108
U2 1 U U3 4 56
U4 3 U U5 56 108
12. Seutas tali dipotong 5 bagian dengan panjang masing-masing bagian membentuk barisan aritmetika. Bila tali yang terpendek adalah 4 cm dan tali yang terpanjang adalah 108 cm, maka panjang tali semula adalah.... A. 160 cm B. 180 cm C. 240 cm D. 280 cm E. 300 cm
Gunakan info : Perhatikan gambar
U1 = a = 4
panjangtali semula
setelahdipotongmenjadi 5bagian: Un = 108 n=5 Un a ( n 1 ).b 108 4 4b 4b 108 4
U1 U2 U3 4cm terpendek
U4 U5
108cm
terpanjang
b 104
4 26
Panjang tali semula, maksudnya adalah S5
n
2 5
2 5
2 5
.112 2
6.56 280
Jawaban : D
Konsep suku tengah deret aritmetik Jika : x ,y ,z deret aritmetik, maka :
x z
2
U3 56 2 2
30 2 2
82 2 2
S5 = 4 +30 +56 +82 +108 = 280
=>www.matematik-mania.blogspot.com 13
x x(x 1)
x x( x 1 ) Rasio : r ....
1 x 1 r .
x x 1 x 1
13. SMPB 2002/No. 17
Agar deret geometri x 1 1 1 , ,
x ,.... jumlahnya mempunyai limit,
nilai x harus memenuhi....
A. x > 0 B. x < 1 C. 0 < x < 1 D. x > 2 E. x < 0 atau x > 2
Gunakan info : Perhatikan Penyelesaiannya :
x 1 1 1 , , .
x
Jika U1,U2,U3,….. deret
geometri, maka : U2 U3
U1 U 2 1 x
x1 x
Konvergen, maksudnya : -1 < r < 1
Deret Konvergen , artinya deret tersebut mempunyai limit jumlah. Syaratnya :
-1 < r < 1
-1 < 1
x 1 <1
-1 > x -1 > 1 , berarti : x – 1 < -1 (arah kiri) atau x -1 > 1 (arah kanan)
Jadi : x < 0 atau x > 2
Jawaban : E
=>www.matematik-mania.blogspot.com 14
10
r
1 1
14. Jika suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 10,maka.... A. -10 < a < 0 B. -16 < a < 0 C. 0 < a < 0 D. 0 < a < 20 E. -8 < a < 20
Gunakan info : Perhatikan Penyelesaiannya :
Suku pertama = U1 = a S~ = 10
Rumus geometri tak hingga :
Deret geometri tak
hingga,diketahui Suku pertama : a Jumlah tak hingga : S Maka : 0 < a < 2S
S a
1 r a
1 r 10 10r a 10r 10 a
10 a
10
Padahal deret tak hingga konvergen , sehingga : 1 r 1
10 a
10 10 10 a 10
Perhatikan terobosannya :
0 < a < 2S 0 < a < 2.10 0 < a < 20
Mudeh….ya.?
20 a 0 0 a 20
Jawaban : D
=>www.matematik-mania.blogspot.com 15
Sn ( 2a ( n 1 ).b )
S25 ( 2.5 24.4 )
( 10 96 ) 25.53
U7 29b
U3 13 13 29
Sn ( 2a ( n 1 ).b )
S25 ( 2.5 24.4 )
( 10 96 ) 25.53
15. UN 2005/P-1/No.4 Dari suatu deret aritmetika diketahui U3 = 13 dan U7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah... A. 3.250 B. 2.650 C. 1.625 D. 1.325 E. 1.225
b = 4 substitusi kepers (i) a +2.4 = 13 a = 13 -8 = 5
Rumus jumlah suku ke-n, adalah : n
2 25
2 25
2 1.325
4 3 7
U3 a +2b = 13 a = 13 -2.4 = 13-8 = 5 n
2 25 2
25
2 1.325
Jawaban : D
=>www.matematik-mania.blogspot.com 16
an
Sn2 ( 2a ( n 1 )b )
( 2a nb b )
an 2a
Sn2 Sn 2a
16.UMPTN 1996 Sn adalah jumlah n suku pertama deret aritmetik. Jika a adalah suku pertama dan b beda deret itu, maka nilai Sn+2 –Sn adalah... A. 2(a +nb) +1 B. 2a +nb +1 C. 2a +b(2n +1) D. a +b(n +1) E. a +nb +1
Gunakan info :
Perhatikan Penyelesaiannya :
Jumlah n suku pertama deret aritmetika :
Sn
n
2
( 2a ( n 1 ).b ) Sn
n
2 ( 2a ( n 1 ).b )
an n
2 ( n 1 )b
n2b nb
2 n 2
2 n 2
2 n2b 3 nb 2 b
2 4 nb 2 b
2 2a 2nb b
Perhatikan terobosannya :
Sn+2 = ½ (n +2)(2a +(n +1)b) Sn = ½ n(2a +(n -1)b) - Sn+2-Sn = 2a +(2n +1)b
Mudeh….aja !
2a ( 2n 1 )b
Jawaban : C
=>www.matematik-mania.blogspot.com 17
S8 ( 2.log 2 ( 8 1 )log 2 )
17. UMPTN 1996 Diketahui barisan aritmetik log 2, log 4, log 8,... Jumlah delapan suku pertama barisan itu adalah.... A. 8 log 2 B. 20 log 2 C. 28 log 2 D. 36 log 2 E. 40 log 2
Gunakan info :
Perhatikan Penyelesaiannya : log 2, log 4, log 8,... = log 2, log 22, log 23 .... = log 2, 2log 2, 3log 2,.... Yang terakhir ini jelas memperlihatkan deret aritmeti ka dengan beda : b = 2log 2 –log 2 = log 2 dan a = log 2
alog bn nalog b
Deret aritmetika adalah deret yang mempunyai selisih dua suku berurutan nilainya tetap, nilai tetap tersebut disebut beda
Sn
n
2
( 2a ( n 1 )b )
Perhatikan deret di atas : Abaikan sementara log 2,
8
2 4( 2 log 2 7 log 2 )
didapat deret : 1, 2, 3,….. Berarti a = 1 dan b = 1 U8 = a +7b = 1+7 = 8
4( 9 log 2 ) 36 log 2
Jawaban : D
Sn S8
n
2 8
2
( a Un )log 2
( 1 8 )log 2 36 log 2
Mudeh….aja !
=>www.matematik-mania.blogspot.com 18
Sn ( 2.10 ( n 1)2 )
( 20 2( n 1 ))
A. n +9n 1 +9 = 10 (benar)
18. UMPTN 1997 Suku ke n barisan aritmetika adalah Un = 6n +4 disetiap antara 2 sukunya disisipkan 2 suku yang baru, sehingga terbentuk deret aritmetika. Jumlah n suku pertama deret yang terjadi adalah.... A. Sn = n2 +9n B. Sn = n2 -9n C. Sn = n2 +8n D. Sn = n2 -6n E. Sn = n2 +6n
Gunakan info : Perhatikan Penyelesaiannya :
Beda setelah deret disisipi dengan k suku ,adalah
Un = 6n +4 U2 = 6.2 +4 = 16
b' b
k 1 U1 = a = 6.1 +4 = 10 b = U2 –U1 = 16 – 10 = 6 k=2
b = beda deret sebelum disisipi b’ = beda deret setelah disisipi k = banyak suku sisipan
b' b
k 1 6
2 1 2
Sn n
2 ( 2a ( n 1 )b' )
n
2 n
2 10n n( n 1 )
10n n2 n
n2 9n
Jawaban : A
Perhatikan deret di atas : Un = 6n +4, jumlah koefisien:
6 + 4 = 10, maka uji pada pilihan A sampai E yang jumlah koefisiennya 10 E. n2 +6n 1 +6 = 7 (salah) D. n2 -6n 1 -6 = -5 (salah) C. n2 +8n 1 +8 = 9 (salah) B. n2 -9n 1 -9 = -8 (salah)
2
Jadi jawaban : A Mudeh….aja !
=>www.matematik-mania.blogspot.com 19
19. UMPTN 1998 Kota Subur setiap tahun penduduknya bertambah dengan 10 % dari tahun sebelumnya, bila pada tahun 1987 penduduk kota tersebut berjumlah 4 juta, maka pada tahun 1990 jumlah penduduknya adalah.... A. 4,551 juta B. 5,269 juta C. 5,324 juta D. 5,610 juta E. 5,936 juta
Gunakan info : Perhatikan Penyelesaiannya :
Periode 1987 – 1990 Bertambah 10% = 0,1 Tahun : 1987 Jumlah : 4 juta 1988 Jumlah : 4 + 4(0,1)
= 4,4 juta 1989 Jumlah : 4,4 + 4,4(0,1)
= 4,4 + 0,44 = 4,84 juta
1990 Jumlah : 4,84 + 4,84(0,1) = 4,84 + 0,484 = 5,324 juta
Jadi jumlah penduduk pada tahun 1990 sebesar 5,324 juta orang
Jawaban : C
Pertambahan penduduk suatu negara umumnya merupakan deret geometri dengan rasio : r = 1+p dengan p = prosentasi pertambahannya.
Perhatikan terobosannya :
Periode 1987 – 1990, maka n = 4 dan prosentasi 10%
tahun 1987 4 juta , berarti a =4 berarti r = 1 + 10% = 1,1
Un ar n1
U4 4( 1,1 )41 4( 1,1 )3 4( 1,331) 5,324
Mudeh….aja !
=>www.matematik-mania.blogspot.com 20
2k1 k2
2k1 k2
20. EBTANAS 1999 Sebuah deret hitung diketahui U3 = 9, dan U5 +U7 = 36, maka beda deret tersebut .... A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
Gunakan info :
Perhatikan Penyelesaiannya : U3 = 9 , artinya a +2b = 9 …(i) U5+U7 = 36 artinya : a +4b + a +6b = 36 2a +10b = 36
Pada deret aritmetika Jika :
Um1 = k1 , dan Um2 +Um3= k2 , maka :
b 2m1 ( m2 m3 )
a + 5b = 18 …(ii) dari (i) dan (ii) didapat : a +2b = 9 a + 5b = 18 –
-3b = -9 maka b = 3 Perhatikan terobosannya :
Jawaban : C U3 = 9, dan U5+U7 = 36
b 2m1 ( m2 m3 )
2.9 36 18
2.3 ( 5 7 ) 6
3
Mudeh….ya?
=>www.matematik-mania.blogspot.com 21
21. UMPTN 1992 Sisi-sisi segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi miringnya 40, maka siku-siku terpendek sama dengan.... A. 8 B. 20 C. 22 D. 24 E. 32
Gunakan info :
Perhatikan Penyelesaiannya : Misalkan deret itu : a-b,a,a+b Sisi miring 40 Maka : a +b = 40